最新1.4极限的性质与四则运算法则
极限的运算法则
2.型 有 理 式 及 无 理 式
1
方法：分子分母同时除以x 的最高次方幂
2
约最高次幂法
2x2 3
lim
x
3x2
1
.
(
型
)
[分析 ]当x时,分子 ,分母都趋于, 无穷大
先x用 2去 0 1 除分,转 子化 分为 母 ,再 无0求 2穷 .极 小限
2x2 3
lim
x
3x解2
1
lim
x
2 3
lim x1
x3 1
(x1)(x2) lx i1m (x1)(x2x1)
0 0
x2
lx im 1 x2
1 x1
求ln i m (n12n22 nn2) .
n时,是无穷小之和．
01 先变形再求极限.
02
说明:无穷多个无穷小 量之和不一定是无穷小
03
解l n i(n 1 m 2 n 2 2 n n 2 0)4 l n i 例1 m 2 n 2 n
3 x2 1 x2
例1
lim(2
x
3 x2 )
1
lim(3
x
x2 )
20 2 30 3
lim x 1 . ( 型 ) x x2 x 1
lim
x
1 x 1例 21
x
1
x2
1 x2
lim ( 1 x x
1 x2
)
0
lim (1
x
1 x
1 x2
)
例3
3x2 x2 lx im 4x3 2x3.(
型
)
lim
x
3 x
1
x2 2
2
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
1-4极限的运算法则
内, 则有 （证略 P20）
极限的变量代换
例7.求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 =
6 6
1 6
例.求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
例1. 求
解:
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是
的渐近线 .
y sin x x
二、 极限的四则运算法则
定理 3 . (1) 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 极限的变量代换
注意使用条件
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 矛盾.
x0 x( x 1 1) x0
1
1
x11 2
例.
求极限
lim x1
x
1 1
2 x2
1
解:原式＝lim ( x 1) 2 lim 1 1 x1 ( x 1)( x 1) x1 x 1 2
三、 复合函数的极限
定理4. 设在邻域 又
极限的性质与四则运算法则课件
21
7、其他 必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。 例 答案 1 练习 答案 1
10/2/2023
23
计算极限
思考题
10/2/2023
24
例5 解
10/2/2023
13
例6
解 先变形再求极限.
10/2/2023
14
备忘
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例
计算过程
注
10/2/2023
15
4、有理化法
若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之 有理化。
例
计算过程
练习 答案
当x→-∞时结果为-(a+b)，故x→∞ 时极限不存在
10/2/2023
17
例7 解
10/2/2023
19
5、通分法
例 答案 练习 答案 -1
10/2/2023
20
6、变量代换法 方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势也随之 改变)。
例
计算过程
练习 答案 不存在。
提示
取t满足xt=1，则 x→0-时t→-∞； x→0+时t→+∞。
10/2/2023
性质4
注 性则运算法则 根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数
ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计 算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些 已知结果来求函数极限。
定理
10/2/2023
2
推论1
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
1、代入法
况)时可直接代入。
例
答案 注意 代入时把所有x都换成x0，不能只代入一部分。
极限的四则运算
lim
x x2
x 1
1 x
2 x3
0
1
0,
lim x x 2 2 x
.
目录 上一页 下一页 退 出
B[ f (x)
A]
A[g( x ) B ]
g( x ) B
Bg ( x )
B g( x )
f ( x ) A A g( x ) B
g( x )
B g( x )
因 l i m g x ， B对于0正数 ， x x0
使B 得当1 0 时， 0 x x0 1
2
有 g x B,所 以B 2
u u0
则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u ).
x x0
u u0
证:
当
时, 有
对上述
当
时, 有
取
则当
时
故
因此①式成立.
此定理表明： 若f (u )与g ( x )满足定理的条件
则可作代换 u g ( x )把求 lim f [ g ( x )]转化为
xx0
lim f (u ), 这里u0 lim g ( x—) —极限过程的转化
x x0
x x0
1 0, 当0
x x0
1时, 有
f (x)
A
,
2
2 0, 当0 x x 0 2时, 有 g ( x ) B ,
2
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x 0 时,
[ f (x)
g ( x )] ( A
B)
.
