5聚点内点边界点
第二章拓扑空间与连续映射一、教学目的与要求
第二章 拓扑空间与连续映射一、教学目的与要求本章是点集拓扑学的基础知识，在本章中建立了点集拓扑学许多最基本的概念，为学习点集拓扑学的核心内容打下基础。
本章应掌握的概念有：度量空间、开集、邻域、拓扑空间、映射在一点连续、连续映射、度量诱导的拓扑、可度量化空间、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点、收敛、子序列。
学生还应该掌握：典型的拓扑和度量空间的例子、开集和邻域的性质、连续映射和同胚映射的性质、（集合的）内部的性质内部和边界和闭包之间关系、连续映射的等价条件（分别用开集、闭集、邻域来描述）、邻域系的性质和判定方法、基的判定法和子集族成为基（或子基）的条件、映射在一点连续的性质和判定法则、拓扑空间和度量空间中序列的性质。
二、教学重点与难点教学重点：拓扑空间和连续映射、导集、闭集、闭包、基与子基、拓扑空间中的序列。
教学难点：拓扑空间概念的建立、导集概念和基与子基概念的建立等。
三、课时安排与教学方法教学内容 （计划／实际）课时数课程类型／教学方法2.1,2.2 4/4 理论/讲授2.3,2.4 4/4 理论/讲授2.5,习题课 4/4 理论/讲授、讨论2.6,2.7 4/4 理论/讲授习题课 4/4 练习/讲授、讨论四、教学过程在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间, 将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射. 然后将两者再度抽象, 给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射. 随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域, 闭包, 内部, 边界, 基和子基, 序列等等.2.1度量空间与连续映射首先,我们从在数学分析中学过的连续函数出发, 抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1 设是一个集合, X :X X R ρ×→.如果对于任何,,x y z X ∈,有(1) (正定性) (,)0,x y ρ≥并且(,)0x y ρ=当且仅当x y = ;(2) (对称性)(,)(,)x y y x ρρ=;(3) (三角不等式)(,)x z ρ≤(,)(,),x y y z ρρ+则称ρ是集合X 的一个度量.如果ρ是集合X 的一个度量,则称偶对(,)X ρ是一个度量空间或称,X 是一个对于度量ρ而言的度量空间.有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已有交代,不提它不至于引起混淆，这时我们称X 是一个度量空间. 此外对于任意两点 ,,,x y ∈X 实数(,)x y ρ称为从点到点的距离.例2.1.1 实数空间 R .对于实数集合定义,R :R R Rρ×→如下：对于任意,,x y R ∈令(,).x y x y ρ−=容易验证ρ是的一个度量因此偶对R ,(,)R ρ是一个度量空间.这个度量空间特别地称为实数空间或直线.这里定义的度量,ρ称为的通常度量,并且常常略而不提，称为实数空间.R 例2.1.2维欧氏空间n .n R对于任意1212,,,,,,(),()nn n x x x x ,y y y y R ==∈……令(,)x y ρ=容易验证ρ是的一个度量,因此偶对nR (,)nRρ是一个度量空间.这个度量空间特别地成为维欧式空间.这里定义的度量n ,ρ称为的通常度量,并且称为维欧氏空间.nR nR n 例2.1.3Hilbert 空间H .记为平方收敛的所有实数序列的集合,即H2121,,,;{()}i i i x R i Z x H x x x ∞+=∈∈<∞==∑…定义:H H R ρ×→如下：对于任意1212,,,,(),()x x x y y y H ==……∈令(,)x y ρ=则偶对(,)H ρ是一个度量空间.这个空间特别地称为Hilbert 空间.例2.1.4 离散的度量空间.设(,)X ρ是一个度量空间.称(,)X ρ是离散的，或者称ρ是的一个离散度量，如果对于每一个X ,x X ∈存在一个实数0x δ>使得(,)xx y ρδ>对于任何,.y X y x ∈≠例如我们假定是一个集合,定义X:X X Rρ×→使得对于任何,,x y X ∈有(,)0,x y x y ρ==或(,)1,x y x y ρ=≠容易验证ρ是的一个离散的度量，因此度量空间是离散空间.X 定义2.1.2 设(,)X ρ是一个度量空间，.x X ∈对于任意给定的0,ε>集合(,){}x y y X ρε<∈记作(,),B x ε或，称为一个以()B x εx 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域，有时也称为x 的一个ε−邻域.