第9章压杆稳定
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❖ 数学家欧拉在1774年提出了细长压杆稳定临界荷载计算公式。 ❖ 1896年瑞士孟希太因铁路桥倒塌（因桁架压杆失稳），200多人
死亡。 ❖ 1907年加拿大跨度为548米的魁北克大桥在施工时倒塌（因弦杆
失稳），75名员工遇难。破坏从开始到结束只有15秒。
❖ 1925年原苏联的莫兹尔桥在试车时受压杆件失稳而破坏。
§9-2 细长压杆临界压力的计算 欧拉公式
M (x) Fcrw EIw M (x) Fcrw
w Fcr w 0 EI
x Fcr
w k 2w 0
k 2 Fcr EI
w Asin kx Bcos kx
边界条件： x0 w0 B0 x l w 0 Asin kl 0
w Fcr M (x)
l l l l l
F
F
失
F
稳
时
挠
曲
线
形
状
F F
临界力Fcr 欧拉公式
Βιβλιοθήκη BaiduFcr
2
l
EI
2
Fcr
2EI
(0.7l)2
Fcr
2EI
(0.5l)2
Fcr
2EI
(2l)2
2EI
Fcr l 2
长度因数μ m=1 m 0.7 m=0.5 m=2
m=1
例题9.1 求下列细长压杆的临界力，E=200GPa。
（3）两端为球形铰支座
公式说明：
（1）Fcr与杆长成反比 （2） Fcr与杆件的EI成正比（I为压杆失稳方向的惯性矩I=Imin ） （3） Fcr与杆端约束有关 （4） Fcr与外加压力的大小无关
支承情况
Fcr （m2lE）I2
两端铰支
一端固定 一端铰支
两端固定
一端固定 两端固定但可沿 一端自由 横向相对移动
Fcr
Fcr
图(a)
I min
Iy
50 103 12
1012
4.17 109 m4
10 500 500
z 50
图(a)
z y
y
(4545 6) 等边角钢
图(b)
Fcr
2EImin （m1l）2
2 200 4.17
（0.7 0.5）2
67.14kN
图(b) Imin Iz 3.89 108 m4
Fcr （ 2mE2Il）m2in
2 200 38.9 （2 0.5）2
76.8kN
例题9.2 长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将b改为h后仍为
细长杆，临界力Fcr是原来的多少倍？
若改为与正
h h d
方形面积相
b
h
同的圆形呢？
解：
Fcr 正 Fcr 长
Fcr 正 Fcr 圆
2E I正
总结 提升
干扰力是随机出现的，大小也不确定 —— 抓不住、来去无踪
如何显化它的作用呢？欧拉用13年的功夫，悟出 了一个捕捉它、显化它的巧妙方法 ——
用干扰力产生的初始变形代替它
F Fcr
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤走 了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
种情况下杆系所能承受的最大载荷。
（a）
B
（b）
B
FA
CF
FA
CF
D 解：压杆BD：FN=F
Fcr
2EI
（ 2a）2
2EI
2a2
2EI
Fmax Fcr 2a2
D
四根压杆：FN
2F 2
Fcr
2E a2
I
2E a2
I
Fmax
2Fcr
2 2E I
a2
§9-3 欧拉公式的适用范围 临界应力总图
x l
x
若 A 0 则压杆保持为直线平衡状态
必有： sin kl 0
y
y
则 kl n (n 1, 2,3,)
取 n 1 则 kl Fcr l
EI
即
Fcr
2EI
l2
Fcr
2EI
l2
欧拉在1774年提出的压杆稳定临界荷载计算公式
应用条件：
（1）理想“中心受压直杆”
（2）线弹性范围内
第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长压杆临界压力的计算 欧拉公式 §9-3 欧拉公式的应用范围 临界应力总图 §9-4 压杆的稳定校核 §9-5 提高压杆稳定性的措施
§9-1 压杆稳定性的概念
❖背景知识 ❖稳定的平衡与不稳定的平衡 ❖理想“中心受压直杆”
力学模型 临界压力 失稳 ❖总结 提升
试验观察及思考
钢板尺：截面尺寸20×1，
许用应力[ s ]=196MPa
