有限元介绍
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结构分析有限元 方法与软件
结构分析有限元法
第 1章 第 2章 第 3章 第 4章 第 5章 第 6章 第 7章 第 8章 绪论 平面问题有限元分析 杆件系统有限元分析 空间问题有限元分析 薄板和薄壳结构有限元法分析 等参单元 结构动特性有限元分析 有限元分析软件ANSYS及其应用
第1章
绪论
1.1 有限元法的基本概念
在工程技术领域内，有许多问题归结为场问题的分析和 求解，如位移场、应力场、应变场、流场、温度场等。这些
场问题虽然已经得出应遵循的基本规律(微分方程)和相应的
限制条件(边界条件)，但因实际问题的复杂性而无法用解析 方法求出精确解。 由于这些场问题的解是工程中迫切需要的，人们从不同 角度去寻找满足工程实际要求的近似解，有限元法就是随着 计算机技术的发展和应用出现的一种求解数理方程的有效的 数值方法。
(3) 整体结构分析 把所有的单元组装在一起成为整体结构，建立起整体结构 上各节点特性 (节点位移和节点力 )之间的关系，得出整体结构 的线性代数方程组，在此基础上作边界修正并求解。
1.2有限元法的发展和应用概况
有限元法思想的提出可以追溯到 1943 年， (Couront) 尝 试用定义在三角形区域上的分块连续函数和最小势能原理相结合来求解圣 维南(St．Venant)扭矩问题。其后许多应用数学家、物理学家和工程师由 于各种原因在自己的工作中都先后涉及有限元法的概念，但由于当时计算 工具落后，没有得到进一步的发展。直到20世纪50年代后期，由于电子计 算机技术的发展和广泛应用，有限元分析方法才迅速地发展起来，并不断
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③
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单元、节点需编号
1.1 有限元法的基本概念
有限元法的基本思想是用离散近似的概念，将连续介质或 结构划分成许多个小的区域，每一个小区域称作单元，单元 构成的网格就代表了整个连续介质或结构。这种离散化的网 格即为真实结构的等效计算模型，与真实结构的区别主要在 于单元与单元之间除了在分割线的交点 ( 节点 )上相互连接外， 再无任何连接，且这种连接要满足变形协调条件，单元间的 相互作用只通过节点传递。这种离散网格结构的节点和单元 数目都是有限的，所以称为有限单元法。在单元内，假设一 个函数用来近似地表示所求场问题的分布规律。这种近似函 数一般用所求场问题未知分布函数在单元各节点上的值及其 插值函数表示。这样就将一个连续的有无限自由度的问题， 变成了离散的有限自由度的问题。根据实际问题的约束条件， 解出各个节点上的未知量后，就可以用假设的近似函数确定 单元内各点场问题的分布规律。
1.1 有限元法的基本概念
从数学角度看，有限元法是各种经典的数值分析方法和 瑞雷—里兹法、伽辽金法等的新形式。有限元法与各种经典方 法都能把一个连续体的偏微分方程组化为等效的代数方程组。 有限元法与经典方法的主要差别在于近似函数的选取方式不 同。在经典方法中，近似函数是在整个求解域上选取，且要 求在域内和边界上均满足一定的条件。在有限元法中，假设 函数 ( 插值函数 ) 分别在各自的单元上选取，并要求假设函数 在各个子域内部、子域之间的分界面上和求解域的边界上均 满足一定条件。由于这种差别，有限元法能更为灵活地处理 各种复杂的边界条件，因此，其实用价值远远超过经典方法， 能解决许多经典的数值分析方法，包括近似分析的有限差分 法无法解决的各种各样工程中的场问题。
1.2有限元法的发展和应用概况
20世纪60年代是有限元法在理论上不断发展完善的时期， 特勒尔和克拉夫等人在提出有限元时，是利用直接刚度法。这 种方法源于刚架结构分析的刚度法，其物理概念非常明确，但 它只能处理一些比较简单的结构，对更为复杂的工程结构处理 起来较为困难。1963—1964年，贝塞宁(J．F．Besseling)和梅 尔森(R．E．Melson)等人，证明了有限元法是基于变分原理的 李兹(Ritz) 法的另一种形式，从而使李兹法分析的所有理论 基础都适用于有限元法，确认了有限元法是处理连续介质问题 的一种普遍方法。经分析表明，利用变分原理建立的有限元方 程与李兹法的主要区别是有限元假设的近似函数不是在整个求 解域上而仅在单元内，而且事先不要求满足任何边界条件，因 此，有限元法可以处理很复杂的连续介质问题。