定理2.1.1 度量空间(,)X ρ的球形邻域具有以下基本性质：(1)每一点x X ∈至少有一个球形邻域，并且点属于它的每一个球形邻域; x (2)对于点x X ∈的任意两个球形邻域，存在的一个球形邻域同时包含于两者;x (3) 如果y X ∈属于x X ∈的某一个球形邻域，则y 有一个球形邻域包含于的x那个球形邻域.定义2.1.3 设A 是度量空间的一个子集.如果X A 中的每一个点有一个球形邻域包含于A (即对于每一个存在实数,a A ∈0ε>使得(,)B a A ε⊂)，则称A 是度量空间中的一个开集.X 例2.1.5 实数空间中的开区间都是开集. R 定理2.1.2 度量空间中的开集具有以下性质：X (1) 集合本身和空集Φ都是开集; X (2) 任意两个开集的交是一个开集;(3) 任意一个开集族(即有开集构成的族)的并是一个开集。
视频1--5 边界点、聚点
Note1：内点是聚点；外点非聚点；边界点可能是聚点，也可能不是聚点． Note2：若 P0 是 D 的一个聚点，则 N ( P0 , ) 中有 D 中的无穷多个点． 根据聚点的定义，N ( P0 , ) 中有 D 中的 P1 ；记 1 d( P1 , P0 ) ，则 N ( P0 , 1 ) 中有 D 中 的 P2 ；记 2 d( P2 , P0 ) ，则 N ( P0 , 2 ) 中有 D 中的 P3 ；……依次得到 N ( P0 , ) 中的不同 点 P1 , P2 , P3 , ． 定理： P0 是 D 的聚点 存在 D 中的点列 {P m } ( P m P0 ) ，使得 lim P m P0 ．
视频 1--5
边界点、聚点
1/1
七、点集的边界点 定义：设 D 是一个非空点集， P0 是一个定点．若对于任意的 0 ，都有
U ( P0 , ) {P d( P, P0 ) } D ，且 U ( P0 , ) D ，则称 P0 是 D 的一个边界点；全
体边界点构成的集合称为 D 的边界， 记作 D ； 点集与其边界一起构成它的闭包， 记作 D D D ． Note：边界点既可以属于 D ，也可以不属于 D ；孤立边界点． 例 1：求点集 D ( x, y ) x ≥ 0, y 0 的边界及其闭包． 解： D ( x, y ) x ≥ 0, y 0 ( x, y ) y ห้องสมุดไป่ตู้ 0, x 0 ；
m
D ( x, y ) x ≥ 0, y ≥ 0 ．
例 2：证明点（ 1, 0 ） 是 D1 {( x, y ) x 2 y 2 1} 和 D2 {( x, y ) x 2 y 2 ≤ 1} 的边界点． 八、点集的聚点 定义：设 D 是一个非空点集， P0 是一个定点．若对于任意的 0 ，都有
区 域
区
域
一、区域的概念
二、单连通域与多连通域
三、典型例题 四、小结与思考
1
一、区域的概念
1. 邻域:
平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径 的圆: z z0 内部的点的集合称为 z0 的 邻 域(或以z0为中心、 为半径的圆盘)。记作U(z0 , )。
说明
包括无穷远点自身在内 且满足 z M 的 所有点的集合, 其中实数 M 0, 称为无穷远 点的邻域.
(2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用 完全属于D的一条折线连结起来. 6.边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属 于D, 但在 P 的任意小的邻域内既有D中的点, 又有D外的点，这样的 P 我们称为D的边界点.
5
D的所有边界点组成D的边界. 说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的. C
2x 0, 2 2 x ( y 1)
21
因为 x 2 ( y 1)2 0,
2 x 0, 2 于是 x y 2 1 0, 2 x x 2 y 2 1, x 0, 2 2 x y 1, ( x 1)2 y 2 2.
2
2.去心邻域:
称由不等式 0 z z 所确定的点的
0
集合为 z 的去心 邻域.
0
说明
不包括无穷远点自身在 内, 仅满足 z M 的所有点的集合 , 称为无穷远点的去心邻 域. 可以表示为 M z .
3
3.聚点、内点:
设 G 为一平面点集, z0 C。如果 0, 都有 z0 的邻域U(z0 , )有无穷个点都属于 G,那末 z0 称为 G 的聚点。
区分平面中点集的内点、边界点、聚点、孤立点
点(点 P 可以属于E,也可以不属于 E),即 E∩U(P,δ)≠∅ 称 P 是E 的聚点.
定义５ 设 合E 的孤立点. 二 、主 要 结 果
从内点、边界点、聚点、孤立点分别 与 集 合 的 所 属 关 系 上
来区分:
１．一 个 点 集 的 内 点 属 于 该 点 集 . 例１ 设点 集 E ＝ {(x,y)|１≤x２ ＋y２ ＜４},点 P (x０, y０)∈R２,若 １＜x２０ ＋y２０ ＜４,则 点 P 是 E 内 点 ,且 点 P 属 于E. ２．一个点集的边界点可以属于该点集,也可以不属 于 该 点集.
