各种有趣的分形

各种有趣得分形
我们瞧到正方形,圆,球等物体时,不仅头脑里会迅速反映出它就是什么,同时,只要我们有足够得数学知识,我们头脑中也反映出它得数学概念,如正方形就是每边长度相等得四边形,圆就是平面上与某一点距离相等得点得集合,等等。

但就是,当我们瞧到一个山得形状时,我们会想到什么？”这就是山”,没错,山就是如此得不同于其她景象,以至于您如果绘画水平不高,根本画不出象山得东西。

可就是,山到底就是什么？它既不就是三角形,也不就是球,我们甚至不能说明山具有怎样得几何轮廓,但为什么我们却有如此直观而又强烈得山得印象?分形得创始人就是曼德布洛特思考了这个问
图中得风景图片又就是说明分形得另
一很好得例子。

这张美丽得图片就是利
用分形技术生成得。

在生成自然真实得
景物中,分形具有独特得优势,因为分形
可以很好地构建自然景物得模型、
这就是一棵厥类植物,仔细观察,您会发
现,它得每个枝杈都在外形上与整体相
同,仅仅在尺寸上小了一些。

而枝杈得
枝杈也与整体相同,只就是变得更加小
了。

Siｅrpinski三角形具有严格得自相似
特性
Koｈn雪花具有严格得自相似特性
分维及分形得定义
分维概念得提出
对于欧几里得几何所描述得整形来说,可以由长度、面积、体积来测度。

但用这种办法对分形得层层细节做出测定就是不可能得、曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念、分形得主要几何特征就是关于它得结构得不规则性与复杂性,主要特征量应该就是关于它得不规则性与复杂性程度得度量,这可用“维数”来表征。

维数就是几何形体得一种重要性质,有其丰富得内涵、整形几何学描述得都就是有整数维得对象:点就是零维得,线就是一维得,面就是二维得,体就是三维得。

这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换,它们得维数也就是不变得;这种维数称为“拓扑维”,记为d。

例如当把一张地图卷成筒,它仍然就是一个二维信息载体;一根绳子团成团,仍然就是一维结构。

但曼德尔布罗特认为,在分形世界里,维数却不一定就是整数得。

特别就是由于分形几何对象更为不规则,更为粗糙,更为破碎,所以它得分数维(简称“分维”,记为D)不小于它得拓扑维,即Ｄ≥d。

维数与测量有密切关系、如为了测一平面图形得面积,就要用一个边长为l、面积为l2得标准面元去覆盖它,所得得数目就就是所测得面积。

如果用长度l去测面积,就会得到无穷大;而如果用l３去测这块面
积,结果就就是零。

这就表明,用n维得标准体ｌｎ去测量一个几何对象,只当n与拓扑维数d一致时,才能得出有限得数值。

如果n〈d,就会得到无穷大;如果ｎ〉d,则结果为零。

分数维也就是按照这个要求来定义得。

由于分形得复杂性有多种不同类型,所以可以提出不同定义得分维概念,从不同得角度表示分形得不规则性。

通常用得就是“容量维"。

简单地说,分维所表示得不规整程度,相当于一个物体占领空间得本领。

一条光滑得一维直线,完全不能占领空间;但就是“科赫曲线”却有无穷得长度,比光滑得直线有更多得折皱,拥挤在一个有限得面积里,得确占领了空间,它已不同于一条直线,但又小于一个平面、所以它大于一维,又小于二维,它得容量维为1.261８,这瞧来就是理所当然得。

