第二章 一维随机变量及其分布
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题
(A) P{X ≤ 0} = P{X ≥ 0} = 0.5
(B) f (x) = f (−x)
(C) P{X ≤ 1} = P{X ≥ 1} = 0.5
(D) F (x) = 1 − F (−x)
5. 设随机变量 X 的密度函数为ϕ(x) ，且ϕ(−x) = ϕ(x) ， F (x) 是 X 的分布函数，
一元件损坏仪器即停止工作，求仪器正常工作 1000 小时以上的概率。
解：设 Ai 表示第 i 个元件的寿命( i = 1,2,",5 )，则 Ai 相互独立，且
{ } P
Ai
> 1000
=
∫+∞
1000
f
(x)dx
=
∫+∞
1000
1 1000
e −x 1000 dx
=
−e −x 1000
+∞ 1000
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题第二章第二章第二章一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布一内容提要与大纲要求一内容提要与大纲要求内容提要内容提要1
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第二章
第二章 一维随机变量及其分布
一、内容提要与大纲要求
内容提要
1. 随机变量及其概率分布； 2. 随机变量分布函数的概念及性质； 3. 离散型随机变量的分布； 4. 连续型随机变量的概率密度； 5. 常见随机变量的概率分布； 6. 随机变量函数的概率分布。
= 1 − 0.98400 − 400 × 0.02 × 0.98399 ≈ 0.997165 。
或：用泊松近似， λ = np = 8 ，
P{X ≥ 2} = 1− P{X < 2} = 1− (P{X = 0}+ P{X = 1})
概率统计第二章 一维随机变量及其分布
第二章 一维随机变量及其分布
1
§1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
P{X xi} pi ， i 1, 2, ．
就称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布．
14
10P1X 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
或
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
其中 x1, x2 , , xi , 互不相同，且可能为有限个 x1, x2 , , xn ．
P{X 2} C42 0.62 0.42 0.3456 ，
P{X 3} C43 0.63 0.41 0.3456 ，
P{X 4} C44 0.64 0.40 0.1296 。
O 1234 x
例 2.5 设某机械产品的次品率为 0.005，试分别求任意1000 个产品中恰有10个次品的概率和不多于 5 个次品的概率．
所以 X 取奇数的概率为
1
i 1
P{X
2i 1}
1 2
1 23
2 2． 1 (1)2 3
20
2
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1． 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
0
第二章 一维随机变量及其分布1
两点分布（贝努里分布）
若随机变量只有两个可能的取值 0和1，其概率分布为
01
则称X服从参数为p的两点分布.
应用： 0-1分布 只有“成功”和“失败” 两种对立结局的试验称做伯努 利试验；伯努利试验成功的次数X服从0-1分布，参数——成功的概率， ——失败的概率．例如产品抽样验收：抽到不合格品——成功，抽到合 格品──失败；射击：命中──成功，脱靶──失败……
查泊松分布表可得，，于是这家商店只要在月底保证存货不少于15件就 能以95%以上的把握保证下月该商品不会脱销.
例5 在500个人组成的团体中，恰有5个人的生日是元旦的概率是多 少？
解：该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是，则该团体中生 日为元旦的人数，恰有5个人的生日是元旦的概率为
泊松定理：设随机变量序列服从二项分布（这里概率与n有关），若 满足（为常数），则有：
x 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 0.53 0.579 0.655 0.726 0.788 0.841 0.885 0.919
解：设A1={ 电压不超过200伏}，A2={ 电压在200伏~240伏}，A3={电 压超过240伏}，B={电子元件损坏} 由于 所以， 又知： 所以 Ⅲ、典型例题分析
则的分布密度为 例3 设随机变量的概率密度为
求：的分布密度函数. 解：由分布函数的定义 当时， 当时， 当即时， 当即时， 因此 分布密度为
例４. 已知Ｘ服从区间[0,1]上的均匀分布, 求Ｘ的函数Ｙ=3Ｘ+1的概率分 布. 解: 根据题意知Ｘ的概率密度为： 则Ｙ的分布函数为 对其求导得Ｙ的概率密度与Ｘ的概率密度间的关系为 即Y服从在区间[1,4]上的均匀分布. 例５. 已知Ｘ～, , 求Ｙ的概率密度. 解: Ｙ的分布函数 因ey总大于0, 而当y大于0时FX(x)为 因此有: 则Y的概率密度为其分布函数的求导:
一维随机变量及其分布
第二章一维随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B （n,p）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P（）及其应用。
3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U（a,b）、正态分布N（）、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布E（）的概率密度为会求随机变量函数的分布。
本章导读本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型；如何根据定义求的函数分布一般方法。
介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。
分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点，如为什么要求分布函数必须右连续等问题？目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。
一、随机变量1概念随机试验的每一个可能的结果（即每一基本事件），对应样本间的集合中每一元素，我们都可以设令一个实数来表示该元素，显然，为实值单值函数，称为随机变量。
对，我们试验前无法确定，也就无法事先确定的值，只有在试验后才会知道的值，但取值一定服从某种确定的分布。
随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件；第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率；第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。
比如：将一枚硬币抛三次，以表示三次投掷中出现正面的总次数，那么，对于样本空间中的每一个样本点，都有一个值与之对应，即二、随机变量的分布函数2.1 随机变量的分布函数（适合任何类型的随即变量）陈氏第2技随机变量的分布函数的全新揭秘。
