湘教版第4课时 与圆有关的概念和性质PPT

︵ 22．如图，已知△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，BC的度数为 100°，
连接 AO.
︵︵ (1)求AB和AC的度数；
︵︵ 解：∵AB＝AC，∴AB＝AC，
︵ ∵BC的度数为 100°， ∴A︵B和A︵C的度数为360°－2 100°＝130°.
(2)求证：AO 平分∠BAC. 证明：如图，连接 OB，OC，延长 AO 交 BC 于点 D， ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴点 A 和点 O 都在线段 BC 的垂直平分线上， ∴BD＝CD，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD， 即 AO 平分∠BAC.
【点拨】连接 CO 并延长交⊙O 于 E，连接 BE，∴∠E＝∠A， ∠CBE＝90°.∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠ECB，∴cos∠ACD＝cos∠ECB＝BCCE＝35. ∵BC＝2，∴CE＝130. ∴⊙O 的半径的长为53. 【答案】53
15．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径 MN 为 100 cm，油面宽 AB 为 60 cm，如果再注入一些油后，油面 宽变为 80 cm，则油面上升________．
【答案】D
10．如图，在半径为 3 cm 的⊙O 中，点 D 是劣弧 AB 的中点，点
C 是优弧 AB 上一点，∠C＝30°，下列四个结论：①∠AOB
＝150°；②AB＝3 3 cm；③sin∠ABO＝ 23；④四边形 ADBO 是菱形．其中正确
结论的序号是( )
A．①③
B．②④
C．②③④ D．①③④
(2)求证：∠1＝∠2.
证明：∵EC＝BC， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠CAB， ∵∠BAC＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
21．如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB⊥CD 于点 M， ︵
P 是AD上任意一点，CD＝20，CM＝4. (1)求弦 AB 的长；
【答案】C
5．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB＝AD，若∠C ＝68°，则∠ABD 的度数为( ) A．34° B．56° C．68° D．112°
【点拨】∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A＝180°－∠C＝112°， ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ABD＝12(180°－∠A)＝34°.
ON⊥CD′于 N，∵OC＝OD′，∴CD′＝2NC，∠C＝30°.∵OC＝12 AB＝1，∴CN＝ 23，∴CD′＝ 3，∴MC＋MD 的最小值是 3. 【答案】 3
︵ 19．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，M 为CD的中点，连接 AM，
BM，求证：AM＝BM.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
＝BC；④△AOD 沿 OD 翻折与△COD 重合．正确的有( A ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
3．如图，点 A，B，C，D 在半径为 5 的⊙O 上，AB 经过圆心 O， 且∠ADC＝120°，则 AC 的长为( ) A．2 B．2 3 C．5 D．5 3
【点拨】连接 BC.∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝180°－120°＝60°. 由题意知，AB 是直径，∴∠ACB＝90°. ∵⊙O 的半径为 5，∴AB＝10， ∴AC＝AB·sin60°＝10× 23＝5 3.
【答案】D
4．如图，已知 OB 为⊙O 的半径，且 OB＝10 cm，弦 CD⊥OB
于点 M，若 OM ∶MB＝4 ∶1，则 CD 长为( )
A．3 cm
百度文库
B．6 cm
C．12 cm
D．24 cm
【点拨】∵弦 CD⊥OB 于点 M， ∴CM＝DM＝12CD.∵OM ∶MB＝4 ∶1， ∴OM＝45OB＝8 cm， ∴CM＝ OC2－OM2＝ 102－82＝6(cm)， ∴CD＝2CM＝12 cm.
12．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，四边形 ABCD 的外角 ∠CDM＝70°，则∠AOC 的度数为___1_4_0___°.
【点拨】∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠B＝∠CDM＝70°， ∴∠AOC＝2∠B＝140°.
13．如图，OA，OB 是⊙O 的半径，点 C 是⊙O 上一点，∠AOB ＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝________°.
