广东省深圳市宝安中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

宝安中学2013－2014学年第二学期期末考试
高二理科数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。

2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上。

3、考试结束，监考人员将答题纸收回
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
临界值表： 2()P K k ≥ 0.15
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
第Ⅰ卷 （本卷共计40 分）
一．选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计40分）
1.若复数z =i -2，则=||z （ ）
A B C ．3 D ．5 2.下列求导运算正确的是（ ） A ．231)3(x
x x +='+
B ．2ln 1)(log 2x x ='
C ．e x x 3log 3)3(='
D ．x x x x sin 2)cos (2
-=' 3.在二项式8)1(x
x -
的展开式中，含5x 的项的系数是（ ）
A. -8
B. 8
C. 28-
D. 28
4. 设2 [0,1]
()2 (1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则20
()f x dx ⎰等于 ( )
A. 34
B. 45
C. 5
6
D. 不存在
5. 已知随机变量8ξη+=，若~(10,0.6)B ξ，则()E η，()D η分别是( ) A ．2和2.4 B ． 2和5.6 C ．6和2.4 D ．6和5.6
6. 设随机变量2~(,)N ξμσ，且当二次方程220x x ξ-+=无实根时，ξ的取值概率为
0.5，则μ的值为 ( )
A. 0
B. 0.5
C. 1
D. 2
7. 已知M 是椭圆
22
12516
x y +=上在第一象限的点，点A 和点B 分别是椭圆的右顶点和上顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值 ( )
A. 10
B.
1 C. 200 D.
20
8.如图，9名战士站成3行3列，现从这9名战士中随机选出2名战士分别担任正、副组长，要求这2名战士来自不同行且不同列，共有多少种不同的选法（ ） A 18 B 36 C 72 D 144
第Ⅱ卷 （本卷共计110分）
二．填空题（9-14题，每小题5分，共30分）
9.在极坐标系中，点(2,)4
P π
关于极点的对称点的极坐标是
10.若2921101211(1)(23)x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则11210a a a a +⋅⋅⋅+++的值为
11. 口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是
12．在极坐标系中，极点到直线1
cos()6
2
π
ρθ+=
的距离是 13. 已知0,0a b >>
，则
11
a b
++的最小值是 14. 若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则
实数k 的取值范围是________．
三.解答题（15-20题，要求写出必要的解答或证明过程，共80分）
15. 解下列不等式：
(1). |2|42x x -≤- (2). 33|log ||||log |x x x x +<+
16. 近年雾霾使大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。

某市为了解心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行了问卷调查，得到如下表格：
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计 男 5 女 10 合计
50
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为35。

(1). 请将上面的表格补充完整；
(2). 是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
(3). 已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从这10位女性中，选出3名进行其他方面的检查，记选出患胃病的女性人数为η，求η的数学期望。

17.某软件公司研发了多款软件，其中A,B,C 三种软件供高中生使用，经某高中使用一学年后，该公司调查了这个学校同一年级四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：
班级 一 二 三 四 人数
3
2
3
4
(1). 从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一个班级的概率；
(2). 从这12人中，指定甲、乙、丙3人为代表，已知他们每人选择一款软件，其中选A,B 两款软件的概率都是
1
6
，且他们选择A,B,C 任一款软件都是相互独立的。

设这3名学生中选择软件C 的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

18.已知6
(2)ax b +的展开式中3
x 与4
x 的系数之比为4:3，其中0,0a b >≠。

(1). 求展开式中系数最大的项；
(2). 令316
(,)b F a b a
+=，求(,)F a b 的最小值。

19. 房间里有n 盏电灯，分别由n 个开关控制，至少开1盏灯用以照明，共有n a 种不同的照
明方法（其中*
n N ∈） (1). 当5n =时，求5a ； (2). 求n a ； (3). 求证：1211
1112(1)
(1)
n a a n a +++
<+++
20.已知函数2
1()ln (1)2
f x a x x a x =+-+ (1). 当1
2
a =-
时，求函数()f x 的单调区间； (2). 若()0f x ≥对定义域内的任意x 都成立，求实数a 的取值范围； (3). 证明：对于任意的正整数,m n ， 不等式
11
1ln(1)ln(2)
ln()()
n
m m m n m m n ++
+
>++++恒成立。