８４
例３ 设点 集 E ＝ {(x,y)|１≤x２ ＋y２ ＜４},点 P (x０, y０)∈R２,若 １＜x２ ０＋y２ ０＜４,则 点 P 是E 聚 点 ,且 点 P 属 于 E.若x２ ０＋y２ ０＝４,则点 P 是E 的聚点,但是点 P 不属于E.
４．一 个 点 集 的 孤 立 点 属 于 该 点 集 . 例４ 设点集 E＝{(x,y)|x２＋y２＝０ 或 x２＋y２≥１}, 点 P(x０,y０)∈R２,则 点 (０,０)是 E 的 孤 立 点,且 点 P 属 于E. 从 内 点 、边 界 点 、聚 点 、孤 立 点 间 的 关 系 来 区 分 : ５．点集的内点一定是它的聚点,点集的聚点不一定 是 它 的内点. 例５ 设点 集 E ＝ {(x,y)|１≤x２ ＋y２ ＜４},点 P (x０, y０)∈R２,若 １＜x２ ０＋y２ ０＜４,则 点 P 是E 内 点 ,也 是 E 的 聚 点.若x２ ０＋y２ ０＝４,则点 P 是E 的聚点,但不是它的内点. ６．点集的边界点不一定是它的聚点,点集聚点不一 定 是 它的边界点. 例６ 设点 集 E ＝ {(x,y)|１≤x２ ＋y２ ＜４},点 P (x０, y０)∈R２,若 x２ ０＋y２ ０＝１或 x２ ０ ＋y２ ０ ＝４,则 点 P 是E 的 边 界 点,也是 E 的聚点. 例７ 设点集 E＝{(x,y)|x２＋y２＝０ 或 x２＋y２≥１}, 则原点(０,０)是孤立点是 E 的边界点,但不是 E 的聚点. 例８ 设点 集 E ＝ {(x,y)|１≤x２ ＋y２ ＜４},点 P (x０, y０)∈R２,若x２ ０＋y２ ０＝１或x２ ０＋y２ ０＝４,则 点 P 是E 的 聚 点 , 也是它的边界 点. 若 １＜x２ ０ ＋y２ ０ ＜４,则 点 P 是 E 的 聚 点, 但不是E 的边界点. ７．点 集 的 孤 立 的 边 界 点 不 是 内 点 也 不 是 聚 点 . 例９ 设点集 E＝{(x,y)|x２＋y２＝０ 或 x２＋y２≥１}, 则原点(０,０)是孤立点是E 的边界点,但不是它的内点,也不 是它的聚点. ８．点集的孤立点一定是它的边界点,点集的边界点 不 一 定是它的孤立点. 点集的孤立点一定是它 的 边 界 点 (见 例 ９),点 集 的 边 界 点 不 一 定 是 它 的 孤 立 点 (见 例 ８).
n维欧氏空间中的点集——【多元函数微分学】
y
y
闭区域
y
o
x
y
o 1 2x
o
x
o 1 2x
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9
整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域
；点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
• 有界集: 对于平面点集E, 如果存在某一正数r, 使得
E U(O,r), 其中O为坐标原点.
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3
三、 平面点集R2的基本知识
平面点集:
xoy平面上满足某一条件的一切点的集合
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
U ( P0 ,δ ) (x, y)
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
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则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D
。 。
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8
例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
(x, y) x y 0
(x, y) 1 x2 y2 4
O.
