数学思维导图_等差数列、等比数列、数列综合应用
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高中数学知识框架思维导图(整理版)
基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 分段探究，整体考察 复合函数的单调性：同增异减 赋值法、典型的函数模型 零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换：������ = ������(������) → ������ = ������(������ ± ������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������) ± ������，������, ������ > 0 函数图象 及其变换 对称变换：������ = ������(������) → ������ = −������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(−������)，������ = ������(������) → ������ = −������(−������) 翻折变换：������ = ������(������) → ������ = |������(������)|，������ = ������(������) → ������ = ������(|������|) 伸缩变换：������ = ������(������) → ������ = ������������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������������)
������
第二部分
角的概念
三角函数与平面向量
弧长公式������ = ������������、扇形面积公式������ = ������������
2 1 π 2
思维导图在高中数学复习教学中的应用
思维导图在高中数学复习教学中的应用高中数学知识体系庞大、逻辑性强，对于学生的思维能力和综合运用知识的能力要求较高。
在复习阶段，如何帮助学生系统地梳理知识、提高复习效率，是每一位数学教师面临的重要课题。
思维导图作为一种有效的思维工具，能够将抽象的数学知识以直观、形象的方式呈现出来，为高中数学复习教学提供了新的思路和方法。
一、思维导图的概念和特点思维导图是由英国心理学家托尼·博赞于 20 世纪 60 年代提出的一种图形思维工具。
它以一个中心主题为出发点，通过分支和线条将相关的知识点、概念、方法等连接起来，形成一个层次分明、结构清晰的知识网络。
思维导图具有以下几个特点：1、可视化思维导图将复杂的知识以图形的形式展现出来，使抽象的思维过程变得直观可见。
学生通过观察思维导图，可以快速把握知识的整体结构和内在联系，提高对知识的理解和记忆。
2、发散性思维导图鼓励从一个中心主题出发，进行多角度、多层次的思考和联想。
这种发散性思维能够帮助学生开拓思路，发现知识之间的新联系，培养创新能力。
3、简洁性思维导图摒弃了繁琐的文字描述，用简洁的关键词和图形来表达关键信息。
这有助于减轻学生的认知负担，提高信息处理的效率。
4、个性化每个人绘制的思维导图都可以根据自己的理解和思维方式进行创作，具有很强的个性化特点。
这种个性化的表达方式能够激发学生的学习兴趣和主动性。
二、思维导图在高中数学复习教学中的应用优势1、帮助学生构建知识体系高中数学知识点繁多，且相互之间存在着紧密的联系。
在复习过程中，学生往往容易陷入细节，忽略知识的整体框架。
思维导图可以引导学生从宏观上把握知识体系，将零散的知识点整合起来，形成一个有机的整体。
例如，在复习函数这一章节时，学生可以以“函数”为中心主题，分支为函数的概念、性质、图像、常见函数类型等，再进一步细分每个分支的具体内容。
这样，学生就能清晰地看到函数知识的全貌，理解各个知识点之间的逻辑关系。
第33讲等差、等比数列的性质及综合应用
4.(1) 等差数列的前 n 项的和为 54 ，前 2n 项 的和为60，则前3n项的和为 18 ；
(2) 等比数列的前 n 项和为 54 ，前 2n 项的 2 和为60，则前3n项的和为 60 .
3
(1)由等差数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成 等差数列，则2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，解得 S3n=18. (2)由等比数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,
新课标高中一轮总复习
理数
第五单元
数列、推理与证明
第33讲
等差、等比数列的性质及 综合应用
掌握等差、等比数列的基本性质： 如（１）“成对”和或积相等问题； （２）等差数列求和 S2n-1 与中项 an ；能 灵活运用性质解决有关问题.如分组求和 技巧、整体运算.
1.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列 结论正确的是( C ) A.a1+a9=a10,b1· b9=b10 B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6 C.a1+a9=a4+a6,b1· b9=b4· b6 D.a1+a9=2a5,b1· b9=2b5
2 2
a2= a1 a3 = b1 b3 > b1b3 =|b2|，故a2>b2；
b3 2 同理，a5=2a b b 3 1 1 所以b5-a5= -(2b3-b1)= 3 b1 b1
即b5>a5.