● 分布函数定义形式的渊源一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率由于当所以，我们只须定义一个形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。
第二章一维随机变量及其分布
第⼆章⼀维随机变量及其分布第⼆章⼀维随机变量及其分布⼀、填空题1.已知F （x ）=P {}X x ≤,则P {}a2.设随机变量 X 的分布函数为,()0,x A Be F x -?+=?00x x >≤ 则A= ,B= （A,B 均为常数）3.设X 的分布函数为0,11,116()1,1221,2x x F x x x <--≤≤则{}1P X <= ，{}12P X <<= . 4.当常数C= 时，{},1,2,(1)CP X n n n n ===+ 为X 的分布律.5.设X 的密度函数为2,()0,x ke f x -?=??00x x >≤则{}12P X -<<= . 6.设X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}122p X P X ===，则{}3P X == . 7.设(1,4)X N ，则{}1P X <= .8.设X 的分布律为101211114436X -??，则2X 的分布律为 .9.设X 服从[]0,1上的均匀分布，则21Y X =-的密度函数为 .10.设X 的密度函数为f(x)，则XY e-=的密度函数为 .⼆、选择题1.设连续型随机变量X 的密度函数为f(x)，分布函数为F （x ），则下列结论正确的是（）<+=()D 当12x x <时，12()()F x F x <2.设X 的分布函数为F(x)，则下列函数中，仍为分布函数的是( )()(21)A F x - ()(1)B F x -3()()C F x ()1()D F x --3.设X 的分布函数为20,()F x x b c ??=-，，x a a x x ≤<≤>则常数a,b,c 的值为( )()A -1,1,1. ()B 1,1,1. ()C 1,0,1. ()D 1,1,0.4.设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,kP X k b k λ=== ，则常数b,λ应满⾜( )()A b>0 ()B 0<λ<1 ()C b=11λ-- ()D 以上都应满⾜5.设X 服从参数为λ的泊松分布，s 表⽰X 取偶数的概率，t 表⽰X 取奇数的概率，则有( )()A s=t ()B st ()D s 与t 的⼤⼩关系不定6.某公司汽车站从上午6点起，每15分钟有⼀班车⽤过，若某乘客到达该站的时间在 8:00到9:00服从均匀分布，则他候车的时间少于5分钟的概率是( )()A 13 ()B 23 ()C 14 ()D 127.设2X N(0,)σ，则对任⼀实数λ，下列结论正确的是( ){}{}()1A P X P x λλ<=-<- {}{}()B P X P X λλ<=> 22()X (0,)C N λλσ 22()(,)D X N λλλσ++8.设22()x xf x CeB ()C ()D9.设X 在[],a b 上服从均匀分布，,λµ的任意两实数，则下列命题正确的是( )()A X 服从均匀分布 ()B 2X 服从均匀分布()C 2(1)X λµ++服从均匀分布 ()D 2(1)X λµ-+服从均匀分布10.设X 为⼀随机变量，Y 为X 的单值函数，则下列命题不正确的是( )()A 若X 为连续型时，Y 未必为连续型 ()B 若X 为连续型时，Y 未必为离散型 ()C 若X 为离散型时，Y 未必为连续型 ()D 若X 为离散型时，Y 未必为离散型三、解答题1．盒中有4只⽩球1只⿊球，现⼀只⼀只地将球取出来，取出后不放回，设X 表⽰取到⿊球的取球次数，求X 的分布律. 2.设甲，⼄，丙三⼈同时向⼀⽬标射击⼀次，命中率分别为0.4，0.5，0.7，设X 表⽰击中，⽬标的⼈数，求X 的分布律. 3.设1cos ,0221()sin ,0220,x x f x x x ππ-≤其它试问f(x)是否为某随机变量X 的密度函数？如果是，求X 的分布函数. 4.设X 的密度函数为2(),0,k xf x Ae k x -=>-∞<<+∞,试求：(1)常数A (2){}(1,0)P X ∈- (3)X 的分布函数()F x5.设X 服从参数为1的泊松分布，{}{}2,50Y X P Y k P Y k ===+≠，k 为某⾮负整数.求{}{}5P Y k P Y k =-=+.⾍卵是否发育成幼⾍是相互独⽴的.证明昆⾍所产的幼⾍数η服从参数为p λ的泊松分布.7.设X 是[]0,1上的连续型随机变量， {}0.290.75,1P X Y X ≤==-，试决定y ，使得{}0.25P Y y ≤=.8.某班有40名学⽣，某次考试的成绩()72,64X N ,已知⼀学⽣成绩为80分.问该学⽣在全班⼤概排到多少位？9.某⼚⽣产的电⼦管寿命()()2N 1600X σ以⼩时计，，若电⼦管寿命在1200⼩时以上的概率不⼩于0.96，求σ的范围.10.已知某电⼦管元件的寿命(X ⼩时）的概率密度为110001,0()10000,0e xf x x -?>?=??≤?求 (1)这种元件能使⽤1200⼩时以上的概率； (2)5个这种元件中⾄少有3个能使⽤1200⼩时以上的概率.11.已知测量误差N 7.5,100X （⽶）（），问必须测量多少次才能使⾄少有⼀次误差的绝对值不超过10⽶的概率⼤于0.9？12设13,3X B ??，Y 服从[]0,3上的均匀分布，且X 与Y 独⽴，问⾏列式1102011X X Y -->的概率是多少？ 13.设连续型随机变量X 的密度函数为(),()0,x a x b e f x -?-=??00x x >≤期中,a b 为常数，已知曲线()y f x =在2x =时取得拐点. (1)求,a b 的值;(2)设{}()1(0)g t P t X t t =<<+>，问t 为何值时，()g t 取得最⼤值？ 14.(1)设ξ服从参数为λ的泊松分布，证明当[]k λ=时，{}P k ξ==最⼤； (2)设(,)B n p ξ，证明当[](1)k n p =+时，{}P k ξ=最⼤. 15.设X 服从指数分布，证明当,0s t >时，{}{}P X s t X s P X t >+>=>.16.设连续型随机变量X 的密度函数()f x 为偶函数，()F X 为X 的分布函数，证明()(),02x F x f t dt x -=->?.17.设X 的分布律为{}1,1,2,2k P X k k === ，求sin 2Y X π=的分布律.18对圆⽚直径进⾏测量，测量值X 在[]5,6上服从均匀的分布，求圆⽚⾯积Y 的概率密度()Y f y .19.设2(,)X N µσ ,求Y X =的概率密度()Y f y .20.设X 在[]0,2π上服从均匀分布，求Y sinX =的密度函数()Y f y21.设X 在[],a b 上服从均匀分布，Y cx d =+(0)c ≠，证明Y 仍服从均匀分布. 22.设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，若对任意{},(),(,)0a b a b P X a b <∈>，证明()Y F X =服从[]0,1上的均匀分布.23.设Z 为连续型随机变量，分布函数为()Z F z ，且对任意{},(),(,)0a b a b P Z a b <∈>，X 服从[]0,1上的均匀分布，证明1()Z Y F X -=与Z 同分布.24.