F 196 201 3920N
3920N
40N
问题的提出
松木板条：截面尺寸5×30，
抗压[ s ]=40MPa
F 40530 6000N 30N
6000N
300 300 30
1000
3920N
细长压杆
压杆
细长压杆
历史事件
F Fcr F Fcr
临界状态： 从稳定平衡过渡到不稳定平衡 的特定状态称为临界状态。
临界力：
稳定的平衡
临界状态下作用的压力Fcr称为临界力。
它是判别压杆是否会失稳的重要指标。
不稳定的平衡
失稳：中心受压直杆在临界力Fcr作用下，其直线形态的平衡丧 失了稳定性，称为失稳。其危害：突然性；使结构整体垮塌。
（m l）2 2EI长
（m l）2
2E I正
（m l）2 2 E I圆
（m l）2
h4
I正 I长
12 hb3
h b
3
8
12
I正 I圆
h4
12
d4
1
d2
2
12
4 d4
3
64
64
例题9.3 五根直径都为d的细长圆杆铰结成平面正方形杆系
ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求图 (a)、(b)所示两
❖ 压杆的稳定性问题提出并在欧拉公式的基础上加以研究。
加拿大的魁北克(Quebec)桥
1907加拿大的魁北克(Quebec)桥倒塌现场
九江长江大桥 跨越长江的公铁两用（4车道加双线）桥。主跨216米，为中国当 时铁路钢桥跨度之最。钢梁设双层桥面，上层公路下层铁路。
2006沈阳世界园艺博园主入口广场的主题建筑“凤之翼”
稳定的平衡与不稳定的平衡
稳定的平衡
不稳定的平衡
施加微小扰动使小球离开原来 的平衡位置，撤去扰动后小球 能回到原来的平衡位置。
施加微小扰动使小球离开原来 的平衡位置，撤去扰动后小球 不能回到原来的平衡位置。
理想“中心受压直杆”力学模型：
（1）材质均匀；
F Fcr
（2）杆轴为直线；
（3）压力沿轴线
❖ 1940年美国的塔科马桥刚完工4个月，在一场大风中，由于侧向 刚度不足而失去稳定，使整个桥梁扭转摆动而破坏。
❖ 1978年美国康涅狄格州哈特福市中心体育馆，在一场暴风雪中倒 塌，事故的原因也是个别压杆失稳。
❖ 1990年2月，某厂四楼接层会议室屋顶轻钢屋架因压杆失稳连同 屋面突然倒塌。当时，305人正在会议室开会，造成42人死亡， 179人受伤的特大事故。
死亡。 ❖ 1907年加拿大跨度为548米的魁北克大桥在施工时倒塌（因弦杆
失稳），75名员工遇难。破坏从开始到结束只有15秒。
❖ 1925年原苏联的莫兹尔桥在试车时受压杆件失稳而破坏。
§9-2 细长压杆临界压力的计算 欧拉公式
M (x) Fcrw EIw M (x) Fcrw
w Fcr w 0 EI
x Fcr
w k 2w 0
k 2 Fcr EI
w Asin kx Bcos kx
边界条件： x0 w0 B0 x l w 0 Asin kl 0
w Fcr M (x)
l l l l l
F
F
失
F
稳
时
挠
曲
线
形
状
F F
临界力Fcr 欧拉公式
Βιβλιοθήκη BaiduFcr
2
l
EI
2
Fcr
2EI
(0.7l)2
Fcr
2EI
(0.5l)2
Fcr
2EI
(2l)2
2EI
Fcr l 2
长度因数μ m=1 m 0.7 m=0.5 m=2
m=1
例题9.1 求下列细长压杆的临界力，E=200GPa。
（3）两端为球形铰支座
公式说明：
（1）Fcr与杆长成反比 （2） Fcr与杆件的EI成正比（I为压杆失稳方向的惯性矩I=Imin ） （3） Fcr与杆端约束有关 （4） Fcr与外加压力的大小无关
支承情况
Fcr （m2lE）I2
两端铰支
一端固定 一端铰支
两端固定
一端固定 两端固定但可沿 一端自由 横向相对移动
Fcr
Fcr
图(a)
I min
Iy
50 103 12
1012
4.17 109 m4
10 500 500
z 50
图(a)
z y
y
(4545 6) 等边角钢
图(b)
Fcr
2EImin （m1l）2
2 200 4.17
（0.7 0.5）2
67.14kN
图(b) Imin Iz 3.89 108 m4
Fcr （ 2mE2Il）m2in
2 200 38.9 （2 0.5）2
76.8kN
例题9.2 长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将b改为h后仍为
