2017年考研数学三真题与解析 -任海峰版

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2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学(三)试题

（科目代码:303）

考生注意事项

1.答题前,考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号;在答题卡指定位置上填写报考单位、考生

姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择提的答案必须书写在答题卡指定位置的边

框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸、试题册上答案无效。

3.填（书）写必须用黑色字迹签字笔或钢笔书写，字迹工整，笔记清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试卷册按规定交回。

本卷得分

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1

．若函数10(),0x f x ax

b x ⎧->⎪

=⎨⎪≤⎩

在0x =处连续，则 （ ） （A ）12ab =

（B ）1

2

ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是 （ ）

（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)

3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （ ）

（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-

4． 若级数

211sin ln(1)n k n n ∞

=⎡⎤--⎢⎥⎣

⎦∑收敛，则k = （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-

5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

（A ）T

E αα-不可逆 （B ）T

E αα+不可逆 （C ）2T

E αα+不可逆 （D ）2T

E αα-不可逆

6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则 （ ）

（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似

7．设A,B,C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B U 与C 相互独立的充分必要条件是 （ ）

（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ） A,B 与C 相互独立 （D ）A,B 与C 互不相容

8．设12,,,(2)n X X X n ≥L 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若1

1n

i i X X n ==∑，则下列结论中不

正确的是 （ ）

（A ）

21

()n

i i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()2

12n X X -服从2χ分布

（C ）

21

()n

i

i X

X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在答题纸指定位置上） 9

．

3

(sin

x dx π

π-

=⎰ ．

10．差分方程122t

t t y y +-=的通解为yt ．

11．设生产某产品的平均成本()1Q

C Q e -=+，其中Q 为产量，则边际成本为 .

12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y

y

df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则

(,)f x y =

13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩

为 ．

14．设随机变量X 的概率分布为{}1

22

P X =-=

，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．

三、解答题(15-23小题，共94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．（本题满分10分）

求极限0

lim t x dt +

→ 16．（本题满分10分）

计算积分3242

(1)D

y dxdy x y ++⎰⎰，其中D

是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域．

17．（本题满分10分） 求2

1

lim

ln 1n

n k k

k n

n →∞

=⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

∑

18．（本题满分10分） 已知方程11

ln(1)k x x

-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．

19．（本题满分10分）

设01111

1,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+L ，()S x 为幂级数0

n n n a x ∞

=∑的和函数

（1）证明

n

n n a x

∞

=∑的收敛半径不小于1．

（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式．

20．（本题满分11分）

设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；

（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．