(b3 b1 )2 = >0, b1
(方法二)通项与函数关系.
因为an=dn+(a1-d)为关于n的一次函数，
bn=a1 · qn-1=
a1 q
· qn为关于n的类指数函数.
理数思维导图
十十五、平面面向量量
不不等式的基本概念
具有大大小小和方方向的量量叫做向量量
空间向量量
七、不不等式
同向不不等式与异向不不等式 同解不不等式与不不等式的同解变形
共线向量要不不等式 几几个著名不不等式 不不等式的解法
整式不不等式分式不不等式;指数不不等式;对数不不等式;含绝对值不不等式
平面面
集合的性质
两条平行行行线在同一一平面面内的射影图形是一一条直线或两条平行行行线或两点 异面面直线判定定理理：过平面面外一一点与平面面内一一点的直线和平面面内不不经过该点的直线是 异面面直线.（不不在任何一一个平面面内的两条直线） 平行行行公理理：平行行行于同一一条直线的两条直线互相平行行行 等⻆角定理理：若果一一个⻆角的两边和另一一个⻆角的两边分别平行行行并且方方向相同，那么这两个⻆角相等 相交、平行行行、在平面面内. 空间直线与平面面位置
直线与平面面平行行行、直线与平面面垂直
八八、立立体几几何
一一、集合与常 用用逻辑语言言
“或”、“且”、“非非”这些词叫做逻辑联结词；不不含有逻辑 联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结 词“或”、“且”、“非非”构成的命题是复合命题。
平面面平行行行判定定理理：如果一一个平面面内有两条相交直线都平行行行于另一一个平面面，那么这两个平面面平行行行.（“线面面平行行行，面面面面平行行行”） 从n个不不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一一 定顺序排成一一列列，叫做从n个不不同元素中取出m个 元素的一一个排列列. 如果，两个排列列相同，不不仅这两个排列列的元素必须完全相同，而而 且排列列的顺序也必须完全相同. 定义 相同排列列. 排列列数. 排列列公式 含有可重元素的排列列问题. 排列列 对排列列定义的理理解. ①棱柱的各个侧面面都是平行行行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱 的各个侧面面都是矩形；正棱柱的各个侧面面都是全等的矩形. ②棱柱的两个底面面与平行行行于底面面的截面面是对应边互相平行行行的全等多边形. ③过棱柱不不相邻的两条侧棱的截面面都是平行行行四边形. 棱柱具有的性质 平行行行六面面体 两个平面面平行行行的性质定理理：如果两个平面面平行行行同时和第三个平面面相交，那么它们交线平行行行.（“面面面面平行行行，线线平行行行”） 一一、两个平面面所成二二面面⻆角是直二二面面⻆角，则两个平面面垂直 二二、如果一一个平面面与一一条直线垂直，那么经过这条直线的平面面垂直于这个平面面.（“线面面垂直，面面面面垂直”） 1. 乘法原理理、加法原理理. 2. 可以有重复元素的排列列. 两个平面面垂直，那么在一一个平面面内垂直于它们交线的直线垂直于另一一个平面面。 两个原理理 两个平面面垂直的判定 两个平面面垂直性质定理理 直棱柱侧面面积 斜棱柱侧面面积
高中数学知识框架思维导图
i．
①(1 ± i)2 = ±2i；
②1+i = i；1−i = −i；
1−i
1+i
③������ + ������i = i(������ − ������i)，
如3+4i = i(4−3i) = i；
4−3i 4−� = ������ + ������i、复平面内点 Z(������, ������)、向量���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = (������, ������)的一一对应关系； 复数模的几何意义：|������| = |������ + ������i| = √������2 + ������2 = |���⃗⃗���⃗⃗���⃗���|
2.对数的运算性质(������>0，且������ ≠1，������>0，������>0)：①log������(������ ∙ ������) = log������������ + log������������；
简易逻辑
命题
关系
原命题：若 p 则 q
互否
否命题：若p 则q
互逆
互为逆否 等价关系
互逆
逆命题：若 q 则 p
互否
逆命题：若q 则p
充分条件、必要条件、充要条件 若������ ⇒ ������，则������是������的充分条件，������是������的必要条件
复合命题 量词
或：p q 且：p q 非： p 全称量词 存在量词
2
映射
函数
函数图象 及其变换
第二部分 函数、导数及微积分
������: ������ → ������：一对一，或多对一
数列的综合应用
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题 讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴பைடு நூலகம்n＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
11
训 练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲 解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专 题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
训
练
