高中数学必修1课后习题答案清晰版

高中数学必修1课后习题答案
不可抄袭
第一章集合与函数概念
1．1集合
1．1．1集合的含义与表示
练习（第5页）
1．用符号“∈”或“∉”填空：
（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，
印度_______A，英国_______A；
（2）若2
==，则1-_______A；
{|}
A x x x
（3）若2
=+-=，则3_______B；
B x x x
{|60}
（4）若{|110}
=∈≤≤，则8_______C，9.1_______C．
C x N x
1．（1）中国∈A，美国∉A，印度∈A，英国∉A；
中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A2
===．
{|}{0,1}
A x x x
（3）3∉B2
=+-==-．
B x x x
{|60}{3,2}
（4）8∈C，9.1∉C9.1N
∉．
2．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；
（2）由小于8的所有素数组成的集合；
（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；
（4）不等式453x -<的解集．
2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，
所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；
（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，
所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；
（3）由326y x y x =+⎧⎨
=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，
即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，
所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为
{(1,4)}；
（4）由453x -<，得2x <，
所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．
1．1．2集合间的基本关系
练习（第7页）
1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．
1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；
取一个元素，得{},{},{}a b c ；
取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；
取三个元素，得{,,}a b c ，
即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．
2．用适当的符号填空：
（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =；
（3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；
（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．
2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；
（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；
（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；
（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；
（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；
（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．
3．判断下列两个集合之间的关系：
（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；
（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；
（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．
3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；
（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，
即B 是A 的真子集，B A ；
（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．
1．1．3集合的基本运算
练习（第11页）
1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．
1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，
{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．
2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．
2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，
方程210x -=的两根为121,1x x =-=，
得{1,5},{1,1}A B =-=-，
即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．
3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．
3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，
{|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形．
4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，
求(),()()U U U A B A B ．
4．解：显然{2,4,6}U B =，{1,3,6,7}U A =，
则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．
1．1集合
习题1．1 （第11页） A 组
1．用符号“∈”或“∉”填空：
（1）237
_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；
（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ．
1．（1）237Q ∈ 237
是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；
（3）
Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R 是实数；
（5
Z 3=是个整数； （6）2N ∈ 25=是个自然数．
2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：
（1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．
2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．
当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；
3．用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于6的整数；
（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；
（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．
3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；
（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；
（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．
4．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；
（2）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合；
（3）不等式342x x ≥-的解集．
4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，
得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；
（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；
（3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．
5．选用适当的符号填空：
（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：
4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；
（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：
1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；
（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；
{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．
5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ； 2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；
（2）1A ∈； {1}-A ； ∅
A ； {1,1}-=A ；
2{|10}{1,1}A x x =-==-； （3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；
菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；
{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．
等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B ．
6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，
则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．
7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ， A C ，()A B C ，()A B C ．
7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，
则{1,2,3}A B =，{3,4,5,6}A C =，
而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =，
则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，
(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．
8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，
{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，
学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，
并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ．
8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为()A B C =∅．
（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；
（2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．
9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C ，A B ，S A ．
9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，
平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，
即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形，
{|}S A x x =是梯形．
10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B ，()R A B ，
()R A B ，()R A B ．
10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<，
{|3,7}R A x x x =<≥或，{|2,10}R B x x x =≤≥或，
得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或，
(){|3,7}R A B x x x =<≥或，
(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或，
(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．
B 组
1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有 个． 1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．
2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，
集合21(,)|45x y D x y x y ⎧
-=⎫⎧=⎨⎨
⎬+=⎩⎩⎭表示什么集合,C D 之间有什么关系
2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭
表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，
得D C ．
3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．
3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，
当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅；
当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==；
当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；
当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，
则{1,3,4,},A B a A B ==∅．
4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =，试求集合B ．
4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B =，
得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =，
得{1,3,5,7}U B =，而()U U B B =，
即{0,2,4,6,8.9,10}B =．
第一章 集合与函数概念
1．2函数及其表示
1．2．1函数的概念
练习（第19页）
1．求下列函数的定义域：
（1）1()47
f x x =+； （2）()1f x =． 1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即7
4x ≠-，
得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；