23.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AD，BC 的延长线交于点 E， F 是 BD 延长线上一点，∠CDE＝12∠CDF＝60°.
(1)求证：△ABC 是等边三角形；
证明：∵∠CDE＝12∠CDF＝60°，∴∠EDF＝60°. ∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠ABC＝∠CDE＝60°， 由圆周角定理，得∠ACB＝∠ADB＝∠EDF＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．
解：∵CD 是直径，且 CD＝20，∴OB＝OC＝10. ∵AB⊥CD，∴BM＝12AB. 在 Rt△BMO 中，OM＝10－CM＝6，OB＝10， 由勾股定理，得 BM＝ 102－62＝8，∴AB＝16.
(2)求证：∠APB＝∠BOC.
证明：如图，连接 OA， ︵︵
∵AB⊥CD，∴AC＝BC. ∴∠AOC＝∠BOC＝12∠BOA. ∵∠APB＝12∠BOA，∴∠APB＝∠BOC.
∵∠OBA＝30°，∴sin∠ABO＝12，故③错误； 设 OD 与 AB 交于 E，∵∠AEO＝90°，∠OAB＝30°，∴OE＝12OA ＝12OD.∵AE＝BE，OD⊥AB，∴四边形 ADBO 是菱形，故④正 确．
【答案】B
11．如果圆的半径为 3，则弦长 x 的取值范围是__0_＜__x_≤__6___．
17．如图，AB 是⊙O 的直径，M，N 分别是 AO，BO 的中点， ︵
CM⊥AB 于点 M，DN⊥AB 于点 N，则CD的度数是________．
【点拨】∵M，N 分别是 AO，BO 的中点， ∴2OM＝OC，2ON＝OD. ∵CM⊥AB 于点 M，DN⊥AB 于点 N，∴∠CMO＝∠DNO＝90°， ∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，
【答案】 10 cm或70 cm
16．如图，在△ABC 中，∠BAC＝52°，⊙O 截△ABC 三边所得 的弦长相等，则∠BOC 的度数是________°.
【点拨】如图，∵在△ABC 中，⊙O 截△ABC 的三条边所得的 弦长相等，∴点 O 到三角形三条边的距离相等，即点 O 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝12(180°－∠A)＝12 (180°－52°)＝64°. ∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠3) ＝180°－64°＝116°. 【答案】 116
【点拨】连接 OA，作 OG⊥AB 于点 G，∵AB＝60 cm，∴AG ＝12AB＝30 cm.∵油槽直径 MN＝100 cm.∴OA＝50 cm，∴OG ＝40 cm，同理当油面宽 AB 为 80 cm 时，圆心 O 到弦 AB 的距 离是 30 cm，∴当油面没超过圆心 O 时，油面上升了 10 cm；当 油面超过圆心 O 时，油面上升了 70 cm.
【点拨】如图，连接 OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝50°， ∴∠BOC＝180°－50°×2＝80°， ∴∠AOC＝80°＋40°＝120°. ∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.
【答案】30
14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD⊥AB，cos∠ACD＝35， BC＝2，则⊙O 的半径的长为________．
【答案】C
9．如图，以△ABC 的一边 AB 为直径的⊙O 交 AC 边于点 D，
交 BC 边于点 E，连接 DE，BD，AE，BD 与 AE 相交于点
F.则 sin∠CAE 的值可以表示为下列选项中的( )
A．ADDF C．EAFF
B．CADC D．DABE
【点拨】由题意可得∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°. 在 Rt△AEC 中，sin∠CAE＝CAEC.由题易得∠CED＝∠CAB， ∠CDE＝∠CBA，∴△CDE∽△CBA， ∴CAEC＝DABE，∴sin∠CAE＝DABE.
【答案】B
7．如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 的延长线交于点 E，若 DE＝ OB，∠AOC＝84°，则∠E 等于( ) A．42° B．28° C．21° D．20°
【点拨】如图，连接 OD，∵OB＝DE，OB＝OD， ∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE. ∵∠1＝∠DOE＋∠E，∴∠1＝2∠E. ∵OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E， ∴∠AOC＝∠C＋∠E＝3∠E， ∴∠E＝13∠AOC＝13×84°＝28°.
