2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(7)

2020 年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（ 7）
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）若复数 z 满足 ?? = ?2?019 + ?2?020 ，则 z＝（
）
1+??
A ．i
B ．2i
C． 1
D．2
2．（ 5 分）已知集合 A＝ { x∈N |x＞1} ，B＝ { x|x＜5} ，则 A∩ B＝（ ）
A ．{ x|1＜ x＜5}
B ．{ x|x＞ 1}
C． {2 ， 3， 4}
2 3．（ 5 分）函数 ??(??=) ( 1+????-
1)?????图?象??的大致形状是（
）
D． {1 ，2， 3，4， 5}
A．
B．
C．
D．
→→
→
→
→→
4．（ 5 分）已知向量 ??， ??夹角为 30°， ??= (1 ，√2) ， |??| = 2 ，则 |2??- ??| = （ ）
A ．2
B．4
C． 2 √3
D． 2 √7
??2 ??2
5．（ 5 分）双曲线 -
= 1 的渐近线方程为（
）
43
√3 A ．y＝± x
2
B ．y＝± 2x
1 C． y＝± x
2
2 √3 D． y＝± x
3
6．（ 5 分）已知△ ABC 的三个内角 A， B， C 所对边长分别为 a， b， c，满足（ a+c）（ a﹣ c）
＝ b（ a﹣ b），则∠ C＝（ ）
2?? A．
3
?? B．
2
?? C．
3
?? D．
6
7．（ 5 分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长
一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若
输入的 a， b 分别为 3， 1，则输出的 n 等于（
）
第 1页（共 21页）
A ．5
B．4
C． 3
D．2
8．（ 5 分）从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛，则选中的 2 人是 1 名男同
学 1 名女同学的概率是（
）
1 A．
5
2 B．
5
3 C．
5
4 D．
5
???? ???? 1
9．（ 5 分）如图：空间四边形 P﹣ ABC 中， =
= ，PA＝BC＝ 4， MN＝ 3，异面直线
???? ???? 3
PA 与 BC 所成角的余弦值为（
）
A ．-
1 4
B．-
1 64
1 C．
64
1 D．
4
10．（ 5 分）函数 ??(??=) ??????(-2+???3?) 的图象为 C，则下列结论中正确的是（
）
A ．图象
C 关于直线
??=
??对称 6
第 2页（共 21页）
B ． f（ x）在区间 [-
?? 12
，
51?2?]
上递减
C．图象 C 关于点 (51?2?，0) 对称
?? D ．由 y＝ sin（﹣ 2x）的图象向左平移 得到 C
3
11．（ 5 分）已知函数 （f x）是定义在
R
上的偶函数， 且在区间
[0
，+
∞）上单调递增，
若
1 ??(2
)
=
0，
则不等式 f（2x﹣ 1）＜ 0 的解集为（
）
A
．(
1 4
，
3 4
)
B
．
(
3 4
，
+
∞）
C
．
(0
，
1 4
)
D． (-
∞，
1 4)
∪
3 (4
，
+
∞）
??2 ??2 12．（ 5 分）设 F1， F2 分别是椭圆 E：??2 + ??2 = 1（ a＞ b＞ 0）的左，右焦点，过点 F1 的直
线交椭圆 E 于 A， B 两点，若△ AF1F2 的面积是△ BF1F2 的三倍， ???∠?????2??= 35，则椭
圆 E 的离心率为（
）
1 A．
2
2 B．
3
√3 C．
2
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
√2 D．
2
13．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 ??= ???2?+ ??（?? a，b 为常数） 过点 P（ 2，﹣5），
且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x﹣ 7y+3＝0 垂直，则 2a+3b 的值是
．
??- ??≥ 0
14．（ 5 分）已知实数
x，y 满足约束条件： { ??+ ??-
4
≤ 0 ，则
z＝
﹣
2
2x
+y
的最大值为
．
??≥ 1
3??
√1-2????????????????
15．（ 5 分）设 ≤θ＜ 2π，则
=
．
2
????????-????????