（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨
+≥⎩，即31x -≤≤，
得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．
2．已知函数2()32f x x x =+，
（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；
（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．
2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，
同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，
则(2)(2)18826f f +-=+=，
即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；
（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，
同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，
则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，
即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．
3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；
（2）()1f x =和0()g x x =．
3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；
（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．
1．2．2函数的表示法
练习（第23页）
1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ， 面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．
1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，
222502500y x x x x =-=-，且050x <<， 即22500(050)y x x x =-<<．
2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好请你为剩下的那个图象写出一件事．
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
2．解：图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；
图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；
图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；
图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．
3．画出函数|2|
y x
=-的图象．
3．解：
2,2
|2|
2,2
x x
y x
x x
-≥
⎧
=-=⎨
-+<
⎩
，图象如下所示．
时间（A）
时间
（B）
时间
（C）
时间
（D）
4．设{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是
“求正弦”，与A 中元素60相对应
的B 中的元素是什么与B 中的元素22相对应的A 中元素是什么 4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32； 因为2sin 452=，所以与B 中的元素22
相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示
习题1．2（第23页）
1．求下列函数的定义域：
（1）3()4
x f x x =-； （2）2()f x x =； （3）26()32f x x x =
-+； （4）4()x f x -=． 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠；
（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，
即该函数的定义域为R ；
（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠， 得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；
（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨
-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，
得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．
2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等
（1）2()1,()1x f x x g x x
=-=-； （2）24(),()f x x g x ==；
（3）2(),()f x x g x ==
2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x
=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；
（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；
（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，
得函数()f x 与()g x 相等．
3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．
（1）3
y x
=；（2）
8
y
x
=；（3）45
y x
=-+；（4）267
y x x
=-+．
3．解：（1）
定义域是(,)
-∞+∞，值域是(,)
-∞+∞；
（2）
定义域是(,0)(0,)
-∞+∞，值域是(,0)(0,)
-∞+∞；
（3）
定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；
（4）
定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．
4．已知函数2()352f x x x =-+，求(2)f -，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．
4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+， 即(2)852f -=+；
同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++， 即2()352f a a a -=++；
22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++， 即2(3)31314f a a a +=++； 22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+．
5．已知函数2()6
x f x x +=-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗
（2）当4x =时，求()f x 的值；
（3）当()2f x =时，求x 的值．
5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；
（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；
（3）2()26
x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．
6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．
6．解：由(1)0,(3)0f f ==，
得1,3是方程20
x bx c
++=的两个实数根，
即13,13
b c
+=-⨯=，得4,3
b c
=-=，
即2
()43
f x x x
=-+，得2
(1)(1)4(1)38
f-=--⨯-+=，即(1)
f-的值为8．
7．画出下列函数的图象：
（1）
0,0
()
1,0
x
F x
x
≤
⎧
=⎨
>
⎩
；（2）()31,{1,2,3}
G n n n
=+∈．
7．图象如下：
8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，
周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数
8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10
(0)y x x
=
>，10(0)x y y =>，
由对角线为d ，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得20
2(0)l x x x
=+
>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，
得(0)l d ===>，
即(0)l d =>．
9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有2()2
d x vt π=，即2
4v
x t d
π=
， 显然0x h ≤≤，即240v
t h d π≤≤，得204h d t v π≤≤，
得函数的定义域为2
[0,]4h d v
π和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个
并将它们分别表示出来．
10．解：从A到B的映射共有8个．
分别是
()0
()0
()0
f a
f b
f c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
()0
()0
()1
f a
f b
f c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
()0
()1
()0
f a
f b
f c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
()0
()0
()1
f a
f b
f c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
()1
()0
()0
f a
f b
f c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
()1
()0
()1
f a
f b
f c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
()1
()1
()0
f a
f b
f c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
()1
()0
()1
f a
f b
f c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
．
Ｂ组
1．函数()
r f p
=的图象如图所示．
（1）函数()
r f p
=的定义域是什么
（2）函数()
r f p
=的值域是什么
（3）r取何值时，只有唯一的p值与之对应
1．解：（1）函数()
r f p
=的定义域是[5,0][2,6)
-；
（2）函数()
r f p
=的值域是[0,)
+∞；
（3）当5
r>，或02
r
≤<时，只有唯一的p值与之对应．
2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象． （1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中
哪些点不能在图象上
（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗
2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．
3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．
当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．
3．解：3, 2.52
2,211,10
()[]0,01
1,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪
⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪
≤<⎪⎪=⎩
图象如下
4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km处有一个城镇．
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/
km h，t（单
km h，步行的速度是5/位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．请将t表示为x的函数．
（2）如果将船停在距点P4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）
4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，
得2221235
x x
t +-=
+，(012)x ≤≤， 即24125
x x
t +-=
+，(012)x ≤≤． （2）当4x =时，244124258
3()355
t h +-=
+=+≈．
第一章 集合与函数概念
1．3函数的基本性质
1．3．1单调性与最大（小）值
练习（第32页）
1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．
1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达
到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随
着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越
高．
2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.
2．解：图象如下
[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．
3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，
在[4,5]上是增函数．
4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，
因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，
所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.
5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间
[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 .
5．最小值．
1．3．2单调性与最大（小）值
练习（第36页）
1．判断下列函数的奇偶性：
（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =-
（3）21
()x f x x
+=； （4）2()1f x x =+.
1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内
每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；
（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内
每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；
（3）对于函数21
()x f x x
+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内
每一个x 都有22()11
()()x x f x f x x x
-++-=
=-=--， 所以函数21
()x f x x
+=为奇函数；
（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内
每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.
2.已知()
f x是偶函数，
g x是奇函数，试将下图
()
补充完整.
