各种有趣的分形
摩擦学的分形
摩擦学的分形摩擦学作为一门研究物体接触表面间相互作用的学科，揭示了许多有趣的现象和规律。
其中，分形是摩擦学中一个令人着迷的概念。
分形是一种几何形态，其具有自相似性和无限细节的特点，与摩擦学的研究息息相关。
分形的美妙之处在于其无限的细节。
就像大自然中的树叶和花朵一样，我们发现分形结构在物体的接触表面上也同样存在。
当我们观察一块岩石或一片树皮时，我们会发现无数微小的凹凸、起伏和纹路，它们组成了一个个微小的分形单位。
这些分形单位在不同尺度上重复出现，形成了一个整体上具有分形结构的表面。
在摩擦学中，分形结构对于物体的摩擦性能起到了重要的影响。
分形结构使得物体的接触表面更加复杂，增加了接触面积，从而增强了摩擦力的作用。
同时，分形结构也使得物体的表面不规则，形成了更多的微观接触点，提高了摩擦系数。
这种分形结构的优势在工程设计中得到了广泛的应用，例如在轮胎的花纹设计中、机械零件的表面处理中等。
分形结构的存在也为我们提供了更深入地理解摩擦学的机理的机会。
通过研究分形结构，我们可以揭示物体在接触过程中微观接触点的行为，进而优化摩擦性能。
分形结构的研究不仅仅局限于地面摩擦，还可以应用于润滑剂的开发、摩擦材料的改良等领域。
通过深入理解分形结构的特性，我们可以更好地控制和调节物体之间的摩擦行为。
尽管分形在摩擦学中起到了重要的作用，但我们仍然只是揭开了这一领域的冰山一角。
分形结构的形成机理、分形参数的优化等问题仍然值得深入研究。
只有不断探索和理解分形的奥秘，我们才能更好地利用分形结构来改善摩擦学的性能。
摩擦学的分形之美是一门令人着迷的学科。
分形结构的存在使得摩擦学更加有趣和复杂，同时也为我们提供了更多的机会来改善摩擦性能。
通过深入研究和理解分形结构，我们可以不断推动摩擦学的发展，为人类创造更好的摩擦学应用。
让我们一起走进摩擦学的分形世界，探索其中的奥秘吧！。
自然界中的数学
自然界中的数学你是否曾经停下来环顾四周，注意到我们周围世界中的神奇的形状和图案？数学构成了自然世界的基石，并以惊人的方式展现出来。
下面是一些自然界数学的例子。
斐波那契序列(The Fibonacci Sequence)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。
它是一个简单而深奥的数列。
序列从数字1和1开始，然后每个后续的数字通过将前面的两个数字相加来找到。
因此，在1和1之后，下一个数字是2(1 + 1)。
下一个数字是3(1+ 2) ，然后是5(2 + 3) ，如此类推。
值得注意的是，序列中的数字在自然界中经常可以看到。
一些例子包括松果的螺旋数，菠萝或向日葵的种子数，或一朵花的花瓣数。
上图：向日葵的两条螺旋线符合斐波那契数列的数字规律上图：松果的螺旋数斐波那契数列中的数字还形成了一个独特的形状，被称为斐波那契螺旋，我们在自然界中看到它的形式是贝壳和飓风的形状。
上图：贝壳的形状自然界的分形(Fractals in Nature)：分形是我们在自然界中看到的另一种有趣的数学形状。
分形是一种相似的、重复的形状，这意味着同样的基本形状在形状本身中反复出现。
换句话说，如果你要放大或缩小，整个形状都是一样的。
上图：蕨类植物的叶子分形构成了我们世界的许多方面，包括蕨类植物的叶子、树枝、我们大脑中的神经元分支和海岸线。
上图：神经元分支自然界的六边形(Hexagons in Nature)：自然界的另一个几何奇观是六边形。
乌龟壳数学
乌龟壳数学乌龟壳是一种独特的天然结构，也是数学中的一个有趣的研究对象。
在数学领域中，乌龟壳有着许多有趣的应用和性质。
本文将介绍乌龟壳在数学中的应用和相关概念，并探讨一些和乌龟壳相关的数学问题。
一、乌龟壳的结构特点乌龟壳是由一系列分层的骨质板块组成的，这些板块呈现出环形的形状。
乌龟壳的外观呈现出一种美丽的几何图形，其中既有规则的对称性，也有不规则的变化。
乌龟壳的基本结构特点包括以下几个方面：1. 螺旋结构：乌龟壳呈现出螺旋形的结构，这种结构使得乌龟壳能够提供良好的保护和支撑功能。
螺旋结构在数学中有着广泛的应用，例如斐波那契数列中的螺旋形式就与乌龟壳的形状相似。
2. 分层结构：乌龟壳由一系列分层的骨质板块组成，每一层都呈现出环形的形状。
这种分层结构使得乌龟壳能够具备一定的韧性和可承受压力的能力。
在数学中，分层结构也是一个重要的研究对象，例如分层图形和分层算法等就与乌龟壳的结构特点有关。
3. 几何形状：乌龟壳的外观呈现出一种美丽而复杂的几何图形。
乌龟壳的形状包括了曲线、直线、圆形等多种几何形状，同时还包括了一些不规则的变化。
几何形状在数学中是一个广泛研究的领域，乌龟壳为数学家们提供了一个有趣的几何模型。
二、乌龟壳在数学中的应用乌龟壳作为一种特殊的几何结构，在数学中有着广泛的应用。
以下是部分乌龟壳在数学中的应用：1. 曲线绘制：乌龟壳的曲线形状能够通过数学模型进行准确绘制。
乌龟壳曲线的绘制方法可以通过数学建模和计算机程序实现，这不仅有助于数学研究，还可以应用于艺术设计和计算机图形学等领域。
2. 分形结构：乌龟壳的分层结构具有分形的特性。
分形是一种具有自相似性的几何结构，这种特性在计算机图形学、优化算法和信息压缩等领域有着广泛的应用。
乌龟壳的分形结构为数学家们提供了一个有趣的分形模型。
3. 压力分析：乌龟壳的分层结构使得它能够承受来自外部的压力。
数学家可以通过分析乌龟壳的结构和力学特性，研究乌龟壳在不同压力下的形变和破坏过程。
各种有趣的分形
各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。
但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。
可是，山到底是什么"它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象"分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。
让我们先来熟悉几个典型的分形。