设X 与Y 独⽴，X 的密度函数为()f x ，1ab Y p p ?? ?-??，证明X Y +的密度函数为()()(1)()h x p x a p f x b =-+--.第⼆章习题答案⼀、填空题1.(0)(),()(0)F b F a F b F a ----.2.1,1A B ==-.3.由题意可得X 的分布律为112111632X -??，故116P X ??<=，{}120X <<=4.由111(1)n cc n n ∞==?=+∑ 5.由20()12x f x dx ke dx k +∞+∞12()21x P X f x dx e dx e ---<<===-??6.12211!2!e e λλλλλ--=?=.{}1136P X e -==7.{}{}111110(0)(1)2X P X P X φφ-?<=-<<==-<<=--[]1111(1)(1)0.84130.3413222φφ=--=-=-= 8.24011176412X ?? ? ?9.2(1)Y X =-服从[]0,2上的均匀分布，故有：1, 02()20,Y y f y ?≤≤?=其他10.1(ln ),0()0,0Y f y y yf y y ?->?=??≤?⼆、选择题1.C6.A7.A8.B9.C 10.D 三、解答题 1.设A i 表⽰第i 次取到⿊球，1,2,3,4,5.i ={}111()5P X P A ==={}{}()()()()()()112112341213124123512344112()()()545543211154325P X P A A P A A A P X P A A A A AP A P A A P A A A P A A A A P A A A A A ====?======所以X 的分布律为X 1 2 3 4 5P15 15 15 15 152.设,,A B C 分别表⽰甲，⼄，丙击中⽬标，由题意知,,A B C 相互独⽴，则{}{}{}{}00.50.30.091230.40.50.70.14P X P ABC P A P B P C P X P ABC ABC ABC P X P ABC ABC ABC P X P ABC ==??===++==+==??=（）=（）（）（）=0.6(）=0.36（+）=0.41（）=所以X 的分布律为X 0 1 2 3 P 0.06 0.36 0.41 0.143.显然()f x ⾮负可积，且2201111()cos sin 12222f x dx xdx xdx ππ+∞故()f x 可为某随机变量X 的密度函数220202()()(),210cos ,022110cos sin ,022210,2xx x x xF x f t dtf t dt x dt tdt x dt tdt tdt x dt x ππππππππ-∞-∞--∞---∞-+∞=?<-+-≤-≥0,21sin ,0221cos ,021,2x x x x x x ππ<-+?-≤4.(1)由()1f x dx +∞-∞=?，得21k xAAedx k+∞--∞==?，所以A k =(2){}0022111(1,0)()(1)2k xk P X f x dx kedx e ----∈-===-??(3)20220,0()(),x kt xxktkt ke dt x F x f t dtp ke dt ke dt x -∞-∞--∞=??+≥221,0211,0kx e x e x -?-≥5.由题意知2k m =，25k n +=，,m n 为两个⾮负整数，225m n -=.()()5n m n m +-=.进⽽得5,1n m n m +=-=.解得3n =，2m =.即有4k =. {}{}{}{}{}{}54923P Y k P Y k P Y P Y P X P X =-=+==-===-=2311111112!3!33e e e e---=-==. 6.{},0,1,2!rP r e r r λλξ-==={}(1),0k k r k r P k r C p p r k ηξ-===-≥≥由全概率公式可得{}{}{}(1)!rk k r k r r kr kP k P r P k r e C p p r λληξηξ∞∞--========-∑∑(1)!(1)!!()!!()!r k rk k r k k r kr kp r e p p e p r k r k k r k λλλλλ-∞∞---==??-??=-=--∑∑(1)()(),0,1,2,!!k k p p p p e e e k k k λλλλλ---===即η服从参数为p λ的泊松分布.7.{}{}{}110.25P Y y P X y P X y ≤=-≤=≥-=.有对⽴事件的概率公式8.{}72807287280111888X P X P P --->=>==-≤1(1)10.84130.1587φ=-=-=400.1587 6.348?= 因此该学⽣在全班排在⼤约第七位.9.{}16001200160040012000.96X P X P σσσ--??>=>=-≥?16004004000.04,()0.04X P φσσσ-??≤-≤-≤?，即得400400400()0.96,1.75228.61.75φσσσ≥≥?≤≈ 10.(1){}6100051200112000.30121000x P X e dx e --+∞>==≈?(2)5个元件中⾄少有3个能使⽤1200⼩时以上的概率为6618612555555553()(1)101560.1674iiii C ee ee e -----=??-=-+≈∑ 11.设测量n 次，则有{}1(17.510)0.9n P X ---≤>解得2n >，故n ⾄少取3.12.{}1120(1)(2)0101XX P Y P X Y ?-->=-->{}{}{}{}{}{}223300333310,2010,201212121112223(()())()()333333381P X Y P X Y P X P Y P X P Y C C C =->->+-<-<=>>+<<=++=13.(1)当0x >时，()(1),()(2)x x f x a b x e f x a x b e --'''=+-=--，由当2x =时，()y f x =取得拐点知(2)0f ''=，得0b =.⼜()11x f x a xe dx a +∞+∞--∞=?==?，即 1a =所以,0,()0,0.x xe x f x x -?>=?≤?(2)111()()()t t t x tttg t f x dx f x dx xe dx +++-===?[](1)(1)()(1)1(1)tt tg t t e t e ee t -+--+'=+-=-- 令()0g t '=，得11t e =-，且易知当11t e =-时，()g t 取得最⼤值.14.{}{}11,(1)1,!(1)!11,kk k P k ee k k k P k k k λλλξλλλλξλ--->?表明{}P k ξ=随着k 的增⼤，由递增变成递减，若λ为整数，则k λ=及1λ-时，{}P k ξ=最⼤；若λ不为整数，则[]k λ=时，{}P k ξ=最⼤. (2)⽅法同上.15.设X 的密度函数为,()0,x e f x λλ-?=??00x x >≤{}{}{}{}{},P X s t X s P X s t P X s t X s P X s P X s >+>>+>+>==>>()x s t t s t s x se dxe e e e dxλλλλλλλ+∞--+-++∞--===??{}x t tP X t e dx e λλλ+∞-->==?所以{}{}P X s t X s P X t >+>=> 16.