2．解：()
f x是偶函数，其图象是关于y轴对称的；
g x是奇函数，其图象是关于原点对称的．
()
习题
A组
1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()
y f x
=的单调区间，以及在各单调区间
上函数()
=是增函数还是减函数.
y f x
（1）256
y x
=-.
=--；（2）2
y x x
9
1．解：（1）
函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2
+∞上递增； （2）
函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.
2.证明：
（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数； （2）函数1
()1f x x
=-在(,0)-∞上是增函数.
2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，
由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，
即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；
（2）设120x x <<，而12
122112
11()()x x f x f x x x x x --=
-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，
即12()()f x f x <，所以函数1
()1f x x
=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，
当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；
当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，
得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.
4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次
慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为
5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为
2
1622100050
x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最
大最大月收益是多少
5．解：对于函数2
1622100050
x y x =-+-，
当162405012()
50
x =-
=⨯-时，max 307050y =（元）
， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x 的图象，并求出函数的解析式.
6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，
即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-， 得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，
所以函数的解析式为(1),0
()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩
.
B 组
1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.
（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值. 1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =， 则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，
且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-，
因为函数()g x 在[2,4]上为增函数， 所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．
2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大每间熊猫居室的最大面积是多少
2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为
3032
x
m -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)
22
x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，
即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，
且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．
3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.
3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，
因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．
复习参考题
A 组
1．用列举法表示下列集合： （1）2{|9}A x x ==； （2）{|12}B x N x =∈≤≤； （3）2{|320}C x x x =-+=.
1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；
（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．
2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形 （1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点； （2）{|3}P PO cm =()O 是定点.
2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；
（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合
{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.
3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，
集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，
得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的
垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．
4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值. 4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；
当0a ≠时，集合1{}B a
=，而B A ⊆，则11a
=-，或11a
=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1．
5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，
求A B ，A C ，()()A B B C .
5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫
⎧==⎨⎨
⎬+=⎩⎩
⎭
，即{(0,0)}A B =；
集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫
⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；
集合3039
(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩
⎭；
则3
9()(){(0,0),(,)}55
A B B C =-.
6.求下列函数的定义域： （1）
y =
（2）y =
6．解：（1）要使原式有意义，则20
50
x x -≥⎧⎨
+≥⎩，即2x ≥，
得函数的定义域为[2,)+∞；
（2）要使原式有意义，则40
||50
x x -≥⎧⎨
-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，
得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞． 7.已知函数1()1x
f x x
-=
+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-. 7．解：（1）因为1()1x
f x x
-=+， 所以1()1a f a a -=+，得12
()1111a f a a a
-+=+=++， 即2
()11f a a +=
+； （2）因为1()1x
f x x
-=
+， 所以1(1)(1)112
a a
f a a a -++==-+++，
即(1)2
a
f a a +=-
+．
8.设2
2
1()1x f x x
+=-，求证： （1）()()f x f x -=； （2）1
()()f f x x
=-.
8．证明：（1）因为2
2
1()1x f x x +=-，
所以22
22
1()1()()1()1x x f x f x x x
+-+-===---， 即()()f x f x -=；
（2）因为2
2
1()1x f x x +=-，
所以2
22211()11()()11
1()x x f f x x x x
++===---， 即1()()f f x x
=-.
9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 9．解：该二次函数的对称轴为8
k x =，
函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，
则208
k ≥，或58
k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．
10．已知函数2y x -=，
（1）它是奇函数还是偶函数 （2）它的图象具有怎样的对称性 （3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数 （4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数
10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==， 即函数2y x -=是偶函数；
（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．
B 组
1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人只参加游泳一项比赛的有多少人 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =，
只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），
即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围. 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．
3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B =，(){2,4}U A B =，求集合B . 3．解：由(){1,3}U A B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =， 集合A B 里除去()U A B ，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.
4.已知函数(4),0
()(4),0
x x x f x x x x +≥⎧=⎨
-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.
4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；
(1)(5),1
(1)(1)(3),1
a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨
+-<-⎩．
5.证明：
（1）若()f x ax b =+，则1212()()
(
)22
x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()
(
)22
x x g x g x g ++≤.
5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222
x x x x a
f a b x x b ++=+=++，
121212()()()222
f x f x ax b ax b a
x x b ++++==++，
所以1212()()
(
)22
x x f x f x f ++=
； （2）因为2()g x x ax b =++，
得22121212121
(
)(2)()242
x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1
[()()]22
g x g x x ax b x ax b +=+++++
2212
121()(
)22
x x x x a b +=+++， 因为22222121212121
11(2)()()04
2
4
x x x x x x x x ++-+=--≤， 即22221212121
1(2)()4
2
x x x x x x ++≤+， 所以1212()()
(
)22x x g x g x g ++≤
. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数
（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数
6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，
因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，
又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数； （2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：
设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，
因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则
21()()g x g x -<-，
又因为函数()g x 是偶函数，则
21()()g x g x <，即12()()g x g x >，
所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．
7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分
不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：
某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少
7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x
元，应纳此项税款为y 元，则
0,02000
(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000
x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩
由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。