有限元法进行结构分析主要涉及三个问题： (1) 网格剖分和近似函数的选取 选用合适单元类型和单元大小的问题。合适的单元类型能 在满足求解精度的条件下提高求解的效率，反之则可能会事倍 功半。 (2)单元分析
探讨单个单元的特性(力学特性、传热学特性等)，将单元 内的特性用节点上的特性表示出来建立起节点上主要特性间的 关系(如节点位移与节点力的关系)，得出单元刚度矩阵。
1.1 有限元法的基本概念
有限元法求解场问题的思想表明，它是一种近似方法， 求解的基本前提是网格的划分和单元内假设函数的选择，如 果单元内假设函数选择得当，则近似解将随着单元尺寸的缩 小不断地逼近且最终收敛于精确解。
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1.1 有限元法的Βιβλιοθήκη Baidu本概念
1.1 有限元法的基本概念
有限元法的基本思想：把整体结构离散为有限个单元，研
究单元的平衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成 结构，研究离散结构的平衡和变形协调。 划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。
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得以完善和推广应用。
1956年，特勒尔(M．J．Turner)、克拉夫(R.W.Clough)等四人在分析 飞机结构时将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题，利用直接刚度法 建立三角形单元的刚度矩阵，求得平面应力问题的正确解。他们这一开创 性的成果，开辟了用计算机求解复杂结构分析问题的新途径。1960年，克 拉夫在ASME学术会议上发表了题为“平面应力分析的有限元法”(The Finite Element Method in Plane Stress Analysis)的论文，首次提出 “有限元法”(Finite Element Method)的名称，使人们开始认识有限元法 的功效。
结构分析有限元法
第 1章 第 2章 第 3章 第 4章 第 5章 第 6章 第 7章 第 8章 绪论 平面问题有限元分析 杆件系统有限元分析 空间问题有限元分析 薄板和薄壳结构有限元法分析 等参单元 结构动特性有限元分析 有限元分析软件ANSYS及其应用
第1章
绪论
1.1 有限元法的基本概念
在工程技术领域内，有许多问题归结为场问题的分析和 求解，如位移场、应力场、应变场、流场、温度场等。这些
场问题虽然已经得出应遵循的基本规律(微分方程)和相应的
限制条件(边界条件)，但因实际问题的复杂性而无法用解析 方法求出精确解。 由于这些场问题的解是工程中迫切需要的，人们从不同 角度去寻找满足工程实际要求的近似解，有限元法就是随着 计算机技术的发展和应用出现的一种求解数理方程的有效的 数值方法。
(3) 整体结构分析 把所有的单元组装在一起成为整体结构，建立起整体结构 上各节点特性 (节点位移和节点力 )之间的关系，得出整体结构 的线性代数方程组，在此基础上作边界修正并求解。
1.2有限元法的发展和应用概况
有限元法思想的提出可以追溯到 1943 年， (Couront) 尝 试用定义在三角形区域上的分块连续函数和最小势能原理相结合来求解圣 维南(St．Venant)扭矩问题。其后许多应用数学家、物理学家和工程师由 于各种原因在自己的工作中都先后涉及有限元法的概念，但由于当时计算 工具落后，没有得到进一步的发展。直到20世纪50年代后期，由于电子计 算机技术的发展和广泛应用，有限元分析方法才迅速地发展起来，并不断
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单元、节点需编号
1.1 有限元法的基本概念
