导数的概念及运算

导数的概念及运算

教学目标：

1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导数的概念。

2.熟记基本公式（C 、x m （m 为有理数）、sin x 、cos x 、e x 、a x 、ln x 、log a x 的导数）

3.掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

教学重点：

1.对导数定义的理解。

2.导数的求法（复合函数）

3.导数几何意义的作用。

教学难点：

对导数定义式的运用。

一、基本内容

1.导数的概念：

（1）如果函数y=f(x)在x 0处增量△y 与自变量的增量△x 的比值，当△x →0时的极限 00)()(lim lim

00→∆→∆∆-∆+=∆∆x x x f x x f x y

存在。

则称f(x)在点x 0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x 0处的导数，记为f′(x 0)或y ′∣x =x 0 。

x

x f x x f x x y x x f ∆-∆+→∆=∆∆→∆=)()(0lim 0lim )(000'′ x

x x f x f x x x x f x f x x ∆∆--→∆=→-→=)()(0lim )()(lim

0000 （2）左可导：若 00000)()(lim )()(0lim 0lim 0lim

x x x f x f x x x x f x x f x x x y x --→=∆-∆+→∆=→∆=∆∆→∆存在。 右可导，若0000)()(lim )()(0lim 0lim

x x x f x f x x x x f x x f x x y x --→=∆-∆+→∆=∆∆→∆。 f ′(x 0)存在 f -′(x 0)=f +′(x 0)

2.导函数：

（1）函数y=f(x)在区间(a,b )内每一点的导数都存在，就说f (x )在区间(a,b )内可导，其导数也是(a ,b)内的函数，又叫做f (x )导函数，记作y =f ′(x)或y ′∣x .

(2)导数的几何意义：

①设函数y =f (x )在点x 0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M （x 0,y 0）处的切线斜率。

②设S=s (t )是位移函数，到S ′(t 0)表示物体在t=t 0时刻的瞬间速度。

③设v=v (t )是速度函数，到v （t 0）表示物体在t=t 0时刻的加速度。

（3）几种常见函数导数。

①C ′=0(C 为常数)

②（x m ）′=mx m-1(m ∈Q)

③(sin x )′=cos x

④(cos x )′=-sin x

⑤(e x )′=e x

⑥(a x )′=a x lna

⑦(ln x )′=x 1 ⑧log a x =a x ln 1

(4)两个函数的四则运算的导数，若u (x )与v (x )导数都存在。则

①(u±Q )′=u′±v′

②(uv )′=u′v+uv′

③2)(v

v u v u v u

'-'=' (5)复合函数的导数

设u =θ(x )在点x 处可导，y =f (u )在点u =θ(x )处可导，到复合函数f [θ(x )]在点x 处可导，且 f ′(x)=f ′(u )·θ′(x )

即y ′x =y ′u ·u′x

二、实例分析：

例1：若函数f (x )在x =x 0处的导数为A

求：（1）x

x f x x f x ∆-∆-→∆)()3(0lim 00—、 （2）x

x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(0lim 00 解：（1）x

x x f x f x x x f x x f x ∆∆--→∆-=∆-∆-→∆)3()(0lim )()3(0lim 0000 A x

x x f x f x 33)3()(0lim 300-=∆∆--→∆-= （2）x

x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(0lim 00 x

x x f x f x f x x f x ∆∆--+-∆+∆→∆=)()()()(0lim 0000 ＝2A

例2：求下列函数的导数

（1）y =ln(cos x +sin3x ) (2)y =(2x 2-5x +2)e x

解：（1）)3sin (cos 3sin cos 1'++='x x x

x y x

x x x 3sin cos 3cos 3sin ++-= （2）y′=（2x 2-5x+2）′e x +(2x 2-5x+2)(e x )′

=(4x-5)e x +(2x 2-5x+2)e x

=(2x 2-x-3)e x

点评：求这类题应首先弄清函数的结构特征，一是运算结构，然后再选取公式运算法则运算。 设函数f(x)=x 3-3ax 2+3bx 的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，－11）。

（1）求a 、b 的值；

（2）讨论函数f(x)的单调性。

归纳：

在导数几何意义的应用过程中，应注意几种关系：

（1）切点P (x 0,y 0)适合y=f (x )即y 0=f(x 0);

（2）切点坐标适合对应的切线方程；

（3）在切点P (x 0,y 0)处的切线斜率为k =f ˊ(x 0).

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