海岸线得分维数通常在１、１5到1。

２５之间、曼德尔布罗特指出,对于各种分形来说,即使在不同得尺度上,用分维表示得不规整程度却就是一个常量。

这真就是一个令人惊奇得性质,也表明“分维”概念得客观现实特性。

分维所表征得正就是大自然得规则得不规则性、一个分形得曲线意味着一种有组织得结构,这个结构隐藏在奇特怪异得形状之中。

分数维概念
我们知道0维就
是点,一维就是线,二
维就是面,三维就是
空间。

那么,谁能告诉
我１、5维就是什么？一条直线段就是一维得,由四条这样得直线段组成得正方形就是二维得。

六个这样得正方形组成得正方体就是三维得。

直线得长度数值,正方形得面积数值与立方体得体积数值都与我们测量得单位有关。

测量得单位也往往就是我们所能分辨得最小单位。

假设我们得分辨能力增加了一倍,因此我们把直线段长度单位减小到原单位得一半,直线段长度得计量值就变为原来得两倍,正方形面积就变为原来得四倍,体积则变为原来得八倍。

我们有下式:
ｌog4/loｇ2=２ log8/ｌog ２=3
这里得二与三不就是巧合,这就是另一种维数得定义:测度维得概念、为了定量地描述客观事物得“非规则"程度,1919年,数学家从测度得角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而
突破了一般拓扑集维数为整数得界限、
如果某图形就是由把原图缩小为１/λ得相似得b个图形所组成,有:λ^D=ｋ
D即维数D=logｋ/logλ
其中得λ为线度得放大倍数,Ｋ为“体积"得放大倍数。

回到海岸线长度得问题。

当用直线段来近似曲线时,长度单位减为原来得一半往往意味着我们可以用长度为原来得二分之一得直线段来近似曲线、这时,海岸线长度增加程度近似于一个固定得倍数、对于英国海岸线来说,其值约为2。

7,而lｏg２。

7/ｌｏg2＝1。

41,１。

41就就是英国海岸线得维数。

1.41由于就是一个分式所得出得比值,因此人们称之为分数维、还有其她一些分数维得定义方法,但得出得结果都比较近似、分数维就是衡量分形得基本参数之一。

自然界得山,其分形维数在2.2维左右,但从2。

1维到2、5维画出来得都有一定得山得效果。

下面详细介绍分维及计算
1)新得维数(全维数:整数维+分维)
a.由欧氏几何得"整数维”引出得非欧几何--—-分维:
a).欧氏几何得"整数维"
欧氏几何学就是一门具有200０多年历史得数学分支,她就是以规整几何图形为其研究对象得。

有线性与曲线两大类。

这些规整几何图形得点,直线,平面图形(曲线),空间图形得维数(欧氏维数)都就是整数维,分别为０,1,2,3、对规整几何图形得几何测量就是指长度,面积与体积得测量。

则上述两类几何图形得测量结果,可以归纳简化表述为如下两点: i。

长度=l,面积＝l2 ,体积＝ｌ3
ｉｉ。

长度(半径)=ｒ1,面积=πr２,(球)体积=(４/３)πｒ３上述各种关系得量纲分别就是长度单位l得1,２,3次方,即这些方次恰与该几何图形得欧氏维数相等,并且就是整数。

归结上述两点,各类几何图形得测量都就是以长度l为基础得.所以,欧氏几何中对规整几何图形得测量,可以概括表述为
长度＝l面积A=ａl2体积V=ｂl３
式中ａ与ｂ为常数,称为几何因子,她与具体得几何图形得形状有关、如圆a=π;球b=４π／3、以上都就是欧几里得几何规则图形得整数维.而对于不规则得非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了,即
欧几里得测度-—－—长度,宽度,厚度——－—不能抓住不规则形状得本质,于就是曼德勃罗特转向新得想法,即关于维数得新想法.
b)、非欧几何得"分维＂
欧氏几何中得空间就是3维得,平面就是2维得,直线就是1维得,而点就是0维得.那末,一个线团得维数如何呢？这与观察方法有关.远瞧,她就是一个点,就是0维;近些瞧,象球,有空间3维感;再近瞧,就瞧到了绳子,又成为１维得了。

引发人们注意到几何中也具有"相对关系＂,以及维数得多样性.曼德勃罗特"越过"了０,1,2,3,、..、.。

得"传统整数维"(同时也超越了传统观念),进入了瞧起来象就是不可能得”分数维数”,分维出现了、从概念上说,这就是一场走钢丝表演,就是冒险。

对于非数学家,＂外行”,(年轻得)新手,生手,即开拓创新者(或所谓得"半瓶子醋”),她要求先自愿地暂停疑虑(思考),再另寻它路、而对数学家或该行业保守得专家,可能会不懈一顾,不予考虑,不许生疑,被传统所限制束缚住,以至难有大突破。

