(完整版)现代控制理论

第一章线性离散系统第一节概述随着微电子技术，计算机技术和网络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到广泛的应用。

通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。

一、举例自动测温，控温系统图;加热气体图解：1. 当炉温h变化时，测温电阻R变化→R∆，电桥失去平衡状态，检流计指针发生偏转，其偏转角度为)e；(t2. 检流计是个高灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦力。

当凸轮转动使指针）,接触时间为τ秒；与电位器相接触（凸轮每转的时间为T3. 当炉温h 连续变化时，电位器的输出是一串宽度为τ的脉冲信号e *τ(t);4.e *τ(t)为常值。

加热气体控制阀门角度调速器电动机放大器h →→→→→→ϕ 二、相关定义说明（通过上例来说明） 1. 信号采样偏差)(t e 是连续信号，电位器的输出的e *τ(t)是脉冲信号。

连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。

实现采样的装置成为采样器。

To —采样周期，f s =--To1采样频率，W s =2πf s —采样角频率 2．信号复现因接触时间很小，τo T 〈〈τ，故可把采样器的输出信号）（t e *近似看成是一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲，为了去除采样本身带来的高额分量，需要把离散信号）（t e *恢复到原信号)(t e 。

实现方法：是在采样器之后串联一个保持器，及信号复现滤波器。

作用：是把）（t e *脉冲信号变成阶梯信号e h (t)3.采样系统结构图r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，）（t e *为离散信号)(s G h ，)(s G p ，)(s H 分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。

(t)r4.采样系统工作过程⇒由保持器5. 采样控制方式采样周期To ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⇒相位不同步采样常数常数6. 采样系统的研究方法（或称使用的数字工具）因运算过程中出现s 的超越函数，故不用拉式变换法，二采用z 变换方法，状态空间法。

第二节 信号的采样和复现第一节是定性认识与分析，本节是定量研究。

一、 采样过程从第3个图形可知，采样器输出信号）（t e *是一串理想的脉冲信号，k 瞬时）（t e *的脉冲强度等于此时)(T e 的幅值)(0kT e ，即)0(0T e ，)(0T e ，)2(0T e …. )(0nT e ….采样过程可以看成为一个幅值调制过程，采样器如同一个幅值调制器。

)(t T δ的数学表达式为：)()(0∑∞∞--=nT t t T δδ调制过程 ）（t e *=e(t)）（t T δ=e(t)∑∞∞--)n t 0T （δ 式中)(t T δ是一个周期函数，可以展开富氏级数，写成级数的复指数形式。

)(t T δ=∑∞∞-t jnw n se C , Ws=oT π2--采样角频率（基频率） 富氏级数的系数C n =Tdt t T T T dt t T T dt e t TT Tt jnw T TT s 1)(0010211)(0011)(12022==+⋅⋅+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰-++-+----δδδ 的函数性质（定义）)(t δ：1dt t )0t ()0t (0t =∞-∞ ⎝⎛=∞≠=⎰）（且）（δδ把C n 结果带入到）（t T δ中，得： ∑∞∞-=tjn T s e T t ωδ1)(：t e *）中，得（再代入到∑∑∞∞-∞∞-=⋅=t jnw t jnw *s s e )(1e 1)(e t e t e T T t ）（ 进行富氏变换：{F[e(t)]=E(jw)，F[e(t)e t jnw s ]=E(jw+jnw s )}E ∑∞∞-+=)(1)(*s jnw jw E T jw上式说明，一个连续信号)(t e 经过理想采样后，它的频谱将沿着频率轴，从0=ω开始，每隔一个采样频率s ω重复出现一次，另乘一个常数T1，即频谱产生周期延拓。

设连续信号)(t e 的频谱)jw (E 是一个单一的连续频谱，其最高频率为max ω，如下图：延拓后的E ）如下图所示。

（jw *二、采样定理（香农采样定理shamnon ）从上图可知，只有当n=0的频谱才是)(t e 的频谱，其余的均是高次谐波。

若要从采样信号e )(*t 中完全复现出采样前的连续信号)(t e ，必须满足香农采样定理（乃氏定理），即“采样频率s ω大于或等于两倍的连续信号)(t e 频谱中的最高频率”。

s ω>2max ω 三、信号恢复如果按香农定理来采样，即s ω>2max ω，又如何去除高次谐波频谱，又能保留基频呢？为此，设置一个低通滤波器，其理想的频率特性)(jw F 必须等于想的窗式滤波器”。

处实现截止，称为“理2sω。

理想是不存在的，实际应用中，常用三种保持器，即低通滤波器。

常值-----零阶保持器 0阶 线性-----按比例增加或减小 1阶 二次函数-----按两次方关系变化 2阶22零件保持器1.作用能使采样信号e )(*t 每一个瞬时的采样值)0(e ，)(T e ,…)(nT e 一直保持到下一个采样瞬时，从而使采样信号e )(*t 由脉冲序列变为阶梯信号。