16．（ 5 分）在三棱锥 A﹣ BCD 中， BC＝ CD ＝ 2， BC⊥ CD，AB＝ AD ＝AC = √6 ，则三棱锥 A
﹣ BCD 的外接球的体积为
．
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
17．（ 12 分）已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，满足 Sn＝ 2an﹣ 2． （ 1）求数列 { an} 的通项公式； （ 2）设 bn＝（ 2n﹣ 1） an，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn．
18．（ 12 分）根据国家统计局数据， 1978 年至 2018 年我国 GDP 总量从 0.37 万亿元跃升至 90 万亿元， 实际增长了 242 倍多， 综合国力大幅提升． 将年份 1978，1988，1998，2008 ，
2018 分别用 1， 2， 3，4， 5 代替，并表示为 t； y 表示全国 GDP 总量，表中 zi＝ lnyi（i
第 3页（共 21页）
＝ 1， 2， 3， 4，5）， ??=
1 5
∑5??=1
???．?
??
??
??
∑5??=1
（
ti
2
-??）
∑5??=1 （ ti -??）
∑5??=1 （ ti-??）
（ yi-??）
（ zi-??）
3
26.474
1.903
10
209.76
14.05
（ 1）根据数据及统计图表，判断
^
??=
^
???+? ??与 ??=
???????（? 其中
e＝ 2.718…为自然对数的
底数）哪一个更适宜作为全国 GDP 总量 y 关于 t 的回归方程类型？（给出判断即可，不
必说明理由） ，并求出 y 关于 t 的回归方程；
（ 2）使用参考数据，估计 2020 年的全国 GDP 总量．
^^
^
^
线 性 回 归 方 程 ??= ????+ ??中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为 ： ??=
∑????=1(???-???)(???-???) ∑????=1(???-???) 2
^
，??=
??-
^
????．
参考数据：
n
4
en 的近似值
55
5
6
7
8
148
403
1097
2981
19．（ 12 分）已知抛物线
C： ??=
1 4
??2 在点
A 处的切线
l 与直线
l'： y＝ x+1 平行．
（ 1）求 A 点坐标和直线 l 的方程；
（ 2）求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．
20．（ 12 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 4，∠ DAB ＝60°，矩形 BDFE 的面积为 8，且平 面 BDFE ⊥平面 ABCD ．
（ 1）证明： AC⊥ BE；
（ 2）求二面角 E﹣ AF ﹣ D 的正弦值．
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21．（ 12 分）连淮扬镇高铁高邮段为了减少营运对附近居民造成的噪音干扰，计划在居民区
的一侧区域内建一道“消音墙” ，工程师在绘制建设规划平面图时发现，如果在图中适当
位置建立平面直角坐标系 xOy，“消音墙”曲线（墙体建筑厚度忽略不计）可以近视地看
作函数 ??(??)= ????+???3??+?1（ x∈[1 ， 3]，单位：千米）的图象．
（ 1）当 ??= 32时，求“消音墙”曲线上的点到
x 轴的最近距离；
（ 2）已知居民区均在所建平面直角坐标系中 x 轴的下方， 且位于 x∈[1，2]（ 单位： 千米）
地段居民最为集中，经环保部门测定，当该段“消音墙”曲线上任意两点连线的斜率都
小于﹣ 1 时，消音效果最佳．试问：当实数 a 在什么范围时，可使该段“消音墙”获得最
佳消音效果？
四．解答题（共 1 小题，满分 10 分，每小题 10 分）
22．（ 10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1 的参数方程为 {??= ??- √3（ t 为参数），直线 ??= ????
??= √3 - ??
l2 的参数方程为
{ ??=
?? 3??