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2
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
规定为
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn )与零元 O 的距离为 x x12 x22 xn2
二、Rn中点列的极限
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识
本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。
如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。
6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。
可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。
7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。
定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。
无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。
如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。
解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。
趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。
16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。
2.5 点集 --5
2.5 点集本节主要讨论直线上和n 维欧氏空间R n 中的点集。
对于R n 中任意的两点：x=(x 1 , x 2 , …, x n ), y = (y 1, y 2, …, y n )规定距离d(x, y) = 2222211)()()(n n x y x y x y -+⋯+-+-= (∑=-n i ii y x 12)()1/2 其中d 称为欧几里得距离。
♦ 距离的有关概念 定义1 两个非空点集A 、B 的距离定义为：d( A , B ) = inf d( a , b)这里a ∈A , b ∈B 。
注意：这里是取下确界。
定义2 点x 到集合A 的距离，定义为d( x , A) = d ( {x} , A)即 d( x , A) = inf d( x , a ) （ a ∈A ）定义3 把集合A 的直径记为diam(A)，定义为：diam(A) = sup d( p, q ) ( p ∈A , q ∈A )注意：集合A 的直径，是A 中两点之间距离的上确界sup 。
定义4 有界集。
对集合E ，若 diam(E) < ∞，则称E 为有界集。
定义5 点x 0的邻域。
设x 0是R n 中的一定点，ε为一给定的正数 ε＞0, 定义集合{ x | d(x , x 0) < ε，x ∈R n }它称为点x 0的一个邻域，或称为点x 0的 ε 邻域;记为U( x 0 , ε )，x 0为邻域中心，ε 为邻域的半径。
注意：（1）点x 0 的 ε 邻域 U( x 0 , ε )，是指R n 中所有和给定点 x 0 的距离小于定数 ε > 0的点的全体。
（2） 对于R n 的任意子集E ， x 0∈E ，求E 中 x 0的邻域，是由U( x 0 , ε )E 来获得。
定义6 设 { x n } 是R n 中一点列; 如果当n→ ∞时，有d( x 0, x n ) → 0 , 则称点列 { x n } 收敛于x 0，记为∞→n lim x n = x 0 或 x n → x 0 ( n → ∞) 注意： 点列 x n → x 0，可以用邻域表述为：对于x 0的任一邻域U(x 0), N ∃, 使得n>N 时，x n ∈ U(x 0) 。
第二节-聚点-内点-界点
内点，外点、边界点与聚点的关系
结论：内点一定是聚点，外点一定不是聚点，边界 点有可能是聚点，也有可能是孤立点.
开核与闭包的关系
(E)c (Ec ) (Ec ) (E)c
例 设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无 穷多属于E而异于p0的点.
证明：由条件知 0,U ( p0, ) (E {p0}) （*）
min{
1 n
,d(
pn1,
p0 )}时, 取pn
U ( p0 ,n ) (E
列互异
则上述取出的点列Pn是互异点列,且
lim
n
pn
p 0
3.开核，导集，闭包的性质
➢ 定理2
若
A B Rn，则
A B,
A B,
A B.
➢ 定理3 若 A Rn , B Rn，则
Pn P0 δ
所以U ( p0 , ) (E { p0})为无限集
2.聚点的等价描述
定义：称点列{pn}
收敛于p0
,
记为：lnim
pn
p 0
若
lim
n
d
(
pn
,
p0
)
0,
即 0, N 0,n N,有pn U ( p0, )
Pn P0 δ
定理1：下列条件等价：
假如U ( p0 , ) (E {p0})为有限集，
不妨令U ( p0 , ) (E { p0}) { p1, p2 , , pn}
取 min{ d ( pi , p0 ) | i 1,2, , n}
则U ( p0 , ) (E {p0})
实变函数复习要点
2011实变函数复习要点第一章 集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。
2. 对等和基数及其性质。
3. 可数集合的概念及其性质。
4. 不可数集合的概念及例子。
（二）考核要求 1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。
2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。
De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=cc A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。
例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。
例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。
（2）综合应用：集合的对等的证明 例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。
4. 可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。
（2）综合应用：可数集合的性质。
5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。
第二章 点集 （一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。
2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。
3. 开集、闭集及其性质。
4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。
（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。
2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。
如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。
第九章多元函数微分法及其应用
E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点， 则称 P 为 E 的 聚点 。 聚点 可能 属于 E，也可能 不属于 E 。 聚点 是 内点 或者 边界点。
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点， 则称 P 为 E 的 孤立点 。