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
专 题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈
文数思维导图
四种命题之间的相互 关系 奇函数f(-x)=-f(x) 偶函数f(-x)=f(x)
原命题为真，它的逆命题不不一一定为真 原命题为真，它的否命题不不一一定为真 原命题为真，它的逆否命题一一定为真
函数的奇偶性 棱形、棱柱
随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 概率 等可能事件的概率 事件
常用用逻辑语言言 平面面平行行行于平面面垂直
道 有
原命题：若p则q 逆命题:若q则p 否命题:¬p则¬q
品 精
h 课
p t t
集合运算
/ : s
交 并 补
③空集是任何非非空集合的真子子集
k /
y . e
u o
a d
c . o
m o
包含关系 等价关系
主要性质和运算律律
逆否命题:¬q则¬p 交换律律 集合的运算律律 结合律律 分配率 其他
函数单调性
十十、导数
有
高高考数学 思维导图 （文文科）
精 道
课 品
t h
s p t
对数函数
/ / :
e k
o y .
d u
o a
o c .
/ m
⻆角度与弧度的互换关系 弧⻓长公式
三⻆角函数定义:设α是任意⻆角，在α的终边上取（异于原点的）一一点P(X,Y)P与原点的距离为r,则
三⻆角函数 的定义域 三⻆角函数的公式
/ / :
e k
o y .
d u
o a
o c .
/ m
直接证明与间接证明 数学归纳法 向量量的概念 空间向量量的运算
十十三、证明和推理理
十十四、平面面向量量
不不等式的基本概念
不不等号的定义
2019-2020年高中数学第二章数列2.4等比数列思维导图素材新人教A版必修5
(1)求a3,a4,a5,a6的值；
（2）求证：{bn}是等比数列.
【答案】（1）a3==6，a4==9，a5==18，a6==27
【解析】解：（1）∵{anan+1}是公比为3的等比数列，
∴anan+1=a1a2·3n-1=2·3n，
∴a3==6，a4==9，
a5==18，a6==27.
（2）证明∵{anan+1}是公比为3的等比数列，
∴anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，
∴a1，a3，a5,…，a2n-1，…与a2,a4,a6，…，a2n，…都是公比为3的等比数列.
∴a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1，
∴bn=a2n-1&#是以5为首项，3为公比的等比数列.
.
2019-2020年高中数学第二章数列2.4等比数列思维导图素材新人教A版必修5
【思维导图】
【微试题】
1.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=（ ）
A.B. C. D.2
【答案】B
2.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）
A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列
【答案】D
3.在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝32，则 的值为( )
A．4B．2C．－2D．－4
【答案】B
4. 数列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n(n∈N*).
（2）求证：{bn}是等比数列.
【答案】（1）a3==6，a4==9，a5==18，a6==27
【解析】解：（1）∵{anan+1}是公比为3的等比数列，
∴anan+1=a1a2·3n-1=2·3n，
∴a3==6，a4==9，
a5==18，a6==27.
（2）证明∵{anan+1}是公比为3的等比数列，
∴anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，
∴a1，a3，a5,…，a2n-1，…与a2,a4,a6，…，a2n，…都是公比为3的等比数列.
∴a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1，
∴bn=a2n-1&#是以5为首项，3为公比的等比数列.
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2019-2020年高中数学第二章数列2.4等比数列思维导图素材新人教A版必修5
【思维导图】
【微试题】
1.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=（ ）
A.B. C. D.2
【答案】B
2.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）
A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列
【答案】D
3.在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝32，则 的值为( )
A．4B．2C．－2D．－4
【答案】B
4. 数列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n(n∈N*).
6.5 数列的综合应用
n( n 1) ×50=25n2+225n≥4 750. 2 (2)an＞0.85bn,bn=400×1.08n-1.