有限元法的基本思想是用离散近似的概念，将连续介质或 结构划分成许多个小的区域，每一个小区域称作单元，单元 构成的网格就代表了整个连续介质或结构。这种离散化的网 格即为真实结构的等效计算模型，与真实结构的区别主要在 于单元与单元之间除了在分割线的交点 ( 节点 )上相互连接外， 再无任何连接，且这种连接要满足变形协调条件，单元间的 相互作用只通过节点传递。这种离散网格结构的节点和单元 数目都是有限的，所以称为有限单元法。在单元内，假设一 个函数用来近似地表示所求场问题的分布规律。这种近似函 数一般用所求场问题未知分布函数在单元各节点上的值及其 插值函数表示。这样就将一个连续的有无限自由度的问题， 变成了离散的有限自由度的问题。根据实际问题的约束条件， 解出各个节点上的未知量后，就可以用假设的近似函数确定 单元内各点场问题的分布规律。
1.1 有限元法的基本概念
从数学角度看，有限元法是各种经典的数值分析方法和 瑞雷—里兹法、伽辽金法等的新形式。有限元法与各种经典方 法都能把一个连续体的偏微分方程组化为等效的代数方程组。 有限元法与经典方法的主要差别在于近似函数的选取方式不 同。在经典方法中，近似函数是在整个求解域上选取，且要 求在域内和边界上均满足一定的条件。在有限元法中，假设 函数 ( 插值函数 ) 分别在各自的单元上选取，并要求假设函数 在各个子域内部、子域之间的分界面上和求解域的边界上均 满足一定条件。由于这种差别，有限元法能更为灵活地处理 各种复杂的边界条件，因此，其实用价值远远超过经典方法， 能解决许多经典的数值分析方法，包括近似分析的有限差分 法无法解决的各种各样工程中的场问题。
1.2有限元法的发展和应用概况
20世纪60年代是有限元法在理论上不断发展完善的时期， 特勒尔和克拉夫等人在提出有限元时，是利用直接刚度法。这 种方法源于刚架结构分析的刚度法，其物理概念非常明确，但 它只能处理一些比较简单的结构，对更为复杂的工程结构处理 起来较为困难。1963—1964年，贝塞宁(J．F．Besseling)和梅 尔森(R．E．Melson)等人，证明了有限元法是基于变分原理的 李兹(Ritz) 法的另一种形式，从而使李兹法分析的所有理论 基础都适用于有限元法，确认了有限元法是处理连续介质问题 的一种普遍方法。经分析表明，利用变分原理建立的有限元方 程与李兹法的主要区别是有限元假设的近似函数不是在整个求 解域上而仅在单元内，而且事先不要求满足任何边界条件，因 此，有限元法可以处理很复杂的连续介质问题。
有限元法进行结构分析主要涉及三个问题： (1) 网格剖分和近似函数的选取 选用合适单元类型和单元大小的问题。合适的单元类型能 在满足求解精度的条件下提高求解的效率，反之则可能会事倍 功半。 (2)单元分析
探讨单个单元的特性(力学特性、传热学特性等)，将单元 内的特性用节点上的特性表示出来建立起节点上主要特性间的 关系(如节点位移与节点力的关系)，得出单元刚度矩阵。
1.1 有限元法的基本概念
有限元法求解场问题的思想表明，它是一种近似方法， 求解的基本前提是网格的划分和单元内假设函数的选择，如 果单元内假设函数选择得当，则近似解将随着单元尺寸的缩 小不断地逼近且最终收敛于精确解。
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1.1 有限元法的Βιβλιοθήκη Baidu本概念
1.1 有限元法的基本概念
有限元法的基本思想：把整体结构离散为有限个单元，研
究单元的平衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成 结构，研究离散结构的平衡和变形协调。 划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。
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得以完善和推广应用。
1956年，特勒尔(M．J．Turner)、克拉夫(R.W.Clough)等四人在分析 飞机结构时将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题，利用直接刚度法 建立三角形单元的刚度矩阵，求得平面应力问题的正确解。他们这一开创 性的成果，开辟了用计算机求解复杂结构分析问题的新途径。1960年，克 拉夫在ASME学术会议上发表了题为“平面应力分析的有限元法”(The Finite Element Method in Plane Stress Analysis)的论文，首次提出 “有限元法”(Finite Element Method)的名称，使人们开始认识有限元法 的功效。