2017考研数学证明题常见题型及解法一览表

证明题常见题型及解法一览表

一、定积分等式的证明（常用方法有：换元法，分部积分法，构造函数法，泰勒公式法等）

Ⅰ 换元法—适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件的命题

思路提示：(1)依据定积分与积分变量无关的性质，改写等式一端的积分变量为u ；

(2)作变量代换．(i)若等式一端的被积函数或其主要部分为f(x)，而另一端为

f[φ(u)]，则作代换：x=φ(u)；

(ii)若等式一端为f(x)，另一端为f(u)，则所作代换依据等式

两端的积分限；

(3)利用所作代换，由等式一端推导出另一端。

Ⅱ 分部积分法—适用于被积函数中含有f’(x)或变上限积分的命题

Ⅲ 构造辅助函数法—适用于证明在积分限中至少存在一点ξ或x 0，使等式成立的命题

思路提示：(1)将ξ或x 0改成x ，

移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数F(x)或F’(x)；

(2)验证F(x)满足介值定理或微分中值定理的条件；

(3)由介值或微分中值定理，即可证得命题．

Ⅳ 泰勒公式法—适用于被积函数f(x)具有二阶或二阶以上连续导数的命题

思路提示：(1)作辅助函数；

x

a F(x)=f(t)dt ∫（2）将F(x)在所需点处进行泰勒展开（一般是根据右边表达式确定展开点）

； （3）对泰勒余项作适用处理（一般是利用介值定理）。

二、定积分不等式的证明

下面根据被积函数的连续性、可导性、二阶和二阶以上可导性，分别给出证题的思路 Ⅰ 仅告知被积函数连续的命题的证法

思路提示：(1)作辅助函数F(x)；

(2)求F(x)的导数F’(x)，并判别F(x)的单调性；

(3)求F(x)在积分区间[a ，b]的端点值F(a)，F(b)，其中必有一个为“0”，

由第2条思路可推出F(b)>F(a)(或F(b)

【辅助函数的做法】

将要证结论中的积分上限(或下限)换成x ，式中相同的字母也换成x ，移项使不等式一端为0，则另一端的表达式即为所作的辅助函数F(x)。

Ⅱ 已知被积函数f(x)一阶可导，又至少一个端点的函数值为0的命题的证法（f(a)=0或f(b)=0）

思路提示一：(1)写出含这个端点的拉格朗日中值定理

''()()()()(),(()0)

()()()()(),(()0);f x f x f a x a f f a f x f x f b x b f f b ξξ=−=−==−=−=或

(2)再根据题意进行不等式的放缩：

(3)用定积分的比较定理，估值定理或函数的绝对值不等式等定积分性质

作分析处理

思路提示二：(1)写出如下等式：

()0''

()()()(),()()()x f a a x f x f x f a f f x f f t dt ξξ=−=−=∫∫ZZZZZ X YZZZZ Z 当或t dt (2)利用定积分比较定理、估值定理或绝对值不等式进行分析处理． Ⅲ 已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导。且又知最高阶导数的符号的命题的证法

思路提示：直接写出f(x)的泰勒展开式，然后根据题意对展开式进行放缩（证明定积分

等式是将辅助函数展成泰勒公式）。

x

a F(x)=f(t)dt ∫三、有关闭区间上连续函数的命题的证法

Ⅰ 直接法：其程序是先利用最值定理，再利用介值定理．

Ⅱ 间接法(即辅助函数法)：其程序是先作辅助函数F(x)，验证F(x)满足零值定理条件，然

后由零值定理得出命题的证明。

【辅助函数F(x)的作法】

①把结论中的ξ或x 0改写成x ；

②移项，使等式右边为零，令左边的式子为F(x)，即为所求的辅助函数。

四、微分中值定理的证明

Ⅰ 欲证结论：至少存在一点ξ∈（a ，b ），使得的命题的证法 (n)f

( )=0ξ 思路之一：验证在[a ，b]上满足洛尔定理条件，由该定理即可得命题的证明；

(n-1)f'( x)=0思路之二：验证ξ为的最值或极值点。用费尔马定理即得命题的证明；

(n)f'( x)=0思路之三：个别命题也用泰勒公式证。

Ⅱ 欲证结论：至少存在一点ξ∈（a ，b ），使得(n)f ( )=k(k 0)ξ≠及其代数式的证法

思路提示：(1)作辅助函数F(x)；

(2)验证F(x)满足洛尔定理条件；

(3)由定理的结论即得命题的证明。

【注意】(1)证明g(x)≠0，或g(x)>0的命题通常用反证法证明居多；

(2)f(x)，g(x)二阶可导。照理讲用泰勒公式做简单，但涉及到两者的乘积和商

时，可千万不能分别将它们的展开式作乘法或除法来处理，因为两个函数展

开式中的ξ不一定相同．

【辅助函数F(x)的构造】

方法之一：原函数法，具体其步骤为：

(J)将欲证结论中的ξ换成x ；

(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式(或称之为易积分形式)；

(3)用观察法或积分法求出原函数(即不含导数符号的式子)，为简便积分常数取作零；

(4)移项使等式一边为0，则另一边即为所求辅助函数F(x)．

方法之二：常数k 值法(此法适用于常数已分离出的命题)，构造辅助函数的步骤为：

(1)令常数部分为k ；

(2)恒等变形，使等式一端为a 及f(a)构成的代数式，另一端为b 及f(b)构成的代数式；

(3)分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只要把端点a 改成x ，相应的函数值f(a)改成f(x)，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数F(x)． Ⅲ 欲证结论：在（a ，b ）内至少存在ξ，η，ξ≠η，满足某种关系式的命题的证法

思路提示：使用两次拉氏定理或者两次柯西中值定理，或者一次拉氏定理、一次柯西

中值定理，然后再将它们做某种运算。具体解题步骤：

（1）将含有ξ，η的式子分别置于等式的两边．

（2）观察等式较复杂的一边．如果是f’(ξ)与另一个含有ξ商的形式的式

子，则首先利用柯西中值定理；如果是一个f’(ξ)的微分方程则用拉

格朗日中值定理。

（3）将常系数进行消去后，可以在另一边也凑出一个柯西中值定理或拉格

朗日中值定理。

五、其它类型不等式的证明

思路之一：引入参数法

（1）判别式法—适用于积分式中含有2'2()()f x f x 或的情形。

（2）引入三角函数法适用于函数的绝对值小于1的情形。

思路之二：微分中值定理法 思路提示：经简单变形，不等式的一端可写成()()()()()()

f b f a f b f a b a

g b g a −−−−或或欲证是区间内“至少”一点ξ（或x 0）

，使命题成立。具体步骤： （1）在[a ,b]上由题意作两函数f(t)，g(t)；

（2）写出微分中值公式'''()()()()()()()()()

f b f a f b f a f f b a

g b g a g ξξξ−−=−−=或 （3）根据需要对''

(),()f g ξξ进行放缩。

思路之三：利用函数的单调增减性—适用于某区间上成立的函数不等式，对于数值不等式通

常是通过辅助函数完成的。具体步骤：

(1)移项(有时需要作简单的恒等变形)，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅

助函数f （x ）；

(2)求f ’（x ）并验证f （x ）在指定区间的增碱性；

(3)求出区间端点的函数值(或极限值)，作比较即得所证