概率论与数理统计：第二章、第三章和第四章(1)

概率论与数理统计 第二章和第三章
-、选择题
1. 设随机变量，独立同分布，且的分布函数为，则的分布函
数为( A ).
(A) (B) (C) (D) 2. 设与为两个分布函数，其相应的概率密度函数与是连续函数，
则必为概率密度的是 ( D ).
(A) (B)
(C) (D)
3. 设随机变量，记，则( B ).
(A) 随着的增加而增加 (B) 随着的增加而增加 (C) 随着的增加而减少 (D) 随着的增加而减少
4. 设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且
，则必有( A ).
(A)
(B) (C) (D)
二、填空题
1. 设二维随机变量服从正态分布，则. 答案：
2. 设随机变量服从参数为的指数分布，为常数且大于零，则
.
答案：
3. 设随机变量服从参数为的泊松分布，则.
X Y X F(x)Z=max{X,Y}2
F (x)F(x)F(y)2
1-[1-F(x)][1-F(x)][1-F(y)]1F ()x 2F ()x 1()f x 2()f x 12()()f x f x 122()()f x F x 212()()f x F x 1212()()()()f x F x F x f x +2
X~N(,) (0)μσσ>2
p=P(X +)μσ≤p μp σp μp σX 211N(,)μσY 222N(,)μσ12P(|X-|<1)>P(|Y-|<1)μμ12<σσ12σσ>12<μμ12μμ>(X,Y)N(1,0;1,1;0)P{XY-Y<0}=12
X 1a P{Y a+1|Y>a}=≤1
1e --X 12
P{X=E(X )}=
答案：
4. 设随机变量与相互独立，且他们均服从区间上的均匀分布，则
.
答案：
三、综合题（每题10分）
1. 设袋中有个红球，个黑球与个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以，
，分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. (I) 求； (II) 求二维随机变量的概率分布（即联合分布律）.
解： (I)
.................... （5 分） (II) 与的可能取值均为, .................... （7 分）
， ， ， 故的概率分布为
.................... （10 分）
112
e -X Y [0, 3]P(max{X,Y}1)=≤19
123X Y Z P{X=1|Z=0}(X,Y)122
12P{X=1,Z=0}466P{X=1|Z=0}=P{Z=0}912C ⨯
==⎛⎫
⎪⎝⎭
X Y 0,1,2331P{X=0, Y=0}=664⨯=12
231P{X=0, Y=1}=C 663⨯=2
21
P{X=0, Y=2}=69
⎛⎫= ⎪⎝⎭12131P{X=1, Y=0}=C 666⨯=12121P{X=1, Y=1}=C 669⨯=2
11P{X=2, Y=0}=636⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(X,Y)
2. 设二维随机变量的概率密度如下，试求.
解：.................... （4 分）
.................... （8 分）
.................... （10 分）
第四章
-、选择题
1. 设随机变量，，且相关系数，则( D ).
(A) (B) (C) (D)
2. 设随机变量与相互独立，且与存在，记，，
则为( B ).
(A ) (B) (C) (D)
3. 设随机变量与不相关，且，，，则为
( D ).
(A ) (B) (C) (D)
4. 设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布的分布函数，则为( C ).
(X,Y)P{X>2Y}{
2,01,010,(,)x y x y f x y --<<<<=
其它x>2y
P{X>2Y}=f(x,y)dxdy ⎰⎰1
20
=dx (2)x
x y dy --⎰⎰1
2057
=()824
x x dx -=⎰X~N(0,1)Y~N(1,4)XY 1ρ=P(Y=-2X-1)=1P(Y=2X-1)=1P(Y=-2X+1)=1P(Y=2X+1)=1X Y EX EY U=max{X,Y}V=max{X,Y}E(UV)EU EV ⋅EX EY ⋅EU EY ⋅EX EV ⋅X Y E(X)=2E(Y)=1D(X)=3E[X(X+Y-2)]-33-55X x-1
F(x)=0.3(x)+0.7(
)2
ΦΦ(x)ΦE(X)
(A ) (B) (C) (D)
5. 设连续型随机变量与相互独立且方差均存在，与的概率密度函数分别为
与，随机变量的概率密度为，随机变量
，则( D ).
(A ) (B) (C) (D)
二、填空题
1. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是，均方差是，利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在之间的概率. 答案：
2. 设二维随机变量服从正态分布，则. 答案：
三、综合题（每题10分）
1. 设A 和B 是试验E 的两个事件，且，，并定义随机变量，如下：
，
，
试证明若随机变量与不相关，则与必定相互独立。

证明：随机变量与不相关相关系数
相关系数
......................... （4 分）
由于，，
00.30.711X 2X 1X 2X 1()f x 2()f x 1Y 1Y 121
()[()()]2
f y f y f y =+2121
()2
Y X X =+1212EY >EY ,DY >DY 1212EY =EY ,DY =DY 1212EY =EY ,DY <DY 1212EY =EY ,DY >DY 73007006000~8600p 271(
)13
≥-(X,Y)2
2
N(,;,;0)μμσσ2
E(XY )=2
2
()μσμ+P(A)>0P(B)>0X Y {
1,
A 0,A X =
若发生
若不发生{
1,B 0,B Y =
若发生
若不发生X Y X Y X Y ⇔XY 0ρ=⇔Cov(X,Y)0=⇔E(XY)EX EY =⋅EX P(X=1)=P(A)=EY P(Y=1)=P(B)=
， ......................... （7分）
知：若随机变量与不相关，则，即事件A 和B 相互独立， 从而与必定相互独立。

......................... （10分）
E(XY)P(X=1,Y=1)=P(AB) X Y P(AB)=P(A)P(B)X Y。