固体物理-金属电子理论共74页文档
金属电子论
导热
电子是热的载体，金属受热或存在温度场时，在
温度场驱动下，电子会发生定向漂移运动，从而 将热量从高温端传向低温端，形成导热现象
由于导电和导热均是源于外场驱动电子的定向漂
移运动，另一方面，金属中含有大量的电子，因 此，金属既是电又是热的良导体
延展性
对于金属，自由电子间只有胶合作用，当金属晶 体受到外力作用时，金属阳离子及原子间易产生 滑动而不易断裂，因此金属经机械加工可加工成 薄片或拉成金属丝，表现出良好的延展性
近年来，凝聚态与材料物理领域中很多重要的发现，如巨磁电 阻、庞磁电阻、高温超导、多铁效应以及新的量子态等，对这 些新效应的了解均是以电子的状态和行为的了解为基础的。
从本章开始，我们将转向对固体中电子的状态和行为的分析和 讨论。遵循先易后难的原则，本章介绍金属中的电子状态和行 为，而对周期性势场中运动的电子状态和行为将在第下章介绍。
(r)
其中V0为电子在金属中的势 能，为电子的本征能量。
取 V0 0,则有：
h2 2 (r) (r)
2m
该方程的解为： (r) Ceikr其中＝ h2k 2
2m
采用周期性边界条件：
(x L, y, z) (x, y, z) (x, y L, z) (x, y, z) (x, y, z L) (x, y, z)
§1.2 金属自由电子气的量子理论
§1.2.1电子状态和能量
晶体运动的电子虽然在晶体中是自由的，但活动范围也只 能限制于晶体内部，相当于在无限深势井中的粒子一样。
z y
x 无限深势阱
在体积V=L3内有 N个自由电子， 其中L为立方边
的边长
单电子的状态用波函数描述，薛定谔方程为
h2 2m
固体物理第六章 金属电子论
由于发射热电子的能量必须大于势井的深度，所以要求：
1 mV 2 x 2
实际上， 所以有：
(
1 mV 2
2
E F ) k BT
mv 2 2 k BT
m 3 E F / k BT dn 2 ( ) e e 2
dvx dvy dvz
同经典情况 完全类似。 同样可以得出量子理论所相应的电流表示式：
V dk 在体积 dk 内包含的量子态数为：2 3 ( 2 )
统计平均的电子数为： f ( E ) 2V 3 dk (2 )
• 能级E上的平均电子数为： f ( E ) N ( E )dE
2. 费米能级
• T=0K时 • ∴ • T≠0K时
EF
的确定：
0 EF EF 此时f(E) ≈1
电子系统的热容为： CV
近自由电子为例：
[
2
3
0 N ( EF )(k BT )]k B
讨论晶体中电子的热容量： 对于近自由电子：N ( E ) 4V ( 2m ) 3 / 2 E 1/ 2
h2
在费米能级处：
N(E0 ) F
3N 2E0 F
2
k BT 代入上面的公式得： CV N 0 ( 0 )k B 即： Cv T 2 EF 可见，与温度成线性关系。 而前面讨论晶格振动时， bT 3 T 得到晶格振动的热容量是 在一般温度下： 与温度的三次方成正比。 而当温度接近0K时： 物理解释是什么？ bT 3 T
• 定积分： • 所以： • 附近展开
1 2 (e 1)(e 1) d 3
2
N Q( EF )
1 2 Q( EF )( k BT ) 2 6
固体物理第二章金属自由电子论
原子核
价电子 芯电子
3
（3）弛豫时间近似 在dt时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为 dt/τ 其中τ称为弛豫时间：电子在与离子实的相继两次碰撞之 间的平均自由时间。 不论碰撞前如何近似，认为与离子实碰撞后电子速度的统 计分布将恢复到平衡态——近似认为电子经历一个弛豫时 间τ后将恢复到平衡态。
1 ❖ 假设二： 电子按能量的分布遵从Fermi-Dirac统计； f(E)e(E)/kBT 1
❖ 假设三：电子在一有限深度的方势阱中运动，电子运动就是个一维方势井问题，
电子间的相互作用忽略不计；
能态问题，就是k的问题！
电子密度
波矢k密度
18
§2.2 Sommerfeld的自由电子论
思路回顾
1. 假设在E~E+dE的区间里有dN个电子，那么dU可以写成： 2. dN=dE内电子密度× dE
欧姆定律E=j ，其中E为外加电场强度、为电阻率、j 为电流密度。
电流的定义是什么?
