理论力学 第九章刚体的平面运动2 (西安交大)
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第九章刚体的平面运动PPT学习教案
vCA
v
A
B
v
B vB Av
C
vA v C
CA
v
AA
O 0
第20页/共123页
例题4 已知： OA= OO1 = r，BC=2r，∠OAB=45°，求：连此瞬 时C点 的速度 vC 。
解：(1) 机构的运动分析
C
vCB
(2) 取A为基点，研究B点
vB vA vBA vA r0
vB vBA vA cos 45
选o为基点应用加速度合成定理aoaoao第85点相对于基点o的法向加速度沿半径oa指向中心o大小为aoaobobo所以b点的加速度大小为它与半径ob间的夹角为arctanarctanarctan其中第8795运动学综合运用对于工程中复杂的机构运动首先要分清各物体的运动形式计算有关联接点的速度和加速对于有关运动量的计算有两种分析方法全过程分析法和瞬时分析法
●
这一运动过程可视为图形先随基点 A 作平动。再绕基点 A’ 作定轴转动，转过角度为Δ 。
●
这一运动过程又可视为图形先随基 点B作 平动。 再绕基 点 B’ 作定轴转动，转过角度为Δ ’ 。
B Ⅰ
A
上 述两种 运动分 解方式 ，得到 相同 的 结果。 而实际 上平动 和转动 是同 时 进行的 。
B B
第27页/共123页
三、平面图形上各点的速度
选取速度瞬心P为基点，则平面 图形上任一点B的速度 等于该点随图 形绕速度瞬心转动的速度。
vB vP vBP vBP
大小： vB BP
vB
B
vA
C
A
S P
vC
方向： BP, 指向与 转向相一致。
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心
v
A
B
v
B vB Av
C
vA v C
CA
v
AA
O 0
第20页/共123页
例题4 已知： OA= OO1 = r，BC=2r，∠OAB=45°，求：连此瞬 时C点 的速度 vC 。
解：(1) 机构的运动分析
C
vCB
(2) 取A为基点，研究B点
vB vA vBA vA r0
vB vBA vA cos 45
选o为基点应用加速度合成定理aoaoao第85点相对于基点o的法向加速度沿半径oa指向中心o大小为aoaobobo所以b点的加速度大小为它与半径ob间的夹角为arctanarctanarctan其中第8795运动学综合运用对于工程中复杂的机构运动首先要分清各物体的运动形式计算有关联接点的速度和加速对于有关运动量的计算有两种分析方法全过程分析法和瞬时分析法
●
这一运动过程可视为图形先随基点 A 作平动。再绕基点 A’ 作定轴转动，转过角度为Δ 。
●
这一运动过程又可视为图形先随基 点B作 平动。 再绕基 点 B’ 作定轴转动，转过角度为Δ ’ 。
B Ⅰ
A
上 述两种 运动分 解方式 ，得到 相同 的 结果。 而实际 上平动 和转动 是同 时 进行的 。
B B
第27页/共123页
三、平面图形上各点的速度
选取速度瞬心P为基点，则平面 图形上任一点B的速度 等于该点随图 形绕速度瞬心转动的速度。
vB vP vBP vBP
大小： vB BP
vB
B
vA
C
A
S P
vC
方向： BP, 指向与 转向相一致。
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
第九章刚体的平面运动
刚体的简单运动：平移、定轴转动第九章刚体的平面运动刚体的复杂运动：刚体的平面运动平面运动平移+转动绕不断运动的轴的转动本章内容：刚体平面运动的分解；平面运动刚体的角速度、角加速度；刚体上各点的速度、加速度。
行星齿轮机构（动画）行星轮平面运动：在运动中，刚体上的任意一点与某一固定 平面始终保持相等的距离。
曲柄连杆机构用一个平行于固定平面的平面截割连杆； 连杆 截面S ：一个平面图形平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点的运动。
过平面图形上任一点作垂直于图形的直线；直线作平移刚体作平面运动 刚体的平面运动可简化为平面图形在它的自身平面内运动。
— 平面图形的运动方程 x y oo' Mϕ线段上任一点O '的位置 ⎪⎩⎪⎨⎧==='')()()(321t f t f y t f x o o ϕ平面图形在其平面上位置的确定平面图形的运动方程由两部分组成：平面图形按O'点的运动方程的平移；线段与固定坐标轴x 轴的夹角 ϕ平面图形绕O'点转角为的转动。
