最短路径问题 ppt课件

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图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
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图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
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1-6-8-B
6-8-B
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图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
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图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
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图论及其应用
例 已知矩阵W，求WW
1 2
1
3
7
1 2
W
3
6
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图论及其应用
例 已知矩阵W，求WW cij=min(ai1+b1j, ai2+b2j,…, ail+blj)
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图论及其应用
两个指定点之间的最短路径问题
求解方法一：回溯法(从终点开始逐步逆向推算) 主要步骤：
先看与终点连接的结点，在结点上方写上该结点到终点 的最短路线及权值；
再将每个结点（与终点连接的结点）看成新的终点，以 此类推，一直到起点为止。若在这过程中，一个结点同时与 多个不同终点相连接，则该结点上方写上该结点到这些终点 中最短的路线及权值；
图论及其应用
最短路径问题 (Shortest Path Problem)
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图论及其应用
最短路径问题
所谓最短路径问题（Shortest Path Problem）就是在一个 带权图中找出两点之间的最短路径（权和最小的路径）。
最短路径问题通常有如下几种类型： （1）带权（非负权）图中两个指定点之间的最短路径； （2）带权图（非负权）中任意两点间的最短路径； （3）带权图（非负权）中从一个指定点到其它所有点的 最短路径； （4）带权图（非负权）中必须通过指定点的两个指定点 之间的最短路径； （5）带权图（任意权）中最短路径问题，等等。
可以在Dijkstra算法的基础之上以如下方 法找到最短路径：从终点往回走，找到 它的前导顶点，使得它们之间的标号的 差等于连接它们边的权重，如此下去直 至到起点，从而找到一条最短路径。
A B C D EF G
0 0 7 1 0 4 1 5 4
0 4 1 14 5 4 11 0 4 1 12 5 4 11 0 4 1 12 5 4 7 0 4 1 12 5 4 7
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图论及其应用
l(v):=min{l(v), l(u)+wuv}
步骤 u S
abcdez
0
-
0
1
a {a}
04 2
2
c {a,c}
0 3 2 10 12
3
b {a,c,b}
0 3 2 8 12
4
d {a,c,b,d} 0 3 2 8 10 14
5
e {a,c,b,d,e} 0 3 2 8 10 13
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图论及其应用
Dijkstra算法
Dijkstra算法是由近及远地逐渐找出源点到其它 任一点的最短路径。
假设G=<V, E,W>是一个连通带权简单图， G中 顶点为v0,v1,….,vn，假设v0为起点，边(vi, vj)（或< vi, vj>）的权记为wij，若(vi, vj) （或< vi, vj>）不是图中
while V(G)-S (zS) do begin
u:=不属于S且l(u)最小的一个顶点； if u为顶点z
S:=S{u}；
else
S:=S{u}； for 所有不属于S的顶点v do l(v):=min{l(v), l(u)+wuv}；
end end Dijkstra
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图论及其应用 例 用Dijkstra算法求下图中从a到所有其它结点的最短路 径及长度。
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z {a,c,b,d,e,z} 0 3 2 8 10 13
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图论及其应用 例 用Dijkstra算法求下图中从A到其它所有结点的最短 路径及长度
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图论及其应用
步骤 u S
0
-
1
A {A}
2
C {A,C}
3
F {A,C,F}
4
B {A,C,F,B}
5
E {A,C,F,B,E}
6
G {A,C,F,B,E,G}
的边，则权为wij = ，标号l(x)表示从v0到x的最短路
径的长度。 则Dijkstra算法原理如下：
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图论及其应用
Dijkstra算法的伪代码
Procedure Dijkstra(G, W, a (,z)) begin
for i:=1 to n do l(vi):=
l(a):=0
S:=; //初始化标号及S，S用于保存已考察过的顶点的序列
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图论及其应用
任意两点间的最短路径
Floyd算法 Warshall算法
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图论及其应用
任意两点间的最短路径-Floyd算法
首先定义两种矩阵运算： 定义1 已知矩阵A=(aij)ml，B =(bij)l n，规定C=AB=(cij)mn，
其中cij=min(ai1+b1j, ai2+b2j,…, ail+blj)
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图论及其应用
练习 城市A到城市B的交通道路如下图所示，线上标 注的数字为两点间距离(单位：万米)。某公司现需 从A市紧急运送一批货物到B市。假设各条线路的交 通状况相同，请为该公司寻求一条最佳路线。
1-5-7-B
4-7-B
16
8 7-B
3
A-1-5-7-B 2-5-7-B
5-7-B
18
17
9 8-B