宝安中学2013－2014学年第二学期期末考试
高二理科数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 B B D C A A C B
二、填空题 9、(2,
2)4k π
π-+或5(2,
2)4
k π
π+ (写出其中一个极坐标即可)；
10、 2- 11、25 12、12 13、4 14、)2
3
,1[
三、解答题
15、解：(1). 不等式化为24242x x x -≤-≤-，则解集为{|2}x x ≤ (6分) (2). 由绝对值不等式的性质可知3log 0,0x x x ⋅<>且。

所以3log 0,01x x <<<即 (12分)
16、解： (1). 依题意，患心肺疾病的人数为3
50305
⨯
=，可把联表补充如下：
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计
30
20
50
(3分)
(2). 提出假设0:H 患心肺疾病与性别无关
因为22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，即22
50(2015510)258.333252530203K ⨯⨯-⨯=
=≈⨯⨯⨯ 又2(7.879)0.0050.5%P K ≥==，
故有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关。

(9分) (3). 因为~(3,3,10)H η，所以339
()1010
E η⨯=
= (12分)
17、解：(1). 设“从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一个班级”为事件M ，
则2222
32342
1213
()66
C C C C P M C +++== (4分)
(2). 由题意知0,1,2,3ξ=，每个人选软件C 的概率均为
23，所以311
(0)()327
P ξ===； 123122(1)()339P C ξ===；223124(2)()339P C ξ===；328(3)()327
P ξ===；(10分)
ξ的分布列如下：
ξ
0 1 2 3
P
127 29 49 827
1248
()01232279927
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (14分)
18、解：设通项为66616
6
()
(2)(2)r
r
r
r
r
r r
r T C ax b C a
b x
---+==，则依题意：3336242
6(2)4
(2)3
C a b C a b = 从而得到：2a b =。

(4分)
(1). 展开式666(2)(1)ax b a x +=+的二项式系数最大即为系数最大。

即
363
634620T C a x a x == (8分)
(2).由2a b =，得到：
332216161161881(,)()()62222b b F a b b b a b b b b ++===+=++≥⋅=
当且仅当2
8
,b b
=即2b =时，取""=，所以(,)F a b 的最小值为6. (14分)
19、解：(1). 12345
55555531a C C C C C =++++=； (2分)
(2). 12
21n
n n n n n a C C C =++
+=-； (6分)
(3).因为
111
(1)
22n n
n n a n =
≤+⋅，所以 23
1211(1)11111112
21112(1)
(1)
222212
n n n a a n a -++<
++++=<+++- (14分)
20. 解：(1). 当12a =-
时，2111()ln 222
f x x x x =-+- 则2'1111(1)()
12222()(0)2x x x x f x x x x x x
----+=+-=
=> (2分) 从而得到：若01x <<，则'()0f x <；若1x >，则'
()0f x >；
故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间(1,)+∞ (3分)
(2). 2'
(1)(1)()
()(1)(0)a x a x a x x a f x x a x x x x
-++--=+-+=
=> ①当0a ≤时，若01x <<，则'()0f x <；若1x >，则'()0f x >；
故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间(1,)+∞ ； ②当01a <<时，'(),()f x f x 的变化如下表：
x (0,)a a
(,1)a
1
(1,)+∞
'()f x
+
0 -
0 +
()f x
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
故()f x 的单调递减区间为(,1)a ，单调递增区间(0,),(1,)a +∞ ；
③当1a =时，2
'
(1)()0x f x x
-=≥；故()f x 的单调递增区间(0,)+∞； ④当1a >时，'(),()f x f x 的变化如下表：
x (0,1)
1
(1,)a a
(,)a +∞
'()f x
+
0 -
0 +
()f x
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由于1
(1)2
f a =-
-，显然当0a >时，(1)0f <，则不合题意； 当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值是1(1)02f a =--≥，即1
2
a ≤-；
故实数a 的取值范围是1
(,]2
-∞-。

(8分)
(3). 当12a =-时，2111
()ln 0222
f x x x x =-+-≥(当且仅当时1x =等号成立)
则2
ln x x x ≤-，当1x >时，此不等式可以化为
21111ln 1x x x x x
>=--- 分别令1,2,
,x m m m n =+++，则
111
ln(1)ln(2)ln()
11111111()()()1121()
m m m n n m m m m m n m n m m n m m n +++
+++>-+-++-=-=++++-+++
所以11
1ln(1)ln(2)
ln()()
n
m m m n m m n ++
+
>
++++ (14分)。