《经济数学基础》教案4

《经济数学基础》教案
4
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
[教学目标]
1.理解矩阵、可逆矩阵和矩阵秩的概念。

2.掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法和转置等运算。

3.熟练掌握用初等行变换法求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

4.知道零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵。

5.掌握用消元法求解线性方程组。

6.理解线性方程组有解判定定理。

了解线性方程组的特解、一般解等概念，熟练掌握求线性方程组一般解的方法，会求线性方程组的特解。

[重难点]矩阵运算，初等行变换，线性方程组解的讨论与解法。

[教学内容]
矩阵
一、主要内容： （一）、概念
⒈矩阵定义：n m ij n m a A ⨯⨯=)( 是一张矩形阵表。

（它m 行n 列，其中ij a 中i 表示第i 行，j 表示第j 列） ①、 零矩阵：n m n m o ⨯⨯=)0( ②、
负矩阵：n m ij n m a A ⨯⨯-=-)(
③、
行矩阵和列矩阵：),,(1n a a ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡m b b 1 ④、
方阵：n n ij n n a A ⨯⨯=)(
⒉特殊矩阵
①、 单位矩阵：I ②、 数量矩阵： ③、 对角矩阵：
④、 三角矩阵：（上三角矩阵和下三角矩阵） ⑤、
对称矩阵：A A T =
⒊阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵
⒋矩阵秩的定义：对应阶梯形矩阵的非零行的行数。

⒌逆矩阵定义：A A I AA A A 111, ,---==为互逆矩阵。

（二）、法则
⒈矩阵的相等：同形矩阵对应位置元素相等。

⒉矩阵的加减法：n m ij ij b a B A ⨯±=±)( ⒊矩阵的数乘：n m ij ka kA ⨯=)(
⒋矩阵的乘法：AB C =
矩阵乘法不满足交换律，即AB BA =一般不成立（若矩阵A , B 满足AB BA =，则称A , B 为可交换的）．
矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵AC BC =及矩阵C ≠0，不能推出A B =．但当C 可逆时，AC BC =⇒A B =． 矩阵A B ≠≠00,，可能有AB =0． ⒌方阵的幂：A A A A m ⋅⋅⋅= （m 个相乘）
⒍矩阵的转置：m n ij T a A ⨯=)( 称为n m ij n m a A ⨯⨯=)(的转置。