22
lim [ f ( x ) g ( x )] A B .
由极限运算法则可知：
极限的运算法则与性质
解
( 型 ) x 时 , 分子 , 分母 .
3
先用 x 去除分 , 再求 .
3 5 2 3 3 2 2 x 3 x 5 2 x x . lim 3 lim 2 x 7 4 1 7 x 4 x 1 x 7 3 x x
7
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铃
小结:当 a 0 , b 0 , m 和 n 为非 0 0
解
n 时 , 是无限 ．
先变形再求极限.
12 n 1 2 n lim ( ) lim 2 2 2 2 n nn nn n
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
2 2 (x h ) x ( 5 ) lim ; h 0 h
1 1 1 ( 6 )lim . n 1 22 3 n n 1
23
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4 、 计 算 下 列 极 限
( 1 ) lim e x 1 ;
3. 函数极限的唯一性
定理 若 lim f ( x )存在, 则极限唯一.
17
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4. 函数极限的局部保号性
x x 0
如 果 lim f( x ) A ,且 A 0 ( 或 A 0 ), 那 么 f( x ) 0 ( 或 f( x ) 0 ).
存 在 常 数 0 ,使 得 0 当 x x 时 ， 有 0
n n 1 lim f ( x ) a ( lim x ) a ( lim x ) a 0 1 n x x 0 x x 0
1.4 极限运算的法则
1.4极限运算的法则定理1.11（极限的四则运算法则）若()()0lim ,lim x x x xf x ag x b →→==，则 （ⅰ）()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x a b →→→±=±=+⎡⎤⎣⎦；（ⅱ）()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x ab →→→=⋅=⎡⎤⎣⎦；（ⅲ）()()()()()000lim lim0.lim x x x x x x f x f x a b g x g x b→→→==≠ 证 只证（ⅰ）、（ⅱ）.（ⅰ）0,ε∀>因()0lim x x f x a →=，故对正数2ε，存在相应的正数1δ使得，当010x x δ<-<时，有().2f x a ε-< （1）因()0lim x x g x b →=，则对正数2ε，存在相应的正数2δ使得，当020x x δ<-<时，有 ().2g x b ε-< （2）取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<时，有()()()()().22f xg x a b f x a g x bεεε±-±≤-+-⎡⎤⎣⎦<+=故()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x a b f x g x →→→±=+=±⎡⎤⎣⎦.（ⅱ）因()0lim x x f x a →=,故()f x 在点0x 的某邻域内有界,即存在正数1δ使得,当010x x δ<-<时,有()1f x M ≤这里,1M 是一个正常数.取正数{}1max ,M M b=,则当1,.M M b M ≤≤于是，当010x x δ<-<时，有().f x M ≤ （3）0,ε∀>因()0lim x x f x a →=,故相应于正数2Mε,存在正数2δ使得,当020x x δ<-<时,有().2f x a Mε-<(4)又因()0lim x x g x b →=,故相应于正数2Mε,存在正数3δ使得,当030x x δ<-<时,有 ().2g x b Mε-< (5)取正数{}123min ,,,δδδδ=则当00x x δ<-<时,（3），（4），（5）两式都成立，此时，有()()()()()()()()()()()()().22f x g x ab f x g x f x b f x b ab f x g x f x b f x b ab f x g x b f x b b M M MMεεε-=-+-≤-+-=-+-=⋅+⋅=故()()()()0lim lim lim .x x x x x x f x g x ab f x g x →→→==⋅⎡⎤⎣⎦例1—4—1 求()1lim 21.x x →-解()()1111lim 21lim 2lim12lim 1211 1.x x x x x x x →→→→-=-=-=⋅-= 例1—4—2求3222234lim .53x x x x x x →-+--+ 解()()323222222lim 2342342lim.533lim 53x x x x x x x x x x x x x →→→-+--+-==--+-+例1—4—3 求233lim.9x x x →-- 解()()()323333lim13311limlim lim .9333lim 36x x x x x x x x x x x x →→→→→--====--+++ 例1—4—4 求3113lim .11x x x →⎛⎫- ⎪++⎝⎭解()()()()()()3211122111213lim lim 1111lim 22lim1.1lim 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→+-⎛⎫-= ⎪+++-+⎝⎭--===--+-+例1—4—5 求3232342lim.753x x x x x →∞-++- 解323332334242lim 333423lim lim .535375377lim 7x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫-+-+ ⎪-+⎝⎭===+-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭例1—4—6 （略）例1—4—7 求lim, 1.1nn n a a a →∞≠+ 解 若1a <，则lim 0.n n a →∞= ()lim lim0.1lim 1n nn nn n n a aa a →∞→∞→∞==++当1a >，111,lim 0.n an →∞<=lim11lim lim 1.1111lim 1nx nn nn x x a a a a →∞→∞→∞→∞===+⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦作业 p37 1.