问题:Sn=250n+ 解
（1）设中低价房的面积形成的数列为{an}，
由题意可知{an}是等差数列， 其中a1=250,d=50, 则an=250+(n-1)·50=50n+200
是 等 比 数 列 ， 其 中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400·(1.08)n-1.
由题意可知an＞0.85bn,
即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85. 当n=5时，a5＜0.85b5,
当n=6时，a6＞0.85b6,
因此满足上述不等式的最小正整数n为6. 因此到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于85%.
∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0,
n( n 1) ∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+ ×2=n2+2n. 2
探究提高
对等差、等比数列的综合问题的分析，
应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析
等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归
的思想方法. 知能迁移1 （2009·全国Ⅰ文，17）设等差数列{an}
题型二
数列与函数的综合应用Fra bibliotek【例2】 （12分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，设 f(a1),f(a2),„,f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为
2的等差数列.
（1）设a为常数，求证：{an}是等比数列； （2）若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a= 2 时, 求Sn. 思维启迪 利用函数的有关知识得出an 的表达式，
等比数列和等差数列的综合运用
04
等比数列和等差数列的 应用题
生活中的等差数列问题
银行贷款和存款：等差数列可以用来计算银行贷款和存款的利息和本金。 工资计算：很多公司采用等差数列的方式来计算员工的工资等级和晋升。 地铁和公交车站：等差数列可以用来规划地铁和公交车站的站点间隔和路线。 音乐和艺术：等差数列在音乐和艺术中也有广泛应用，例如音阶和节奏的排列。
的首项 a_1 / r^(n-1)。
添加标题
等差数列和等比数列的混合运算
定义：等差数列 和等比数列的混 合运算是指在一 个数学表达式中 同时出现等差数 列和等比数列的 项。
运算规则：等差 数列和等比数列 的混合运算需要 遵循数学的运算 顺序，先进行乘 除运算，再进行 加减运算。
实例：例如，对 于等差数列 {2, 4, 6, 8} 和等比 数列 {1, 2, 4, 8}，混合运算的 结果可以是这些 数列的各项相加 或相乘。
等差数列和等比数列的应用：等差数列和等比数列的应用包括在数学、物理、工程等领域的应 用。
感谢您的观看
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实例：可以通过举例来说明等差数列和等比数列的混合运用，例如斐波那契数列就是一个典 型的例子。
03
等比数列和等差数列的 求和
等差数列的求和公式
定义：等差数列是一种常见的数列，其相邻两项的差相等
求和公式：S_n=n/2*(a_1+a_n) 其中，S_n为前n项和，a_1为首项， a_n为第n项
推导过程：通过等差数列的性质，我们可以将每一项表示为首项和公差 的函数，再利用求和公式进行推导
生活中的等比数列问题
添加项标题
银行贷款和储蓄：等比数列可以用来计算复利和本金增长，例 如银行的定期存款和贷款的利息计算。
添加项标题
数列-高中数列知识梳理思维导图脑图
数列等差与等比等差数列通项公式是？_______________________________性质若m+n=p+s，则：_______________________________若m+n=2p，则：_______________________________求和公式的两种形式①_______________________________S=n②_______________________________S=n求和公式的特点：_______________________________等比数列通项公式是？_______________________________性质若m+n=p+s，则：_______________________________若m+n=2p，则：_______________________________求和公式的两种形式①_______________________________S=n②_______________________________S=n求和公式的特点：_______________________________数列中常用结论若，则_______________________________a=mn,a=nm(m= n)a=m+n若 ，则_______________________________S=mn，S=nm(m= n)S=m+n已知{}为等差数列，{}又成等比，则公比 _______________________________a n a n q=已知{}为等比数列，若{+}（0 ）也成等比，则公比 _________________a n a nλλ= q=已知 