9
特鲁德模型的成功之处 --成功地解释了欧姆定律
金属中取一垂直于电流线的面元S。从宏观的平均 效果来看，我们可以认为所有自由电子以同一速度u运动。
q neutS
ut
I q neuS
t
S
j I neu S
ne： 1202 /cm 3或 1203 /cm 3
即金属中传导电子的浓度比标准状况下经典理想气体的浓 度约大数千倍 。
由此可见，Drude 等人将金属中这种高浓度的传导 电子看成自由电子气体确实是一个极其大胆的简化。
2.特鲁德模型的成功之处 --成功地解释了欧姆定律
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2 f 2 q k 3 0 () k d k / ( 2) * 3 m E 2
2
2 2 2 f 8 q k 3 0 () k d k / ( 2) * 2 正比, 服从欧姆定律, 这相当于弱场的情况, 此时分布函数只需要考虑到 E 的一次幂
f f0 f1
电流密度可以直接由分布函数得到
3 j qf 2( v k ) d k / ( 2 )
3 3 q 2 f v ( k ) d k / ( 2 ) q 2 f v ( k ) d k / ( 2 ) 0 1
第一项相当于平衡分布的电流, 它等于0, 将 f1 代入得
f 3 0 j 2 q v ( kv ) ( kE ) d k / ( 2 ) E
2
这样得到了欧姆定律的一般公式。将上式用分量表示
j0 E
其中
f 3 0 2 q v ( k ) vk ( ) d k / ( 2 ) E
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程
dk 内的电子密度为 总的电流密度
2 d k d n f[Ek () ,T ] ( 2 )3
d k j 2 q )( ) 3 f(kvk ( 2 )
平衡态的费米分布对于 k, -k 是对称的, 电流是零。 外场下的非平衡分布函数满足玻尔兹曼方程
f d k v f ( k , r , t ) f ( k , r , t ) b a k r k t d t q f( k ) b a 考虑定态的导电问题时简化为 E k
同时, 各向同性的情况意味着, τ(k) 与 k 的方向无关
固体物理学：第4章 金属自由电子论
1、费米分布的性质
FFD
1
FFD
1 e / kT
1
1T 0 f FFD 1
f
FFD 0
εf ε
T 0 时所有粒子排满费米能级以下的能级，
费米能级以上能级全空。
UESTC
FFD
1
（2）T 0
f
1 FFD 2
1/2
随着温度升高，有部分粒子
获得能量从 f以下能态跃迁到 f
0
1 p 1
p 1 f
n1
2
kT
2n
1
1 22n1
2n
d 2n
d
2n f
p 1 f
2 2
6
4
4
9
UESTC
应用积分公式
E
3 5
NE
f
0
1
5
12
2
kT Ef0
2
电子平均能量
E
E N
3 5
EF 0
2
4
kT
kT EF 0
UESTC
4、费米面
k空间中，能量为EF，即半径为 KF
以上能态。但无论温度多高，
T=0 T >0
εf ε
在
能态被粒子占据的几率始终为 1
f
2
。
UESTC
2、电子能量
dE FFD g d
T = 0 电子总能量
EF0
1
5
E0
c
2 d
22 5 cEF0
0
UESTC
T ≠0
积分公式
E
0
e
1 EF / kT 1
c 1 / 2d
第五章：金属的电子理论
dN ( E ) 3 2me 2 dE 2
3/ 2
3/ 2
E1/ 2
V 3 2
V 2me 2 2 2 3N ( E ) 2E
E1/ 2
DOS: number of electrons/unit energy in a range E ~ E + dE
自由电子模型总结
• 即使在金属中，传导电子的电荷分布（ charge distribution）收到 离子芯强烈静电势的影响。因此，自由电子模型描述传导电子的运 动特性（kinetic properties）最为合适。传导电子与离子之间的相 互作用将在能带理论中讨论。 • 最简单的金属是碱金属：Li, Na, K, Rb, Cs。在这些单价金属中，N 原子构成的晶体有N 个电子和N 个正离子。 • 自由电子模型产生于在量子理论建立之前。经典Drude模型成功导 出欧姆定律（Ohm’s law），以及电导和热导的关系。但是，由于 使用了Maxwell经典统计分布，它不能解释比热容（heat capacity） 和磁化率（magnetic susceptibility ）。后来Sommerfeld在量子理 论基础上重建了该模型。