（1），（3），（5）.习题1—41. 计算下列极限（1）245lim 3x x x →+-；解()()22224444444lim 5lim lim5545lim 21.3lim 3lim lim343x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→++++====---- （3）22356lim 815x x x x x →-+-+；解()()()()22333235621lim lim lim .8153552x x x x x x x x x x x x x →→→---+-===--+--- （5）()22limh x h x h→+-；解()()222002limlim lim 22.h h h x h x xh h x h x hh→→→+-+==+= （7）221lim 21x x x x →∞---；解22221111limlim .112122x x x x x x x x→∞→∞--==----（9）3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； 解()()()()()()232112211132lim lim 11111221limlim .1311x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→+-⎛⎫-= ⎪---++⎝⎭---==-=++-++（11）()()525115lim x x x x x →+-++;解()()52345252502330115151010515lim lim10105lim 10.1x x x x x x x x x x xx x x x x x x x →→→+-++++++--=+++++=+（13）()2121limn n n →∞+++-；解()()2211211112lim lim lim 1.22n n n n n n n n n →∞→∞→∞-+++-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭。
函数极限的四则运算法则具体内容
函数极限的四则运算法则具体内容函数极限的四则运算法则是指利用函数极限性质推导出的一系列关于四则运算的法则。
这些法则是极其重要的，它们对于理解函数极限的概念和实质有着重要的意义。
因此，了解这些法则和它们的具体内容是理解极限的第一步。
函数极限的四则运算法则包括：一、加法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，则：$limlimits_{xrightarrowx_0}[f(x)+g(x)]=limlimits_{xrightarrowx_0}f(x)+limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)$即函数$f(x)+g(x)$在某点$x_0$处可求极限，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相加得到$f(x)+g(x)$在$x_0$处极限值。
二、乘法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，则：$limlimits_{xrightarrow x_0}[f(x)timesg(x)]=limlimits_{xrightarrow x_0}f(x)timeslimlimits_{xrightarrow x_0}g(x)$即函数$f(x)times g(x)$在某点$x_0$处可求极限，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相乘得到$f(x)times g(x)$在$x_0$处极限值。
三、除法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，且$limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)eq0$，则：$limlimits_{xrightarrowx_0}frac{f(x)}{g(x)}=frac{limlimits_{xrightarrowx_0}f(x)}{limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)}$即函数$frac{f(x)}{g(x)}$在某点$x_0$处可求极限，且函数$g(x)$在$x_0$处的极限值不为零，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相除得到$frac{f(x)}{g(x)}$在$x_0$处极限值。
1.4 极限的运算法则
lim 2 x 1
3
更一般的，我们有如下的计算公式：若
f ( x ) a0 x a1 x
n
n 1
an 1 x an ,
则
lim a0 x n a1 x n 1 an 1 x an f ( x0 ).
x x0
x x0
1 f ( x) 1
是无穷大.
简言之, 无穷大与无穷小互为倒数.
例如, 当 x 1 时, x 1 是无穷小, 因此
2
1 x2 1
是无穷大; 是无穷小.
当 x 时, e
x 1
1
是无穷大, 因此 e x 1
归纳: 极限的几种情形：
lim xn a
n
x x0
lim f x A
n
1 1 0 1. n n 1 !