分别是等差（或等比）数列的前m、2m、3m······项和，则结论是：_______________________________S，S，S⋅⋅⋅⋅⋅⋅m2m3m数列求通项方法一：累加，所适用题型是：_______________________________方法二：累乘，所适用题型是：_______________________________方法三：构造辅助数列①题型一： 构造方法：_______________________________a−n a=n+1pa⋅an n+1②题型二： 构造方法：_______________________________a=n+1pa+nq③题型三： 构造方法：_______________________________a=n+1pa+nqn+r④题型四： 构造方法：_______________________________a=n+1pa+nq n⑤题型五： 构造方法：_______________________________a=n+1qa+rnpa n题型四：_______________________________, 方法是_______________________________数列求和分组求和，所适用题型是：_______________________________并项求和，所适用题型是：_______________________________裂项相消形式1：_______________________________形式2：_______________________________形式3：_______________________________形式4：_______________________________形式5：_______________________________形式6：_______________________________形式7：_______________________________形式8：_______________________________错位相减，所适用题型是：_______________________________倒序相加，所适用题型是：_______________________________。
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件
课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．
等差、等比数列的运用
等比中项：在等比数列中，任意两项$a_m$和 $a_n$（$m neq n$）的等比中项是$sqrt{a_m times a_n}$。
若$m + n = p + q$，则$a_m times a_n = a_p times a_q$。
求和公式及其推导
求和公式：对于等比数列${a_n}$的前$n$项和$S_n$， 若首项为$a_1$，公比为$q$，则有求和公式
通项公式
an=a1+(n-1)d，其中a1为首项， d为公差，n为项数。
等差中项与性质
等差中项
在等差数列中，任意两项的算术平均 数等于它们的等差中项。
性质
等差数列中，任意两项的和是常数； 任意一项的倍数也是等差数列；若数 列是等差数列，则其前n项和也是等差 数列。
求和公式及其推导
求和公式
Sn=n/2*(a1+an)，其中Sn为前n项和，a1为首项，an为第n项。
在实际应用中，要注意等差、 等比数列的性质和特点，以便 更好地运用它们解决问题。
04 等差、等比数列在实际问 题中的应用
在算术问题中的应用
01
02
03
求和问题
利用等差、等比数列的求 和公式，可以快速解决一 系列数的求和问题，如求 1到100的自然数和。
插值问题
在已知两个数之间的等差 或等比关系时，可以利用 数列的性质求出中间缺失 的数。
等比数列证明
假设数列为$a_n = 2^n$，要证明其为等比数列。根据定义法，计算相邻两项的比： $frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$，由于比为常数，故数列为等比 数列。
注意事项
在判定和证明过程中，要确保 所使用的数学方法和逻辑是严 谨的。
第六章 数列6-4数列的综合问题与数列的应用
1 1 k m ＋(k－1)× m＝ m， ∴amk＝ 2 2 2
Am＝am1＋am2＋am3＋…＋amn 1 2 3 n nn＋1 ＝2m＋2m＋2m＋…＋2m＝ m＋1 ， 2 nn＋1 ∴数列{Ak}的通项公式 Ak＝ k＋1 (1≤k≤n)． 2
已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此 等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 … … … … … 则此数阵中第20行从左到右的第10个数是 ________．
B．2000 D．1998
分析：公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的 项数就越多(即 n 越大)，故 P1 与 Pn 取长轴两端点时 n 取最 1 大值，可依据公差大于1000列不等式解．
解析：∵|PnF|max＝a＋c＝3，|PnF|min＝a－c＝1， an－a1 3－1 1 d＝ ＝ ＞1000，n∈N，∴nmax＝2000，故选 B. n－1 n－1
(2)由已知得 bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)2n， ∴Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)2n① 2Tn＝3×22＋1×23＋(－1)×24＋…＋(－2n＋5)2n 1② ②－①可得 Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)2n＋1 231－2n－1 ＝ ＋(－2n＋5)2n＋1－6 1－2 ＝(－2n＋7)2n＋1－14.
