5-第五章 弯曲应力要点

第五章 弯曲应力
5.1 纯弯曲
一、纯弯曲和横力弯曲
1. 纯弯曲BC 段：Q ＝0，M ＝常数。

特点：弯曲后的轴线为圆弧线。

2、横力弯曲AB 、CD ：Q ≠0，M ≠0。

特点：弯曲后的轴线为非圆弧线。

F s
二、弯曲变形假设 1. 平面假设:
变形前为平面的横截面在纯弯曲变形后仍保持为一平面，且垂直于变形后的轴线，只是绕截面内某一轴线旋转了一个角度。

2. 纵向纤维间无正应力。

三、中性层和中性轴
1. 中性层：由于变形的连续性，各层纤维是由伸长逐渐过渡到缩短的，因而其间必定存在一层既不伸长，又不缩短的纤维，这一层称为中性层。

2. 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

5.2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
()ρ
θ
ρθ
ρθρεy
d d d y =
-＋＝
二、 物理关系
当应力小于比例极限，由胡克定律：
ρ
εσy E
E ＝＝
任意点的应力与该点到中性轴的距离成正比。

三、静力关系
横截面上的微力dA σ组成垂直横截面的平行力系。

该力系可简化为
⎰=A
dA N σ， ⎰=A
y dA z M σ， ⎰=A
z dA y M σ
根据纯弯曲时梁的横截面内只有对z 轴的弯矩M ，而0=N 、0=y M ，即
0＝⎰=A
dA N σ 0＝⎰=A
y dA
z M σ ⎰=A
z M dA y M ＝σ 由0＝⎰=A
dA
N σ可知中性轴必须通过截面形心。

由0==⎰⎰A
A y dA zy
E dA z M ρ
σ＝可知y 和z 轴至少有一根是对称轴。

由M dA y E dA
M A
A
z ==⎰⎰ρ
σ2
y ＝可得⎰
A
dA
y M
E
2＝
ρ
令⎰=A
z I dA y 2--对z 轴的惯性矩
y I M
y
E
E z
＝
＝＝ρ
εσ 5.3 横力弯曲时的正应力
一、正应力近似计算公式
y I M
z
＝
σ （误差不大，满足工程所需精度）
二、惯性矩计算
1. ⎰
=
A
dA y 2Z I
若横截面是高为h,宽为b 的矩形，12
I 3
Z bh =；
若横截面是直径为D 的圆形，64
I 4
Z D π=
2. 平行移轴公式
A 2ZC Z b I I +=
例题
1. 如图a 所示简支梁由56a 号工字钢制成，其截面简化后的尺寸简图b, F=150KN 。

试求此梁的最大正应力和该截面上翼缘与腹板交接处a 点的正应力。

解：作梁的弯矩图，横截面C 上有最大弯矩，且
m kN ⋅=375M max
查型钢表，56a 号
工字钢的32342W cm z =，465585I cm z =,mm 560h =，mm 21t =
所以梁的最大正应力为：MPa W M Z 16010
2342103756
3
max max
=⨯⨯==-σ 该截面a 点处的正应力为
MPa I M Z 14810)212560(106558610375y 383max a =⨯-⨯⨯⨯==--
σ 2. 一外伸梁由18号槽钢制成，尺寸和受力如图所示，求此梁的最大拉应力和最大压应力。

375kN∙m
F
a )
M 图 b)
z
c)
z
4kN
F 2=
18号槽钢
解：1. 由静力平衡方程求出支座反力为：10.5kN F ,2.5kN F RB RA == 2. 作弯矩图，最大弯矩在截面C ，且,m 2.5kN M C ⋅= 最大负弯矩在B 截面，且m -4kN M B ⋅=
3. 查表的18号槽钢,111cm I 4Z = 5.16cm,y 1=,1.84cm y 2=
4. 对于截面B ，弯矩为负，
最大拉应力发生在上边缘各点，且66.3MPa I y M Z 2
B B
max ==
t σ 最大压应力发生在下边缘各点，且186MPa I y M Z
1
B B
cmax ==
σ 对于截面C,弯矩为正，
最大拉应力发生在截面下边缘各点116MPa I y M Z 1
C C
max ==
t σ 最大压应力发生在截面上边缘各点MPa 4.14I y M Z
2
C C
max c ==
σ 综上所述，梁的最大拉应力,116MPa
max =t σ发生在C 截面的下边缘各点， 最大压应力,186MPa
max =c σ发生在B 截面的下边缘各点。

5.4 横力弯曲时的剪应力
一、矩形截面梁
1. 切应力的方向及沿宽度方向的分布假设：
（1）横截面上各点处的切应力方向均平行于剪力Q F 。

（2）切应力沿截面的宽度方向呈均匀分布。

2. 切应力计算公式
b
I S F Z *Z Q =
τ
)y -4
h (2b S
22
*
Z
= 切应力沿高度方向的分布规律：
)y -4
h (2I F b I S F 22
Z Q
Z *Z
Q ==τ
当02
=±
=τ时，h
y ，即横截面的上下边缘处，切应力等于零，当y=0时，切应力最大，即最大切应力发生在中性轴上，且
A F 2312
bh 8h F I 8h F Q
32Q Z
2Q max
=⨯
=
=τ 矩形截面梁的最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。

二、圆形截面梁
A
F 34R 34F Q 2Q
max ==
πτ
三、工字型截面梁
5.5 提高弯曲强度的措施
一、合理安排梁的受力情况 1. 合理调整支座。

F/L
F/L
2. 合理安排荷载。

M max =
二、选择合理的梁截面 1.合理选择截面形式。

2.根据材料选择截面。

对于铸铁类抗拉、抗压能力不同的材料，最好使用T 字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。

如下图：
3. 采用等强度梁
（1）必须满足正应力强度条件。

（
2）必须满足剪应力强度条件。

5.6 例题
1. 一截面为t b ⨯的钢条，长为l ,重为p ，放在刚性平面上。

若钢条A 端作用3/p 的拉力，未提起部分保持与平面密合。

求钢条脱开刚性平面的距离及钢条内的最大正应力。

2. 简支梁承受均布荷载如图所示，若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且mm D 401=，53/22=D d 。

（1）、试分别计算它们的最大正应力。

（2）、空心截面比实心截面的最大正应力减少了百分之几。

3. 当20号槽钢受弯曲变形时，测出A 、B 两点间长度的改变为mm l 31027-⨯=∆，材料的E=200GPa 。

试求梁截面上的弯矩M 。

4. 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。

许用拉应力a 40][MP t =σ,许用压力
a 160][MP c =σ。

（1）、试按正应力强度条件校核梁的强度。

（2）、若荷载不变，但将T 形横截面倒置，即翼缘在下成为⊥形，是否合理并说明原因。

5. 跨度为l 的简支梁作用有均布荷载q ，抗弯截面系数为W ，材料弹性模量为E ，求梁的下边缘总伸长为多少。

6. 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，跨度m l 1=，若胶合面上的许用切应力为a 34.0][1MP =τ，木材的许用弯曲正应力为a 10][MP =σ，许用剪应力a 1][2MP =τ。

试求许可荷载P F 。

7． 梁由两根36a 工字钢铆接而成。

铆钉的间距为s=150mm,直径d=20mm,许用剪应力a 90][MP =τ。

梁截面上的剪力Q=40KN 。

试校核铆钉的剪切强度。