图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体一样，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体一样，只是变得更加小了。
Sierpinski三角形具有严格的自相似特性Kohn雪花具有严格的自相似特性分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种方法对分形的层层细节做出测定是不可能的。
曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。
分形的主要几何特征是关于它的构造的不规那么性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规那么性和复杂性程度的度量，这可用"维数〞来表征。
维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的涵。
整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为"拓扑维〞，记为d。
例如当把一地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维构造。
但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。
立体几何中的数学文化——“四面体”与“阳蛇”
立体几何中的数学文化——“四面体”与“阳蛇”引言立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形体和其性质。
在立体几何中，有两个非常有趣的几何形体，即“四面体”和“阳蛇”。
本文将重点探讨这两个几何形体在数学文化中的作用和意义。
“四面体”的数学文化四面体是一个由四个面组成的多面体，在立体几何中具有独特的性质和形状。
它在数学文化中扮演了重要角色。
首先，四面体是许多数学问题和定理的基础，如欧拉公式和拓扑学中的一些理论。
其次，四面体也被广泛应用于建筑、工程和科学研究等领域，它的几何性质和稳定性使其成为一种理想的结构形体。
“阳蛇”的数学文化阳蛇是一个立体几何中的特殊形体，它具有蛇状的结构特征。
阳蛇在数学文化中也有着重要的地位。
一方面，阳蛇是一个很好的几何分形模型，它可以用来研究分形几何和混沌理论等方面的问题。
另一方面，阳蛇还被应用于艺术和设计等领域，其独特的形状和美学价值使其成为一种受欢迎的艺术元素。
结论立体几何中的数学文化以“四面体”和“阳蛇”为代表，它们在数学研究、工程应用和艺术设计等领域都发挥着重要作用。
通过深入研究和理解这些几何形体，我们能够更好地欣赏数学的美妙和应用于实际生活中。
参考文献：- Smith, J. (2010). The Mathematics of Geometry: An Introduction to Non-Euclidean Geometry. Cambridge University Press.- Johnson, R. (2015). Fractals Everywhere. Elsevier.。
谢尔宾斯基三角形
谢尔宾斯基三角形在数学的奇妙世界中，有一种图形令人着迷，那就是谢尔宾斯基三角形。
要理解谢尔宾斯基三角形，咱们得先从它的外观说起。
它看起来就像是一个不断被细分、镂空的三角形。
最开始，我们有一个实心的大三角形。
然后，把这个大三角形分成四个完全相同的小三角形，接着把中间那个小三角形去掉，剩下的就是一个由三个小三角形组成的图形。
接下来，对这三个小三角形重复同样的操作，不断细分下去，就形成了谢尔宾斯基三角形。
谢尔宾斯基三角形的特点十分有趣。
首先，它具有自相似性。
啥叫自相似性呢？就是说无论你把它放大或者缩小，它的形状看起来都差不多。
就好像是一个无限复制的图案，无论怎么看，都能在局部找到和整体相似的结构。
这种图形不仅仅是看起来好看，它在数学里还有着重要的意义。
比如说，在分形几何中，谢尔宾斯基三角形可是个典型的例子。
分形几何是研究那些不规则、复杂但又具有某种内在规律的图形和结构的学科。
谢尔宾斯基三角形通过不断重复的细分过程，展现了分形的基本特征。
而且，谢尔宾斯基三角形还和数学中的递归概念紧密相关。
递归就是在一个函数或者操作中，不断地调用自己来完成更复杂的任务。
在构建谢尔宾斯基三角形的过程中，我们就是通过一次次地递归操作，从一个大三角形逐步得到越来越复杂的图形。
在实际应用中，谢尔宾斯基三角形也有着不少用途。
在计算机图形学中，它可以用来生成有趣的图像和特效。
比如，一些游戏或者动画中的场景，可能就会用到基于谢尔宾斯基三角形的算法来创造出独特的视觉效果。
在物理学中，谢尔宾斯基三角形的结构也能帮助我们理解一些复杂的现象。
比如在研究材料的微观结构或者某些复杂的物理系统时，谢尔宾斯基三角形的模型可以提供一些有用的思路。
再来说说谢尔宾斯基三角形的数学性质。
它的面积和周长都有着独特的规律。
随着细分次数的增加，它的面积会逐渐趋近于零，而周长却会趋向于无穷大。
这听起来是不是有点不可思议？但这正是它奇妙的地方。
如果我们从数学计算的角度来看，要计算谢尔宾斯基三角形的面积和周长，需要用到一些高等数学的知识。
生活中的数学——有趣的分形
有趣的分形
让我们动手来画图。
(1)先画一个正三角形，每一边的长度是1；
(2)在每个边的三等份的中间一等份处再凸出造一个正三角形，小三角形在三个边上出现，使原三角形变成六角形；
(3)再在六角形的12条边上重复进行三等份的中间一等份处凸出造一个正三角形的过程，得到4×12=48边形；
……
每边三等分的中间一等分处凸出一个小正三角形，如此至于无穷。
其外缘曲线的构造越
来越精细，它好象是一片理想的雪花。
整体地
看，它仍具有对称性；部分地看，它们每一个
自身内部结构间具有相似性(叫自相似性)，我科克雪片的前三个阶段的构造们把这样的曲线叫做科克曲线(雪花曲线)，它是1904年瑞典科学家科克所描述的。
雪花曲线的产生过程充分展现了它具有自相似的特点。
数学家芒德勃罗创造了一个词“fractal”，中文译为“分形”，来描述这样的图形特点。
