第三章+离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(F
第3章 离散傅里叶变换及其快速算法
计算中， 在DFT计算中，不论是乘法和加法，运算量均与 计算中 不论是乘法和加法， N2成正比。因此，N较大时，运算量十分可观。例 成正比。因此， 较大时 运算量十分可观。 较大时， 计算N=10点的 点的DFT，需要 次复数相乘， ，计算 点的 ，需要100次复数相乘，而 次复数相乘 N=1024点时，需要 点时， 点时 需要1048576（一百多万）次复数乘 （一百多万） 如果要求实时处理， 法，如果要求实时处理，则要求有很高的计算速 度才能完成上述计算量。 度才能完成上述计算量。 反变换IDFT与DFT的运算结构相同，只是多 与 的运算结构相同， 反变换 的运算结构相同 乘一个常数1/N，所以二者的计算量相同。 乘一个常数 ，所以二者的计算量相同。
nk X (k ) = ∑ { Re [ x( n)]Re WN − I m [ x(n)]I m [WNnk ] n =0 N −1
(
+ j Re [ x(n)]I m
(
[ ] [W ]+ I
nk N
)
nk [ x( n)]Re WN } m
[ ])
又每个复数相加包括2个实数相加，所以，每计算一个 X（ k） 要进行 次实数相乘和 次实数相乘和2N+2（ N-1） =2（ 2N-1） 次实 （ ） 要进行4N次实数相乘和 （ ） （ ） 数相加，因此，整个DFT运算需要 2实数相乘和 （2N-1） 运算需要4N 实数相乘和2N（ 数相加，因此，整个 运算需要 ） 次实数相加。 次实数相加。
虽然频谱分析和DFT运算很重要 ， 但在很长 运算很重要， 虽然频谱分析和 运算很重要 一段时间里， 由于DFT运算复杂 ， 并没有得到 运算复杂， 一段时间里 ， 由于 运算复杂 真正的运用， 真正的运用 ， 而频谱分析仍大多采用模拟信号 滤波的方法解决， 直到1965年首次提出 年首次提出DFT运 滤波的方法解决 ， 直到 年首次提出 运 算的一种快速算法以后， 情况才发生了根本变 算的一种快速算法以后 ， 人们开始认识到DFT运算的一些内在规律 ， 运算的一些内在规律， 化 ， 人们开始认识到 运算的一些内在规律 从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算 方法——快速付里变换（FFT）算法。FFT的出 快速付里变换（ 方法 快速付里变换 ）算法。 的出 现 ， 使 DFT 的 运 算 大 大 简 化 ， 运 算 时 间 缩 短 二个数量级， 一 ～ 二个数量级 ， 使 DFT的运算在实际中得到 的运算在实际中得到 广泛应用。 广泛应用。
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法
~ ~ 设周期序列 x 1( n) 和 x 2 ( n) 的周期均为N，且：
~ X 1(k ) DFS[~1(n)], x
~ X 2(k ) DFS[~2(n)]; x
~3(n) a~1(n) b~ 2(n) （a，b均为常数） x x 如果： x
则有： ~ ~ ~ ~1(n) b~2(n)] aX 1(k ) bX 2(k ) X 3(k ) DFS[ax x
1 2
③周期卷积满足交换律。 同理可得： 如果： ~(n) ~1(n) ~ 2(n) y x x
则有：
1 N 1 ~ ~ 1 ~ ~ ~ Y (k ) DFS[ ~1(n) ~ 2(n)] X 1(l ) X 2(k l ) X 1(k ) * X 2(k ) x x N l 0 N
~(n) 1 x N ~(k) j N kn ...(3.2.1a) x e
k 0 N 1 2
两边 e
N 1
j
2 nr N
并从n=0～N-1求和得：
N 1 N 1 2 2 ~ j ( k r ) n ~(n) j N nr 1 x e X(k)e N N n 0 k 0 n 0 N 1 1 N 1 j 2N ( k r ) n ~ X(k)[ e ] （交换右边求和次序） N n 0 k 0 ~ X(r)
~ ~ kn X 1(k ) X 2(k )W N
k 0 k ( nmr ) N
N 1
W
]
~1(m) ~ 2(n m lN ) x x
m 0
1 N
W
k 0
N 1
k ( nmr ) N
1, r (n m) lN 0, r (n m) lN
第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法-庄
频域
离散
周期
时域的离散造成频域的延拓（周期性）。根据 对偶性，频域的离散也会造成时域的延拓（周 期散化，
令 d 0 从而 k 0
k 2F0 , N
j 0 kT N 1 n 0
s 0
n 0
N 1
j
2 kn N
0 k N 1
N称为DFT变换区间长度， N M
令
WN e
j
2 N
，记作旋转因子
傅里叶变换与逆变换对为：
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN n 0 N 1 N 1
0 k N 1 0 n N 1
N
示周期序列的频谱特性，即DFT能够描述FT的特征
24
2.DFT与FT、ZT之间的关系
有限长序列
x(n) n 0,1, 2, M 1
N M