例4 求下列极限 ⑴ lim 2 x 2 4 x 3 ;
x2
⑵ lim
x 1
2x 1
2
x x3
.
解
1 : lim 2 x 2 4 x 3 lim 2 x 2 lim 4 x lim 3 x2 x2 x2 x2
2 lim x
例6 求极限 lim 解
x2 x 1 x 2x 2x 1
3 2
x
.
分子分母均除以 x 3，得
1 1 1 2 3 2 x x 1 x x x lim 3 lim 0. 2 x x 2 x 2 x 1 x 1 1 1 1 2 2 2 3 x x x
4 x 2 x24
x2
06[1].极限四则运算法则与基本性质
![06[1].极限四则运算法则与基本性质](https://img.taocdn.com/s3/m/ecaf94ea998fcc22bcd10d88.png)
x→ x0 x→x0
欲证 0 < x x0 < δ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) < ε , ∵ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) ≤ f ( x) A + g ( x) B ,
x→ x0
当 0 < x x0 < δ
( x) A < ε 1 = A ε
于是对此 δ > 0 ,当 0 < x x0 < δ 时 :
( x) A =
≤ A ε A =ε ;
( x) A ( x) A = ( x) + A ( x) + A
∴ lim (x) = A .
x→x0
n1
h( x) a0 x n + a1 x n1 + + + an1 x + an = 或者说,当 f ( x) = , m m 1 g ( x) b0 x + b1 x + + +bm1 x + bm 且 g ( x0 ) = b0 x0 + b1 x0
m m 1
+ + +bm1 x0 + bm ≠ 0 时,
( x x0 ) h1 ( x) h1 ( x) h( x ) 于是 lim f ( x) = lim = lim = lim x → x0 x → x0 g ( x ) x → x0 ( x x ) g ( x ) x → x0 g ( x) 0 1 1
极限的性质与运算法则
限;
b.分解因子法求极限;
c.函数倒数求极限;
d.利用最高次幂求分段函数极限.
x 1
4x 3 x2 3x 2
解 因为分母的极限为0，不能直接使用运算法则。所以求极限的
方法取决于分子极限的状况。本题分子极限不等于零，这时我们 先来考虑原来函数倒数的极限。 2 2 lim ( x 3 x 2) x 3 x 2 x 1 0 lim 0 x 1 4x 3 lim(4 x 3) 43 x 1 即
项
§1.4 极限的性质与四则运算法则
• 一般地，当 x 时，有理分式（ a0 0,b0 0 ） • 的极限有以下结果：
0, n m ， a x n a1 x n1 an a0 ＝ , n m ， lim m m 1 x b x b x bm b0 1 , n m． • 练习：求下列极限
§1.4 极限的性质与四则运算法则
§1.4 极限的性质与四则运算法则
1.4.1 极限的性质
1.4.2极限四则运算法则
§1.4 极限的性质与四则运算法则
1.4.1极限的性质
性质1.5（唯一性）若极限 lim f (x) 存在，则极限值唯一。
f ( x) 存在，则函数 f (x） 性质1.6（有界性）若极限 xlim x
x2 3x 2 是x 1 4x 3
时的无穷小，由无穷小与无穷大的
倒数关系，得到
4x 3 lim 2 x3 x 3 x 2
§1.4 极限的性质与四则运算法则
例4
2 x 9 求 lim . 2 x3 x 2 x 3
解 显然, 分子与分母的极限都是0.
(x 3)( x 3) 原式 lim x 3 (x 3)( x 1)
1-4 极限的运算法则
求极限lim(2x3 − 3x2 + 2). 例4
x→1
解
lim(2x3 − 3x2 + 2) = lim(2x3 ) − lim(3x2 ) + lim2
x→1 x→1 x→1 x→1
= 2×13 − 3×12 + 2 = 1.