(1)()()()x xF x f t dt t uf u du --∞+∞-==---?()1()1()x xf u du f t dt F x +∞-∞==-=-?所以 ()()1F x F x +-=(2)01()()()()()2xx xF x f t dt f t dt f t dt f t dt --∞-∞--==-=-?17.由于1,sin 0,21,n π-??=??412241n m n m m =-==+故Y 只取1,0,1-三个值.{}{}{}{}{}41121121412151102232181115315m m mm P Y P X m P Y P X m P Y ∞-=∞==-==-=========--=∑∑所以Y 的分布律为Y 1- 0 1P215 13 81518.2224X Y X ππ??==,且X 在[]5,6上服从均匀分布.{}2()4Y F y P Y y P X y π??=≤=≤.当254y π<时，()0Y F y =；当9y π>时，()1Y F y =；当2594y ππ<<时，()55Y F y P X P X =-≤≤=≤≤=??2594()()0,Y Y y f y F y ππ<<'==?其他19.{}{}{}()X Y F y P Y y P y P y X y =≤=≤=-≤≤ 当0y ≤时，()0Y F y =；当0y >时，()Y y X y y y F y P µµµµµσσσσσ-------=≤≤=Φ-Φ?? ? ???????，1,0()()0,0Y Y y y y f y F y y µµ??σσσ??---?+>? ? ???'==???≤20.{}{}()sin Y F y P Y y P X y =≤=≤. 当1y ≤-时，()0Y F y =；当1y ≥时，()1Y F y = 当1a y ≤<时，arcsin 20arcsin 111()(2arcsin )222yY y F y dx dx y ππππππ-=+=+?；当10y -<<时，2arcsin arcsin 11()(2arcsin )22yY yF y dx y πππππ+-==+?.11()()0,Y Y y F y F y -<<'==?其他22.由(){},0P X a b ∈>知，()F x 单增，进⽽有反函数.由于0()1F x ≤≤，故当0y <时，()0Y F y =；当1y >时，()1Y F y =；01y ≤≤时，{}11()()(()).Y F y P X F y F F y y --=≤==1,01()()0,Y y y F y F y ≤≤?'==?其他23.本题只须证明Z ()()Y F y F y =.{}{}{}1Z ()(X)()()Y Z Z F y P Y y P F y P X F y F y -=≤=≤=≤=.24.{}{}{},,P X Y x P Y a X Y x P Y b X Y x +≤==+≤+=+≤{}{}{}{}{}{},,()(1)()x a x bP Y a X x a P Y b X x b P Y a P X x a P Y b P X x b p f t dt p f t dt ---∞-∞==≤-+=≤-==≤-+=≤-=+-?求导便得X Y +的密度函数为()()(1)()h x pf x a p f x b =-+--.。
2一维随机变量及其分布
注 ： 后 两 条 性 质 做 直 观 理 解 即 可 ！
M.T.
例1:设随机变量的有分布为 X -1 2
3
pk
1 4
1 2
1 4
求 X的分布函数，并求
P(X
1 ),
P(3
X
5), P(2
X
3)
22
2
解: X的分布函数为 0
1
F
(x)
1
4
1
4 2
x 1 1 x 2 2 x3
X ~ B(n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布 M.T.
例2 一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15 件．试求下列事件的概率：
B={ 取出的15件产品中恰有2件次品 }
C={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
解：由于从一大批产品中取15件产品，故可近 似看作是15重Bernoulli试验．
P p 1–p
0<p<1
或写成 P( X k) pk (1 p是试验的目的只考虑两个可能的结果，
常用0 – 1分布描述，如考试是否及格、产品是否格、
人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负
荷等等.－－简单且普便
M.T.
(2) 二项分布 B(n, p)
X ~ U (a,b)
0,
X 的分布函数为
F
(x)
-10
-5
a
5
x
M.T.
例1 设随机变量 具X 有概率密度函数
试确定常数A，
以及 X的分布函数.
Ae3x , x 0; f (x)
概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布
分布函数的性质：
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
0 F ( x) 1 且
x
lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
x
F ( x ) 右连续，即
F ( x 0) lim F (t ) F ( x)
一、离散型随机变量的概念
定义: 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个，则称 X 为离散型随机变量. 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布 或分布律，即
P( X xk ) pk , k 1,2,
概率分布的性质
pk 0, k 1,2,
非负性
pk 1
第二章
一维随机变量及其分布
一、随机变量及其分布 二、离散型随机变量的分布函数 三、离散型随机变量的概率函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布
2.1
2.1.1 2.1.2
随机变量及其分布
随机变量的概念 随机变量的分布函数
为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学 工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的 不同结果．
请 填 空
P(a X b) F (b 0) F (a) P(a X b) F (b 0) F (a 0)
例2.1.1 设随机变量的 分布律为 :
x
pk
-1
1 4
2
1 2
3
1 4
1 求 X 的分布函数，并求: P ( X ), P ( 3 X 5 ), P (2 X 3) 2 2 2
k
1k
(2) 离散型均匀分布
概率第二章
0 1 1 1 η ~ 2 2
(1)求ξ和η的联合分布列 (1)求 (2)问 (2)问ξ和η是否独立？为什么？ 是否独立？为什么？
19
§2.3
随机变量函数的分布列
一、随机变量的函数 问题：已知随机变量ξ的分布， f(ξ 问题：已知随机变量ξ的分布，令η=f(ξ), 的分布。 求η的分布。 定理1 设ξ是(Ω，F，P)的一个随机变量，f(x)是一个 P)的一个随机变量 f(x)是一个 的一个随机变量， 定理1 可测函数， f(ξ 也是( P)上的的一个随机量 上的的一个随机量. 可测函数，则η=f(ξ)也是(Ω，F，P)上的的一个随机量.