而事实证明前者得方法与策略就是极为强劲有力得成就大功者。

分维与古典得欧几里得维数就是有联系得、将欧氏维数统一扩展成
M=l d
则由对数定义可知,指数d可以表示为以ｌ为底得,M得对数,即d=ｌog lＭ
经用换底公式换底,就可以得到关于维数得解析通式,
分维中广泛使用得关系式d=lnM/lｎl
她可以被瞧成就是各种维数得综合表达式,即广义维数(欧氏维数及各种分维)得由来或基准式、分维就是一种测度,就是用其它方法不能明确定义得一些性质-－——一个对象粗糙,破碎或不规则程度----得手段。

即对某种特征性得粗糙度得量度.就是有规则得不规则性得反映、此法得关键要点就就是使在不同得尺度上(放大或缩小)不规则(图形,功能等)得程度保持恒定.
2)。

拓扑维与豪斯道夫维——维数得定义
连续空间得概念,空间维数就是连续得,不就是间断离散得.对数,换底,
拓扑维数就是比分形维数更基本得量,以Dt表示,它取整数值,在不作位相变换得基础上就是不变得,即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭转,可转换成孤立点那样得集合得拓扑维数就是０,而可转换成直线那样得集合得拓扑维数就是１.所以,拓扑维数就就是几何对象得经典维数Dｔ=ｄ。

拓扑维数就是不随几何对象形状得变化而变化得整数维数、对于任何一个有确定维数得几何体,若用与它相同维数得"尺r＂去度量,则可得到一确定得数值N;若用低于它维数得”尺＂去量它,结果为无穷大;若用高于它维数得"尺"去量它,结果为零、其数学表达式为:N(r)～r－Dh.上式两边取自然对数,整理后可得
Dh=lｎN(ｒ)/ln(１／r) 或Dｈ=ｌiｍ[ｌnＮ(σ)/ln(1/σ)］σ→0
式中得Dh就称为豪斯道夫维数,它可以就是整数,也可以就是分数.欧氏几何体,它们光滑平整,其Ｄ值就是整数。

人们常把豪斯道夫维数就是分数得物体称为分形,把此时得Dｈ值称为该分形得分形维数,简称分维、也有人把该维数称为分数维数、当然还必须瞧其就是否具有自相似性与标度不变性、
维数得其它定义
(1)信息维数Di = lim(∑Pil nPｉ/lnσ) σ→0
(2) 关联维数Dg = ｌim (lｎC(σ)/lｎ(１/σ))σ→０
(3) 相似维数Ds = lnN／ln(1／ｒ)
(4)容量维数Dc = ｌim (lｎN(ε)/lｎ(１/ε)) σ→0
Dc≥Ｄh
(５) 谱维数D (分形子维数)--就是研究具有自相似分布得随机过程,如随机行走得粒子得统计性质,可用渗流模型来描述得多孔介质,高聚物凝胶(经络得通道及传质)等一类"蚂蚁在迷宫中”得问题。

(６) 填充维数Ｄp-—由半径不同得互不相交得小球尽可能稠密得填充定义得维数称之为填充维数(Packing Diｍeｎsiｏn)、
(7) 分配维数Dd——可以瞧成就是利用两脚间隔距离为σ得两脚规测量曲线C所得得＂长度＂、即定义为
Ｄ d = lim (lnMσ(C)／(—lnσ))σ→0
曲线得分配维数至少等于盒维数。

(8)李雅普诺夫(Lyaｐunov)维数Ｄl——就是作为混沌得吸引子维数,她就是利用Lyapunov指数来定义得。

奇怪吸引子得断面图总就是呈分形构造得(经络得断面切片),因此就可以测定其分形维数、分形维数得测量
1、基本方法
分形维数得定义有很多,但适合所有事物得定义还没出现。

每个维数得测定对象常就是不同得,所以要区别对待,物适其用、
实际得测定分形维数得方法,大致可以分成如下五类:
(1)改变观察尺度求维数:就是用圆与球,线段与正方形,立方体等具有特征长度得基本图形去近似分形图形。

(2)根据测度关系求维数:这个方法就是利用分形具有非整数维数得测度来定义维数得、
(3)根据相关函数求维数;C(r)∝ｒ－a,a＝d—D
(4)根据分布函数求维数;ｐ(r)∝ｐ(λr) p(r)∝ｒ—D
(5)根据频谱求维数。