留意观察，我们会发现大自然中充满着这种“分形”现象，如，天空中云彩、天体的分布、闪电、雪花……地球的表面、绵延不断的山脉、河流的分布、蜿蜒曲折的海岸线、崎岖的道路、人体肺气管和血管的分布、正常人的脑电脑图……
人们认识分形，在于探索事物的自相似结构，自相似是跨越不同尺度的对称性。
通过认识分形，人们能更好地认识事物的结构，还可以指导我们创造出令人赏心悦目的艺术品……。
有意思的闭合曲线
有意思的闭合曲线
1. 莫比乌斯带：这是一种单侧、无间断的闭合曲面，由德国数学家莫比乌斯发现。
它只有一面，但可以通过扭曲一个纸条来制作。
2. 克莱因瓶：这是一种无定向的二维图形，看起来像一个瓶子。
在三维空间中，克莱因瓶是一个无底的、自身相交的曲面。
3. 曼德布罗集：这是一组无穷的复杂分形集合，其形状像一个树状的分形。
它可以产生一些美丽的图案和形状。
4. 康托尔集：这是另一种无穷的复杂分形集合，由德国数学家康托尔发现。
它可以产生一些有趣的视觉效果。
5. 玫瑰线：这是一种几何图形，表示平面上的某些点按照一定的规律连接所形成的曲线。
因为这些曲线在极坐标下呈现出玫瑰花般的形状，所以被称为玫瑰线。
分形公式大全
分形公式大全分形公式是一种表示分形特征的数学公式，它可以描述自相似、无限细节和复杂的结构。
下面是一些常见的分形公式及其相关参考内容。
1. Mandelbrot集公式:Mandelbrot集是分形几何中最著名的一个例子，它由下面的公式定义：Z(n+1) = Z(n)² + C其中，Z(n)是一个复数，C是一个常数。
这个公式对于不同的C值会产生不同的形状，形成了Mandelbrot集的分形特征。
关于Mandelbrot集的更多内容，可以参考书籍《The Fractal Geometry of Nature》 by Benoit B. Mandelbrot。
2. Julia集公式:Julia集是类似于Mandelbrot集的分形图形，它由下面的公式定义：Z(n+1) = Z(n)² + C其中，Z(n)和C都是复数。
当给定不同的C值时，Julia集的形状也会有所不同。
关于Julia集的更多内容，可以参考书籍《The Science of Fractal Images》by Heinz-Otto Peitgen和Dietmar Saupe。
3. 分岔图公式:分岔图是描述非线性动力系统中稳定性变化的一种分形图形。
它由下面的公式定义：f(x) = r * x * (1-x)其中，r是参数，x是状态变量。
当r的值在一定范围内变化时，分岔图会展现出分形的特征。
关于分岔图的更多内容，可以参考书籍《Chaos: Making a New Science》by James Gleick。
4. 树形分形公式:树形分形是一种描述树状结构的分形图形，它由下面的公式定义：x(n+1) = r * x(n) * cos(theta) - y(n) * sin(theta)y(n+1) = r * x(n) * sin(theta) + y(n) * cos(theta)其中，x(n)和y(n)是当前点的坐标，x(n+1)和y(n+1)是下一个点的坐标，r是缩放参数，theta是旋转角度。
分形几何例子
分形几何例子《有趣的分形几何例子》嘿，大家知道吗？这世界上有一种超级神奇又超级有趣的东西，叫做分形几何！今天就让我来给大家唠一唠那些令人惊叹不已的分形几何例子。
咱先来说说那个著名的科赫雪花。
哎呀呀，你就想象一下，本来普普通通的一个三角形，它就开始“作妖”啦！不断地在每条边上长出更小的三角形，然后再在那些小三角形的边上长，就这么没完没了地长下去。
最后呢，嘿，就出现了一个超级漂亮、超级复杂的雪花形状！这就像是给一个简单的形状打了鸡血似的，变得让人眼花缭乱。
还有那个曼德博集合，哇塞，那可真是个神奇的玩意儿。
我第一次看到的时候，就感觉像是进入了一个奇幻的世界。
各种奇奇怪怪的形状和图案，就像是大自然偷偷藏起来的秘密花园。
你盯着它看，感觉自己能在里面发现无数的小惊喜，就像在寻宝一样。
再来说说那树木的分支。
你有没有仔细观察过树枝呀？它们其实也是一种分形几何。
从主干开始，不断地分出小枝，小枝又分出更小的枝，而且每一个分支都有着相似的结构。
感觉就像是大自然遵循着某种神秘的规则在构建着这一切。
分形几何真的是太有意思了！它就像是一个魔术师，能把简单的东西变得超级复杂，却又有着一种奇妙的秩序。
有时候我就忍不住想，这是不是宇宙在跟我们开玩笑呢？拿这些有趣的形状来逗我们玩。
想象一下，要是我们的生活中到处都是分形几何的元素，那该有多好玩啊！比如咱们的房子，外墙是分形几何的图案，走在路上看到的建筑都是各种奇奇怪怪的分形形状，那多有意思啊！感觉就像是生活在一个超级奇幻的世界里。
而且分形几何不仅仅是好玩哦，它在很多领域都有着重要的应用呢。
科学家们用它来研究各种复杂的系统，比如天气、生物等等。
说不定哪天咱们的科技进步就多亏了这神奇的分形几何呢！总之，分形几何例子给我们带来了无尽的乐趣和惊喜。
大家没事的时候也可以自己去探索探索，看看能不能发现身边那些隐藏着的分形几何的小秘密。
相信我，一旦你开始注意到它们，你就会被这个神奇的世界深深吸引，就像我一样，被它的魅力所折服！。
“懂数学”的宝塔花菜
“懂数学”的宝塔花菜作者：来源：《学苑创造·B版》2024年第08期宝塔花菜的外形十分奇特，每一棵宝塔花菜都是由许多簇形状相同的塔形小侧芽组成的，而每一簇小侧芽又是由更小些的塔形小小侧芽组成的，而且这些侧芽沿着螺旋结构堆积排列，组成了特殊的塔形结构。
这种独特的外形是怎么出现的？一起走进宝塔花菜背后的数学世界吧！背后的数学原理宝塔花菜这种外形的背后蕴含了数学中的分形和斐波那契数列的知识。
宝塔花菜是著名的分形蔬菜。
分形是描述复杂几何形体结构的一种数学概念，指的是简单的相似图案在不同维度上不断重复，构成复杂的图形或形状。
宝塔花菜的食用部分的结構具有自相似性，即每个宝塔状的小侧芽，看起来都像是大侧芽的缩小版。
所以可以说宝塔花菜是分形蔬菜。
而且，宝塔花菜上的每一簇小侧芽的生长位置都是按照斐波那契螺旋线进行排列的。
而斐波那契螺旋线是根据一个数学数列——斐波那契数列绘制出来的。