ϕ例如车轮的运动．例如车轮的运动．车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成．车轮对于静系的平面运动（绝对运动）车厢（动系Ax' y') 相对静系的平动（牵连运动）车轮相对车厢（动系Ax' y'）的转动（相对运动）我们称动系上的原点Ａ为基点，于是 车轮的平面运动随基点A 的平动 绕基点A'的转动刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．再例如: 平面图形Ｓ在∆ｔ时间内从位置I 运动到位置II ✶以A 为基点: 随基点A 平动到A'B''后, 绕基点转角到A'B' ✷以B 为基点: 随基点B 平动到A''B'后, 绕基点转 角到A'B' 图中看出：AB // A'B'' // A''B' ，于是有 21ϕϕ∆=∆1ϕ∆2ϕ∆2121212010, ; , lim lim εεωωωω∆ϕ∆∆ϕ∆∆∆====→→dt d dt d tt t t §9-1 刚体平面运动的概述和运动分解所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的ε ,ω都是相同的）基点的选取是任意的。
理论力学第九章刚体的平面运动
O 基点
转角
基点的选取是任意的，平面图形的位置可由O’点 坐标及直线O’M与x’的夹角φ 完全确定。 基点的选择不同，其运动方程9-1a不同，平面图形随基 点平移的速度和加速度也不同。但平面图形绕不同基 点转动的角速度和角加速度却完全相同。证明如下
f (t ) f (t ) 3 3
结 论
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面L上的运动。
6
2、运动分析
思考
刚体平面运动是复杂运动，考虑是否可以用 简单运动合成来分析？
Oxy 平移坐标系(动系) 平面运动=随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动
=
+
7
3 运动方程
xO f1 t 9-1a yO f 2 t f3 t 9-1b
vB AB = vA
OA
vD
vB
vB
cos30 2 CD作定轴转动（C）
0.2309 m s
vE
vA
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
vD vE DE = vD ,vE cos 30 vD , vE cos 30 0.8 m s
第九章 刚体的平面运动
本章重点：刚体平面运动的基本概念，求平面图形上各 点的速度与加速度的基点法，以及求速度的 速度投影法和瞬心法，运动学的综合应用。
1
刚体平面运动举例：行星齿轮中小齿轮运动情况
2
车轮运动情况
3
观察曲柄滑块机构中连杆AB的运动情况
4
§ 9-1
1、概念
刚体平面运动的概述和运动分解
30
理论力学第章刚体的平面运动
E
30
B vB
A vA
vD
vB CD CB
3vB
0.693
m s－1
vE60
CO
ω
轮E沿水平面滚动，轮心E的速度 水平，由速度投影定理，D，E 两
点的速度关系为
vE cos 30 vD
求得 vE 0.8 m s－1
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
一、问题的提出
B
vA vA
C
vD vA vDA
A Ⅱ
由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，所以
ωO O
D
vDA ωⅡ
vD=0 ，因而有 vDA v A O r1 r2
Ⅰ
vDA为D点绕基点A的转动速度，应有
vDA Ⅱ DA
因此
Ⅱ
vDA DA
O (r1
r2
r2 )
（逆时针）
y
SM
O
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t )
yo
yo (t )
(t)
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。
四、刚体的平面运动分解为平动和转动
刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点
的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
动画
刚体平面运动分解
动画
平面运动
动画
平面运动
动画
平面运动分解
动画
平面运动
动画
理论力学 第九章刚体的平面运动2 (西安交大)
A ω O1 O2
B
ω O A B
练习题
vO O A B
找出下列平面运动 刚体的速度瞬心。
B
O
vA
A
例： 椭圆尺规的A端以速度vA沿x轴的负方向运动， AB=l 。试求B端的速度以及尺AB的角速度。 AB杆速度瞬心为C. 解：
y
vA vA AC l sin
vB
BC vB BC vA AC
凡涉及到平面运动图形相对转动的角速度和
角加速度时，不必指明基点和坐标系，只需说明 平面图形的角速度和角加速度。 相对基点(平动坐标系)的转动角速度(角加速 度)就是相对于定系的绝对角速度(角加速度).