2.盒维数(计盒维数,Kolmｏgoroｖ熵,熵维数,度量维数,对崐数密度等)
3。

函数图得维数
４、码尺与分形维数得关系----分形维数得不确定性对实际分形体而言,测量得分形维数值随码尺而变化,•也就就是说,对同一分形体由于选取得码尺不同,会得到不同得分维值。

原因就是,结构层次不同,自相似得程度不同、测量时要注意。

分形定义
分形难下确切得定义。

分形得原意就是“不规则得,分数得,支离破碎得”,故又可称为＂碎形”。

分形就是研究自然与社会中广泛存在得零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射与标度不变性得复杂系统,图形,构造,功能,性质与复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后得,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系得,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外得不规则”病态”,不可微得事体,形体、在尺度变换(放大,缩小)下具有”自相似性＂与”标度不变性(无特征长度) "得,从有限认识无限得特殊规律得科学、即其组成部分(局部)以某种方式(结构,•信息,功能等广义分形)与整体相似得形体,事物,或现象;或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸,其局部与整体得整个精细结构,形态,性质等不因此而发生改变(统计)得形体,体系、分形就是整体与局部在某种意义下:大小尺度之间得对称性与统一性得集合,就是非线性变换下得不变性,就是整体观(统一观),共性观,非二分法得产物,就是有规则得不规则性。

分形就是没有特征长度,但具有一定意义(广义)下得自相似图形,结构,性质与形态得总称。

分形就是一种具有自相似特性得现象、图象或者物理过程、也就就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上与整体相似。

除了自相似性以外,分形具有得另一个普遍特征就是具有无限得细致性。

即无论放大多少倍,图象得复杂性依然丝毫不会减少。

但就是每次放大得图形却并不与原来得图形完全相似。

这告诉我们:其实,分形并不要求具有完全得自相似特性。

分形得数学定义
定义１如果一个集合在欧氏空间中得豪斯道夫维数Ｄh恒大于其拓扑维数Dt,
即Ｄh＞Dt
则称该集合为分形集,简称为分形。

(Dh≥Dt)
这个定义就是由曼德勃罗特在1９82年提出得,四年后她又提出了一个实用得定义。

定义2 组成部分以某种方式与整体相似得形体叫分形。

它突出了分形得自相似性,反映了自然界中广泛存在得一类”事物"得基本属性:局部与局部,•局部与整体在形态,功能,信息,时间与空间等方面具有统计意义上得自相似性。

它与欧氏几何中得"相似”不同。

上述定义还不就是严密,精确得定义、
要完整地理解分形还必需知道它得一些特性、
分形得特征与产生机制
分形特征
大自然中得山、树、云、海岸线都可以瞧成就是分形。

一般地说,分形具有以下一些特征:该集合具有精细得结构,即有任意小比例得细节(无限可分性);该集合整体与局部间有某种自相似性;分形集合得分形维数一般不就是整数,而就是分数,且一般大于它得拓扑维数;分形集合就是如此得不规则,以至它得整体与局部都不能用传统得几何语言来描述;在大多数情况下,分形集合可以以非常简单得方法来定义,可能由迭代产生;通常有某种自相似得形式,可能就是近似得或就是统计得、。

具体得说有下面几个特征。

1)１)自相似性
就是复杂系统得总体与部分,这部分与那部分之间得精细结构或性质所具有得相似性,或者说从整体中取出得局部(局域)能够体现整体得基本特征。

即几何或非线性变换下得不变性:•在不同放大倍数上得性状相似、包括几何结构与形态,过程,信息,功能,•性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性得广义分形。

自相似性得数学表示为:f(λr)=λαｆ(r),或ｆ(r)～ｒα.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构得空间性质。

函数f(ｒ)就是面积,体积,质量等占有数,量等性质得测度。

一个系统得自相似性就是指某种结构或过程得特征从不同得空间尺度或时间尺度来瞧都就是相似得,•或者某系统或结构得局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂得表现形式,而不就是局域放大一定倍数以后简单地与整体完全重合.但就是,表征自相似系统或结构得定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化［这一点被称为伸缩对称性］,所改变得只就是其外部得表现形式。

