31立体表面上点的投影解析
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3-1 立体表面上点的投影
3-1立体表面上点的投影
一、棱柱表面上点的投影 二、棱锥表面上点的投影 三、圆柱体表面上点的投影 四、圆锥表面上点的投影
五、球面上点的投影
教学目标
知识 目标
能力 目标
德育 目标
情感 目标
1.让学生能 判断点的可 见性； 2.让学生能 运用适当的 作图方法绘 制立体表面 上点的投影。
s'
e’ m
a' b' c'
a es
c
m
b
s"
m
a"(c") b"
2、求出E在H面的投影e，作em//ab,得到点M在H面投影m；
3、根据“高平齐，宽相等”，由m’和m求出m”。
三、圆柱体表面上点的投影
例：已知圆柱面上M点和N点 的正面投影，求水平投影和侧面 投影。
(m' )
分析：点在圆柱面上，利用水平
X
s’ S
s” W
m’
b’
c’d’
M
A d
m
a
d” m” Ba”(b”) C b c
c”
Y
圆锥的三面投影图
例:已知圆锥面上点A的正面投影，求水平投影和侧面
投影。
辅助纬圆
1’ a' 2’
a"
A
1a 2
步 1、过a’作水平圆V面的积聚投影1’2’ 骤： 2、以s为中心，以1’2’为直径画圆，a必在该圆上。
辅助线
辅助纬圆
辅助线法
辅助纬圆法
方法一：素线法 Z
过M点及 锥顶S作一条 素线SⅠ,先 求出素线SⅠ 的投影,再求 出素线上的M 点。
V a’
X
s’ S
s” W
m’
b’
c’d’
M
A1 d
m
a
d” m” Ba”(b”) C b c
c”
Y
圆锥的三面投影图
例：已知圆锥面上点A的正面投影a’，求水平投
影和侧面投影。
S
M
例：已知棱面SAB上点M的正面投影m‘，求作M点的 其余投影。
s'
Z
作图方法一
s'
s"
m
c' S
s"
a' b'
m
m
M
m
X
A
D
C a" O (c")
B
b"
a sc
m
b
a' d’ b' c' a"(c") b"
as
c
d
m
b
步骤：1、过M点作辅助线SD,连接s’m’,并延长交a’b’于d’,得到SD的V面投影s’d’；
布置作业
《机械制图》习题册：P27、P28
重点难 点分析
难点
1.掌握点投影的 作图方法，包括 辅助线法和辅助 纬圆法.
教学教法
直观演 示法
任务驱动 教学法
练习法
举例对 比法
讨论法
引入新课
从基本几何体的三视图引入到几何体个顶点的投 影，再到几何体上任意点的投影——立体表面上点的 投影。引出在各种立体表面取点的作图方法。
常见的几何体
一、棱柱表面上点的投影
2、求出SD在H面的投影sd，m必在sd上，得到H面投影m；
3、根据“高平齐，宽相等”，由m’和m求出m”。
例：已知棱面SAB上点M的正面投影m’，求作M点的
其余投影。
Z
s'
作图方法二
m
c' S a' b'
EM
A X
C O
B
s"
m
a" (c")
b"
a
sc
m
b
步骤：1、过m’点作m’e’//a’b’；
o
a
到a。由于a’可见，则A点
在前半球；
3、根据“高平齐，宽相 等”，由a’和m求出a”。
A
辅助纬圆
例：已知球面上点A的正面投影，求水平投影 和侧面投影。
方法二：
用辅助正平圆作图
a'
a"
A
辅助纬圆
a
练习
已知下列各平面立体的两视图，补画第三视图， 并作出立体表面上点M、N的另外两个投影。
练习1
n’ (n”)
1.培养学生 正确分析和 解决问题的 能力； 2.培养学生 理论联系实 践、举一反 三的能力。
1.激发学生 良好的合作 意识； 2.培养学生 具有耐心细 致的工作作 风和严肃认 真的工作态 度。
1.让学生在 实践中找到 学习乐趣， 提高学习兴 趣； 2.培养学生 自学的能力。
重点难点
重点
1.根据已知点 的投影绘制其 余点的投影； 2.正确利用辅 助线或辅助圆 绘制立体表面 上点的投影。
(m’)
m”
不可 见
m n
M N
练习
已知下列各平面立体的两视图，补画第三视图， 并作出立体表面上点M、N的另外两个投影。
练习2
n’ (m’)
m”
n”
m n
小结
1、点投影的可见性判断
平面的投影可见，点的投影可见； 平面积聚成直线，点的投影可见。
2、辅助线法求点投影的作图方法
（1）辅助线法
（2）辅助纬圆法
3、然后由a和a’求a”的投影。
五、球面上点的投影
球面的三个投影都没有积聚性，要利用辅助纬圆法求解。
例：已知球面上点A的正面投影，求水平投影和侧 面投影。
方法一：用辅助水平圆作图
步骤：
1’