§9-2 平面运动的速度分析
1.基点法
设在平面运动刚体上取点 A为基点，已知其速 度为 vA ，平面运动刚体的角速度为 ，分析图形 上任一点B 的速度。 y´ y vBA B A O vA vA 动点－B点 动系－平移系 Ax´y´
[v A ] AB [vB ] AB
v A v B cos 0 r 0 vB cos 0
应用速度投影定理无法 求得连杆AB的角速度。
ω0
例如图平面铰链机构。已知杆O1A的角速度是ω1 ，杆
O2B的角速度是ω2，转向如图，且在图示瞬时，杆O1A
又O2B=b，O1A= b。试求在这瞬时 C 点的速度。 3
速度瞬心的特点 瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心； 因此速度瞬心具有 加速度。
唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心；
瞬时转动特性：平面图形在某一瞬时的运动都可 以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。 注意瞬时平动与平动的区别：瞬时平动各点的 速度相同，但是加速度不同。
练习题
理论力学第九章 刚体的平面运动
S
A
90o
大小，又垂直两点连线
vA vB S
B
90o
A
90o
vB
B
90o C
vA
C
找二速度矢端 连线与两点连线 的交点。
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
三、瞬心法 3、瞬时速度中心位置的确定 第三种情形 已知两点速度平行，但不
S
A B
90o 90o
垂直于两点连线
vB
vA
瞬心在无穷远 由速度投影知道 此况下： vA = vB
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
* 速度合成定理应用之一：基点法
* 速度合成定理应用之二：速度投影法
* 速度合成定理应用之三：瞬心法
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
一、基点法
y´ y S A O vA x vBA v BA B B
与平动不是一回事
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
三、瞬心法 3、瞬时速度中心位置的确定 第四种情形
纯滚的轮
与地面接触点C为 瞬时速度中心
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
三、瞬心法 4、瞬心判断练习 C
A
O
A
VB
B
因为VBVA AB瞬时平动，瞬心 无穷远 有=0，VB=VA
vC = vA + vCA = 0
C 点称为瞬时速度中心，
简称为速度瞬心， 瞬心。
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
三、瞬心法 1、 瞬时速度中心的概念
A
90o
大小，又垂直两点连线
vA vB S
B
90o
A
90o
vB
B
90o C
vA
C
找二速度矢端 连线与两点连线 的交点。
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
三、瞬心法 3、瞬时速度中心位置的确定 第三种情形 已知两点速度平行，但不
S
A B
90o 90o
垂直于两点连线
vB
vA
瞬心在无穷远 由速度投影知道 此况下： vA = vB
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
* 速度合成定理应用之一：基点法
* 速度合成定理应用之二：速度投影法
* 速度合成定理应用之三：瞬心法
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
一、基点法
y´ y S A O vA x vBA v BA B B
与平动不是一回事
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
三、瞬心法 3、瞬时速度中心位置的确定 第四种情形
纯滚的轮
与地面接触点C为 瞬时速度中心
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
三、瞬心法 4、瞬心判断练习 C
A
O
A
VB
B
因为VBVA AB瞬时平动，瞬心 无穷远 有=0，VB=VA
vC = vA + vCA = 0
C 点称为瞬时速度中心，
简称为速度瞬心， 瞬心。
第9章 刚体的平面运动
§9-2平面图形内各点的速度
三、瞬心法 1、 瞬时速度中心的概念
理论力学第九章刚体的平面运动
D
vC
vA
vB
速度分析见图
② B点的加速度（加速度分析如图）
O
R
C
B
ω
O1
r
A
D
aA
aA
aBA
n
aBA
τ
aB
τ
aB
①
B点作绕O1点的圆周运动
②
将②式在水平轴上投影：
√
？
？
√
√
由①知：
② C点的加速度（加速度分析如图）
O
R
C
B
ω
O1
r
A
ωB
D
①
由①式知：
aB
aB
aCB
τ
aCB
n
？
？
√
√
解:OA定轴转动 ; AB, BC均作平面运动,
(2)已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬心．
取
证明：
(4)已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小,且
(b)
(a)
(3)已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 ，则过A , B两 点分别作速度 的垂线,交点P即为该瞬时的速度瞬心.