~ 10eV
1/ 3 2 pF kF 3 N ~ 108 cm / sec vF V me me me
2/3 2 2 2 EF 2 3 N ~ 105 K TF kF kB 2me kB 2me kB V
态密度（Density of states, DOS）
L N (E) 2 2
dN ( E ) L 2me 1 N ( E ) 2me E , D( E ) dE E 2
固体物理++第六章+金属电子论
第六章 金属电子论这一章与下一章讨论固体中电子运动的（一般）规律 这一章讨论固体中的一类：金属的电子运动规律及性质§6-0 引子1． 金属的一些基本物理性质：良导体：Ohm 定律 V=RI j E σ=金属一般是顺磁体 0MH χ=>χ：10-5～10-6良导热体：比热数值小 〈〈 晶格比热 光学 ： 有光泽（强反射）但不透射 2． 物理基础微观粒子 + 多体问题量子 相互作用复杂 ⎧⎨⎩电子间晶格与电子间3． 经典模型：（Drude - Lorentz ） 1900年1．模型 经典：单体-牛顿 多体-Boltzmann 统计自由：相互作用可忽略 → “气体”仅有与原子实碰撞 扩展态－非局域(3)对物理性质定性解释• 扩展、自由 ▬ 导电、导热好 • 外场（光 → 电磁场）→ 电子吸收能量（激发 态）⇒ 不透明 激发态 → 基态 ⇒放出 光学⇒反射• 不能解释电子气的比热（实验仅为理论的1%）经典：能量均分-自由度与晶格相比拟§6.1 金属自由电子气的量子理论三部分：1.单电子的基本问题（p k = ，E ϖ= ，ψ） 2.关于 ψ，k , E 的讨论 ()k ρ ()E ρ 3.讨论相应的物理量 V C一、 金属中单自由电子量子理论 1.模型： 量子 + 自由具体：一个立方金属固体， V 体积 自由：电子在V 内不受力 V(x,y,z)= 0 边界：电子不能脱离体内 V(x,y,z)= ∞三维 无限深势阱2.S.E. 及其解22E m-∇ψ=ψ 令 222222(,,)()()()()22x y z x y z x y z k E k k k m mψψψψ===++⇒ ()x x ik xik xx x x A eB eψ-=+ ()y y ik yik yy y y A eB eψ-=+()zzik z ik z z z z A e B e ψ-=+周期性边界条件: ()()x L x ψψ+= ()()y L y ψψ+= ()()z L z ψψ+=⇒ ()(,,)x y z i k x k y k z ik rx y z AeAe++ψ==⇒ 2i i k n Lπ= (,,)i x y z =3/21A L == 归一化常数22222222(2)()22x y z k E n n n m m Lπ==++3. 讨论： ()r ψ平面波2C ψ＝ 在金属内找到电子得几率处处一样 0P v ⇒≠ 行波若用自然边界条件：ψψ（x=0)=(x=L)=0 (,,)sin sin sin x y z x y z A k x k y k z ψ=(,,)x y z ψ=驻波2C ψ≠在体内找到电子几率各处不一样ˆ||00Pp v ψψ⇒=⇒= 驻波与实际模型不符二、状态分布 ⇒()k ρ与()E ρ的讨论因为由少体到多体 ⇒ 物性、比热等1、k 空间与()k ρx y z k k i k j k k =++（1）2(,,)i i k n i x y z Lπ== 是分立值（2）每个点间距离 2i k Lπ∆=⇒3(2)x yzk k k k Vπ∆=∆∆∆= （3）态密度：31()(2)V k k ρπ==∆（4）状态数 k k d k →+（球壳内）23()()4(2)V d z k d k k d x d y d z k d kρρππ===2、()E ρ222h k E m = E 一定，k 空间→球面半径k在k 空间两个等能面间的状态数对应222h k k E m→= ( 一一对应，一个k 对应一个E) 2()()()4E dE k dk k k dkρρρπ==311222222()4()42()()4()k k dkk k m E g E V E CE dE dEdkρπρπρπ=====同样可求出： 2D ： ()C o n E ρ=＝常数1D ：12()E Eρ-低能态⇒状态密度大→ 涨落 ↑()E V ρ V 增大 则()E ρ增大这是测不准关系的直接结果：x p ∆∆≥V 增大，x ∆增大， p ∆降低 表示p ∆占k 空间位置小 单位k 空间中的状态数多 ()E ρ↑三、电子气的Fermi 能量E F ，Fermi 波矢K F , Fermi T F 1、 引入：自由电子量子性质之二： F-D 分步，（多体） （ 之一： S.E ， 少体）处于热平衡状态下能量为E 的状态的几率为： 1()1FB E E k Tf E e-=+2、E F 的意义 （1）热力学意义 若将电子系统⇒热力学系统.F E =μ化学势()F V FE Nμ∂==∂体积不变，系统增加一个电子所需要的能量（2）统计与固体中意义（i ）T=0K()Ff E ⎧⎪=⎨⎪⎩0F0 0 E>E 1 E<E （a ）0F E 为T=0K ,电子填充的最高能级（b ）并且为电子填充态与未填充态的分界面（ii ）0T K ≠时0()F F F F F F E E n T E E n T E E E E E E n T E E n T-⎧⎪-⎪⎪-==⎨⎪>≥⎪⎪<≤⎩ B B B B 个k 个k 个k 个kE F 是其占有状态几率为1/2的能量3．数学表达式T=0K ：由泡利原理 态和电子数一一对应0021/21/2202203/3()()2()(3)()32/FFE EF F dN dZ E f E dE N dN CEf E dE C E E n m dE C E n N Vπρ∞∴========⎰⎰⎰0030300120210410~51010/5~1~102F F B F F F F n cm E eV E k E k k m mT K ---→==⇒A ⨯完全是量子效应 ！0T K ≠()()N dN E f E dE ρ∞∞==⎰⎰数学处理：（i ）分步积分（ii ）()F F fE E E E δ∂∂ 仅在大 （iii ）令：3/23E ()2H g E dE C E =⋅⎰E（）= 其中：C = 4πV(2m/h)2可以在E F 附近展开：222/32138B F F k T N CE E π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 又 ()2/3032F N C E =022202112B F F F k TE E E π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦讨论：（i ）0F F E E <（ii ）00421010FB F F FE k T E E =>∴（iii ）只有F E 以下能量为B k T的电子被激发到F E 以上B k T 范围。
固体物理-第三章 金属自由电子论
3.1.量子自由电子理论
EF EF0[1-(pkBT)2/(12E0F2)] 3.1.3.5 可见,温度升高,费米能减少。在室温kBT/EF0只有1%数 量级, 所以EF 与 EF0很接近, 只有在某些情况下要考虑 他们之间的差别. 3. 费米面 在k-空间中与E= EF 对应的kF 所构成的等能面. 对于自由电子而言费米面是以kF=(2mEF)1/2/ħ为半径的 球面. 由于实际上并非自由电子, 所以金属的费米面并 非球面,而是形状很复杂的.与费米能对应的速度为费 米速度VF，把费米能看作热能，即kBT=EF0 与之对应 的温度为费米温度TF。 例如，金属Li, EF0=4.74ev, kF =1.12x108/cm, VF =1.29x108cm/s, TF=5.51 x 104K
3.1.量子自由电子理论
3.1.2. k-空间与自由电子的态密度 1．态的概念 1组量子数(nx, ny, nz)确定电子的一个波矢k，从而确定 了电子的一个状态, 即一个波函数y(r) = V-1/2eikr 处于这 一状态的电子具有确定的动量ħk和能量ħ2k2/(2m)，因而 具有确定的速度 , v=ħk/m, 故一个 k 全面反映了自由电子 的一个状态，简称态。 2. k-空间 以kx, ky , kz 为坐标轴建立的 波矢空间叫k-空间。电子的 本征态可以用该空间的一点 来代表。点的坐标由3.1.1.5 式确定。
3.2.自由电子对热容的贡献
如果T<<qD 晶格振动对热容的贡献： Cav=(12p2/5)NkB (T/qD) 3 = bT3, b=(12p2/5)NkB/qD 3 所以， Cev/Cav =5kBqD3/(24p2EF0T2) 可见随温度下降, 比值 增加，即电子对热容的 贡献只在低温才是重要 的. 所以，低温下,金属 晶体的热容 Cv=Cev+Cav=gT+bT 3
固体物理第二章金属自由电子论
u为平均附加速度: v