引例3 引例 掷一枚硬币 ， Ω = {ω1,ω2} 引例4 掷一枚硬币 ， 10件产品，5件次品任取 件，其 引例 件产品， 件次品任取3件 件产品 件次品任取 中的次品数ξ=0。 中的次品数ξ=0。1，2，3
1
定义1 ,P）是概率空间, 是定义在Ω 定义1：设（ Ω, F,P）是概率空间, ξ=ξ(ω)是定义在Ω 上的实值函数， 上的实值函数，如果 ∀x∈ R 有：{ω ξ (ω) < x}∈ F ∈ 则称ξ 随机变量。 则称ξ为随机变量。 定义2 离散型随机变量） 定义2：（离散型随机变量）
x1
x2
p2
x2 L p2 L
L
L
P p1
x1 p 1
或：
3
假设有10种同种电器元件，其中有2只废品， 10种同种电器元件 例5 假设有10种同种电器元件，其中有2只废品，装配仪 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 直到取出正品， 表示取出正品之前已取出的废品个 取出正品之前已取出的废品个， 直到取出正品，令ξ表示取出正品之前已取出的废品个， 数求ξ的分布列。 数求ξ的分布列。 例6 n=5的Bernoulli试验中 试验中， P(A)=p， 表示5 在n=5的Bernoulli试验中，设P(A)=p，令ξ表示5次
概率论与数理统计课件 2.2第二章 一维随机变量及其分布
随机变量
1 X 0
（取得红球） （取得白球）
其概率分布为 P( X 1) 3 10
P(X 0) 7 10
即X服从两点分布。
二项分布
P{ X k} Cnk pk qn k ,其中, q 1 p, k 0,1,2,, n
P(X k) b(k;n, p). X ~ B(n, p)
X
0
1
P
1－p
p
则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。
如：上抛一枚硬币。
例 设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中
随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，
并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得
白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力
例 设有同类设备８０台，各台工作相互独立
的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的 故障可由一个人来处理，试求
（１）一个人负责维修２０台设备时，设备发 生故障而不能及时维修的概率；
（２）由三个人共同负责维修８０台设备时， 设备发生故障而不能及时维修的概率。
利用概率测度的上下连续性，易知
分布函数的性质
分布函数的这三个性质称为随机变量 分布函数的特征性质。
柯尔莫哥洛夫存在性定理：
F (x) 1 是不是某一随机变量的分布函数？ 1 x2
不是
因为 lim F(x) 0 x
1
函数
G(
x)
1
x2
1
(x 0) 可作为分布函数 (x 0)
分布函数是一种分析性质良好的函数， 便于处理，而且给定了分布函数就可以算出 各种事件的概率，因而引进分布函数使许多 概率问题得以简化为函数的运算，这样就能 利用数学分析的许多结果，这就是引入随机 变量的好处之一。
第2章一维随机变量及其分布
第2章一维随机变量及其分布概率论★第一节随机变量★第二节离散型随机变量★第三节连续型随机变量★第四节随机变量函数的分布返回基本要求1.掌握随机变量的概念,熟悉一维离散型和连续型随机变量;2.会求简单的一维离散型随机变量的分布律;3.熟记并能应用分布律和分布密度的性质;4.深刻理解分布函数的定义和性质;5.在已知分布律或分布密度的条件下,能熟练地求出分布函数和有关的概率;6.记住几个常用分布,熟悉它们的特性.重难点点分布律和分布密度.分布函数的求法8返回学时数第一节随机变量与分布函数一、一维随机变量的定义定义1设{}为随机试验E的样本空间,()(或某())是定义在上的单值实函数,如果对任意实数某,{()某}是一随机事件,则称()为随机变量.记为或某.例2.1E为"抛硬币",正面记1,反面记0,则1()0出现正面出现反面返回例2.2各面涂漆的正方体,将每条棱10等分,锯成1000个小正方体,观察每个小正方体涂漆的面数.解：表示涂漆的面数,则设0各面都不涂漆1只有一面涂漆2只有两面涂漆3有三面涂漆{ξ2}{涂漆面数不多于2}{涂漆面数为0或1或2}{ξ5}{涂漆面数不多于5}Ω{ξ1}{涂漆面数不多于1}Φ返回例2.3测试灯泡寿命.解：设表示灯泡寿命,则t(t0)100{100}{灯泡寿命不超过}{16}{灯泡寿命不超过16};返回例2.4袋中有红球二个,黄球四个,它们的标号是1,2,3,4,5,6.现从中任取一个球,E1:观察标号数;E2:观察颜色.解：在E1中，样本空间S1{1,2,3,4,5,6}可定义某某(i)ii1,2,3,4,5,6可见，某是定义在S1上的随机变量在E2中，样本空间S2{红，黄}设A{取得的是红球},则A{取得黄球} 1可定义，某0A发生A发生返回则某是定义在S2上的随机变量注意:随机变量是定义在样本空间上的实值函数,它与普通的实函数有本质的区别:(1)它的取值是随机的,因而它取每一可能值都有一定的概率;(2)它的定义域是样本空间S,而S不一定是实数集;(3)对任意实数某,概率P{某≤某}存在.(4)每一个事件都可以用一个随机变量来描述,称为事件的数量化.返回二、随机变量的概率分布设某是随机变量,则它的取值规律(即可能取哪些值,取这些值的概率分别是多少？)称为某的概率分布(简称分布).通常用分布函数,分布律或分布密度来描述随机变量的分布.返回三、随机变量的分布函数1.分布函数的定义定义1设某为随机变量，某为任意实数，称F(某)P(某某)为随机变量某的分布函数。
第二章 一维随机变量及其分布
第二章一维随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数一、内容精要（一）随机变量1.随机变量的引入的背景2.随机变量的严格定义（二）分布函数1.分布函数的定义2.分布函数的性质3.分布函数表示的概率计算公式二、 常考题型分析（一） 与分布函数有关的性质1. 判定给定函数是否为分布函数例1 ()下列函数中，可以做随机变量的分布函数的是()()21.1A F x x =+ ()()31arctan .42B F x x π=+ ()()0,0,,0.1x C F x xx x≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩ ()()2arctan 1.D F x x π=+2. 含参数的分布函数形式已知，求未知参数例2 ()()1212F x F x X X 设与分别为随机变量和的分布函数.为使 ()()()12=F x aF x bF x -()是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取()32,.55A a b ==- ()22,.33B a b == ()13,.22C a b =-= ()13,.22D a b ==-例3 ()()0,1,11,11,84,11,1,1,x x X F x P X ax b x x <-⎧⎪⎪=-⎪===⎨⎪+-<<⎪≥⎪⎩设随机变量的分布函数且,.a b 求未知参数3. 