数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率

第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率

一、平面曲线的弧长

设平面曲线C=⌒AB

. 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =n

i 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n

1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。

定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0

T lim →s T =s ，

则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长.

定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线.

定理10.1：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=⎰'+'β

α22(t)y (t)x dt. 证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1.

于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1

在T ’所属的每个小区间△i =[t i-1,t i ]上，由微分中值定理得

△x i =x(t i )-x(t i-1)=x ’(ξi )△t i , ξi ∈△i ；△y i =y(t i )-y(t i-1)=y ’(ηi )△t i , ηi ∈△i . 从而C 的内接折线总长为s T =∑=∆+∆n

1i 2

i 2

i y x =∑='+'n

1

i i 2i 2)(ηy )(ξx △t i .

记σi =)(ηy )(ξx i 2

i 2

'+'-)(ξy )(ξx i 2

i 2

'+'，则s T =[]

∑=+'+'n

1

i i i 2i 2σ)(ηy )(ξx △t i .

又由三角形不等式可得：|σi |≤||y ’(ηi )|-|y ’(ξi )||≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|. 由y ’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0, 存在δ>0， 当T '<δ时，只要ηi , ξi ∈△i ，就有|σi |≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|<

α

-βε

, i=1,2,…,n. ∴|s T -∑='+'n

1

i i 2

i 2

)(ξy )(ξx △t i |=|∑=n

1

i i σ△t i |≤∑=n

1

i i |σ|△t i <ε,

∴0

T lim →s T =∑=→''+'n

1

i i 2i 20

T

)(ξy )(ξx lim △t i ，即s=⎰'+'β

α22(t)y (t)x dt.

注：1、若曲线C 由直线坐标方程y=f(x), x ∈[a,b]表示，则

看作参数方程：x=x, y=f(x), x ∈[a,b]. 因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=⎰'+b

a 2(x )f 1dx. 2、若曲线C 由极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]表示，则 化为参数方程：x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ, θ∈[α,β]. 由x ’(θ)=r ’(θ)cos θ-r(θ)sin θ, y ’(θ)=r ’(θ)sin θ+r(θ)cos θ, 得：

x ’2(θ)+y ’2(θ)=r 2(θ)+r ’2(θ)，∴当r ’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r ’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线， 其弧长公式为：s=⎰'+β

α22 )(θr )(θr d θ.

例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.

解：∵x ’(t)=a-acost; y ’(t)=asint. ∴x ’2(t)+y ’2(t)=2a 2(1-cost)=4a 2sin 22

t

. 其弧长为s=⎰2π

02

22t sin 4a dt=4a ⎰2π02t

sin d ⎪⎭

⎫ ⎝⎛2t =8a.

例2：求悬链线y=2

e e -x

x +从x=0到x=a>0那一段的弧长.

解：∵y ’=2e e -x x -. ∴1+y ’2=2

x

-x 2e

e ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+. 其弧长为s=⎰+a 0-x x 2e e dx=2

e e -a

a -.

例3：求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)的周长. 解：∵r ’(θ)=-asin θ. ∴r 2(θ)+r ’2(θ)=4a 2cos 22

θ

.

其周长为s=⎰2π02

θacos 2d θ=4a ⎰2π02θcos d ⎪⎭

⎫

⎝⎛2θ=8a.

注：∵s(t)=⎰'+'t

α

2

2

(t)y (t)x dt 连续，∴dt ds =2

2dt dy dt dx ⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛，

即有ds=22dy dx +. 特别称s(t)的微分dx 为弧微分. (如左下图)PR 为曲线在点P 处的切线，在Rt △PQR 中，PQ 为dx ，QR 为dy ，PR 则为dx ，这个三角形称为微分三角形。