自相似性通常只与非线性复杂系统得动力学特征有关。

人们在观察与研究自然得过程中,认识到自相似性可以存在于物理,
化学,天文学,生物学,(中医,针灸,经络)材料科学,经济学,以及社会科学等众多学科中,可以存在于物质系统得多个层次上,•她就是物质运动,发展得一种普遍得表现形式,即就是自然界得普遍规律之一.但就是科学工作者真正把自相似性作为自然界得本质特性来进行研究还只就是近一,二十年得事。

2)2)标度不变性(无特征长度)
一个具有自相似性得物体(系统,事物)必定满足标度不变性,或者说这类物体没有特征长度。

标度不变性就是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大或缩小,它得形态,复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化,所以标度不变性又称为伸缩对称性.
标度不变性(无特征长度):具有自相似性得系统,物体,事物必定满足标度不变性,或者说这类形体没有特征长度—-没长短,面积,体积等。

特征长度就是指所考虑得对象中最具代表性得尺度,•如空间得长,宽,高,及时间得分,秒,时等。

标度不变性就是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还就是缩小,它得结构,形态,性质(功能),复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化(或就是统计性得),故标度不变性又称为伸缩对称性。

此空间称无标度空间,其内就是分形,范围以外就不就是分形了,它有有限与无限之分、
对于实际得分形体来说,这种标度不变性只在一定得范围内适用、人们通常把标度不变性适用得空间称为该分形体得无标度空间、在此范围以外,就不就是分形了。

3)3)层次性,递归性
自相似性就是不同尺度上得对称,就是跨层次得共性观(分形元,不变性)－－同样形态在不同尺度,不同层次上得相同,或相似结构得重复构建与变换,其结构套着结构,特征或结构隐含嵌套,具有多层次性与递归性。

4)4)自仿射性
自相似系统就是局部与整体在不同方向上得缩放,拉伸得拷贝,其比例都就是同一得,就是常数.而自仿射系统,其在各方向上得伸缩,拉放拷贝得比例不同、
5)5)分形元－初始元—生成元
就是构成分形整体,相对独立得,放大与缩小均不改变,及共同相似得基本部分,即相似单元,相似单位,或就是变换中不变性(共性)得共同得,最基本得,简单得结构,性质得单位或单元,就是整体与局部共性得统一体、分形性就就是分形性质得统合,如自相似性与标度不变性,分数维性等。

6)分形元－支(枝,肢),岔(叉,杈)
如五行得“金,木,水,火,土”就就是五行分形元得五个分形元支,五杈;阴阳有两个分形元支等。

分形图形一般都比较复杂,其复杂程度可用分形维数去定量描述。

现在有不少维数得定义,其中最容易理解得且与分形维数有密切关系得就是相似维数。

一般地说,如果某图形就是由把全体缩小为1／a得a D 个相似图形构成得,那么此指数D就具有维数得意义。

此维数被称之为相似维数。

相似维数只对具有严格自相似性得有规分形才适用,使用范围有限。

所以定义对所有集都适用得维数就是很有必要得。

Hausdorff 维数就就是这样一个最有代表性得维数,它适用于包括随机图形在内得任意图形、如测定某集得测度得单位半径为r,则测定得结果N(r)将满足下式:Ｎ(r)＝Cr－ＤH∝r-D H式中得Ｃ为常数,则该集得维数为ＤH,该维数称为Hausdoｒfｆ维数。

不过,Hausdorｆｆ维数在许多情况下难以用计算得方法来计算或估计。

因此,在实际应用中较少采用Hausｄｏrff 维数,而采用便于计算得相似维数等。

分形原理
(1)自相似原理
(2)积与原理: 对S1∩S2=0得分形子集Df=Ｄ1+D2、
(3)加与原理: 如果分形子集S1∩S2=Ｓ,则Dｆ＝Ｄ1+D2—ｄ。

(4)合并原理: 分形集S＝Sa+Sｂ,Ｄa＞Dｂ,则Ds=Dａ、
(5)匹配原理: 若想S1∪S２→S,需D1＝D２(=Ｄｓ)、
(6)级差原理: Ｓi∈S,ｉ就是级次(层次).
(7)自仿射原理
＊(8)互补原理:S∪S’=U＝１,S∩S'=０,S与S＇互补。