分布函数的连续性例4 ()000X x P X x ==设随机变量对于任意实数有的充要条件为()A X 为离散随机变量. ()B X 不是离散随机变量.()()C X F x 的分布函数为连续函数.()()D X f x 的概率密度为连续函数.例5 ()()()()1221F x X P x X x F x F x <<=-设为随机变量的分布函数，则()()F x 成立的充要条件是在()1A x 处连续. ()2B x 处连续. ()12C x x 和至少一处连续. ()12D x x 和都不连续.例6 ()()1F x F x --设为某个随机变量的分布函数，讨论函数是否为分布.函数（二） 已知分布函数求区间或某点的概率例7 ()()()00,1=01,121,1,xx F x x P X e x <⎧⎪⎪≤<=⎨⎪-≥⎪⎩，设随机变量的分布函数，则为()0.A ()1.2B ()11.2C e -- ()11.D e --例8 3164一个边长为的正立方体容器盛有的液体，假设一个小孔出现在容器 个表面的任何一个部位是等可能的，现在表面出现了一个小孔，液体经此小孔流出，试求()X F x （1）容器中剩余液体液面的高度的分布函数； 3().4P X =（2）例9 ()=()X x R F x P X x ∈<设为随机变量，对于任意，定义函数，且00,1()=01,21,1,x x F x x e x -≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪->⎪⎩，，(1)_____________.P X ==则第二节一维随机变量及其分布一、内容精要（一）一维离散型随机变量及其分布1.分布律和性质2.分布函数3.常见分布（二）一维连续型随机变量及其分布1.概率密度及其性质2.分布函数的性质3.常见分布二、 常考题型分析（一） 与概率分布的性质相关的问题1. 判断函数是否为概率密度例1 12()()F x F x 设，为分别两个随机变量的分布函数，其相应的概率密度()12()()f x f x 分别为，，这两个函数均是连续函数，则必为概率密度的是()12()()A f x f x ()21()()B f x F x()12()()C f x F x ()1221()()()()D f x F x f x F x +2. 概率分布已知，求分布中的位置参数 例2 X 设随机变量的概率分布为()()()11,2,,,n kk kn P X k A C p p k n -==⋅-=,01___________.n Z p A +∈<<=其中为已知，则例3 ()1()1,2,2k kP X k k X θ-==⋅= 设为随机变量的分布律的充要条件 为__________.例4 []12()()1,3f x f x -设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的()()12(),0,()0,0,(),0,af x x f x a b a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩概率密度，若为概率密度，则应满足例5 2,0,()______.0,0,x ax e x X f x a x -⎧>==⎨≤⎩设随机变量的概率密度函数为则例6 22(),______.x xX f x ae a -+==设随机变量的概率密度函数为则（二） 已知随机试验中的随机变量，求分布律和分布函数例7 413设有三个盒子，第一盒子有个红球，个黑球；第二个盒子装有个红 223球，个黑球；第三盒子装有个红球，个黑球，现在从三个盒子中任取一盒，然后从中任取3个球，试求所取到的红球个数的分布律与分布函数.例8 ()01,p p <<某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中概率为2X 记随机变量为第次射中目标所进行的射击的次数.求X 得分布律.（三） 已知分布函数求分布律或已知概率密度函数求分布函数1. 已知分布函数求分布律例9 X 设随机变量的分布函数为()0,1,0.4,11,0.8,13,1,3,x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ .X 试求的分布律例10 X 已知随机变量的概率分布律为()()22123211X P θθθθ--()()32.4P X X F x θ≥=且，求未知参数及的分布函数2. 已知概率密度函数求分布函数例11 X 设连续型随机变量的密度函数为()12,0,211,1,2332,1,20,,x x x f x x x ⎧≤<⎪⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪⎪⎪⎩其它 ().X F x 试求的分布函数（四） 与常见分布有关的概率问题1. 离散型常见分布例12 ()()12~,,X P p p X λ设分别为随机变量取偶数和奇数的概率，则()12.A p p = ()12.B p p < ()12C p p > ()12,D p p 大小关系不定.例13 X 设随机变量的概率密度函数为()()+1,01,0,k k x x f x ⎧<<=⎨⎩其它， 137264Y X A X ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭以表示对的三次独立的重复观察中，事件至少发生一次的概率为，,95%n A X 试求常数使得事件至少发生的一次的概率超过，对至少要做多少次独立重 .复的观察例14 ()01,p p <<某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中概率为.X X 直至射中目标为止，记随机变量为射击的次数.求为偶数的概率例15 ()(),,.X B n p k P X k =设随机变量服从二项分布当取何值时，最大2. 连续型常见分布例16 ()()()~,0,0,X E s t P X s t X sλ>>>+>设则对于任意则().A t s 与无关，随的增大而增大 ().B t s 与无关，随的增大而减少 ().C s t 与无关，随的增大而增大 ().D st 与无关，随的增大而减少例17 ()()()2~,1X N P X μσμ<+设，则().A μ随的增大而增大 ().B μ随的增大而减少 ().C σ随的增大而不变 ().D σ随的增大而减少例18 ()211,X N Y μσ设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布()12.A σσ< ()12.B σσ> ()12.C μμ< ()12.D μμ>例19 ()()21,0,0,03X Y N P X Y σ≤>设随机变量均服从，若概率=， ()0,0______.P X Y ><则=例20 1009010有个零件，其中个一等品，个二等品，随机地取两个，安装在 ()20,1,2i i =一台设备上，若个零件中有个二等品，则该设备的使用寿命服从参数 =1i λ+为的指数分布，试求()11设备寿命超过的概率；()212.