DFT与ZT、FT、DFS
X ( z ) ZT [ x(n)] X (e ) FT [ x(n)]
j j
n
x(n) z
7
2 时域：以Ts 采样，频域延拓周期 s Ts 2 频域：以0 采样，时域延拓周期T0 0
x(n)
T0 1 F0
Ts
1 fs
t n
| X (e
jk0T
)|
s
2 Ts
0
2 T0
k
8
四种形式归纳
类型
傅里叶变换 傅里叶级数
时间函数
连续 非周期
频率函数
N
(1)
1-z -8 X(z)= , -1 1-z
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案第3与4章
x 6 ( n ) ID [X ( k F ),]n T 0 ,1 ,2 , ,5
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
解：直接根据频域采样概念得到
x6(n ) x(n 6 l)R 6(n )R 6(n )R 2(n ) l
［例3.4.3］ 令X(k)表示x(n)的N点DFT， 分别证明： （1） 如果x(n)满足关系式
yc(1)
x(1)
x(0)
x(L1)
x(2)
h(1)
yc(2)
x(2)
x(1)
x(0) x(3) h(2)
yc(L1) x(L1) x(L2) x(L3) x(0)h(L1)
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
循环卷积定理： 若
yc(n)=h(n) L x(n) 则
~xN(n) x(niN) n
会发生时域混叠， xN(n)≠x(n)。
通过频率域采样得到频域离散序列xN(k)， 再对xN(k)进行 IDFT得到的序列xN(n)应是原序列x(n)以采样点数N为周期进行 周期化后的主值区序列， 这一概念非常重要。
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
(FFT)
3.1.2 重要公式
1） 定义
N1
X(k)DF [x(T n)N ] x(n)W N k n k=0, 1, …, N－1 n0
x(n)ID[X F(kT )N ]N 1N k 0 1X(k)W N kn
2） 隐含周期性
k=0, 1, …, N－1
N 1
N 1
X (k m ) N x (n ) W N (k m )n N x (n ) W N k nX (k )
《数字信号处理》C3离散傅里叶变换及快速算法
j
n
x(n) z n
M 1 n 0
n x ( n ) z jn
X ( e ) DTFT [ x ( n )]
n
x ( n )e
M 1 n 0
jn ( ) x n e
2 j X ( e ) FT [ x N ( n )] N ( k ) DFS [ x N ( n )] X X ( k ) DFT [ x ( n )]N
n 0
N 1
n
1 n0 N
N 1
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n z
1 N 1 N 1 nk n X (k ) WN z N k 0 n 0
N 1 1 N 1 k 1 n X (k ) WN z N k 0 n 0
(n) ak e x
k 0 N 1 j 2 kn N
2 2 T 0 0T NT N
为什么是有限项之和？ 如何求系数？
( n )e x
n 0
N 1
j
2 mn N
2 2 j kn j mn ak e N e N n 0 k 0 N 1 N 1
N 1
ak ak lN
周期
3.1 周期序列的傅里叶级数
数字信号处理课后第三章习题答案
1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
（8） 解法一
直接计算：
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)
n 0
N 1
kn x8 (n)WN
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
（10） 解法一
X (k )
n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所
以
x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0
第三章-离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
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x(n)
IDFT[ X (k)]N
1 N
N 1
X (k)WNk n ,
k 0
n 0, 1,
, N 1
也可以表示为矩阵形式:
x DN1 X
DN1称为N点IDFT矩阵，定义为
1
DN1
1 N
1 1
1
1 WN1 WN2
WN( N 1)
线性性质 DFT的隐含周期性 循环移位性质 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性 循环卷积定理 离散巴塞伐尔定理
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① 线性性质 设有限长序列x1(n)和x2 (n)的长度分别为N1和N2 ， x(n) ax1(n) bx2 (n) ，a和b为常数。
