圆的几何特征在初中解题中的运用

圆的几何特征在初中解题中的运用

著名的数学家波利亚曾说过，“当原问题看起来不可解时，人类的高明之处就在于会迂回绕过不能直接克服的障碍，就在于能想出某个适当的辅助问题”，短短数语，导出了数学解题的关键所在。这种迂回解题思想-数形结合，更是屡见不鲜，现举例说明如何巧用圆的几何性质解题。

例1 如图，△ABC中，∠CAB 是∠ABC 的2倍，是否存在三边长恰是三个连续正整数？证明你的结论。

分析该题如果用正弦定理和余弦定理求解，出现2倍角，对初中生来说还不会用。若注意到同圆里相等的圆周角所对的弧相等的性质，问题就迎刃而解了。

证明作△ABC 的外接圆，作∠CAB的平分线交BC于点G，交圆于点F，过点C，F 作AB 的垂线，垂足分别是D，E，连接CF，BF，设AC ＝m－1，AB ＝m，BC ＝m ＋1。

由于∠CAF ＝∠FAB ＝∠ABC，

∴弧长AC=弧长CF=弧长BF，

即AC ＝CF ＝BF．

又∠CFA ＝∠ABC ＝∠FAB，

∴CF∥AB，

∴四边形ABFC是等腰梯形．

∴AD ＝BE ＝AB-CF/2 ＝m-(m-1）/2=1/2

在Rt△CDA 中，CD2＝AC2－AD2＝（m－1）2－(1/2)2

在Rt△CDB 中，BC2＝CD2＋DB2，

即（m ＋1）2＝（m－1）2－(1/2)2+(m-1/2)2

解之，得m ＝5 或m ＝0（舍），

∴m －1 ＝4，m ＋1 ＝6，

∴存在三边长恰是三个连续正整数.

例2 如图，在锐角三角形ABC 中，CD 是AB 边上的

高，求证：tanA·tanB ＞1。

分析 如果设未知数，建立方程直接求解较繁，不妨用线段的转换、比较给予证明。

证明以AB 为直径作圆，交CD 于点E ，连接AE ，BE 。

要使tanA ·tanB ＞ 1，如图，

由于tanA ·tanB ＝ CD/AD ·CD/BD ＝ CD 2/AD ·BD ，

只需CD 2/AD ·BD ＞ 1,即CD 2 ＞AD ·DB 。

根据相交弦定理的推论有ED 2 ＝ AD ·DB 。

又CD ＞ ED ，∴ CD 2 ＞ AD ·DB ，即tanA ·tanB ＞ 1．

例3 已知22222k a k a k b b =-+-求证：a 2 ＋b 2 ＝ k 2

分析 如果把条件通过平方，配方可证，但计算量大；如果用三角换元法，初中生还未学；若注意到a2 ＋b2 ＝ k2 的特征，会联想到勾股定理，从而试在圆里构造直角三角形．

证明 如图，以a ，22k b -，k 为三边作Rt △ABD ，以b ，22a k -，k 为三边作Rt △BCD ，有公共斜边BD ，构成四边形ABCD ，从而ABCD 共圆，直径BD ＝ k

由托勒玫定理， 有a 22k b -＋ b 22a k -＝AC ·BD ，再比较已知，从而AC ＝ k ．

∴ AC 为直径，

∴∠ABC ＝ 90°，

∴a 2＋ b 2＝ k 2．

从上述各例中，圆的性质多而灵活，若能熟练应用，可获得意想不到的效果。