为何称零阶保持器：)(t e h 在每个采样区间内的值均为常数)(nt e ，其导数为零，故称为零阶保持器。

如果吧)(t e h 的中点联起来，则可以得到与)(t e 形状一直，在时间上滞后2/0T 的时间响应曲线)2(0T t e -。

2、零阶保持器的传递函数和频率特性设某瞬间时零阶保持器输出应该是幅值为1的，持续时间为T的脉冲过渡函数，必须增加一个)(1Tt--信号，才能完成上述的假定。

即)(1)(1)(Ttttgh--=传递函数：)(SGh=[]()S Th eStLtgL11)]([)(--=δ频率特性：)(jwGh=())()(110jwGjwGejw hhjwT<=--(;0jSinwTCoswTe jwT+=;0jSinwTCoswTe jwT-=-;212CoswTwTSin-=) 幅频特性：)(jwG=jw11jSinwTCoswT+-=)1(21CoswTw-=220wTwTSinT相频特性：)(jwG∠=1SinwTCoswTarctg--2wT=（弧度）设置保持器（低统滤波器）并不理想。

从上式知，当0=ω时，)(2,)(00====ωωπωωj G T T j G h s h 时，，不像理想滤波器只有一个截止频率，这里有几个截止频率)3,2(⋅⋅⋅s s ωω。

在基频之外尚有高频部分通过，恢复后的)(t e 中含有误差信号。

只有让↓0T ，即↑↑s ω，才能使误差↓↓。

3、零阶保持器的实现把传递函数)1(1)(0sT h e s s G --=中的s T e 0展成泰勒级数)21(2000⋅⋅⋅+++=s T s T e s T ，取前两项，得s T T s T s es e s s G s T s T h 0001)111(1)11(1)1(1)(00+=+-=-=-=-近似为一阶惯性环节的传递函数。

可近似用一个无源四端网络来实现。

等效于RC 低通网络的传递函数：11)()()(0+==RCs s U s U s G i u i 0(t)若对s T e 0取前三项，即2122000s T s T esT ++=2121)(220000sT s T s T T s G h +++=是一个振荡环节加一阶导前环节，等效于R-L-C 无源电路。

R 21R[])()()()(1)()()()()()()()()()()()()()()()(212002211312212231212130s I s I s I s I Css U s U s I R s U s LsI s I R s U s U s I R s U s C LR C R s R R R R R L R R LsR s U s U s AB AB AB i i +==+=+=+=++++++++==φ第三节 Z 变换与Z 反变换连续系统)()()(0nT x t x t x =−−−→−*离散系统采样开关)()()()()(0nT t t x t t x t x -=⋅=∑∞∞-δδ )0)(,0(=<t x t 则⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-+=)()()2()2()()()()0(000000nT t nT x T t T x T t T x t x δδδδ∑∞=*-=000)()()(n nT t nT x t x δ 进行拉氏变换，得[]∑∞=-**==000)()()(n s nT e nT x s Z t x L其中)(0nT x 为常数，[]1)(=t L δ，对[])(0nT t L -δ应用位移定理，得[]s nT e nT t L 0)(0-=-δ。

上式中s nT e 0-为s 的超越函数，不易求反变换，引入Z 变换定义，令z T s e z s T ln 10==或（z 为变换算子） ∑∞=-=*==00ln 1)()(|)(0n n z T s z nT x z Z s Z称)(z Z 为)(t x *的Z 变换，记作[][])()()()(S Z z Z t x Z t x Z **===Z 变换仅是一种s T e z 0=的变量置换，通过它可将S 的超越函数转变为Z 的幂级数，是拉氏变换的变异。

一、 求离散函数Z 变换的几种方法1、级数求和法（是最基本方法，优点是直观，缺点是难以写成闭式）此方法是按定义求变换，要写出各采样点的值。

)()()2()2()()()()0()()()(00000000*nT t nT x T t T x T t T x t x nT t nT x t x -++-+-+=-=∑δδδδδ拉氏变换： +++++=---*s nT s T s T e nT x e T x e T x x s Z 000)()2()()0()(0200 用s T e z 0=代入，上式为（即为Z 变换）Z 变换： +++++=---n z nT x z T x z T x x z Z )()2()()0()(02010 写成闭式：∑∞=-=00)()(n n z nT x z Z例1：求)(1)(t t x =的Z 变换。

解：[]nzzz t Z nT x T x x ---++++===== 21001)(11)()()0(若11<-z ，几何级数收敛。

求闭式（和式），[])0)(1(111)(1)(11>>-=-==-s R z z zzz t Z e ，即 例2、求)0(>=-a e x at 的Z 变换 解：依图看)(0nT x 值[]+⋅++⋅+⋅+=-------n naT aT aT at z e z e z e e Z 0002211若110<⋅--z e aT ，收敛 则[]0111aT aT at ez zz e e Z -----=⋅-=2、部分分式法若)(t x 变换得∑=+=++++++==ni ii n n s s A s s A s s A s s A s N s M s z 12211)()()( 由1-L 变换，得[]∑∑=-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==n i ts in i i i i e A s s A L s z L t x 1111)()( 成为指数函数形式。