若已知该设备寿命超过，则安装在该设备上的个零件均为一等品的概率第三节 一维随机变量函数的分布一、 内容精要（一） 一维离散型随机变量函数的分布律（二） 一维连续型随机变量函数分布求解二、 常考题型分析（一） 求可列无穷多取值的离散型随机变量函数的分布律例1 ()1,1,2,,sin .22n X P X n n Y X π⎛⎫==== ⎪⎝⎭设的分布律为求的分布律（二） 已知连续型随机变量的概率密度，求非单调函数的概率密度例2 X 设随机变量的概率密度为()1,10,21,02,40,.X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它2.Y X Y =令，求的概率密度函数例3 ()20,423X Y X X Y =--设服从区间上的均匀分布，随机变量，试求的 .密度函数例4 1X =max ,.Z X X λ⎛⎫ ⎪⎝⎭设随机变量服从参数为指数分布，求的分布函数（三） 抽象的随机变量函数的分布例5 ()(),,X F x Y F x =设连续型随机变量的分布函数为令求随机变量函数 .Y 的概率分布例6 (),1__________.X F x Y X =-随机变量的分布函数为则的分布函数为。
概率学 第二章 一维随机变量及其分布
第二章 一维随机变量及其分布§1随机变量随机试验有各种不同的可能结果，有些情况下，这些可能的结果都可以用数量表示。
【例1】 在含有3件次品的20件产品中，任意抽取2件观察出现的次品数。
如果用 X 表示出现的次品数，则X 可能取的值有0、1、2，取不同的值代表不同事件的发生。
“0=X ”表示事件“没有次品” “1=X ”表示事件“有一件次品” “2=X ”表示事件“有两件次品”。
有些试验结果并不直接表现为数量，但可以使其数量化。
【例2】 抛掷一枚硬币，观察出现正面还是反面。
我们规定：变量X 取值如下“0=X ”表示事件“出现反面” “1=X ”表示事件“出现正面”这样便把试验结果数量化了。
无论哪一种情形，都体现出这样的共同点：对随机试验的每一个可能结果，有唯一一个实数与它对应。
这种对应关系实际上定义了样板空间Ω上的函数，通常记作)(ωX X =，Ω∈ω。
定义 设随机试验的样板空间为}{ω=Ω，)(ωX X =是定义在样板空间Ω上的实单值函数，称)(ωX X =为一维随机变量，通常用大写字母,,,X Y Z 等表示。
随机变量的取值随试验的结果而定，在试验前不能预知它取什么值，即随机变量的取值是随机的，具有偶然性；但随机变量取某一值或某一范围内值的概率是确定的，具有必然性。
如，例1中(P “有一件次品”268.0/}1{)22011713====C C C X P ；例2中P (“出现正面”)2/1}1{===X P 。
这显示了随机变量与普通函数有着本质的差异。
引入随机变量，可以将对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，进一步有可能用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入的研究。
根据随机变量取值情况的不同，最常见的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种。
§2离散型随机变量定义 如果随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。
例如，“掷骰子出现的点数”， “某班数学的及格人数”只能取有限个值，“命中目标前的射击次数”可取可列无穷多个值，它们都是离散型随机变量。
第二章 一维随机变量及其分布
第二章 一维随机变量及其分布考试内容随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求1． 理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
(){}()F x P X x x =≤-∞<<+∞2． 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B （n,p ）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布P （λ）及其应用。
3． 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4． 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U （a,b ）、正态分布N （2,μσ）、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布E （λ）的概率密度为,0,()0,0.x e f x x λλ-⎛⎫= ⎪≤⎝⎭若x>若会求随机变量函数的分布。
本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型；如何根据定义求的函数分布一般方法。
介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。
分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点，如为什么要求分布函数必须右连续等问题？目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。
一、 随机变量1概 念随机试验的每一个可能的结果e （即每一基本事件），对应样本间的集合{}e Ω=中每一元素，我们都可以设令一个实数()X e 来表示该元素，显然，()X e 为实值单值函数()X X e =，称X 为随机变量。
对e ，我们试验前无法确定，也就无法事先确定X 的值，只有在试验后才会知道X 的值，但X 取值一定服从某种确定的分布。
随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件；第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率；第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。
第二章 一维随机变量及其分布
注：一般X(ω) 简单记为X，
{ω∣X(ω) ≤ x} 记为{X ≤ x}
一维随机变量的分布函数
分布函数
设X是一个随机变量，x是任意实数，函 数F(x)=P{ω∣X(ω) ≤ x}称为随机变量X的分 布函数，记作FX(x)或F(x)。 X 的分布函数也常简记为FX(x)= P{X≤x}
分布函数的性质
任一随机变量X的分布函数F(x)，x∈(－∞， ＋∞)，具有下列性质：
(1) 0≤ F(x) ≤ 1
(2) 若x1<x2，则 F(x1) ≤ F(x2) 证明： 若x1<x2 ，则有
X x2 X x1
根据概率的性质，得P{X<x2} ≥P{X<x1} 即 F(x2) ≥F(x1)
0.0169
19
若用泊松近似公式(λ=np=20×0.01=0.2) ，
则有
PX 2
k 2 k!
20
k
e
k 2
20 0.2 k
k!
