(完整版)二次函数中的存在性问题(等腰三角形的存在性问题)

二次函数中的存在性问题(等腰三角形)

[07福建龙岩]如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △

已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =． （1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在

x 轴下方的动点， 是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条 件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 解：（1）抛物线的对称轴55

22

a x a -=-

= （2）(30)A -， (54)B ， (04)C ，

把点A 坐标代入2

54y ax ax =-+中，解得1

6

a =-

215

466

y x x ∴=-++

（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索．

设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．

过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，2

BM = ① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．

222228480AB AQ BQ ∴=+=+= 在1Rt ANP △中，1

PN ==

== 152

P ⎛∴ ⎝⎭ ② AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．

在2Rt BMP △中，22MP ==

== 252P ⎛∴ ⎝⎭

③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．

画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．

过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3

Rt Rt PCK BAQ △∽△．312

P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK = 3(2.51)P ∴-，

[07广西河池]如图，已知抛物线224

233

y x x =-

++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于（1）求点B 和点C 的坐标；

（2）设当点M 运动了

x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ， 求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．

（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．

（1）把x =0代入224

233y x x =-

++得点C 的坐标为C （0，2） 把y =0代入224

233

y x x =-++得点B 的坐标为B （3，0）

（2）连结OP ，设点P 的坐标为P （x ，y ）

OBPC S 四边形=OPC S △+OPB S △ =

112322x y ⨯⨯+⨯⨯

= 3223x ⎛+- ⎝

∵ 点M 运动到B 点上停止，∴03x ≤≤

∴2

3

324S x ⎛

⎫=--+ ⎪⎝

⎭（03x ≤

≤）

（3）存在． BC

=13 ① 若BQ = DQ

∵ BQ = DQ ，BD = 2 ∴ BM = 1 ∴OM = 3-1 = 2 ∴2tan 3QM OC OBC BM OB ∠=

== ∴

QM =23 所以Q

的坐标为Q （2，2

3

） ． ② 若BQ =BD =2 ∵ △BQM ∽△BCO ，∴

BQ BC =QM CO =BM

BO

∴

=2QM

∴ QM

∵

BQ BC =BM OB ∴ 3BM

∴ BM ∴ OM = 3 ··················································· 11分 所以Q 的坐标为Q （313-，13

） ··················································· 12分

[07年云南省]已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ）， 请求出△CBE 的面积S 的值；

（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并 写出0P 点的坐标；

（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由． 解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ∴(1)(5)y a x x =--． 又∵抛物线经过点(0,5)C ∴55a =，1a =．

∴抛物线的解析式为2(1)(5)65y x x x x =--=-+．

（2）∵E 点在抛物线上， ∴m = 42–4×6+5 = -3．

∵直线y = kx +b 过点C （0， 5）、E （4， –3）

， ∴5,

4 3.b k b =⎧⎨+=-⎩

解得k = -2，b = 5．

设直线y =-2x +5与x 轴的交点为D ，当y =0时，-2x +5=0，解得x =52．∴D 点的坐标为（5

2

，0）． ∴S =S △BDC + S △BDE =1

515(5)5+(5)32222

⨯-⨯⨯-⨯=10．

（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，

∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．

（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．

理由如下：∵22

0024254AP BP ==+=>，

∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线 交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ， 除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点． （说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分）

x

y

C B A

E

–1 1 O