孤立点 属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数， 只需将另一个自变量 看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法 则，就可求得结果。
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时 称为间断点 。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数
高数下册知识点
高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a （a x，a y,a z），b（b x,b y,b z），则a b （a x b x,a y b y ,a z b z）, a （ a x, a y, a z）；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：获—y2—z2；2）两点间的距离公式：AB J（X2 xj2（y2 y i）2（Z2 zj23）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,5）投影：Prj u a a cos ，其中为向量a与u的夹角（二）数量积，向量积1、数量积：a ba ||b cos1）a a a 24）方向余弦: COSx—,cosr—,cosr2a b a b 0 ）2向量积：c a b 、大小：|a||b sin ，方向：a, b ,c 符合右手规则1)a a 02)a// b a b 0 运算律：反交换律b a a b (三)曲面及其方程1、 曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、 旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, z) 0，绕y 轴旋转一周：f(y, Vx 2z 2)绕z 轴旋转一周：f( \ x 2y 2, z) 03、 柱面：F(x,y)F (x, y) 0表示母线平行于z 轴，准线为z 0的柱面4、 二次曲面22xy21)椭圆锥面：Q 22za b 2 x2) 椭球面：亍b 22 z2c2x 旋转椭球面： 2a2y 2 a2z 2 c2x2y 2 z 13) 单叶双曲面:2 a b 22c222xy z14) 双叶双曲面:2 a b 22c2 2x y z5) 椭圆抛物面:2 ab 222x y z6) 双曲抛物面（马鞍面）:a 2 b 222x y 17)椭圆柱面： 2 a b 222x y 18)双曲柱面：2 a b 229) 抛物柱面：x ay（四）空间曲线及其方程F(x,y,z) 01、般方程：G (x, y,z) 0x x(t)x a cos t 2、参数方程：y y（t ），如螺旋线：y a sin tz z(t)zbt3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y,z)消去z ，得到曲线在面xoy上的投影 G (x, y, z) 0H (x, y) 0 z 0（五）平面及其方程1、 点法式方程： A(xX 。
§2.2 几类特殊点和集---聚点、内点、边界点、开集、闭集与完备集
§２.２ 几类特殊点和集---聚点、内点、边界点、开集、闭集与完备集本节试图抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质，予以一般化。
对∀ E ⊆R n ，我们可以通过看是否有x 的完整邻域含于E 中将R n中点x 分为三类：⊆∃Φ≠∩Φ≠∩∀⊆∃CE x U x U c CE x U E x U x U b E x U x U a ),(),( .),(,),(),( .),(),( .δδδδδδδ满足满足满足定义２.２.１ 我们称a 类点为E 的内点，记其全体为E 0；b 类点为E 的边界点，记其全体为∂E；c 类点为E 的外点。
显然外点全体为(CE)0，R n ＝E 0∪∂E∪(CE)0（图２.２.１）如图２.２.１所示：M 1是E 的内点，M 2、M 3、M 4、M 5是E 的边界点，M 6是E 的外点。
注２.２.１：E 的边界点既有可能属于E(如M 2、M 3、M 5)，又有可能不属于E(如M 4)。
注２.２.２：E 的边界与CE 的边界相同，即∂E＝∂(CE)注２.２.３：不受“[a,b]的边界只有a,b 两点 ”这个具体结论的直观约束而得出错误的一般结论：“E 的边界∂E 相对集合E 而言只是很少一部分”。
事实上，直线上的有理数全体的边界是整个实数集。
对∀ E ⊆R n ，我们也可以通过看x 的邻域含E 中点的多少将R n中点x 分为三类：Φ=∩∃=∩∃Φ≠−∩>∀)( ),(),( .} {),(),( .}{),(0, .显然此类点即外点满足满足对E x U x U g x E x U x U f x E x U e δδδδδδ定义２.２.２ 我们称e 类点为E 的聚点(或极限点)，记其全体为E'，并称为E 的导集；f 类点为E 的孤立点，显然其全体为E-E'。
即R n ＝E'∪(E- E')∪(CE)0在图２.２.１中，M 1、M 2、M 3、M 4是E 的极限点，M 5是E 的孤立点。
(完整版)《实变函数》第二章点集
第二章点集（总授课时数 8学时)教学目的：欧氏空间n R上的测度与积分是本课程的主要研究对象。
本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念。
通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集，闭集和Borel集，Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础。
本章要点由n R上的距离给出邻域，内点，聚点的定义,从而给出开集，闭集的定义.由开集生成一个σ-代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别的性质。
应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观，可以帮助理解本节的内容。
本章难点Borel集、Cantor 集的性质。
授课时数8学时————-—---———————-——-——-—-—————本章先介绍n R中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集,并讨论了开集与闭集的性质及其构造。
最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.§1 度量空间，n维欧氏空间教学目的1、深刻理解n R中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用。
2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念,理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.3、了解邻域的四条性质.本节要点度量空间的概念。
本节难点度量空间的概念。
授课时数2学时——-———————————————-—————-——--—一、度量空间⨯→为一映射，且满足定义1：设X为一非空集合,d:X X R（1）(,)0d x y ≥,(,)0d x y x y =⇔= (正定性） （2）(,)(,)d x y d y x = （对称性)（3)(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式) 则称(,)X d 为度量空间。
例1：（1） 欧氏空间(,)nR d ,其中(,)d x y =（2） 离散空间(,)X d ，其中1(,)0x yd x y x y ≠⎧=⎨=⎩（3） [],a b C 空间（[],a b C 表示闭区间[],a b 上实值连续函数全体）， 其中(,)max |()()|a t bd x y x t y t ≤≤=-二、 邻域定义2： 称集合0{|(,)}P d P P δ<为0P 的δ邻域，并记为0(,)U P δ.0P 称为邻域的中心,δ称为邻域的半径。
实变函数论4 n维空间中的点集、聚点、内点、界点
收敛于 x0 的点列, 记作
lim
n
xn
x0
或
xn
x0 .