则
)
N M
xN (n) x((n))N X (k ) X ((k ))N
有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 ~x(n) 的DFS系数 X~(k ) 的主值序列
返回
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DFS与FT之间的关系:
M 1
X (k) DFS[xN (n)] x(n)WNkn n0
xN (n) xN (n)RN (n)
主值区间序列 N M , xN (n) x(n)
返回
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x8 (n) x4 (n)
返回
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周期序列DFS: N 1 X (k ) DFS[ xN (n)] xN (n)WNkn n0
M 1
x(n)WNkn
k
返回
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xN (n)
n
N
0
N
离散傅里叶变换及其快速算法
ak 也是以 N周期的周期序列，满足 ak
~ X (k ) Nak
ak 。令 ln
（3.5）
将式（3.4）代入，得
N 1 j kn ~ ~ N X ( k ) x ( n )e n 0 2
k
（3.6）
~ X (k ) 式中， 是以N为周期的周期序列，称为
~ x (n) 的离散傅里叶级数，用DFS表示。
~(k )， N 相位为 幅度为 X
~ arg[ X (k )]
。
基波分量的频率为 2 N ，幅度为
~ 为arg[ X (1)]
~ X (1) N
，相位
。
x ( n ) 以 N 8 为周期 n) 【例3-1】设 x(n) R4 (，将
进行周期延拓，得到周期序列 幅频特性。
~ x ( n)
2016-12-8
解：根据定义求解
14 12 e 8e
j
j
2 k 6
10e
j
j
2 2k 6 j 2 5k 6
2 3k 6
6e
2 4k 6
10e
X (0) 60 X (3) 0
X (1) 9 j 3 3 X (4) 3 j 3
X (2) 3 j 3 X (5) 9 j 3 3
x 3(n )
当k取奇数（ k=2m+1 ，m=0，1，…， N/4-1 ）时
N n(2 m 1) X 1(2m 1) x 1(n ) x 1 n 4 W N 2 n 0 N 4 1 N n mn x 1(n ) x 1 n W W N N 4 4 n 0 2
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数。
解：3.2 （1）设为实周期序列，证明的傅里叶级数是共轭对称的，即。
（2）证明当为实偶函数时，也是实偶函数。
证明：（1）（2）因为实函数，故由（1）知有或又因为偶函数，即，所以有3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号。
利用DFS的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数，确定以下式子是否正确。
（1），对于所有的k；（2），对于所有的k；（3）；（4），对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为一个周期为N＝10的周期序列，故也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，是共轭对称的，即应有，这里不一定是实数序列。
（3）正确。
因为在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有（4）不正确。
根据周期序列的移位性质，＝对应与周期序列，如图P3.3_1所示，它不是实偶序列。
由题3.2中的（2）知道，不是实偶序列。
3.4 设，，求，并作图表示和。
解：和的图形如图3.4_1所示：3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列和，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积，并图表示。
解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积的过程，可以看出，是延时1的结果，即。
3.5 计算下列序列的N点DFT：(1)(2)(3)(4)解：（1）（2）（3）（4）3.7 图P3.7表示的是一个有限长序列,画出和的图形。
（1）（2）解：和的图形如图P3.7_1所示：3.8 图P3.8表示一个4点序列。
（1）绘出与的线性卷积结果的图形。
（2）绘出与的4点循环卷积结果的图形。
（3）绘出与的8点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷积之间的关系。
解：（1）图P3.8_1（1）所示的是与的线性卷积结果的图形。
（2）图P3.8_1（2）所示的与的4点循环卷积结果的图形。
第3章离散傅里叶变换及其快速算法.
