不定积分的分部积分法

例 解
求不定积分
sin(ln x )dx.
令 ln x u , 则 x e u , dx e udu ,
sin(ln x )dx e u sin u du
例7
求不定积分
sin
2 x 1 dx .
2
解

u 1 令 2x 1 u , 则 x , dx udu , 2

f
1
( x )dx xf
1
( x) F f
1
( x ) C .
练习题答案
一、1、 x cos x sin x C ； 2、 x arcsin x 1 x 2 C ； cos xdx ； e 3、ln x , x 2 dx ； 4、 x , 5、arctan x , x 2 dx ； 6、 x , e x dx . x3 1 2 二、1、 x sin x x cos x sin x C ； 6 2 1 2、 [(ln x ) 3 3(ln x ) 2 6 ln x 6] C ； x e ax ( a cos nx n sin nx ) C 3、 2 2 a n 3 3e x ( 3 x 2 2 3 x 2 ) C ； 4、
而
x2 I1 x ln xdx ln x d( ) 2 x2 x2 x2 x ln x d(ln x ) ln x dx 2 2 2 2 x2 x2 ln x C 2 2
所以对任意确定的 n 1 , 由递推公式都可求得 I n .
例10
1 求不定积分 e ( ln x )dx . x
sec x tan x ln sec x tan x sec3 x dx
1 sec x dx (sec x tan x ln sec x tan x ) C 2
3
例 解
求不定积分
sin(ln x )dx.
x sin(ln x ) xd[sin(ln x )]
第三节 不定积分的分部积分法
一、基本内容
问题
xe
x
dx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数 u=u(x) 和 v=v(x)具有连续导数,
( uv ) uv uv , uv ( uv ) uv ,
uv dx uv uv dx , udv uv vdu .
x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
例5 解
求不定积分
arcsin xdx.
arcsin x dx x arcsin x x d(arcsin x )
x arcsin x x dx 2 1 x
x arcsin x 1 x 2 C .
说明２： 单纯的反三角函数、对数函数积分， 可直接运用分部积分；
例6 解
e x sin xdx . 求不定积分
e x sin xdx e x d( cos x ) e x cos x e x cos xdx e x cos x e x d(sinx )
x
2 3、计算 x ln xdx ， 可设 u _____ ,dv ________；
cos xdx ，可设 u ____ ,dv ________；
2 5、计算 x arctan xdx ，可设 u ____ ,dv ______；
可设 u ______,dv __________ . 6、 计算 xe x dx ，
sec 3 x dx .
sec3 x dx sec x sec2 x dx sec x d(tan x ) sec x tan x tan x d(sec x )
sec x tan x tan 2 x sec x dx
sec x tan x (sec3 x sec x ) dx
注意循环 形式
e x (sin x cos x ) e x sin x dx
ex e x sin x dx (sin x cos x ) C . 2
说明３： 不定积分可通过解方程求得，但要注意 结果+C；
可连续几次利用多次分部，但每次应 塞同一类函数；
例 解
求不定积分
x
xe e x dx 1 x xe e x e C C 1 x 1 x
x x
x
1 x 1 ( 3) ( x 1)e x dx . x 1 1 x x 解 原式 ( x 1 )e x dx e x dx x
1 x (1 2 )e x
x arctan x (1) dx . 2 1 x x arctan x 解 dx arctan x d( 1 x 2 ) 1 x2
1 x arctan x 1 x d(arctan x )
2 2
1 x arctan x
2
1 x 2 arctan x
x sin x cos x C .
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例3 解
求不定积分 ( x 2 1)e x dx .
( x 2 1)e x dx ( x 2 1)d(e x ) ( x 2 1)e x 2 xe x dx ( x 1)e 2 xd(e )
分部积分公式
例1
求不定积分
xe x dx .
解 设 u x , d v e x d x de x ,
xd(e x ) xe x e x dx xe x e x C . xe dx
x
u dv uv v du ,
分部积分法的关键是正确选择 u 和 v .
x2
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e