2‘
a"
a'
1、过a’作水平圆V面的积 聚投影1’2’；
2、再作出其H面的投影
（以O为圆心，1’2’为直 径画圆），在该圆上得
辅助素线
a'
a"
1'
1"
A
as
1
步 1、过a’s’作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1’。 骤： 2、求出素线的水平投影s1,得到H面投影a 。
3、求出素线的侧面投影s”1”,得到V面投影a”。
方法二：辅助圆法
Z
过M点作一平பைடு நூலகம்
V
行与底面的水平辅
助纬圆（垂直于轴
线的圆），则点M
a’
各投影必在该圆的
同面投影上。
投影积聚性，可以求出点M和点N
n'
的水平投影。
步骤：
1、由于m’不可见所以在水平面
的投影在后半圆的圆周上等到m。 m
2、根据“高平齐，宽相等”， 由m’和m求出m”。
3、同理求出n和n’。
n
m" (n")
四、圆锥表面上点的投影
由于圆锥面的投影没有积聚性，所以必须在圆锥 上作一条包含该点的辅助线（直线或圆），先求出辅 助线的投影，再利用线上点的投影关系求出圆锥表面 上点的投影
由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上 取点与在平面上取点的方法相同。
a′ b′
a”
b”
AB DC
d′ c′ a(d)
d”
c”
b(c)
平面的投影可见，点的投影可见； 平面积聚成直线，点的投影可见
如何判断可 见性？
例：已知六棱柱ABCD侧表面上点M的V面投影m’，求 该点的H面投影m和W面投影m″。
a′ b′
m
m
m” m’
AB
M DC
d′
c′
a(d) m
m
b(c)
分析：
1、点M所在棱面ABCD为铅垂面，其H面的投影积聚为直 线a(d)b(c)，故m点投影必在此直线上，求出m。 2、根据“高平齐，宽相等”，由m’和m求出m’。
二、棱锥表面上点的投影
棱锥的表面可能是特殊位置平面，也可能是一般位置平面； 凡属特殊位置表面的点，其投影可利用平面投影的积聚行直接 求得； 一般位置表面上点的投影，则可以通过在该面作辅助线飞方法 求得。
3-1立体表面上点的投影
一、棱柱表面上点的投影 二、棱锥表面上点的投影 三、圆柱体表面上点的投影 四、圆锥表面上点的投影
五、球面上点的投影
教学目标
知识 目标
能力 目标
德育 目标
情感 目标
1.让学生能 判断点的可 见性； 2.让学生能 运用适当的 作图方法绘 制立体表面 上点的投影。
s'
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2、求出E在H面的投影e，作em//ab,得到点M在H面投影m；
3、根据“高平齐，宽相等”，由m’和m求出m”。
三、圆柱体表面上点的投影
例：已知圆柱面上M点和N点 的正面投影，求水平投影和侧面 投影。
(m' )
分析：点在圆柱面上，利用水平
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圆锥的三面投影图
例:已知圆锥面上点A的正面投影，求水平投影和侧面
投影。
辅助纬圆
1’ a' 2’
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步 1、过a’作水平圆V面的积聚投影1’2’ 骤： 2、以s为中心，以1’2’为直径画圆，a必在该圆上。
辅助线
辅助纬圆
辅助线法
辅助纬圆法
方法一：素线法 Z
过M点及 锥顶S作一条 素线SⅠ,先 求出素线SⅠ 的投影,再求 出素线上的M 点。
V a’
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圆锥的三面投影图
例：已知圆锥面上点A的正面投影a’，求水平投
影和侧面投影。
S
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例：已知棱面SAB上点M的正面投影m‘，求作M点的 其余投影。
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作图方法一
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步骤：1、过M点作辅助线SD,连接s’m’,并延长交a’b’于d’,得到SD的V面投影s’d’；
布置作业
《机械制图》习题册：P27、P28
重点难 点分析
难点
1.掌握点投影的 作图方法，包括 辅助线法和辅助 纬圆法.