细长杆，临界力Fcr是原来的多少倍？
若改为与正
h h d
方形面积相
b
h
同的圆形呢？
解：
Fcr 正 Fcr 长
Fcr 正 Fcr 圆
2E I正
总结 提升
干扰力是随机出现的，大小也不确定 —— 抓不住、来去无踪
如何显化它的作用呢？欧拉用13年的功夫，悟出 了一个捕捉它、显化它的巧妙方法 ——
用干扰力产生的初始变形代替它
F Fcr
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤走 了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
种情况下杆系所能承受的最大载荷。
（a）
B
（b）
B
FA
CF
FA
CF
D 解：压杆BD：FN=F
Fcr
2EI
（ 2a）2
2EI
2a2
2EI
Fmax Fcr 2a2
D
四根压杆：FN
2F 2
Fcr
2E a2
I
2E a2
I
Fmax
2Fcr
2 2E I
a2
§9-3 欧拉公式的适用范围 临界应力总图
x l
x
若 A 0 则压杆保持为直线平衡状态
必有： sin kl 0
y
y
则 kl n (n 1, 2,3,)
取 n 1 则 kl Fcr l
EI
即
Fcr
2EI
l2
Fcr
2EI
l2
欧拉在1774年提出的压杆稳定临界荷载计算公式
应用条件：
（1）理想“中心受压直杆”
（2）线弹性范围内
第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长压杆临界压力的计算 欧拉公式 §9-3 欧拉公式的应用范围 临界应力总图 §9-4 压杆的稳定校核 §9-5 提高压杆稳定性的措施
§9-1 压杆稳定性的概念
❖背景知识 ❖稳定的平衡与不稳定的平衡 ❖理想“中心受压直杆”
力学模型 临界压力 失稳 ❖总结 提升
试验观察及思考
钢板尺：截面尺寸20×1，
许用应力[ s ]=196MPa
F 196 201 3920N
3920N
40N
问题的提出
松木板条：截面尺寸5×30，
抗压[ s ]=40MPa
F 40530 6000N 30N
6000N
300 300 30
1000
3920N
细长压杆
压杆
细长压杆
历史事件
F Fcr F Fcr
临界状态： 从稳定平衡过渡到不稳定平衡 的特定状态称为临界状态。
临界力：
稳定的平衡
临界状态下作用的压力Fcr称为临界力。
它是判别压杆是否会失稳的重要指标。
不稳定的平衡
失稳：中心受压直杆在临界力Fcr作用下，其直线形态的平衡丧 失了稳定性，称为失稳。其危害：突然性；使结构整体垮塌。
（m l）2 2EI长
（m l）2
2E I正
（m l）2 2 E I圆
（m l）2
h4
I正 I长
12 hb3
h b
3
8
12
I正 I圆
h4
12
d4
1
d2
2
12
4 d4
3
64
64
例题9.3 五根直径都为d的细长圆杆铰结成平面正方形杆系
ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求图 (a)、(b)所示两
❖ 压杆的稳定性问题提出并在欧拉公式的基础上加以研究。
加拿大的魁北克(Quebec)桥
1907加拿大的魁北克(Quebec)桥倒塌现场
九江长江大桥 跨越长江的公铁两用（4车道加双线）桥。主跨216米，为中国当 时铁路钢桥跨度之最。钢梁设双层桥面，上层公路下层铁路。
2006沈阳世界园艺博园主入口广场的主题建筑“凤之翼”
稳定的平衡与不稳定的平衡
稳定的平衡
不稳定的平衡
施加微小扰动使小球离开原来 的平衡位置，撤去扰动后小球 能回到原来的平衡位置。
施加微小扰动使小球离开原来 的平衡位置，撤去扰动后小球 不能回到原来的平衡位置。
理想“中心受压直杆”力学模型：
（1）材质均匀；
F Fcr
（2）杆轴为直线；
（3）压力沿轴线
❖ 1940年美国的塔科马桥刚完工4个月，在一场大风中，由于侧向 刚度不足而失去稳定，使整个桥梁扭转摆动而破坏。
❖ 1978年美国康涅狄格州哈特福市中心体育馆，在一场暴风雪中倒 塌，事故的原因也是个别压杆失稳。
❖ 1990年2月，某厂四楼接层会议室屋顶轻钢屋架因压杆失稳连同 屋面突然倒塌。当时，305人正在会议室开会，造成42人死亡， 179人受伤的特大事故。