斐波那契数列是指这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
“不会开花”的花菜宝塔花菜的这种特殊结构从何而来？2021年，法国科学研究中心的一个团队给出了宝塔花菜为何会长成这样的原因——它“不会开花”。
研究者发现，主要参与宝塔花菜生长发育的有四个基因，其中一个基因在生长过程中会缺失，这导致它们在开花的过程中会不断失败，开不出花，只能转而发育茎。
而且这一过程会反复进行，在茎上又不断发育出茎，却不长叶子和花。
最终使宝塔花菜长成了“茎上加茎”的标志性结构。
生活中的数学知识树木的外形也是分形。
仔细观察，你会发现整棵树的外形可以看作“Y”形的重复。
对植物来说，这样可以让它们的枝叶最大限度地暴露在阳光下，从而更好地进行光合作用。
除了宝塔花菜，还有很多植物的花瓣、萼片、果实的数目等都与斐波那契数列中的数字吻合。
比如向日葵的花盘里就藏着斐波那契数列的蛛丝马迹，在有300朵小花的向日葵花盘上，可以找到34条左旋的螺旋线和21条右旋的螺旋线，越大的花盘能找到的螺旋线越多，且螺旋线的数目总是斐波那契数列中的数字。
谢尔宾斯三角形
谢尔宾斯三角形
谢尔宾斯三角形（Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。
它是一个自相似集的例子，其豪斯多夫维为log(3)/log(2)≈1.585。
在构造谢尔宾斯三角形时，通常从一个实心的等边三角形开始。
然后，沿着三角形的三边中点的连线，将这个三角形分成四个小的等边三角形。
接着，去掉中间的那个小三角形，剩下的三个小三角形会构成一个新的更大的三角形。
对这个新的三角形重复同样的步骤，就可以得到下一级的谢尔宾斯三角形。
这个过程可以无限重复，从而形成谢尔宾斯三角形的无限嵌套结构。
此外，也可以用正方形或其他形状来构造谢尔宾斯三角形。
例如，如果从一个正方形开始，沿着对角线的连线将它分成四个小的正方形，然后去掉中间的那个小正方形，剩下的三个小正方形会构成一个新的更大的正方形。
对这个新的正方形重复同样的步骤，就可以得到下一级的谢尔宾斯三角形。
谢尔宾斯三角形的有趣之处在于它的自相似性和无限嵌套结构。
从某种意义上来说，它在数学和艺术之间架起了一座桥梁，表现了数学的美感。
有趣的图形(数学)
有趣的图形（数学）数学中有很多有趣的图形，它们不仅具有美学价值，还能帮助我们理解数学概念和现象。
以下我将介绍几个有趣的图形及其背后的数学原理。
1. 波浪线波浪线是一种连续的曲线，它的形状像波浪一样起伏。
数学上，波浪线可以通过正弦函数或余弦函数来描述。
我们可以通过改变正弦函数或余弦函数的参数，如振幅和频率，来调整波浪线的形状和大小。
波浪线在自然界中很常见，比如海浪、声波等都具有波浪线的形态。
在艺术和设计中，波浪线也被广泛应用，它能够给人一种舒适、柔和的感觉。
2. 分形图形分形图形是一种特殊的几何图形，它具有自相似性。
简单来说，分形图形的一部分或一小段可以看作整体的缩小版。
例如，分形树是一种常见的分形图形，它的树枝可以看作整个树的缩小版。
分形图形具有无限的细节，无论我们放大还是缩小它，都能够发现新的图案。
这使得分形图形在艺术、科学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种数学方法，用于找出最适合一组数据点的曲线。
在实际应用中，我们经常会遇到一组散点数据，而需要找到一个函数曲线来描述这些数据的趋势。
常见的曲线拟合方法包括线性拟合和多项式拟合。
线性拟合使用一条直线来逼近数据，而多项式拟合则使用多项式函数来逼近。
通过曲线拟合，我们可以更好地理解数据的分布规律，并进行预测和分析。
4. 网格图形网格图形由平行的水平线和垂直线组成，形成了一个方格状的结构。
网格图形在计算机图形学和几何学中具有重要的作用。
例如，网格图形可以用于定义三维空间中的网格模型，进而用于建模和渲染复杂的物体。
网格图形还可以用于离散化数学模型，将连续的数学问题转化为离散的问题。
这种离散化的处理方法在数值方法和计算数学中得到广泛应用。
5. 几何图形的运动几何图形的运动是一种令人着迷的数学现象。
通过对几何图形进行平移、旋转、缩放等操作，我们可以观察到图形的形态和位置的变化。
几何图形的运动在几何学、动画和计算机图形学中有广泛应用。
埃舍尔分形
埃舍尔分形
埃舍尔分形：无穷细节与复杂性的数学艺术
毛里茨·科内利斯·埃舍尔，一位才华横溢的荷兰艺术家，创造了一种名为“埃舍尔分形”的独特数学图形。
这种分形图形神秘而美丽，其独特之处在于通过不断重复一个图案的自相似性变换而生成。
在埃舍尔分形中，无论我们放大或缩小任何一个部分，都会发现相同的模式不断涌现。
这种特性使得埃舍尔分形充满了无穷细节和复杂性，成为一门独特的艺术形式。
埃舍尔分形在各个领域中的应用
计算机图形学、艺术和设计等领域广泛应用了埃舍尔分形。
其独特的视觉效果和复杂性使得它成为许多艺术家和设计师的灵感来源。
通过模仿埃舍尔分形的自相似性和无穷细节，他们在自己的作品中呈现出一种令人叹为观止的美感。
此外，埃舍尔分形还具有启发性，引导人们在自然界中探索复杂结构和模式。
自然界的复杂性及其与埃舍尔分形的联系
由于其自相似性和无穷细节，埃舍尔分形成为了研究和探索自然界中复杂结构和
模式的有力工具。
例如，山脉、河流、云朵等自然景观都可以在埃舍尔分形中找到相似之处。
这种数学图形为人们提供了一种新的视角，去观察和理解自然界中的美丽和复杂。
通过研究埃舍尔分形，我们可以更好地认识自然界中的相似性和规律。
结语
埃舍尔分形是一种极具魅力和价值的数学艺术形式。
它不仅展示了数学与艺术的完美结合，还为我们提供了研究和探索自然界中复杂结构和模式的有力工具。
作为一种具有无穷细节和复杂性的图形，埃舍尔分形将继续在各个领域发挥重要作用，并为人们带来更多关于美的感悟和智慧的启示。
有趣的分形图教学设计
教学设计山东省潍坊市高新区北海学校戴璐璐无止境知识拓展如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物在某种程度上存在着这种自相似特性。