第3章离散傅里叶变换及其快速算法3. 1离散傅里叶变换（DFT）3. 2利用DFT做连续信号的频谱分析3.3快速傅里叶变换（FFT）3.4 FFT应用中的几个问题散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理.但是，直至上个世纪六十年代・由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。
近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
3. 1散傅里叶变换（DFT）第一章中，我们学习离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）,我们知道DTFT在频域是连续的周期函数，不便于计算机计算和存储；对于有限长序列我们还可以用离散傅里叶变换（DFT）反映其特点，且DFT便于计算机处理。
为了便于更好地理解DFT及离散傅里叶级数（DFS）的槪念，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
24傅里叶变换的几种形式:1.非周期连续时间信号的傅里叶变换6XMG)= (必"心2. 周期连续时间信号的傅里叶变换周期为Ti 的连续时间信号在满足狄里赫利条件时可展 开为指数形式的傅里叶级数！丘⑴=£/叫昭=¥&«-81I图3・1 (b)周期连续时间信号的傅里叶变换6t tJ fb \4*4 h /W/IlfK1 I 'N . ,1 丨■ %h/ tt• 9 ■ .・ % 1*ft .A-TT°•—n a3. 非周期离散时间信号的傅里叶变换X(J")=工兀x(n) = ——J X o=G7\X("Q)是以2”周期的周期艱4. 周期离散时间信号的傅里叶变换根据前面三种傅里叶变换可发现如下规律：如果信号 时域离散，则频域表现为周期性频率函数；相反如频域离 散，则时域表现为周期性时间函数.同样可见： 连续对应另一个域的非周期- 因此，我们可以猜想到一个周期离散序列的频谱必定是 离散的、周期的，(如图3. 1 (d))所示。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
华北电力大学自动化系
3
3.1 问题的提出：可计算性
( k )W kn X N
k 0
21
N 1
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DFS 定义：反变换
DFS 变换对：时域周期序列与频域周期序列间的关系
N 1 X ( k ) x ( n)W N kn n 0 1 N 1 x ( n) X ( k )W N kn N k 0
其中：
2 N
称为频域中的取样间隔，
Im
也称为频率分辨率。
2 k N
1
2 N
Re
Z平面
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17
DFS 定义：正变换
X ( z ) |z e j X (e j ) x (n )e jn
n 0 N 1
X (e j ) |
则
2 k N
X (e
华北电力大学自动化系
5
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （2）
1. 连续信号（非周期）的付氏变换
x(t ) X ()
t
x(t ) X (),
1 x(t ) 2
t
X () x(t )e jt dt
X ()e d
jt
时域连续函数造成频域是非周期的谱 时域的非周期造成频域是连续的谱
第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)2
0 WN 0 WN 0 WN
2 WN
X (0) X (1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7)
20
W N0
0 WN 0 WN 0 WN
1 WN
W N2
3 WN
W
2 N
顺 十进制数I 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 1 1 1 1
序 二进制数 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
X (k )
N /2 1
l 0
x1 (l )W
kl N /2
W
k N
N /2 1
l 0
kl x2 (l )WN /2
k 0,1,, N 1
(3.4.4)
上式说明，按n的奇偶性将x(n)分解为两个N/2长的序列 x1(l)和x2(l)，则N点DFT可分解为两个N/2点DFT来计算。
2 2
而当N =211=2048时有
2
N2 N2 2 N 2 2048 ≈ 372.37 N CM (2) 11 M M 2
14
3. DIT-FFT的运算规律及编程思想
（1）原位计算 （2）旋转因子的变化规律 （3）蝶形运算规律 （4）序列的倒序 （5）编程思想
15
（1）原位计算
用X1 (k )和X 2 (k )分别表示x1 (l )和x2 (l )的N / 2点DFT，即 X1 (k ) DFT[ x1 (l )]N / 2
N / 2 1
l 0
kl x1 (l )WN /2
k 0,1,,
N 1 2
(3.4.5)
离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
0
2 （弧度，数字频率）
0
fs /2
fs f （Hz，模拟频率）
0
s /2
s （弧度/秒，模拟角频率）
25
DFS 定义：几点说明
频率成份
•
直流分量：
当 k=0 时， 号的直流分量（DC
N 1
X%(0) x%(n)WN 0n n0
Component），
N 1
x%(n)
，n此0是时信X%(得号0)到/的N的平傅均里值叶；级数的系数称为信
1
X%(k
)e
j
(
2 N
)km
N k0
变量m替换为n，得
x%(n)
1 N
N
1
X%(
k
)e
j
(
2
N
) kn
k0
1 N
N 1
X%(k )WN kn
k0
21
DFS 定义：反变换
DFS 变换对：时域周期序列与频域周期序列间的关系
N 1
X%(k ) x%(n)WN kn
n0
x%(n)
1 N
N 1
5
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （2）
1. 连续信号（非周期）的付氏变换
x(t)
X ()
t
x(t) X (),
t
x(t) 1 X ()e jt d
2
X () x(t)e jt dt