一般地，设有多项式 有理整函数 有理整函数) 一般地，设有多项式(有理整函数 则
1+ 2 x+2 = 2 = 1. = lim 2 x→ x + x + 1 1 1 + 1+ 1
例10 解
2x2 + x −1 . 求lim 2 x→∞ x −2
1 1 − 2 2x2 + x −1 x x = 2. lim = lim x→∞ x→∞ 2 x2 − 2 1− 2 x 2+
例11
f ( x) = a0 xn + a1 xn−1 +⋅⋅⋅ + an−1 x + an ,
x→x0
lim f ( x) = lim(a0 xn + a1 xn−1 +⋅⋅⋅ + an−1 x + an )
x→x0
x→x0 x→x0 x→x0
= a0 lim xn + a1 lim xn−1 +⋅⋅⋅+ an−1 lim x + an
x2 −1 . 求lim 3 x→∞ x + x + 2
解 分子分母同除以 3，再求极限，得 分子分母同除以x 再求极限，
1 1 − 3 x −1 lim 3 = lim x x = 0. x→∞ x + x + 2 x→∞ 1 2 1+ 2 + 3 x x x<0 x −1 2 f ( x) = x + 3 x − 1 , 求： f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ) lim x →0 x →+∞ x →−∞ x≥0 x3 + 1
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1.4极限的性质与四则运算法则第四节极限的性质与四则运算法则教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限；教学重点：有理函数极限的计算；教学过程：一、复习无穷大和无穷小的概念及性质二、讲解新课：一、函数极限的性质定理1：（保号性）设«Skip Record If...»，（i）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
（ii）若«Skip Record If...»，必有«Skip Record If...»。
证明：（i）先证«Skip Record If...»的情形。
取«Skip Record If...»，由定义，对此«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»。
当«Skip Record If...»时，取«Skip Record If...»，同理得证。
（ii）(反证法)若«Skip Record If...»，由(i)«Skip Record If...»矛盾，所以«Skip Record If...»。
当«Skip Record If...»时，类似可证。
注：(i)中的“«Skip Record If...»”，“«Skip Record If...»”不能改为“«Skip Record If...»”，“«Skip Record If...»”。
在(ii)中，若«Skip Record If...»，未必有«Skip Record If...»。
二、极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»存在，且«Skip Record If...»。
证明：只证«Skip Record If...»，过程为«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip RecordIf...»，对此«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，当«SkipRecord If...»时，有«Skip Record If...»，取«Skip RecordIf...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»存在，且«Skip Record If...»。
证明：因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»均为无穷小）«Skip Record If...»，记«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为无穷小，«Skip Record If...»。
推论1：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为常数）。
推论2：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为正整数）。
定理3：设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»。
证明：设«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为无穷小），考虑差：«Skip Record If...»其分子«Skip Record If...»为无穷小，分母«Skip Record If...»，我们不难证明«Skip Record If...»有界（详细过程见书上）«Skip Record If...»为无穷小，记为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，«SkipRecord If...»。
注：以上定理对数列亦成立。
定理4：如果«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»。
【例1】«Skip Record If...»。
【例2】«Skip Record If...»。
推论1：设«Skip Record If...»为一多项式，当«Skip Record If...»。
推论2：设«Skip Record If...»均为多项式，且«Skip Record If...»，则«Ski p Record If...»。
【例3】«Skip Record If...»。
【例4】«Skip Record If...»（因为«Skip Record If...»）。
注：若«Skip Record If...»，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。
【例5】求«Skip Record If...»。
解：当«Skip Record If...»时，分子、分母均趋于0，因为«Skip RecordIf...»，约去公因子«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»。
【例6】求«Skip Record If...»。
解：当«Skip Record If...»全没有极限，故不能直接用定理3，但当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»。
【例7】求«Skip Record If...»。
解：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，故不能直接用定理5，又«Skip Record If...»，考虑：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»。
【例8】若«Skip Record If...»，求a,b的值。
当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»【例9】设«Skip Record If...»为自然数，则«Skip Record If...»。
证明：当«Skip Record If...»时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：«Skip Record If...»«Skip Record If...»【例10】求«Skip Record If...»。
解：当«Skip Record If...»时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形：原式«Skip Record If...»。
【例11】证明«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的整数部分。
证明：先考虑«Skip Record If...»，因为«Skip Record If...»是有界函数，且当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，所以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得«Skip Record If...»。
三、课堂练习：四、布置作业：。