下图是一棵蕨类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些.而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。
那么枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言.二、闪电奇观据英国《每日邮报》2009年12月3日报道，美国伊利诺伊州雕刻家波特·赫克曼，用500万伏的粒子加速器对着玻璃板轰出完美分形图案，如同将闪电冻结在冰块中似的。
赫克曼用500万伏的粒子加速器轰击玻璃板，在玻璃中创造出如同冰雕一样的闪电奇观。
这些玻璃上的图案，就好像闪电被突然冻结一样，赫克曼称这一过程为“捕捉闪电”。
三、其它图形除了闪电外形外，赫克曼还可以制造出星星、蝴蝶、橡树以及太极八卦的阴阳图制造太极闪电图时，首先要将电流注入玻璃板内部，然后按照赫克曼先前雕刻好的路径突然爆发。
案。
三、月球表面图片除了自相似以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性.不管你信不信，上面的这张月球表面的照片是用分形技术生成的.如果你把图片放大观看，也可以看到更加细致的东西.因为，分形能够保持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么放大，最终，还是可以看见清晰的细节.3．学生跟同伴交流体会数学的神奇美学生感到有趣感到震撼让学生去看去欣赏学生换个角度去欣赏去思考借助网络：展示生活中的分形，体会数学的美、神奇的数学世界，小小组学生完成小结，并请两名学生到讲台上展示总结的过程。
可以利用老师的课件。
教学反思开始设计这节课的时候，学生的活动只有作品展示，而涉及到课本58页“席尔宾斯基三角形”有关的四个问题的探究时采用教师讲解法。
后来，我认为在学生的潜力应该是无限的，你把他估计成什么水平，他就是什么水平。
鉴于此，我把探究活动改为学生代替教师，让学生讲给学生听的方式。
结果收到了很理想的效果。
我在不断的思考中，干脆将反馈训练这个题目也放手给学生，在课堂上，让他们先独立思考，再小组讨论，然后推出代表展示小组成果。
分形公式大全
分形公式大全在数学中，分形是一种具有自相似性的几何图形或数学对象。
它们通常通过递归或迭代的方式构建，并且无论观察其任何一部分，都能看到整体的特征。
分形在自然界中广泛存在，例如树枝、云朵、山脉等都展现出分形的特征。
为了描述和生成分形，数学家们创造了许多分形公式和算法。
以下是一些常见的分形公式和它们的特点：1. 曼德勃罗集(Mandelbrot Set)：由法国数学家Mandelbrot于1975年引入的分形集合。
曼德勃罗集是复平面上一组复数的集合，满足迭代公式：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中C是一个常数，Z是复数。
通过迭代计算，可以将复平面上的点分为属于集合内或集合外，形成具有分形特征的图像。
2. 朱利亚集(Julia Set)：与曼德勃罗集相对应，朱利亚集也是由C 值所确定的复平面上的一组复数。
朱利亚集的迭代公式为：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中Z是复数。
朱利亚集的形状和曼德勃罗集不同，但同样展现出分形的特征。
3. 希尔伯特曲线(Hilbert Curve)：希尔伯特曲线是一种填充空间的曲线，它具有自相似性和紧凑性。
希尔伯特曲线是通过递归地将二维空间划分为四个子空间，并将曲线从每个子空间的一个角落延伸到另一个角落而生成的。
4. 科赫曲线(Koch Curve)：科赫曲线是一种无限细分的曲线，它由自相似的三角形构成。
科赫曲线的构造方法是在每条线段的中间插入一个等边三角形，然后重复该过程。
除了以上几种常见的分形公式外，还有许多其他有趣的分形公式和算法，如分形树、分形花朵等。
这些分形公式不仅在数学研究中有着重要的应用，还被广泛应用于计算机图形学、自然科学、艺术创作等领域。
总之，分形公式是描述和生成分形图形的重要工具。
通过这些公式，我们可以深入研究分形的特性和美妙之处，并将其应用于各个领域，探索自然界和数学世界中的无限奇妙。
课题学习有趣的分形图_黄正祥
请你借助网络学习类植物等等
蓝天白云，高山流水，红花绿草， 大自然的美丽和神奇是难以描绘 的可是伽利略却说：
“自然界这本伟大的书是用数学 语言写成的。”热爱数学吧！数 学里趣味横生，其乐无穷！
第1次 2
新树枝的条数
新树枝的长度
假设第一条线段的长是单 位1 3 4 ……
n
2
1
4
8
16
2n 1\2n
0.5
0.2 0.125 5
用类似的画法设计一棵与它形状不同 的分形树
• 请你用手中的笔和
纸画自己喜欢的图 形吧！ • 先独立思考，再小 组合作! • 5分钟后请每个小组 推XNTE1Njc3MDE2.html
（1） （3）
（2）
图1 • ①在图1（2）中有没有全等三角形？有没有不全 等的相似三角形？图1（3）呢？ • ②如果把图1（1）中的三角形的面积作为1，那 么图1（2）中的中点三角形的面积等于多少？ • ③图1（2）中的中点三角形的周长与图1（1）中 的周长面积之比等于多少？ • ④图1（3）中所有涂色三角形的面积之和是多少？ 涂色三角形的周长与图1（1）中三角形的周长之 比等于多少?
用以上方法画出的图形叫分形图【百科】/view/2072306.htm338。 2、再画两条线段，都为基础线条的一半，与 第一条的 夹角都是120度。 3、依次再画。
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课件制作默是赵本山这个 “医生 ”与“病人”范伟一样都得了相似 的“心病”。对于身外之物的“钱”的“心 病”上，“医生”治好了“病人”的“心 病”，他自己却是同样的“心病”大发，而 且更为甚之。这就是我们现实中的相似。
• • （1）根据图①②③的规律，图④的三角形 的个数为 . • （2）图②中，四个三角形是 三 角形（填全等或相似）；图③中的所有不 涂色三角形是 三角形.所有涂色三 角形是 三角形.