时域连续函数造成频域是非周期的谱 时域的非周期造成频域是连续的谱
6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
（1）必须是时间限x制(n（) 有 限 时宽0）,
其它
0
离散傅里叶变换及快速算法
序列分解为N个谐波相关的复指数之和。将
j 2N nk
X (k ) x(n)e
, k 0,1,2,
（5-3）
称之为离散傅里叶级数DFS的k次谐波系数。是一个基波周 期为N的周期序列。
X (k ) X ( k N )
§5．离散傅里叶变换及快速算法
在DFS变换中引入复数
k
X ( jk0 )e jk0t
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp
时域信号 连续的 周期的
频域信号
非周期的
离散的
3.离散时间、连续频率的傅立叶变换 – DTFT（离散时间傅立叶 变换） X e 或 X (e ) x(nT) T
j jT
---T 0 T 2T
正 : X (e
WN e
j 2N
将DFS正反变换描述为
nk 正 : X (k ) DFSx (n) X (k ) x (n)WN n 0
N 1
1 N 1 反 : x (n) IDFS X (k ) x (n) X (k )WN nk N k 0
（5-5）
WN
的性质: 1 N 1 ( nm) k 1 n m lN 正交性: WN 0 n m lN N k 0
周期性:
W
k mN N
W
k N
l , m, N / 2, k / 2均为整数
共轭对称性（偶序列）: 可约性：
k N (WN )* WN k
k mk k 2 WN WmN WN // 2
§5．离散傅里叶变换及快速算法
2.离散傅里叶变换（DFT）
但对于数字系统，无论是Z 变换还是序列傅立叶变换的适用方面都存 在一些问题，重要是因为频率变量的连续性性质（DTFT变换出连续频 谱），不便于数字运算和储存。 参考DFS，可以采用类似DFS的分析方法解决以上问题。可以把有限 长非周期序列假设为一无限长周期序列的一个主值周期，即对有限长非 周期序列进行周期延拓，延拓后的序列完全可以采用DFS进行处理，即 采用复指数基频序列和此有限长时间序列取相关，得出每个主值在各频 率上的频谱分量以表示出这个“主值周期”的频谱信息。 由于DFT借用了DFS，这样就假设了序列的周期无限性，但在处理时 又对区间作出限定（主值区间），以符合有限长的特点，这就使DFT带 有了周期性。另外，DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所 以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样， 此时采样频率等于序列延拓后的 周期N，即主值序列的个数。
第03章-5快速傅里叶变换(FFT)PPT课件
(3.68)
(3.69)
(3.70) 这样，用式(3.67)～(3.70)4个公式就可计算图3.15中的两组N/2点 DFT。图3.16所示的是其中一组G(k)的计算。
将图3.16与图3.15所示的信号流程图合并，便得到图3.17所示的信 号流程图。
因为N=8，所以上图中N/4点的DFT就是2点的DFT，不能再分解了。
前面两种算法特别适用于N等于2的幂的情况。 对于N为合数的情况，本章也将介绍两种处理方法。
3. 5. 2 时间抽选基2FFT算法(库里—图基算法) 这种算法简称为时间抽选FFT算法，其基本出发点是，利用旋 转因子WNk的对称性和周期性，将一个大的DFT分解成一些逐次 变小的DFT来计算。 分解过程遵循两条规则：
大多数情况下复数乘法所花的时间最多，因此下面仅以复数乘 法的计算次数为例来与直接计算进行比较。
直接计算DFT需要的乘法次数为αD=N2，于是有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例如，当N=1024时，则：
205，即直接计算DFT所需复数乘法
次数约为FFT的205倍。显然，N越大，FFT的速度优势越大。
在导出FFT算法之前，首先来估计一下直接计算DFT所需的计算量。 DFT的定义
其中
将DFT定义式展开成方程组 将方程组写成矩阵形式 用向量表示
用复数表示：
从矩阵形式表示可以看出，由于计算一个X(k)值需要N次复乘法和 (N-1)次复数加法，因而计算N个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次 复加法。每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加 法包括2次实数加法，因此计算N点的DFT共需要4N2次实数乘法和 (2N2+2N·(N-1))次实数加法。当N很大时，这是一个非常大的计算量。
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期延拓，得到
xN (n) x((n))N
定义x(n)的循环移位序列为
y(n) xN (n m)RN (n) x((n m))N RN (n) 上式表示将序列x(n)以N为周期进行周期延拓，再左移m个
单位并取主值序列， 就得到x(n)的循环移位序列y(n)。
下图中(a)、(b)、(c)和(d)分别描述了x(n)、xN (n) 、 xN (n m)和y(n)。图中M=6，N=8，m=2。
线性性质 DFT的隐含周期性 循环移位性质 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性 循环卷积定理 离散巴塞伐尔定理
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① 线性性质 设有限长序列x1(n)和x2 (n)的长度分别为N1和N2 ， x(n) ax1(n) bx2 (n) ，a和b为常数。
则
X (k) aX1(k) bX2 (k) , k 0, 1, 2, , N 1
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3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系
DFT有明确的物理意义，我们可以通过比较序列的DFT、FT、
ZT，并将DFT与周期序列的DFS
假设序列的长度为M，N≥M
将N点DFT和FT、ZT的定义重写如下
M 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
n0
M 1
X (ej ) FT[x(n)] x(n)e jn
n0
M 1