2 x2
e
C.
说明５： 被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递 推公式 例9 求积分 x(ln x )n dx . ( n N * ) 解
1 x 1 ( 3) ( x 1)e x dx . x
二、小结
１.口诀（反、对、幂、三、指）; ２.单纯的反三角函数、对数函数积分， 可直接运用分部积分； ３.不定积分可通过解方程求得，但要注意 结果+C； ４.有时应结合换元积分，先换元后再分部； ５.被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分； ６.利用分部积分法可得求不定积分的递 推公式。
x 5、 [cos(ln x ) sin(ln x )] C ； 2 x 1 e arctan x C ； 6、 2 1 x2 x 2e x xe x e x C . 7、 x2 2 sin x C. 三、cos x x
例4 解
求不定积分
(x
2
2 x ) cos xdx .
(ln x ) 3 dx ； 2、 2 x
二、求下列不定积分： 2 2 x dx ； 1、 x cos 2
3、 e ax cos nxdx ； 5、 cos(ln x)dx ；
4、 e 3 x dx ； 6、
xeຫໍສະໝຸດ Baiduarctan x (1 x 2 )
3 2
dx .
sin x 三、已知 是 f ( x ) 的原函数，求 xf ' ( x )dx . x 四、设 f ( x )dx F ( x ) C ， f ( x ) 可微，且f ( x ) 的反 1 函数 f ( x ) 存在，则
例 8 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e 求 xf ( x )dx .
x2
,
解
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx, 由已知可得 f ( x )dx e x C ,
2
两边同时对 x 求导, 得
f ( x ) 2 xe
例2 若
求不定积分
x cos xdx
x cos xdx . 2 x cos xd( ) 2
x2 x2 cos x sin xdx 2 2
显然 , u 和 dv 选择不当，积分更难进行. 解
x cos x dx x d(sin x ) x sin x sin x dx
2 x x
再次使用 分部积分法
( x 2 1)e x 2( xe x e x ) C . ( x 2 2 x 3)e x C .
例4 解
求不定积分
x arctan xdx.
x2 x arctan x dx arctan x d( 2 )
x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x x2 1 1 arctan x (1 ) dx 2 2 2 1 x
x
解
1 ex e ( ln x )dx dx e x lnxdx x x
x
ex x dx lnx d(e ) x ex ex dx e x lnx dx x x
e lnx C .
x
练习： 求下列不定积分
x arctan x (1) dx . 2 1 x xe x ( 2) dx . 2 (1 x )
2
1 1 x dx 2 1 x 1 dx 2 1 x
2
2
1 x arctan x ln( x 1 x ) C .
xe ( 2) dx . 2 (1 x )
x
解
1 xe x (1 x )2 dx xe d(1 x ) x xe 1 d( xe x ) 1 x 1 x
x 1 x
dx e
x 1 x
x
1 x
dx
xd(e xe
x 1 x
1 x
x
1 x
) e
x 1 x
dx
x 1 x
e
dx e
dx
xe
x
C.
练 习 题
一、填空题： 1、 x sin xdx ________________；
2、 arcsin xdx _______________； 4、计算 e
I n x(ln x )n dx (ln x )n d(
x ) 2
2
1 2 1 2 n x (ln x ) x d((ln x )n ) 2 2 1 2 n n x (ln x ) x(ln x )n1 dx 2 2 1 2 n n ( n N * , n 1) x (ln x ) I n1 2 2 1 2 n n 递推公式为 I n x (ln x ) I n1 , ( n N * , n 1), 2 2
sin(ln x )dx
x sin(ln x ) cos(ln x )dx x sin(ln x ) x cos(ln x ) xd[cos(ln x )] x[sin(ln x ) cos(ln x )] sin(ln x )dx
x sin(ln x )dx [sin(ln x ) cos(ln x )] C . 2
sin
2 x 1 dx u sin udu ud( cos u)
u cos u cos udu u cos u sin u C
2 x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；