定 义 2' 设xnn 1是 RN中 的 一 点 列 , x0RN. 若
lni m d(xn,x0)0,
称 x0为 点 列 xn的 极 限 , 记 作lni m xnx0或 xn x0.
精品课件
定 义 3 两 个 非 空 的 点 集A,B的 距 离 定 义 为 d(A,B)infd(x,y).
i 1
⑵离散空间(X , d)，其 中
d(x,y){10
xy xy
⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续 函数
全体), 其中 d(x,y)m|a x(tx )y(t)| a t b
精品课件
定义 1 设 x0 RN , 0. RN 中到 p0 的距离小于 的所有点组成之集
xA yB
定 义 3 ' 两 个 非 空 的 点 集 A ,B 的 , 若 A = { x } ,则 点 到 集 合 的 距 离 定 义 为 d (x ,B ) in fd (x ,y ) .
y B
注 ： a . 若 x B , 则 d x , B 0 ; 反 之 则 不 一 定 成 立 ， 如 x 0 , B 0 , 1 .
定 义 5' 设 M 为 R N中 一 点 集 , 若 (M ) ,
则 称 M 是 有 界 集 .
精品课件
定义
分量都是实数的有序 N 数组（x1, x2 ,
,
x
）
N
之
全体称为 R N 空间, 简称 R N . N 称为 R N 的维数.
R N 的 元 素 x （x1, x2 ,
简述点集的边界点, 聚点和内点的关系
简述点集的边界点，聚点和内点的关系点集的边界点、聚点和内点是数学中常见的概念，一般用于分析和描述几何结构，其相互的关系非常重要。
边界点是指点集中位于点集的边缘上的点，它们是点集的外接圆的边界点，联系着点集与周围环境的关系，而不同的点集的边界点的形状和数量也不同。
比如，圆形点集的边界点是圆周上的点，矩形点集的边界点是长方形边界线上的点等。
边界点是点集中最外层的点，它们在某种意义上可以被认为是点集的“门户”，可以帮助我们理解和描述点集的整体结构。
聚点是指点集中连续的一组点，它们往往位于点集的中心，是点集中不可分割的一部分。
比如，星形点集的聚点就是星形的五个点；正方形点集的聚点就是正方形的四个顶点，它们的关系构成了整个点集的基本结构。
内点是指点集中位于内部的点，它们不是点集的边界点，也不是聚点，它们在数学上的作用一般不如边界点和聚点，但在实际应用中，也有一定的作用。
比如，在凸包问题中，使用内点可以有效减少计算量。
点集的边界点、聚点和内点之间有着密不可分的关系，它们互相联系，形成了一个完整的系统。
在一定程度上，边界点、聚点和内点的关系可以帮助我们理解点集的特性，分析其形状和结构，也可以帮助我们解决更多的实际问题。
总之，点集的边界点、聚点和内点之间具有密切联系，它们不仅
可以帮助我们理解点集的形状和结构，还可以帮助我们解决更多的实际问题。
只有将这些概念熟练地应用到实际中，才能充分发挥它们的作用，更好地达到我们的目的。
第二节 聚点,内点,界点演示版.ppt
设 E 是 n 维空间Rn 中的一个点集，P0 是 Rn 中的一个定点，我们来研究 P0 与 E 的关
系,存在三种互斥情况:
.精品课件.
1
第一：在 p0 点的附近根本没有E的点。
第二：在 p0附近全是E的点。
第三：在 p0附近既有属于E的点也有不
E
故P0是E的孤立点. .精品课件.
12
(2) E的界点不是聚点便是孤立点。
内点
{ 点的类型 界点 外点
聚点
{或
孤立点
外点
.精品课件.
13
注 (2) E的界点不是聚点便是孤立点。
证明: 设P0是E的边界点, 若P0不是E 的聚点,
则存在U(P0)不含有异于P0的E中点, 又P0是E 的边界点, 知P0的任意邻域
由2) A A a. 则 (A A) A a.
A a. .精品课件.
24
定理 4 (Bolzano--weierstrass) 设E是一个有界的无限集合，则E至
则称P0是E的边界点.(界点)
.精品课件.