趣味数学图形
趣味数学图形趣味数学图形数学图形是数学研究中必不可少的一部分，而其中许多图形不仅具有美丽的外观，还有趣味性。
下面就让我们一起来探究一些趣味数学图形吧！1、菱形菱形是一种非常简单的几何图形，它由四条相等的线段组成。
菱形由于具有四个对称面，因此非常适合用来进行平移对称。
我们常用带有菱形的图形来设计华丽的地毯、壁纸以及服装等。
2、斐波那契螺线在斐波那契数列中，第一个数是0，第二个数是1，之后的每个数都是前面两个数的和。
这个数列是由一位公元数学家得出的。
斐波那契螺线就是在矩形中不断画斐波那契数列的单位矩形，并将这些矩形逆时针旋转90度。
最终，我们得到的图形就是斐波那契螺线。
3、三角形三角形也是一种基本图形，它是由三条线段组成的。
三角形不仅可以通过平移变换来生成新的图形，还可以通过其内角度数的不同而具有不同的性质。
例如，等边三角形的内角都是60度，而直角三角形一边的内角是90度。
4、梅比乌斯环梅比乌斯环是一种非常有趣的图形，它的特点是仅有一个面，并且它的面积是无限长的。
梅比乌斯环是由一条长带子围成的，将这条带子折叠成一个圆圈，并将其中一侧反转。
当然，这需要大量的数学技巧来进行证明和构造，但是这个图形确实非常神奇。
5、Klein瓶Klein瓶也是一种只有一个面的图形，但它与梅比乌斯环的不同之处在于它是一个立体图形而不是平面图形。
Klein瓶由一条带子折叠而成，但是与梅比乌斯环不同的是，它的一条边不是反转的，而是穿过了带子的中心。
6、Mandelbrot集合Mandelbrot集合是一种非常有趣的复数图形，它的形状类似于分形。
Mandelbrot集合由一系列的点组成，这些点将复平面分为两部分：属于Mandelbrot集合的点和不属于Mandelbrot集合的点。
Mandelbrot集合的形状非常复杂，但是它的构造却非常简单。
7、双曲线双曲线是一种非常有趣的曲线，它具有两个渐进线和两个顶点。
双曲线通常用于建模椭圆体表面的形状，比如在相对论中。
数学真美妙中有趣的数学现象
数学真美妙中有趣的数学现象1. 金字塔数学：这是一个涉及数字金字塔的现象，其中最顶端的数字是通过底层数字经过加减乘除等运算得出的。
这种数学现象展示了数字之间的复杂关系和运算的巧妙。
2. Fibonacci序列：这是一个由自然数组成的无限序列，其中每个数字都是前两个数字的和。
这种序列在自然界中经常出现，例如在植物生长、动物繁殖和自然界的其他方面。
Fibonacci序列的神奇之处在于它的数学性质和实际应用。
3. 谢尔宾斯基三角形：这是一种具有特殊数学性质的三角形，它的每一行数字都比上一行多一个，而且可以通过它计算出许多有趣的数学表达式。
谢尔宾斯基三角形展示了数学中的递归和自相似性。
4. 乌拉姆现象：这是一个关于质数分布的现象，由美国数学家乌拉姆发现。
他在一张纸上画出方格，将自然数按逆时针方向螺旋分布，并将质数圈出来。
他发现这些质数有秩序地集中在一些斜线上，显示出令人惊讶的规则性。
这个现象展示了质数分布的神秘和规律性。
5. 幻方：这是一种由数字组成的正方形阵列，其每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
最著名的幻方是3x3的洛伊斯幻方，它展示了数学中的对称性和平衡性。
6. 柯西-施瓦茨不等式：这是一个在向量空间中描述向量长度和向量之间夹角关系的不等式。
尽管它看起来可能很复杂，但它的应用却非常广泛，从几何到统计学，再到信号处理等多个领域都可以找到它的影子。
7. 分形：这是一种在数学和自然世界中都非常常见的结构，它们的特点是自相似性，也就是说，无论你放大多少倍，都可以看到相同的形状和结构。
最著名的分形之一就是曼德勃罗特集，它是由法国数学家曼德勃罗特提出的，展示了数学的复杂性和美感。
8. 四色定理：这是一个关于地图着色的定理，它说任何一张地图都可以只用四种颜色进行着色，使得没有两个相邻的区域颜色相同。
这个定理虽然看起来简单，但它的证明却非常复杂，涉及到了图论和组合数学的许多概念。
9. 欧拉公式：欧拉公式是复变函数论的基础，它将三角函数与复数指数函数相关联。
20个有趣的数学问题
20个有趣的数学问题数学作为一门基础学科，其独特的魅力和无穷的奥秘一直吸引着无数学者和爱好者。
以下是一些有趣的数学问题，涵盖了不同领域和主题，让我们一起探索数学的奇妙世界。
1. 素数之谜：素数是只有两个正因数（1和本身）的自然数。
为什么素数的分布似乎遵循一个无规律的模式？是否有无穷多的素数？2. 分形之美：分形是具有无限精细结构的图形。
诸如科赫雪花、谢尔宾斯基垫等分形为何在视觉上如此吸引人？它们在数学上有哪些有趣的应用？3. 不可思议的数列：像斐波那契数列、卢卡斯数列等神奇的数列，它们背后的数学原理是什么？这些数列在自然界和艺术中有哪些表现？4. 概率与人生：概率论如何解释生活中的随机事件？例如，为什么足球比赛中的点球得分率不是100%？概率论如何帮助我们做出更好的决策？5. 无穷大的奇妙世界：无穷大在数学中有哪些表现形式？例如，实数集是无限大的，但可数无限和不可数无限有何不同？6. 拓扑学的魔法：拓扑学研究的是物体在变形过程中保持不变的属性。
例如，为什么一个甜甜圈和一个咖啡杯在拓扑上是等价的？7. 分形几何学：分形几何是如何揭示自然和人造对象的复杂结构的？分形几何有哪些应用，如艺术、生物学和物理学？8. 无限递归与自我相似：有些对象是自身的子对象或组成对象的组分的模式。
无限递归和自我相似在数学中有哪些例子？它们为什么有趣？9. 混沌理论与蝴蝶效应：混沌理论解释了为什么一些看似微小的变化会导致巨大的结果。
蝴蝶效应是什么？混沌理论在自然界和人类社会中有哪些应用？10. 几何学中的最短路径：在几何学中，最短路径是从一点到另一点的最直线路径。