X (k) DFT[x(n)]N x(n)WNkn ,
k 0,1, , N 1
n0
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比较前面三式，得到
X (k) X (z)
，k=0, 1, 2, …, N-1
j2 k
ze N
X (k) X (ej ) 2k ，k=0, 1, 2, …, N-1 N
点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。
j ImZ
2 3
4
5 6
1 2
N
k=0 ReZ
7 (N-1)
DFT与z变换
X(ejω)
X(k)
0
o
2
0
N 1 k
DFT与DTFT变换
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变量
、f k
周期
2
s、fs N
分辨率
2
N
fs N
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DFT的主要性质
与序列的FT类似，DFT也有许多重要的性质。其中一些性质 本质上与FT的相应性质相同，但是某些其他性质稍微有些 差别。
X(k + mN) = X(k) 称X(k)的这一特性为DFT的隐含周期性。
物理意义：X(k)为 X (e j )在区间 [0, 2 ]上的N点等间隔采
样。 X (e j )以2π为周期，X(k)以N为周期。
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③ 循环移位性质
⑴ 有限长序列的循环移位
设序列x(n)的长度为M，对x(n)以N（N ≥M）为周期进行周
x(n)的16点DFT为
X (k)
7
W1k6 n
n0
1 W1k68 1 W1k6
j28k
1 e 16 j2k 1 e 16
j7 k
e 16
sin k 2
sin k
16
, k 0,1, 2, ,15
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X (k) 是 X (e j ) 在频率区间上的等间隔采样
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模拟域 FT、LT
频率域 Ω、s:连续
时间域
n:离散
数字域 FT、ZT
频率域
ω、z：连续
数字域
DFT
频率域
k：离散
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离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域 表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程 学习的一大重点。
本节主要介绍
3.1.1 DFT定义 3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系 3.1.3 DFT的矩阵表示
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3.1.1 DFT定义
设序列x(n)长度为M，定义x(n)的N点DFT为
N 1
j2k n
X (k) DFT[x(n)]N x(n)e N ,
n0
k 0, 1,
, N 1
第三章 离散傅里叶变换(DFT) 及其快速算法(FFT)
➢ 3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义 ➢ 3.2 DFT的主要性质 ➢ 3.3 频域采样 ➢ 3.4 DFT的快速算法——快速傅里叶变换(FFT) ➢ 3.5 DFT(FFT)应用举例
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
时间域
t:连续
式中N ≥ max[N1, N2 ]，X1(k) DFT[x1(n)]N , X2 (k) DFT[x2 (n)]N。
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② DFT的隐含周期性 在第一节中，DFT和IDFT只定义了X(k)和x(n)在变换区间上 的N个值。如果使DFT中k的取值域为[-∞，∞]，就会发现 X(k)是以N为周期的，即
N 1
X (k)WNk n ,
k 0
n 0, 1,
, N 1
长度为 N的离 散序列
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例3.1： x(n) R8(n)，分别计算x(n)的8点、16点DFT。 解: x(n)的8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 n0
j2k n
e8
8, 0,
k 0 k 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
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序列的循环移位过程示意图
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⑵ 循环移位性质
设序列x(n)长度为M，x(n)的循环移位序列为 y(n) x((n m))N RN (n) ， N ≥M
则
Y (k) DFT[ y(n)]N WNk m X (k)
④ 复共轭序列的DFT
结论： (1)序列的N点DFT是序列傅里叶变换在频率区间[0，2] 上的N点等间隔采样，采样间隔为2 /N。 (2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔 采样，频率采样间隔为2 /N。
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• 序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等 间隔采样；
• X(k)为x(n)的傅立叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ]上的N
式中，N称为离散傅里叶变换区间长度，要求N ≥ M。为
书写简单，令
WN
e
j2 N
，因此通常将N点DFT表示为
N 1
X (k) DFT[x(n)]N x(n)WNk n , k 0, 1, n0
定义X(k)的N点离散傅里叶逆变换(IDFT)为
, N 1
x(n) IDFT[X (k)]N
1 N