1 am1＝2m，
第4项
1 － 1 － m 1 am4＝2×2 ＝2m 2，
11m－2 1m 公差 d＝32 －2 1 1m 1m 1m ＝342 －2 ＝2 ，
1 － 1 1 2 ＝1＋2＋2 ＋…＋2n 1 1 － m－8 ＝2－2n 1> 4 对于任意的
Am＝am1＋am2＋am3＋…＋amn 1 2 3 n nn＋1 ＝2m＋2m＋2m＋…＋2m＝ m＋1 ， 2 nn＋1 ∴数列{Ak}的通项公式 Ak＝ k＋1 (1≤k≤n)． 2
已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此 等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 … … … … … 则此数阵中第20行从左到右的第10个数是 ________．
B．2000 D．1998
分析：公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的 项数就越多(即 n 越大)，故 P1 与 Pn 取长轴两端点时 n 取最 1 大值，可依据公差大于1000列不等式解．
解析：∵|PnF|max＝a＋c＝3，|PnF|min＝a－c＝1， an－a1 3－1 1 d＝ ＝ ＞1000，n∈N，∴nmax＝2000，故选 B. n－1 n－1
(2)由已知得 bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)2n， ∴Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)2n① 2Tn＝3×22＋1×23＋(－1)×24＋…＋(－2n＋5)2n 1② ②－①可得 Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)2n＋1 231－2n－1 ＝ ＋(－2n＋5)2n＋1－6 1－2 ＝(－2n＋7)2n＋1－14.
1 am1＝2m，
第4项
1 － 1 － m 1 am4＝2×2 ＝2m 2，
11m－2 1m 公差 d＝32 －2 1 1m 1m 1m ＝342 －2 ＝2 ，
1 － 1 1 2 ＝1＋2＋2 ＋…＋2n 1 1 － m－8 ＝2－2n 1> 4 对于任意的
高中数学思维导图大全
国
｀截式： y ＝妇干 b
＇，两点式:� V-VI-＝－X-— X1 芍( :¢:X动 五） y?-P1 芬寸
！截距式: :＋责＝ l （吐 0,b#o)
注意（1)截距百 :，可负，也可
1彝为o. (2)方程
各种形式的变化 和适用范围
宜 线
一般式：Ax+By+ C = O(AB-:f:. o)
的
两直线 行
序性
组合的分类
＾集 卜巳渠合的表示一 口
列举法，特征性质描述法、Veen图法 性质
(2)A云小(3)则A�B则A.::B或4=， 凡 (4)若A�B, B竺C，则AGC; (5)含有11. '个元素的集合有2“ 个子无宇 有2片－i 个真丁采：
(6)E心；的区别�E表示元素与集合关系
已表示集合与集合关系； (7)屿｛叶区别· 一 般地，a表示元压 ｛叶表示只有 一 个元素tr的菜合：
咖
(
5 l， 万
L1 5 ｀ 为方向向泣｝
la•司 lal• 2直线与平面的夹角6cosO=
恒|
（a 为直线方向向址，行为平面法向盘｝
I· 杭I 面角0:cos_0·=� 匠．开介 1 枫
飞，h，．为两平面 向优）．
倾斜角与斜卒
倾斜伽「包18OO)和斜率K气na的变化
！点斜式：，V － y0 ＝沁－X。)
,p) +b
描点法（五点作阻法— ） I 斗几何作图法
对称轴．（正切函数 除外）经过函数图 象的蚊扁氓t低）
点且垂直x轴的直线
对称中心是正余弦函
＿佟］象的零点，正切 函数的对称中心为 （一 .k.2it ，．0) (kGZ)
碑象可由正千玄曲线经过平移、伸缩得到，但耍注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同：
高中数学知识框架思维导图(整理版)
2 : 2 + 2 + 2 = 0.
点斜式：y－y0＝k(x－x0)
注意：截距可正、
可负，也可为 0.
2 −1
注意各种形式的转化和运用范围.
x y
截距式： ＋ ＝1
a b
两直线的交点
距离
一般式：Ax＋By＋C＝0
两点间的距离公式|1 2 | = √(1 − 2 )2 + (1 − 2 )2 ．
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2+1 −1
− (+2)2 )
= (−1) (
1
2−1
+
错位相加法: = ( + )−1 → = ( + ) −
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换： = () → = ( ± )， = () → = () ± ，, > 0
与 的关系
1 ，
= 1，
= {
− −1 ， ≥ 2．
构造等差数列
an＋1 p an
= · ＋1 转为③
qn q qn－1
⑤an + 1＝pan＋qn
点斜式：y－y0＝k(x－x0)
注意：截距可正、
可负，也可为 0.