例如，欧几里得几何中的直线段是最短路径。
但在弯曲空间中呢？黎曼几何和广义相对论如何解释最短路径？11. 无理数和超越数之谜：无理数和超越数是无限不循环的小数。
它们在数学中有哪些应用和特性？为什么它们比有理数更加神秘和有趣？12. 黄金比例与美学：黄金比例是一个特定的比率（大约等于1.618），被广泛用于艺术、建筑和设计等领域。
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各种有趣得分形我们瞧到正方形,圆,球等物体时,不仅头脑里会迅速反映出它就是什么,同时,只要我们有足够得数学知识,我们头脑中也反映出它得数学概念,如正方形就是每边长度相等得四边形,圆就是平面上与某一点距离相等得点得集合,等等。
但就是,当我们瞧到一个山得形状时,我们会想到什么？”这就是山”,没错,山就是如此得不同于其她景象,以至于您如果绘画水平不高,根本画不出象山得东西。
可就是,山到底就是什么？它既不就是三角形,也不就是球,我们甚至不能说明山具有怎样得几何轮廓,但为什么我们却有如此直观而又强烈得山得印象?分形得创始人就是曼德布洛特思考了这个问图中得风景图片又就是说明分形得另一很好得例子。
这张美丽得图片就是利用分形技术生成得。
在生成自然真实得景物中,分形具有独特得优势,因为分形可以很好地构建自然景物得模型、这就是一棵厥类植物,仔细观察,您会发现,它得每个枝杈都在外形上与整体相同,仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈得枝杈也与整体相同,只就是变得更加小了。
Siｅrpinski三角形具有严格得自相似特性Koｈn雪花具有严格得自相似特性分维及分形得定义分维概念得提出对于欧几里得几何所描述得整形来说,可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种办法对分形得层层细节做出测定就是不可能得、曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念、分形得主要几何特征就是关于它得结构得不规则性与复杂性,主要特征量应该就是关于它得不规则性与复杂性程度得度量,这可用“维数”来表征。
维数就是几何形体得一种重要性质,有其丰富得内涵、整形几何学描述得都就是有整数维得对象:点就是零维得,线就是一维得,面就是二维得,体就是三维得。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换,它们得维数也就是不变得;这种维数称为“拓扑维”,记为d。
例如当把一张地图卷成筒,它仍然就是一个二维信息载体;一根绳子团成团,仍然就是一维结构。
但曼德尔布罗特认为,在分形世界里,维数却不一定就是整数得。
特别就是由于分形几何对象更为不规则,更为粗糙,更为破碎,所以它得分数维(简称“分维”,记为D)不小于它得拓扑维,即Ｄ≥d。
维数与测量有密切关系、如为了测一平面图形得面积,就要用一个边长为l、面积为l2得标准面元去覆盖它,所得得数目就就是所测得面积。
如果用长度l去测面积,就会得到无穷大;而如果用l３去测这块面积,结果就就是零。
这就表明,用n维得标准体ｌｎ去测量一个几何对象,只当n与拓扑维数d一致时,才能得出有限得数值。
如果n〈d,就会得到无穷大;如果ｎ〉d,则结果为零。
分数维也就是按照这个要求来定义得。
由于分形得复杂性有多种不同类型,所以可以提出不同定义得分维概念,从不同得角度表示分形得不规则性。
通常用得就是“容量维"。
简单地说,分维所表示得不规整程度,相当于一个物体占领空间得本领。
一条光滑得一维直线,完全不能占领空间;但就是“科赫曲线”却有无穷得长度,比光滑得直线有更多得折皱,拥挤在一个有限得面积里,得确占领了空间,它已不同于一条直线,但又小于一个平面、所以它大于一维,又小于二维,它得容量维为1.261８,这瞧来就是理所当然得。
海岸线得分维数通常在１、１5到1。
２５之间、曼德尔布罗特指出,对于各种分形来说,即使在不同得尺度上,用分维表示得不规整程度却就是一个常量。
这真就是一个令人惊奇得性质,也表明“分维”概念得客观现实特性。
分维所表征得正就是大自然得规则得不规则性、一个分形得曲线意味着一种有组织得结构,这个结构隐藏在奇特怪异得形状之中。
分数维概念我们知道0维就是点,一维就是线,二维就是面,三维就是空间。
那么,谁能告诉我１、5维就是什么？一条直线段就是一维得,由四条这样得直线段组成得正方形就是二维得。
六个这样得正方形组成得正方体就是三维得。
直线得长度数值,正方形得面积数值与立方体得体积数值都与我们测量得单位有关。
测量得单位也往往就是我们所能分辨得最小单位。
假设我们得分辨能力增加了一倍,因此我们把直线段长度单位减小到原单位得一半,直线段长度得计量值就变为原来得两倍,正方形面积就变为原来得四倍,体积则变为原来得八倍。
我们有下式:ｌog4/loｇ2=２ log8/ｌog ２=3这里得二与三不就是巧合,这就是另一种维数得定义:测度维得概念、为了定量地描述客观事物得“非规则"程度,1919年,数学家从测度得角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数得界限、如果某图形就是由把原图缩小为１/λ得相似得b个图形所组成,有:λ^D=ｋD即维数D=logｋ/logλ其中得λ为线度得放大倍数,Ｋ为“体积"得放大倍数。
回到海岸线长度得问题。
当用直线段来近似曲线时,长度单位减为原来得一半往往意味着我们可以用长度为原来得二分之一得直线段来近似曲线、这时,海岸线长度增加程度近似于一个固定得倍数、对于英国海岸线来说,其值约为2。
7,而lｏg２。