4
1) 对点p0的任意邻域 U (P0)中至少含有异于p0 的E中的一点. p
定义2 E Rn,P0Rn. 若p0的任意邻域 U (P0)内部都含有E中的无
限多个点,则称p0是.E精品的课件聚. 点.
5
2 聚点的类型 1) E中无聚点
E={1,2,3,……，n,……}、有限集、
.精品课件.
9
3
min{ ( p2,
p0
),
1} 3
在
U ( p0 ,3) 取出一点
p3 pi (i 0,1, 2), p3 E
《数学分析》第十六章 多元函数的极限和连续
D = {(x, y)| x2 + y2 1 } 如图
y 1 x2 + y2 = 1
o D
1
x
易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但 圆周上的点不是 D 的内点.
又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0}
的聚点.
一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但若 E 是开集, 则 E 的边界点一定是 E 的 聚点, 自证.
邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概念 都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可 推广到 4 维以上的空间中去, 但不再 有几何意义.
y A
f (x) 0 x x0 x
x x0
y = f (x) f (x)
x
lim f (x) A用 语言表示. 就是 >0, >0.
xx0
当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) – A |< .
设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图
E E0 , 所以 E 是开集.
5. 连通集
设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都 可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集. 如图
X Y
E 连通
X
Y
E 不连通
几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是 连成一片的. E 中的点都可用折线连接.
例1, 2中的 D 都是连通集. 如图
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}， 这个点集称为二元函数的图形.
实变2-2
M
当δ n = min{ 1 , d ( pn −1 , p0 )}时, 取pn ∈ O( p0 ,δ n ) ∩ ( E − { p0 }) n
保证收敛
M
保证点列互异
证明：x ∈ ∂E ⇔ ∀x的邻域U ( x) : U ( x) ∩ E ≠ φ , U ( x) ∩ E C ≠ φ , ⇔ ∀x的邻域U ( x) : U ( x) ∩ E C ≠ φ , U ( x) ∩ (( E C ) C ≠ φ , ⇔ x ∈ ∂E C .
注：应用邻域的方法，证明一些与聚点（导集）、接触点、 内点、外点、边界点、极限点、开集、闭集有关的结论。
若 lim d ( pn , p0 ) = 0,
n →∞
即∀δ > 0, ∃N > 0, ∀n ≥ N , 有pn ∈ O( p0 ,δ )
定理2：下列条件等价： 定理2：下列条件等价：
Pn P0 δ
(1) p0为E的聚点 (即：∀δ > 0, 有O( p0 ,δ ) ∩ ( E − { p0 }) ≠ Φ） 的聚点 (2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于 而异于 0的点。 点 的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于 的点。 无穷多个属于 而异于p (3)存在 中互异的点所成点列 n}, 使得 lim pn = p 0 存在E中互异的点所成点列 存在 中互异的点所成点列{p n →∞ 证明： 显然， 证明：(3) ⇒ ( 2) ⇒ (1) 显然，下证 (1) ⇒ (3)
⇔P
0为
E的外点:
即∃δ > 0, 使得O( p0 ,δ ) ⊂ E c
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令 =1,则由条件在N ( P0 ,1)中至少有一点P 1 E, P 1 P 0,
1 令1 min{d ( P , P ), }, 则在N ( P0 , 1 )中至少有一点P2 E , P2 P0 P 1 0 1, 2
1 令 2 min{d ( P2 , P0 ), }, 则在N ( P0 , 2 )中至少有一点P3 E, P3 P0 , 3 得到{Pn }, 使 lim Pn P0
对x A 取有理数rx ( x
故 Aa
小结：
1、距离，距离空间 2、点集E的内点、外点、孤立点、界点、聚点 3、点集E的内部、边界、导集、闭包 4、点集E的内部、边界、导集、闭包的性质
作业：P29
4
(1).doc
A
BA
B
3）孤立点和离散集合的关系：
离散集合都是孤立点集合，但孤立点集合不一定是离散集合
1 A { ; n 1, 2, 3 n
} 是孤立集合，但不是离散集合
例1 求
1.R1中01 ，内全体有理点 E的所有聚点、界点和内点
2.R 2中点集 E {( x, y ) x 2 y 2 1}的导集、边界、闭包
例2 对R中任意孤立点集A,总有 A a 证： A是孤立点集， x A, x 0, 使得( x x , x x ) A {x}
且当x与y都属于A, 且x y时, 有( x
x
2
,x
x
2
)
(y
y
2
,y
y
2
)
x , x x ) 令 ( x) rx 2 2 则此对应是A到有理数集某一子集的一个一一对应，
注1 同一集合可以定义不同的距离，对应着不同的度 量空间。
2)
X {{x1 , x2 ,..., xn ,...}| xi 2 } E
i 1
x, y X , 令d ( x, y)
2 ( x y ) i i i 1
( X , d )是距离空间，记为l 2
3）X { f (t ) | f (t )在[a, b]上连续},
x(t ), y (t ) X , 令d ( x, y ) max | x(t ) y (t ) |
a t b
则 ( X , d )为距离空间, 记为 C[a, b]
为什么要定义距离呢?