教学教法
直观演 示法
任务驱动 教学法
练习法
举例对 比法
讨论法
引入新课
从基本几何体的三视图引入到几何体个顶点的投 影，再到几何体上任意点的投影——立体表面上点的 投影。引出在各种立体表面取点的作图方法。
常见的几何体
一、棱柱表面上点的投影
2、求出SD在H面的投影sd，m必在sd上，得到H面投影m；
3、根据“高平齐，宽相等”，由m’和m求出m”。
例：已知棱面SAB上点M的正面投影m’，求作M点的
其余投影。
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作图方法二
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步骤：1、过m’点作m’e’//a’b’；
o
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到a。由于a’可见，则A点
在前半球；
3、根据“高平齐，宽相 等”，由a’和m求出a”。
A
辅助纬圆
例：已知球面上点A的正面投影，求水平投影 和侧面投影。
方法二：
用辅助正平圆作图
a'
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A
辅助纬圆
a
练习
已知下列各平面立体的两视图，补画第三视图， 并作出立体表面上点M、N的另外两个投影。
练习1
n’ (n”)
1.培养学生 正确分析和 解决问题的 能力； 2.培养学生 理论联系实 践、举一反 三的能力。
1.激发学生 良好的合作 意识； 2.培养学生 具有耐心细 致的工作作 风和严肃认 真的工作态 度。
1.让学生在 实践中找到 学习乐趣， 提高学习兴 趣； 2.培养学生 自学的能力。
重点难点
重点
1.根据已知点 的投影绘制其 余点的投影； 2.正确利用辅 助线或辅助圆 绘制立体表面 上点的投影。
(m’)
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不可 见
m n
M N
练习
已知下列各平面立体的两视图，补画第三视图， 并作出立体表面上点M、N的另外两个投影。
练习2
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m n
小结
1、点投影的可见性判断
平面的投影可见，点的投影可见； 平面积聚成直线，点的投影可见。
2、辅助线法求点投影的作图方法
（1）辅助线法
（2）辅助纬圆法
3、然后由a和a’求a”的投影。
五、球面上点的投影
球面的三个投影都没有积聚性，要利用辅助纬圆法求解。
例：已知球面上点A的正面投影，求水平投影和侧 面投影。
方法一：用辅助水平圆作图
步骤：
1’
2‘
a"
a'
1、过a’作水平圆V面的积 聚投影1’2’；
2、再作出其H面的投影
（以O为圆心，1’2’为直 径画圆），在该圆上得
辅助素线
a'
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1'
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A
as
1
步 1、过a’s’作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1’。 骤： 2、求出素线的水平投影s1,得到H面投影a 。
3、求出素线的侧面投影s”1”,得到V面投影a”。
方法二：辅助圆法
Z
过M点作一平பைடு நூலகம்
V
行与底面的水平辅
助纬圆（垂直于轴
线的圆），则点M
a’
各投影必在该圆的
同面投影上。
投影积聚性，可以求出点M和点N
n'
的水平投影。
步骤：
1、由于m’不可见所以在水平面
的投影在后半圆的圆周上等到m。 m
2、根据“高平齐，宽相等”， 由m’和m求出m”。
3、同理求出n和n’。
n
m" (n")
四、圆锥表面上点的投影
由于圆锥面的投影没有积聚性，所以必须在圆锥 上作一条包含该点的辅助线（直线或圆），先求出辅 助线的投影，再利用线上点的投影关系求出圆锥表面 上点的投影
由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上 取点与在平面上取点的方法相同。
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b(c)
平面的投影可见，点的投影可见； 平面积聚成直线，点的投影可见
如何判断可 见性？
例：已知六棱柱ABCD侧表面上点M的V面投影m’，求 该点的H面投影m和W面投影m″。
a′ b′
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分析：
1、点M所在棱面ABCD为铅垂面，其H面的投影积聚为直 线a(d)b(c)，故m点投影必在此直线上，求出m。 2、根据“高平齐，宽相等”，由m’和m求出m’。
二、棱锥表面上点的投影
棱锥的表面可能是特殊位置平面，也可能是一般位置平面； 凡属特殊位置表面的点，其投影可利用平面投影的积聚行直接 求得； 一般位置表面上点的投影，则可以通过在该面作辅助线飞方法 求得。