e
0.2
0.0176
（2）设Y表示同一时刻发生故障的设备数，则
Y～B(80,0.01)。 当同一时刻至少有４台设备发生故障时，就不 能及时维修。 用泊松近似公式 (λ=np=80×0.01=0.8) ，得 80 k 80 0.8 k 0.8
(2) 0≤F(x) ≤1 ，且
x x
lim F x F 0
lim F x F 1
对任意实数 x0 ，有
(3) 右连续性
F x0 0 F x0 其中F x0 0 lim F x
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3)
x0
F (0) P ( X 0) P(1 X 0) P( X 0)
P ( 1 X 0, X 0) P ( X 0) 3 01 1 5 dx 4 1 2 4 8
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4) 0 x 1, F ( x ) P ( X x ) P(1 X 0) P( X 0) P(0 X x )
X ~ H (n, N1 , N 2 )
取n 次品数 正品数
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4. 几何分布:
P( X k ) p(1 p)k 1 (k 1,2,)
1 1 p EX , DX 2 p p
在连续独立重复试验中，假设成功的概率为p, 首次取得 成功所进行的试验次数X服从几何分布。几何分布具有 “无记忆性”：
2 (1 cos 2 x ), 0 x f ( x) 2 0, 其 他
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例题： 假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障 的次数N（t）服从参数为λt 的泊松分布. 求相继两次故障 之间时间间隔T的概率分布。 解：T的可能值为[0，+∞） 当t<0时, FT (t ) P(T t ) 0 当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有
答案：B
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例题2：已知连续型随机变量X的概率密度
ae x , x 0 b f ( x) , 0 x2 4 0 , x 2 同时 EX 0 , 求 a , b 的值，并写出分布函数 F ( x )
解： 1
f ( x )dx ae dx
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(1) 分布函数F(x)是连续函数 （2） f ( x ) 的性质： f ( x ) 0，
f ( x )dx 1
(3) F ( x )与f ( x )的关系
F ( x)
x
f (t )dt
若ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ( x )在x点连续，则f ( x ) F ( x )
（4） P ( X a ) 0 ，P ( X G ) f ( x )dx
n重 A发生的概率
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3. 超几何分布 H (n, N1 , N 2 )
P( X k )
C C C
n N
k N1
n k N2
n, N 1 , k 0,1,2, min
nN 1 EX N1 N 2
N 1次 比如： N ，无放回抽样，这n个产品的次品数 N 2正
x a
作用：描述了随机变量的取值规律
P ( X a ) F (a ) F (a 0) P (a X b) F (b) F (a )
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3. 离散型随机变量：X的可能值为有限个或无穷多个，
P( X xi ) pi , ( i 1,2,) 称为X的概率分布或分布律
3 01 1 3 x1 5 3x dx dx 4 1 2 4 4 0 2 8
5) x 1, F ( x ) 1
0, x 1 3( x 1) , 1 x 0 8 F ( x) 5 3x , 0 x 1 8 1, x 1
(k 0,1)
EX p, DX p(1 p)
2. 二项分布 B( n, p)
P( X k ) Cn pk (1 p)nk
k
(k 0,1,, n)
在n重贝努利试验， P ( A) p ，A发生的总次数
X ~ B(n, p)，比如：有放回抽样，n个产品的次品数
X ~ B( n, p)
P ( X m n / X n) P ( X m )
A C
区 域0 AC的 面 积 半圆面积
1 a 2 2a cos x a sin x 2x 2 1 2 ( 2 x sin2 x ) 1 2 a 2
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0, x 0 1 F ( x ) ( 2 x sin2 x ), 0 x 2 1, x 2
x
0 x
0
2
0
b b dx a 4 2
2 0
0 EX xf ( x )dx xae dx
b b xdx a 4 2
1 a , b1 2
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F ( x)
x
1 x 2 e , x 0 1 x , 0 x 2 2 4 1, x 2
G
P (a X b) P ( a X b)
F (b) F (a ) f ( x )dx
a
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b
例题1：下列 pn 能成为概率分布的是 （
1 （A）pn n ( n 2)
）
(B) pn
1 ( n 2) n( n 1)
1 (C) pn 2 n
答案（C) 因为：F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线， 故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数
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例题5：某人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦 跳过指定高度就被认为及格而入选，但是限制每人 最多只能跳6次，若6次均未通过，则认定落选。若 一位选手在规定高度的过竿率为0.6，求他在测试中 所跳次数的概率分布
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性质 （1）有界
0 F ( x) 1
（2）单调增加 x1 x2 , 则 F ( x1 ) F ( x2 )
F ( ) lim F ( x ) 1
x
F ( ) lim F ( x ) 0
（3）右连续
x
F ( a 0) lim F ( x ) F ( a )
1 5 F (1 0) F ( 1) a b 8 8
3 ab 4 1 -a b 5 7 8 a ,b 16 16 a b 3 4
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例题4：假设F(x)是随机变量X的分布函数，则下列结论 不正确的是（ ） (A) 如果F (a ) 0, 则对任意 x a有F ( x ) 0 (B) 如果 F (a ) 1, 则对任意 x a有F ( x ) 1 (C) 如果 F (a ) 1 / 2, 则 P( X a ) 1 / 2 (D) 如果 F (a ) 1 / 2, 则 P( X a ) 1 / 2 答案：D
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例题6：设随机变量X的绝对值不大于1，且
1 P ( X 0) , 在 X 0 的条件下，X的在 4
其取值范围内服从均匀分布，求X 的分布函数F（x）
1 3 解： P ( X 1) 1, P ( X 0) , P ( X 0) 4 4 在 X 0 的条件下， X的概率密度为
1 , 1 x 1 f ( x) 2 0, 其 他
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1) x 1, F ( x ) 0
2) 1 x 0, F ( x) P( X x)
P(1 X x, X 0) P(1 X x, X 0)
P ( X 0) P ( 1 X x / X 0) 0 3 x1 3( x 1) dx 4 1 2 8
5 , 求 a , b 的值. 8 解： F ( x)是右连续的，特别的， F (1 0) F (1)
同时 P ( 1 X 1)
1 ab 8
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P (1 X 1) F (1) F (1) P ( X 1)
F (1) F (1) ( F (1) F (1 0))
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例题7：随机地向半圆 0 y 2ax x 2 (a为正常数 ) 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的 面积成正比，X表示原点到该点连线与x轴正方向的夹 角，求X的概率密度
0 x 解： X的 可 能 值 为 ：
2
0 X B
F ( x ) P( X x )
解： X的可能值有1，2，3，4，5，6
P ( X 1) 0.6 P ( X 2) 0.4 0.6 P ( X 3) 0.4 2 0.6 P ( X 4) 0.4 3 0.6 P ( X 5) 0.44 0.6
P( X 6) 0.45 0.6 0.46 0.45
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例题 ： 设随机变量X的分布函数如下：
1 , xa F ( x) 1 x xb c ,
求：a,b,c分别是什么数值。 解
F ( ) 1 c 1 F ( a 0) F ( a ) a 0 b 0
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0, x 0, 1 1 例题 已知 F ( x ) x , 0 x , 2 2 1 1, x . 2 则F（x）是（ ）随机变量的分布函数. （A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型.
第二章 一维随机变量及其分布
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题型一 确定概率分布中的未知参数
1.随机变量：是样本点的实值函数，即
X : R 即取值带有随机的变量
研究X的取值规律： (1) X的可能值有哪些 （2）取这些可能值的概率是多少
2. 分布函数：对任意实数 x,
F ( x) P( X x)
定义域为 ( , ) ，值域为[0,1]
解：
[F ( x a ) F ( x )]dx [
xa