----因为有了距离,在距离空间中,就可以定义邻域,有了邻域,
（6）开区间I {( x1 , x2 ,..., xn ) | ai xi bi , ai , bi R, i 1, 2,..., n}, 闭区间，半开半闭lim d ( Pn , P0 ) 0
n n
思考：点集的诸点与该集的所属关系如何？ 孤立点与界点的关系如何？ 内点与聚点、界点与聚点的关系任何呢？
2、聚点的等价定义
a)P 0 为E的聚点 b) 0，N ( P0 , )中至少含有一个属于E而异于P0的点 c) E中互异的收敛于P0的点列 Pn
证明 : a) b), c) a)是显然的，下面证明b) c)
n { P | d ( P , P ) , P , P R } (3)点P 的 邻域 ： N ( P , ) 0 0 0 0
(4) 点集的直径: ( A) sup{d ( p, q)}
p , qA
(5) 有界集:
若 ( A) M 0, 对P A, 有d (P, o) M , o (0,0,...,0) Rn
（3）若对任意的 0, 总有N ( P0 , ) E , N ( P0 , ) E C ， 则称P0为E的界点
（4）若存在 0, 使得N ( P E {P 0 , ) 0 }, 则称P 0为E的孤立点
（5）若对任意 0, 总有N ( P E为无穷集， , 则称P 0 , ) 0为E的聚点
实变函数论
第5讲
第二章 n维空间中的点集
§1聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理
一、度量空间及其特例---n维欧氏空间 1. 度量空间---距离空间
(1)距离定义： 设X 为一集合, 若对x, y X , 唯一的实数d ( x, y ) R, 使得 (a)非负性 : d ( x, y ) 0, 且d ( x, y ) 0 x y; (b)对称性 : d ( x, y ) d ( y, x); (c)三角不等式 : d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z , y ) 对 z X 成立, 则称d ( x, y )是x与y间的距离.
(2)距离空间： 定义了距离的集合X 称为距离空间或度量空间, 记作( X , d ), 度量空间中的元素, 可以称其为点.
(3) 例1:
1) Rn
----n维欧氏空间,
其中集合 X {( x1, x2 ,..., xn ) | xk R, k 1,2,..., n} 对任意 x ( x1, x2 ,..., xn ) X , y ( y1, y2 ,..., yn ) X
其体积均为 | I | (bi ai )
i 1
n
二 .点集的诸点
1.定义:
n 设 E Rn , P R 0
（）若存在 1 0, 使得N ( P 0 , ) E, 则称P 0为E的内点
C （2）若存在 0, 使得N (P , ) E , 则称P 0 0为E的外点
d ( x, y )
2 ( x y ) i i i 1 n
则d ( x, y)是X 上的一个距离，称为欧氏距离， （X ,d )称为欧氏空间，记为Rn
若令d1 max | xi yi |,
1i n
d 2 | xi yi |
i 1
n
则d1,d2也是X 上一个距离，(X , d1 ),(X , d2 )也是距离空间
记作： int E或E 0
4)称 E E为E的闭包，记为E
5)如果集合E的每一个点都是孤立点，则E为孤立集合
6)如果E ' , 则称E为离散集
2.性质：
1） 开核、闭包、导集的单调性：
若A B, 则A0 B0 , A B, A B
2）并集的导集与闭包：
A B A B
n
3、聚点存在定理(Bolzano-Weierstrass )定理4： R n中任意有界无穷点集必有聚点。
问：任意有限集有聚点吗？－－无
三.点集诸点构成的点集
1.定义：设 E Rn
1）称E的所有内点组成之集为E的内部或开核，
E 2)称E的所有聚点组成之集为E的导集，记作：
3）称E的所有界点组成之集为 E的边界，记作：E
就可以定义极限.连续.导数.积分等运算,从而把数学分析的 相关概念及研究思路推广到一般的距离空间中来,使得分析 学有了更广泛的应用.
2、度量空间中的几个概念 d ( A, B)＝ inf{d ( P, Q) | P A, Q B} （1）两点集间的距离：
d ( P, Q) (2)点P到点集A的距离: d ( P, A) d ({P}, A) inf QA