（三）、方法
⒈矩阵的初等行变换
⒉初等行变换化矩阵为阶梯形 ⒊初等行变换求矩阵的秩 ⒋初等行变换求逆矩阵
二、实例分析：
例1 若A ，B 是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（ ）．
A ．000＝或＝，则＝若
B A AB
B ．2222)+(B B A A B A +⋅+＝
C ．若秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 则秩0)(≠AB
D ．若秩,)(n A = 秩,)(n B =则秩n AB =)(
解 选项A ： 00＝或＝B A 只是0＝AB 的充分条件，而不是必要条件，
故A 错误；
选项B ：222)+(B A B B A A B A +⋅+⋅+＝，矩阵乘法一般不满足交换律，即A B B A ⋅≠⋅，故B 错误；
选项C ：由秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 说明A ，B 两个矩阵都不是0矩阵，但
它们的乘积有可能0矩阵，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011,1010B A ，则⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=0000AB ．故秩0)(≠AB 不一定成立，即C 错误；
选项D ：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D 正确．
例2 设矩阵[]021-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=100112B ，则AB ＝ ． 解 因为 AB ＝[]021- ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-100112= [4 1] 所以，应该填写：[4 1]
例3 矩阵132100
1100001000
10
0-⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎤⎦
⎥⎥
⎥⎥的秩是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 因为
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00000
00100
0011001231
00100
00100
0011001231
00010
001000011001231 对应的阶梯形矩阵有3个非0行，故该矩阵的秩为3． 正确选项是：C
例4 设矩阵
A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--913210063，⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=801962B 则矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 ．
解 根据乘法法则可知，矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是A 的第3行元素与B 的第1列元素的乘积之和，即 3×2＋（－1）×9＋9×0 ＝ -3 应该填写：-3
例5 设A 是m ?n 矩阵,B 是s ?n 矩阵, 则运算有意义的是( )． A ．T AB B ．AB C ．B A T D ．T T B A
解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵T AB 有意义．
正确选项是A ．
例6 设方程XA －B =X ，如果A －I 可逆，则X = ． 解 由XA －B = X ，得XA －X = B ，X (A －I ) = B 故X = B (A －I )－1．
所以，应该填写：B (A －I )－1
注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成 (A －I )－1 B ，它是错误的．
例7． 设矩阵 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=-1111032311A ，求矩阵A ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=-100010001111
10
3231][1
I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→1013400137
90001
2
31 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----→1013
40211110001
2
31 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→9431
002111
106321
01→⎡⎣⎢
⎢⎢⎤
⎦
⎥
⎥⎥100113010237001349 所以 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=943732311A
例8 已知矩阵⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡367601012b b a a ，求常数a ，b ． 解 因为
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡3676010122a ab b a ab b b a a 所以 6,3==ab a ，得b = 2 ．
例9．设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0121A ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=2003B , 求X ．
解法一：先求矩阵A 的逆矩阵．因为
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10010121I A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡→11200121⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-→21211010
01 所以 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=-2121
101A 且 B A X 1
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2003212
1
10
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=1 2320 解法二： 因为 []⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=20010321B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡→23200321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-→123102001 所以 ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=12320X
例10 设矩阵
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=451001413101B A 试计算A -1B ． 解 因为 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=100010001001413101][I A
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→1011
00013110001
1
01→--⎡⎣⎢
⎢⎢⎤
⎦⎥
⎥⎥100
1010411001101
所以 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=-1011141001A 且 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-51344511011141001B A
例11 设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵． 证 因为 A ，B 是对称矩阵，即
B B A A ==T T ，
且 T T T )()()(BA AB BA AB +=+ T T T T B A A B +=
AB BA += BA AB += 根据对称矩阵的性质可知，AB ＋BA 是对称矩阵．
例12 设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 证 因为 ))((2A A I A I ++-
=322A A A A A I ---++ =3A I -= I
所以 21)(A A I A I ++=--
线性方程组
一、主要内容： (一)、概念
⒈线性方程组的矩阵表示：AX = b ⎩⎨⎧≠==)0( 0
b b Ax Ax 非齐次方程组齐次方程组
其中：A —为系数矩阵，[Ab]= A —为增广矩阵 ⒉阶梯形方程组：
⒊简化阶梯形矩阵：（可用于直接读出方程组的解）
(二)、方法
⒈线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：
AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ； AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ； AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ? 秩(A )． 齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：
AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ； AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n ．
⒉矩阵消元法求线性方程组的一般解步骤：
[]知量用自由未知量表独立未判断是否有解，写出对应的方程组若有解化简化阶梯形初等行变换化阶梯形写出 * 1 0 1 0 0 1-- ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-----=------=------=-−−−−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−→−→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−−−−→−=−−→−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=------=------=----- b A A A
此解称为线性方程组的一般解。

二、实例分析：
例1 线性方程组⎩⎨⎧=-=+0
2
23221x x x x 的系数矩阵是( ) ．
A ．2×3矩阵
B ．3×2矩阵
C ．3阶矩阵
D ．2阶矩阵 解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵．
正确的选项是A ． 例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( ) ． A ．可能有解 B ．有无穷多解 C ．无解 D ．有唯一解
解 线性方程组AX = B 有唯一解，说明秩,)(n A =故AX = 0只有唯一
解（零解）．
正确的选项是D ．
例3 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=41221λA ，则当λ＝（
）时线性方程组有无穷多解．
A ．1
B ．4
C ．2
D ．
12
解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛λ-λ→021021
此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝1
2
．
正确的选项是D ．
例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解,那么有 ( )． A ．秩(A ，B ) ＝ n B ．秩(A ) ＝ r
C ． 秩(A ) ＝ 秩(A ，B )
D ．秩(A ) ＝ 秩(A ，B ) ＝ n
解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D 是正确．
例5 求解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+--=+-+-=++-1
2321220234321
43214321x x x x x x x x x x x x
解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=00100130103800100200
131100123113 1101311001
23112321
12121
01
2
3
1
A
因为 ，秩(?A ) = 秩(A ) = 3，
所以，方程组有解． 一般解为
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=031833
424
1x x x x x (x 4是自由未知量) 例6 设线性方程组
2121321231231
23x x x x x x x x x c
-+=--+=--+=⎧⎨⎪
⎩⎪
试问c 为何值时，方程组有解若方程组有解时，求一般解． 解 因为
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=13501350112123111211112c c A
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---→c 00013501121
可见，当c = 0时，方程组有解．且
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
-
→0000515310535101A 所以，原方程组的一般解为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=323
153515153x x x x （x 3是自由未知量）
[作业设计]形成性考核册作业4。