（m 为参数）．设直线 l 1 与 l2 的交点为 P．当 k 变化时点 P
的轨迹为曲线 C1．
（Ⅰ）求出曲线 C1 的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
C2 的极坐标方程为
?? ???????+?(4?)? = 3 √2，点 Q 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直线 C2 的距离的最大值．
五．解答题（共 1 小题）
23．已知函数
2??f（ x） = {
1 ，??≥ 0 ， g（x）＝ f（ x） +f（ 1﹣x）．
-?? - 1 ，??＜0
（ 1）在给定坐标系中作出函数 g（x）的图象；
（ 2）若 h（ x）＝﹣ x2+λg（x）在 [ ﹣ 3， 1]上的最大值为
9 ，求 λ的值．
4
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第 6页（共 21页）
2020 年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（ 7）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）若复数 z 满足 ?? = ?2?019 + ?2?020 ，则 z＝（
）
1+??
A ．i
B ．2i
C． 1
D．2
【解答】 解：∵ ?? = ?2?019 + ?2?020 = i （ i2） 1009+（ i2）1010＝i ×（﹣ 1）+1＝ 1﹣ i， 1+??
∴ z＝（ 1+i ）（ 1﹣ i）＝ 2，
故选： D ．
2．（ 5 分）已知集合 A＝ { x∈N |x＞1} ，B＝ { x|x＜5} ，则 A∩ B＝（ ）
A ．{ x|1＜ x＜5}
B ．{ x|x＞ 1}
C． {2 ， 3， 4}
【解答】 解：∵集合 A＝ { x∈N|x＞ 1} ， B＝ { x|x＜ 5} ，
D． {1 ，2， 3，4， 5}
∴ A∩ B＝ { x∈N|1＜ x＜ 5} ＝ {2 ， 3， 4} ．
故选： C．
3．（ 5 分）函数
??(??=)
2 ( 1+????-
1)?????图?象??的大致形状是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】
解： ??(??=)
(
2 1+????-
1)?????=??11?-+?????????sinx，
则 f（﹣ x）=
11-+????--?????sin （﹣ x） =
????-1 ????+1
?（﹣
sinx） =
11-+?????????sinx＝ f（x ），
则 f（ x）是偶函数，则图象关于 y 轴对称，排除 B， D，
由 f（ x）＝ 0，得 1﹣ ex＝0 或 sinx＝ 0，
得 x＝ kπ， k∈Z ，即当 x＞ 0 时，第一个零点为 π，
当 x＝ 1 时， f（ 1） = 1-???sin1 ＜ 0，排除 A， 1+??
故选： C．
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→→
→
→
→→
4．（ 5 分）已知向量 ??， ??夹角为 30°， ??= (1 ，√2) ， |??| = 2 ，则 |2??- ??| = （ ）
A ．2
B．4
C． 2 √3
→
→
【解答】 解：根据题意， ??= (1 ，√2) ，则 |??|= √3 ，
又由向量
→→
??，??夹角为
→→
30°，则 ?????=
√3
×2
×
√3 2
= 3，
→
则 |2??-
→
??| =
√(2?→?-
→
??) 2
=
√4→??2 -
→→ →
4?????+ ??2 = 2，
故选： A．
??2 ??2
5．（ 5 分）双曲线 -
= 1 的渐近线方程为（
）
43
√3 A ．y＝± x
2
B ．y＝± 2x
1 C． y＝± x
2
??2 ??2
??
【解答】 解：由双曲线 ??2 - ??2 = 1 的渐近线方程为
y＝± x， ??
??2 ??2
双曲线 -
= 1 的 a＝2， b= √3，
43
√3 可得所求渐近线方程为 y＝± x．
2
故选： A．
D． 2 √7 2 √3
D． y＝± x 3
6．（ 5 分）已知△ ABC 的三个内角 A， B， C 所对边长分别为 a， b， c，满足（ a+c）（ a﹣ c）
＝ b（ a﹣ b），则∠ C＝（ ）
2?? A．
3
?? B．
2
?? C．
3
【解答】 解：∵（ a+c）（ a﹣ c）＝ b（a﹣ b），
∴可得 a2+b2﹣ c2＝ ab，
∴可得
cosC =
??2+??2-??2 2????
=
2????????=
12，
∵ C∈（ 0， π），
?? D．
6
∴ C= ??． 3
故选： C．
7．（ 5 分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若