v :电场附加给电子的平均速度(平均附加速度)。?? 10
考虑某一个电子，从上次碰撞发生起，有t时间的行 程。如果无外电场，其速度为v0。根据特鲁德模型德假 设，碰撞后电子出现的方向是随机的，因此v0将对总体 的电子平均速度毫无影响，即：
v0 0
但在外电场存在条件下，在上一次碰撞后立即附加
上一个速度：
eEt vt m
(E为外加电场，m为电子质量)。因此电子平均速度 只是由各电子的附加速度取平均获得。
vv0vt
eE
m
t2 t1
11
欧姆定律E=j ，其中E为外加电场强度、为电阻率、j 为电流密度。
成功用微观量解释了宏观量！
12
特鲁德模型的其他成功之处
Nat. Photon. 1, 641, 2007
EF0 ~ 几个eV
定义 Fermi 温度：
TF
E
0 F
kB
物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高温度 下的振动能。
金属：TF： 104 ~ 105 K 36
一些金属元素费米能与费米温度的计算值
元素
Li Na K Rb Cs Cu Ag Au Be
EF0 (eV) 4.72 3.23 2.12 1.85 1.58 7.00 5.48 5.51 14.14
怎么求dN！ 接下来问题就来了！ dU EdN
Here comes the problem U EdN
16
§2.2 Sommerfeld的自由电子论
核心问题
怎么求dN！
对于理想气体貌似有某个方法 对于dV范围内的分子数为： dN=dV内分子密度×dV
对于dE范围内的：
固体物理 4 2011
4.3 金属中电子气的热容量 洛伦兹把金属中的自由电子看作是理想气体，服从经典 的统计规律(麦克斯韦-玻耳兹曼分布)。按能量均分定理， N个自由电子有3N个自由度，它们对热容量的贡献是 3NkB/2，同晶格振动的贡献相比是同数量级的。 但是，实验上金属的电子比热只有这个数值的百分之一 左右。这个困难是索末菲解决的，困难的由来是自由电子 并不服从经典的麦克斯韦-玻耳兹曼分布，故应当用费密狄喇克分布。
該波函數的邊界條件定位在金屬表面。若我們將金屬表面的 位置設定成波函數之值為零的話﹐我們將可以得到一個駐波 之條件。 由於晶格的周期特質﹐我們通常用周期性边界条件，
(2)
駐波條件 在駐波條件下，电子的波函数是
Asin k x x sin k y y sin k z z
式中A是归一化常数。电子的能量
Vc L dZ 2 dk dk 3 4 2
3
其中Vc是晶体的体积
自由电子的能量
2 k 2 2 2 2 E kx k y k z2 2m 2m
(8)
在k空间，自由电子能量等于某个定值的曲面是一个球面， 其 半径是 2m E k 在能量 E 到 E+dE 之间的区域 是半径为 k 和 k+dk 两个球面之 间的球壳层，它的体积是 4k2dk 其中的状态数目为
Vc 2 dZ 4 k dk 3 4
能级密度
dZ 2m 4Vc dE
3/ 2
E1/ 2
(10)
自由电子气的能级密度和能量的关系显然这是一条抛物线
4.2 电子气的费密能量 电子气体中的电子满足泡利不相容原理，它们服从费密-狄 喇克统计，即在热平衡时，电子处在能量为E的状态的几率 是
固体物理第10课金属电子论
n 利用气体压强 P RT NA 金属中的电子气体压强非常大 电子不会逸出到金属晶体以外。
5条假设
1. 独立电子假设 ：忽略电子-电子之间的库仑排斥力 2. 自由电子假设：电子速度各向同性，电子和离子碰 撞，忽略电子-离子的库仑吸引力。 3. 碰撞假设：碰撞后电子方向随机，速度只与温度有 关，单个电子的平均能量为：
直流电导
特鲁德：j nev
欧姆定律：E j
无外电场时，平均速度v 0,方均根速率v 3k BT / m， 在E作用下，电子获得加速度 : a eE / me 电子得到附加速度vt at eEt / me， 称为漂移速度 根据假设，和以前速度无关，故有v vt eEt 故有v 代入j nev me ne 2 由于t的平均值即是 ,故得j m e ne 2 与欧姆定律相比有 me 1 E
1 2 3 E mv k BT 2 2
4. 驰豫时间近似(relaxation time approximation) 电子与离子两次碰撞之间的平均时间间隔，1/ 为碰 撞概率，平均自由程(mean free path)：l=v。在无外 力作用时，电子的平均集体运动速度按照exp(-T/ )的 方式趋于0，弛豫时间与电子速度和位置无关。 5 . 隐含假设：电子是经典粒子（当时没有量子力学）
作业
1.
2.