2 −1
注意各种形式的转化和运用范围.
x y
截距式： ＋ ＝1
a b
两直线的交点
距离
一般式：Ax＋By＋C＝0
两点间的距离公式|1 2 | = √(1 − 2 )2 + (1 − 2 )2 ．
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2+1 −1
− (+2)2 )
= (−1) (
1
2−1
+
错位相加法: = ( + )−1 → = ( + ) −
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换： = () → = ( ± )， = () → = () ± ，, > 0
与 的关系
1 ，
= 1，
= {
− −1 ， ≥ 2．
构造等差数列
an＋1 p an
= · ＋1 转为③
qn q qn－1
⑤an + 1＝pan＋qn
高中数学 2-5-2等差、等比数列的综合应用课件 新人教A版必修5
[答案] 0,4,8,16 或 15,9,3,1
[解析] 设这四个数为：a－d、a、a＋d、a＋ad2.
∴a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12.
解之得：ad＝＝44 或ad＝＝－9 6 ， ∴这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
[点评] 本题也可设四个数依次为 2a－aq，a，aq，aq2(a≠0) 或2qa－a，aq，a，aq(a≠0)．或依据两个和设未知数，根据等差 等比关系列方程求解．
当 cosα＝1 时，sinα＝0，由于等比数列的项不能为零，故 cosα＝1 应舍去，
当 cosα＝－12，α∈[0,2π]时，α＝23π或 α＝43π， 所以 α＝23π，β＝43π，γ＝83π或 α＝43π，β＝83π，γ＝163π.
命题方向 综合应用
[例 4] n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列：其有公比相 等．将第 i 行第 j 列的数记作 aij.已知 a24＝1，a42＝18，a43＝136， 求 ann.
Sn 等于( ) A．2n＋1－1
B．2n－2
C．2n
D．2n＋1－2
[答案] D
[解析] 由已知条件可得此等比数列的首项 a1＝2，公比 q ＝42＝2，故前 n 项和 Sn＝2×1－1－22n＝2n＋1－2.
2．等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设 Sn 是数列{an}的 前 n 项和，则 S8＝________.
A．(44,12) C．(13,45)
[答案] D
B．(45,13) D．(12,44)
[解析] 细心观察图形可以发现，质点到达点(n，n)(n∈ N)时，走过的路程为 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)单位长度．而 2012＝44×45＋32，故可知此质点到达(44,44)点后，又继续移 动 32 个单位，而且是向左移动，∴到达点为(12,44)．
[解析] 设这四个数为：a－d、a、a＋d、a＋ad2.
∴a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12.
解之得：ad＝＝44 或ad＝＝－9 6 ， ∴这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
[点评] 本题也可设四个数依次为 2a－aq，a，aq，aq2(a≠0) 或2qa－a，aq，a，aq(a≠0)．或依据两个和设未知数，根据等差 等比关系列方程求解．
当 cosα＝1 时，sinα＝0，由于等比数列的项不能为零，故 cosα＝1 应舍去，
当 cosα＝－12，α∈[0,2π]时，α＝23π或 α＝43π， 所以 α＝23π，β＝43π，γ＝83π或 α＝43π，β＝83π，γ＝163π.
命题方向 综合应用
[例 4] n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列：其有公比相 等．将第 i 行第 j 列的数记作 aij.已知 a24＝1，a42＝18，a43＝136， 求 ann.
Sn 等于( ) A．2n＋1－1
B．2n－2
C．2n
D．2n＋1－2
[答案] D
[解析] 由已知条件可得此等比数列的首项 a1＝2，公比 q ＝42＝2，故前 n 项和 Sn＝2×1－1－22n＝2n＋1－2.
2．等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设 Sn 是数列{an}的 前 n 项和，则 S8＝________.
A．(44,12) C．(13,45)
[答案] D
B．(45,13) D．(12,44)
[解析] 细心观察图形可以发现，质点到达点(n，n)(n∈ N)时，走过的路程为 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)单位长度．而 2012＝44×45＋32，故可知此质点到达(44,44)点后，又继续移 动 32 个单位，而且是向左移动，∴到达点为(12,44)．