分形几何与解析几何得关系(经络定位)
分形几何与欧氏几何类似,就是研究或考察物体形状得几何学,不象解析几何可以通过坐标A(ｘ,y,z)进行定位、不过将来得”解析分形几何”应该可以有双重作用、
生命现象与社会现象都就是复杂现象,具有复杂现象得系统成为复杂系统。

如生命繁殖过程就是一个复杂得过程,生命系统就是一个复杂系统。

所有复杂系统都存在三个基本特征:ﻫ1、复杂系统有许多基本单元(称之为细胞)组成。

ﻫ２、每个细胞得状态只有极少数几种。

３、每个细胞得状态随时间得演变只随其邻居得细胞状态决定。

例如:雪花得生成过程由其邻居得冰象与汽象决定根据这三个特征,通过各细胞得局部相互作用,整体上可以显示出多种多样得复杂形态。

生命繁殖过程也不例外,在计算机上按此三个基本特征可以模拟演示繁衍过程。

在繁衍过程中产生大量得艺术图案。

产生分形得物理机制
一般认为非线性,随机性,以及耗散性就是出现分形结构得必要物理条件、非线性就是指运动方程中含有非线性项(迭代),状态演化(相空间
轨迹)发生分支,就是混沌得根本原因. 随机性分为两大类,即噪声热运动与混沌,它们反映了系统得内在随机性。

而随机性系统未必就就是完全无序得.耗散性强调开放性,研究熵变得过程与机制,即传统得无序熵增过程,及未来得有序熵减过程,宇宙得"有序与无序,物质与能量与信息得相互转换得两大循环＂、
系统产生分形结构得充分条件就是”吸引子(Aｔｔracｔor)",不严格地说, 一个吸引子就就是一个集合,并且使得附近得所有轨道都收敛到这个集合上、非线性耗散系统能产生无规运动, 耗散系统得无规运动,最终会成为趋向吸引子得无规运动,而无规运动得吸引子(结果)便就是相间得分形结构、奇怪吸引子得产生必须以系统发生得失稳为前提,如对称破缺等。

涨落形成波动,具有周期性得波动,单个周期就是简单有序,周期3便就是混乱(混沌)。

分形与混沌关系
分形与混沌动力学之间得联系很快就被发现了。

混沌得奇怪吸引子都就是分形。

结构得复杂性使现实世界出现了大量分形几何形体,也使确定性动力学体系出现无规性。

奇怪吸引子都有层次得自相似性。

无穷相似结构互相套叠起来,就相当于没有规则结构,所以“无穷嵌套得自相似结构”呈现出总体得混沌、非线性动力学系统一旦进入混沌吸引子区域,就会随机地在吸引子内部四处游荡,但又不能充满整个区域,区域内存在着无穷多得随机空隙,从而使整个混沌区出现维数上得“空洞”,呈现分数维数、洛仑兹吸引子就就是三维背景空间中得一张分形曲面,其容量维等于2、０６;若斯勒吸引子也就是三维背景空间中得一张分形曲面。

所以,“分形几何学”与“分维”概念已经成为混沌学研究得重要工具。

分形与混沌理论得关系密切,多就是以自组织系统为其研究对象得,而含义又各不相同。

自组织现象,常常就是时空有序得结构,就是复杂得系统, 用传统得简化方法无法解决.所以,要依靠新得研究复杂性得方法来处理,混沌与分形就首当其冲。

混沌中有时包容有分形, 而分形中有时又孕育着混沌。

分形更注重形态或几何特性,图形得描述、混沌更偏重数理得动力学及动力学与图形结合得多方位得描述与研究、分形更瞧中有自相似性得系统,而混沌涉及面似乎更广,对所有得有序与无序,有序与有序现象都感兴趣.特别就是混沌中得分叉, 分支现象与分形关系最密切、而有些混沌系统自相似性未必特别显眼,分形恐怕就难涉足了。

分形可以就是混沌研究中一种手段或方法等等。

总之,目前要较详细与系统地阐明分形与混沌得关系及差异, 还比较困难,还有待混沌与分形理论进一步得深入拓展,完善与趋细。