特鲁德模型对金属晶体中的电子作了哪些假 设,试根据特鲁德模型推导金属晶体中电压与 电流的关系. 试说明特鲁德模型中金属中的电子对热容的 贡献.
n V N La
3
Z
M
Z
M
其中NL为单胞数，na为单胞中 原子数，Z为价电子数，a3为单 胞体积，ρ为元素密度，NA为 阿伏加德罗常数，M为原子量， 典型值为1022~1023个/cm3 电子平均半径 rs
金属自由电子理论
dk
dZ
2
VC
2π3
4π k 2
dk
E dE ky
dZ
2
VC
2π3
4π
2mE 2
2
m dE 2m E
E
kx
4πVC
2π3
(2m)3 2 3
E1 2
dE
3
4πVC
2m h2
21
E 2dE
N (E) dZ cE1 2
dE
其中
C
4πVc
3
2
E
1
2
CE1
2
其中
C
4πVc
2m h2
3
2
4.1.3 自由电子气的费米能量
1.费米能量
在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是
1 f ( E ) e(EEF ) kBT 1
EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意 义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。 它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。
k
(r)
Ae ikr
E
2k 2 2m
2 2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射
回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对
应点进入金属中来。
k
波矢， 2π
k
为电子的德布罗意波长。
电子的动量：p k
固体物理第二章金属自由电子论
17
§2.2 Sommerfeld的自由电子论
核心问题
怎么求dN！
dN=dE内电子密度× dE
dN=dE内能量密度× dE
dN=f(E) × dE内能量密度× dE
先解解薛定谔方程，
E k 2k2 2m
看看k的密度再说吧！
❖ 假设一：电子的填充满足Pauli不相容原理； 有一个能态，就有一个电子
4
1. Drude 等人所做的简化近似可归纳为如下四个基本假设： （1）独立电子近似
忽略电子与电子之间的相互作用 ——近似认为电子的运动 是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电 子近似。
（2）自由电子近似
用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相
返 回
互作用 ——近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞
固体物理第二章金属自由电子论
金属自由电子论
§ 2.1 经典电子论； § 2.2 Sommerfeld的自由电子论； § 2.3 Sommerfeld展开式及其应用； § 2.4 电子发射
2
§2.1 经典电子论——Drude模型
经典电子论诞生的背景
欧姆定律：20世纪以前，有关金属导电的一些经验规律 分子运动论：成功地处理了理想气体问题 电子的发现：1897年J. J汤姆生发现电子
子浓度(定义为单位体积中的平均电子数)。
由于在各种热力学过程中金属材料体积的变化通常很
微小，因此电子浓度这一状态参量的变化是甚微的。
若某一金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，
其所形成的晶体的质量密度为 m ，则该金属中的电子浓
度为
ne
ZNa
m
A
ห้องสมุดไป่ตู้
固体物理金属中自由电子论
§5.2 Sommerfeld展开式及其应用
电子由于碰撞而失去其定向运动。
费米球心移动的距离为
Δk
=
dk dt
⋅τ
=
−
eτ
h
ετ：平均自由时间源自电子的定向漂移速度为Vd
=
1 m
⋅
hΔk
=
− eτ
m
ε
电流密度：
j
=
−neVd
=
ne2τ
m
⋅ε
=
σ
⋅ε
∴σ = ne2τ
m
第二种解释：只有在费米面
ky
附近未被抵消部分的电子才
对传导电流有贡献。
这部分电子所占的分数为
0.5
0
E F
E
0
E F
E
对于金属而言，由于T << TF总是成立的，因此， 只有费米面附近的一小部分电子可以被激发到高能 态，而离费米面较远的电子则仍保持原来（T＝0）的 状态，我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此，虽然 金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质 的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的 那一小部分。
Z
(E)
=
2⋅
ρ
(k)⋅
4πk3
3
=
2⋅
V
8π
3
⋅
4π
3
(
2m
4固体物理-金属电子论1
3 12
2m
3 12
12
电子平均能量
费米球内电子的基态总能量
2k 2 E 2 k 2 k kF k k F 2m
F F
Vg d V
0
0
2m
3 12
2 3
12
2m d V
2 52
平面波解
1 ikr k r e V 2k 2 k 2m
V
波恩-卡曼(Born-Karman) 周期性边界条件
边界条件
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
0
I Q f 0 Q f d Q f 0
0
0
f Q d
上式右边第一项为零； 上式右边第二项可以利用费米分布函数接近阶跃函数的特 点； （阶跃函数的导数为dirac delta function）
e i k BT 1
1
费米分布函数
化学势
根据费米分布函数的定义 f i i k BT e 1 当ε=μ时，fi=1/2； 因此，化学势等于费米分布函数曲线纵轴为1/2时对应的 横轴能量值； 在绝对零度时，化学势μ等于费米能εF， 温度T >0K时，化学势μ是温度的函数；但与零温时相比偏 差不多；
3 12
费米面处的态密度
2m g