[例9]
解：轴O, 杆OC, 楔块M均作平动, 圆盘作平面运动，P为速度瞬心 ） ( 平面机构中, 楔块M: =30º, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动．求圆盘的及轴O的速度和B点速度．
[题１０]
OA=O1B=r=0.1m,EB=BD=AD=l=0.4m,OA的转速n=120 r/min,求F的速度。
D
O
ω
vB
vD
P
vB
vC
vA
vB
速度分析见图
② B点的加速度（加速度分析如图）
O
R
C
B
ω
O1
r
A
D
aA
aA
aBA
n
aBA
τ
aB
τ
aB
①
B点作绕O1点的圆周运动
②
将②式在水平轴上投影：
√
？
？
√
√
由①知：
② C点的加速度（加速度分析如图）
O
R
C
B
ω
O1
r
A
ωB
D
①
由①式知：
aB
aB
aCB
τ
aCB
n
？
？
√
√
解:OA定轴转动 ; AB, BC均作平面运动,
(2)已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬心．
取
证明：
(4)已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小,且
(b)
(a)
(3)已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 ，则过A , B两 点分别作速度 的垂线,交点P即为该瞬时的速度瞬心.
[例9]
解：轴O, 杆OC, 楔块M均作平动, 圆盘作平面运动，P为速度瞬心 ） ( 平面机构中, 楔块M: =30º, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动．求圆盘的及轴O的速度和B点速度．
[题１０]
OA=O1B=r=0.1m,EB=BD=AD=l=0.4m,OA的转速n=120 r/min,求F的速度。
D
O
ω
vB
vD
P
vB
9刚体的平面运动
vBA
S B A vA vB
速度投影法
应用速度合成定理
上式等号两侧 分别向AB连线上 投影，因为vBA垂直于AB，所以 vBA在AB上投影等于零。 则有
v B= v A+ vBA
vA
v A cos vB cos
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两
点连线上的投影相等。
第九章 刚体的平面运动
所以得连杆的平面运动方程为
r 1 r 2 2 1 ( sin ω t) 1 ( ) sin 2ω t l 2 l 1 cos2ωt 2 sin ωt 2
1 r 2 r 1 r 2 x P l1 1 ( ) cosω t ( ) cos2 t ω l1 4 l 4 l r (l - l1 ) yP sin ω t, l
基点法
va ve v r
va= vB， ve= vA， vr= vAB
vA
x´ 则有
vB= vA+ vBA
有 结 论：
ω vA
O
x
平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一 点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。
第九章 刚体的平面运动
§9–2 平面运动的速度分析 2. 速度投影法
解： vA B vB vAB 基点法
例题 9-2
连杆AB作平面运动。A 点速度 vA 已 知， vA=r ω0 vA 以A为基点。应用速度合成定理 A
ω0
O
φ0
vB= vA+ vBA
画出速度合成矢量图。
第九章 刚体的平面运动
§9–2 平面运动的速度分析
例题 9-2
运动演示
S B A vA vB
速度投影法
应用速度合成定理
上式等号两侧 分别向AB连线上 投影，因为vBA垂直于AB，所以 vBA在AB上投影等于零。 则有
v B= v A+ vBA
vA
v A cos vB cos
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两
点连线上的投影相等。
第九章 刚体的平面运动
所以得连杆的平面运动方程为
r 1 r 2 2 1 ( sin ω t) 1 ( ) sin 2ω t l 2 l 1 cos2ωt 2 sin ωt 2
1 r 2 r 1 r 2 x P l1 1 ( ) cosω t ( ) cos2 t ω l1 4 l 4 l r (l - l1 ) yP sin ω t, l
基点法
va ve v r
va= vB， ve= vA， vr= vAB
vA
x´ 则有
vB= vA+ vBA
有 结 论：
ω vA
O
x
平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一 点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。
第九章 刚体的平面运动
§9–2 平面运动的速度分析 2. 速度投影法
解： vA B vB vAB 基点法
例题 9-2
连杆AB作平面运动。A 点速度 vA 已 知， vA=r ω0 vA 以A为基点。应用速度合成定理 A
ω0
O
φ0
vB= vA+ vBA
画出速度合成矢量图。
第九章 刚体的平面运动
§9–2 平面运动的速度分析
例题 9-2
运动演示
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刚体的平面运动可以简化为平面图形S的平面 运动。 平面图形S的位置可由其上的任意直线AB完全 确定，即这一直线的运动可以代表平面图形S的运 动，也就是刚体的平面运动。
3.平面运动的运动方程式
确定直线AB在 Oxy参考系中的位 置，需要3个独立 变量(xA , yA , )。 其中xA , yA确定点A 在平面内的位置； 确定直线AB的方 位。
凡涉及到平面运动图形相对转动的角速度和
角加速度时，不必指明基点和坐标系，只需说明 平面图形的角速度和角加速度。 相对基点(平动坐标系)的转动角速度(角加速 度)就是相对于定系的绝对角速度(角加速度).