7/ｌｏg2＝1。
41,１。
41就就是英国海岸线得维数。
1.41由于就是一个分式所得出得比值,因此人们称之为分数维、还有其她一些分数维得定义方法,但得出得结果都比较近似、分数维就是衡量分形得基本参数之一。
自然界得山,其分形维数在2.2维左右,但从2。
1维到2、5维画出来得都有一定得山得效果。
下面详细介绍分维及计算1)新得维数(全维数:整数维+分维)a.由欧氏几何得"整数维”引出得非欧几何--—-分维:a).欧氏几何得"整数维"欧氏几何学就是一门具有200０多年历史得数学分支,她就是以规整几何图形为其研究对象得。
有线性与曲线两大类。
这些规整几何图形得点,直线,平面图形(曲线),空间图形得维数(欧氏维数)都就是整数维,分别为０,1,2,3、对规整几何图形得几何测量就是指长度,面积与体积得测量。
则上述两类几何图形得测量结果,可以归纳简化表述为如下两点: i。
长度=l,面积＝l2 ,体积＝ｌ3ｉｉ。
长度(半径)=ｒ1,面积=πr２,(球)体积=(４/３)πｒ３上述各种关系得量纲分别就是长度单位l得1,２,3次方,即这些方次恰与该几何图形得欧氏维数相等,并且就是整数。
归结上述两点,各类几何图形得测量都就是以长度l为基础得.所以,欧氏几何中对规整几何图形得测量,可以概括表述为长度＝l面积A=ａl2体积V=ｂl３式中ａ与ｂ为常数,称为几何因子,她与具体得几何图形得形状有关、如圆a=π;球b=４π／3、以上都就是欧几里得几何规则图形得整数维.而对于不规则得非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了,即欧几里得测度-—－—长度,宽度,厚度——－—不能抓住不规则形状得本质,于就是曼德勃罗特转向新得想法,即关于维数得新想法.b)、非欧几何得"分维＂欧氏几何中得空间就是3维得,平面就是2维得,直线就是1维得,而点就是0维得.那末,一个线团得维数如何呢？这与观察方法有关.远瞧,她就是一个点,就是0维;近些瞧,象球,有空间3维感;再近瞧,就瞧到了绳子,又成为１维得了。
引发人们注意到几何中也具有"相对关系＂,以及维数得多样性.曼德勃罗特"越过"了０,1,2,3,、..、.。
得"传统整数维"(同时也超越了传统观念),进入了瞧起来象就是不可能得”分数维数”,分维出现了、从概念上说,这就是一场走钢丝表演,就是冒险。
对于非数学家,＂外行”,(年轻得)新手,生手,即开拓创新者(或所谓得"半瓶子醋”),她要求先自愿地暂停疑虑(思考),再另寻它路、而对数学家或该行业保守得专家,可能会不懈一顾,不予考虑,不许生疑,被传统所限制束缚住,以至难有大突破。
而事实证明前者得方法与策略就是极为强劲有力得成就大功者。
分维与古典得欧几里得维数就是有联系得、将欧氏维数统一扩展成M=l d则由对数定义可知,指数d可以表示为以ｌ为底得,M得对数,即d=ｌog lＭ经用换底公式换底,就可以得到关于维数得解析通式,分维中广泛使用得关系式d=lnM/lｎl她可以被瞧成就是各种维数得综合表达式,即广义维数(欧氏维数及各种分维)得由来或基准式、分维就是一种测度,就是用其它方法不能明确定义得一些性质-－——一个对象粗糙,破碎或不规则程度----得手段。
即对某种特征性得粗糙度得量度.就是有规则得不规则性得反映、此法得关键要点就就是使在不同得尺度上(放大或缩小)不规则(图形,功能等)得程度保持恒定.2)。
拓扑维与豪斯道夫维——维数得定义连续空间得概念,空间维数就是连续得,不就是间断离散得.对数,换底,拓扑维数就是比分形维数更基本得量,以Dt表示,它取整数值,在不作位相变换得基础上就是不变得,即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭转,可转换成孤立点那样得集合得拓扑维数就是０,而可转换成直线那样得集合得拓扑维数就是１.所以,拓扑维数就就是几何对象得经典维数Dｔ=ｄ。
拓扑维数就是不随几何对象形状得变化而变化得整数维数、对于任何一个有确定维数得几何体,若用与它相同维数得"尺r＂去度量,则可得到一确定得数值N;若用低于它维数得”尺＂去量它,结果为无穷大;若用高于它维数得"尺"去量它,结果为零、其数学表达式为:N(r)～r－Dh.上式两边取自然对数,整理后可得Dh=lｎN(ｒ)/ln(１／r) 或Dｈ=ｌiｍ[ｌnＮ(σ)/ln(1/σ)］σ→0式中得Dh就称为豪斯道夫维数,它可以就是整数,也可以就是分数.欧氏几何体,它们光滑平整,其Ｄ值就是整数。
人们常把豪斯道夫维数就是分数得物体称为分形,把此时得Dｈ值称为该分形得分形维数,简称分维、也有人把该维数称为分数维数、当然还必须瞧其就是否具有自相似性与标度不变性、维数得其它定义(1)信息维数Di = lim(∑Pil nPｉ/lnσ) σ→0(2) 关联维数Dg = ｌim (lｎC(σ)/lｎ(１/σ))σ→０(3) 相似维数Ds = lnN／ln(1／ｒ)(4)容量维数Dc = ｌim (lｎN(ε)/lｎ(１/ε)) σ→0Dc≥Ｄh(５) 谱维数D (分形子维数)--就是研究具有自相似分布得随机过程,如随机行走得粒子得统计性质,可用渗流模型来描述得多孔介质,高聚物凝胶(经络得通道及传质)等一类"蚂蚁在迷宫中”得问题。
(６) 填充维数Ｄp-—由半径不同得互不相交得小球尽可能稠密得填充定义得维数称之为填充维数(Packing Diｍeｎsiｏn)、(7) 分配维数Dd——可以瞧成就是利用两脚间隔距离为σ得两脚规测量曲线C所得得＂长度＂、即定义为Ｄ d = lim (lnMσ(C)／(—lnσ))σ→0曲线得分配维数至少等于盒维数。
(8)李雅普诺夫(Lyaｐunov)维数Ｄl——就是作为混沌得吸引子维数,她就是利用Lyapunov指数来定义得。