︵︵ ∴AD＝BC，∴AD＝BC，
︵
︵︵
︵︵
∵M 为CD中点，∴DM＝CM，∴AM＝BM，∴AM＝BM.
20. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 E 在对角线 AC 上， EC＝BC＝DC.
(1)若∠CBD＝40°，求∠BAD 的度数； 解：∵BC＝DC， ∴∠CDB＝∠CBD＝40°， ∴∠CAB＝∠CDB＝40°，∠CAD＝∠CBD＝40°， ∴∠BAD＝∠CAB＋∠CAD＝40°＋40°＝80°.
【答案】A
6．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，
则⊙O 的直径的长为( )
A．6
B．12
C．6 2 D．6 3
【点拨】连接 OA，OC，∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°. ∵OA＝OC，∴△AOC 是等边三角形， ∴AO＝AC＝6，∴⊙O 直径为 12.
︵ ∴∠COD＝180°－60°－60°＝60°，∴CD的度数是 60°.
【答案】 60°
18．如图，AB 是⊙O 的直径，已知 AB＝2，C，D 是⊙O 的上 的两点，且B︵C＋B︵D＝23A︵B，M 是 AB 上一点，则 MC＋MD 的最小值是________．
︵ 【点拨】过 D 作 DD′⊥AB 交⊙O 于 D′，连接 OC，OD′∴BD＝ D︵′B.∵ B︵C ＋B︵D ＝ 23A︵B ， ∴B︵C ＋ B︵D′ ＝23A︵B ， ∴∠COD′＝ 120°. 连接 CD′交 AB 于 M′，则 CD′就是 MC＋MD 的最小值，过 O 作
期末提分练案
第4课时 与圆有关的概念和性质
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1B
2A
3D
4C
答案显示
5A
6B
7B
8C
11 0＜x≤6 12 140 13 30
9D
10 B
14 5 15 10 cm或70 cm 3
16 116 17 60° 18 3 19 见习题 20 见习题 21 见习题 22 见习题 23 见习题 24 见习题
(2)判断 DA，DC，DB 之间的数量关系，并证明你的结论． 解：DA＋DC＝DB，理由如下：如图，在 BD 上截取 PD＝AD，
【答案】B
8．如图①，把圆形井盖卡在刻度已磨损的角尺(角的两边互相垂
直，一边有刻度)之间，即圆与两条直角边相切，现将角尺向
右平移 10 cm，如图②，OA 边与圆的两个交点对应 CD 的长
为 40 cm，则可知井盖的
直径是( )
A．25 cm
B．30 cm
C．50 cm
D．60 cm
【点拨】如图，设圆形井盖的圆心为 N，作 NE⊥OA 交 OA 于点 M，连接 CN.设井盖的直径为 2x cm，则 ME＝10 cm，MN＝(x －10)cm，MC＝12CD＝20 cm，CN＝x cm.在 Rt△CMN 中，根据 勾股定理，得 x2＝202＋(x－10)2， 解得 x＝25，∴井盖的直径是 50 cm.
【点拨】∵∠C＝30°，∴∠BOD＝60°.∵点 D 是劣弧 AB 的中点， ∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∴∠AOB＝120°，故①错误； ∵点 D 是劣弧 AB 的中点，∴OD⊥AB.∵OA＝3，OA＝OB， ∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，易求得 AB＝3 3， 故②正确；
1．下列说法正确的是( B ) A．直径是弦，弦是直径 B．经过圆心的直线都是圆的对称轴 C．经过圆内任意一点，有且只有一条直径 D．若两条弧的度数相等，则这两条弧是等弧
2．如图，在⊙O 中， 点 C，D 为半圆上的三等分点．下列结论： ︵︵
①∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；②AD＝CD＝OC；③AD＝CD ︵