§9-2 平面运动的速度分析
1.基点法
设在平面运动刚体上取点 A为基点，已知其速 度为 vA ，平面运动刚体的角速度为 ，分析图形 上任一点B 的速度。 y´ y vBA B A O vA vA 动点－B点 动系－平移系 Ax´y´
[ v ] [ v ] A AB B AB
v v cos A B 0 r0 vB cos0
应用速度投影定理无法 求得连杆AB的角速度。
ω0
例如图平面铰链机构。已知杆O1A的角速度是ω1 ，杆
O2B的角速度是ω2，转向如图，且在图示瞬时，杆O1A
又O2B=b，O1A= b。试求在这瞬时 C 点的速度。 3
O1
vC B
ω1
vC A vC
v v 把 v 式分别投影到x，y 轴上 C B CB
v v v 0 v cos 30 3 b Cx Bx CBx CB 1
v v v v v sin 30 b Cy By CBy B CB 1 2
v v v C A CA
B点为基点,动点C
v v v C B CB
v v v v A CA B CB
v v v v A CA B CB
沿x 轴投影上式，得
A
y
30
B
O2
vA vB
C
vA
vB
ω2
x
v v cos 30 A CB
v A v 2 b CB 1 cos 30
第九章 刚体的平面运动
本章以刚体平Βιβλιοθήκη 和定轴转动为基础，应用运动分解和合成的方法，研究工程中一种常见而又
比较复杂的运动—刚体平面运动(一般)，同时介绍 平面运动刚体上各点速度和加速度的计算方法。
§9-1 平面运动的分解及其运动方程 §9-2 平面运动的速度分析 §9-3 平面运动的加速度分析
§9-1 平面运动的分解及其运动方程
A为基点,B为动点
vB= vA+ vBA
r v 0 A v B cos cos 0 0
ω0
O
φ0
A
AB
v AB v tan r A 0 0 tan 0 l l l
顺时针转向
速度投影法 vB
曲柄OA定轴转动
φ0
B vA O φ0 A
vA=r ω0
连杆AB作平面运动， 应用速度投影定理
定系－固连于地球。 绝对运动 － 未知
x´ x 相对运动－圆周运动
vr= vBA= AB· ω
牵连运动－平动， ve = vA
ω
动点－B点
y´
基点－A (平动坐标系)
速度合成定理－
y S
A
vBA
vB
B vA
va= ve+ vr
x´
ω vA x
va= vB， O ve= vA， vr= vBA = AB· ω 方向垂直于AB,同转向
例 已知曲柄滑块 机构中，曲柄OA＝r，
以匀角速度 ω0绕O 轴
转动，连杆 AB＝ l 。在 图示情形下连杆与曲
B
柄垂直。求该瞬时 (1)
滑块的速度 vB； (2) 连 杆AB的角速度ωAB 。 ω0 O φ0
A
解： 基点法
曲柄OA定轴转动 vA B vA vB vAB
vA=r ω0
连杆AB作平面运动，
vB= vA+ vBA
平面图形上任意点的速度，等于基点的速度与该点相对 于基点(平移系) 的相对速度的矢量和。
2.速度投影定理
vB
v BA
v v v B A BA
v v v B A BA AB AB AB
B
A
vA
v v B A AB AB
vA
[速度投影定理]：同一平面图形上任意两点的速度 在这两点连线上的投影相等。 速度投影定理反映了刚体中两点间距离不变的特性。
1.平面运动定义
若刚体在运动过程中，刚体上的任意一点与 某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称 为平面运动。
2.运动模型的简化
刚体平面运动:刚体上同一平面内各点到某一 固定平面的距离保持不变。 刚体的平面 运动的特点： 刚体上平行 于固定平面 的所有平面 具有相同的 运动规律。
刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自 身平面内的平面运动。平面图形－在刚体上作平行 于固定平面的平面，这样的平面与刚体轮廓的交线 所构成的图形。
过图形上一点A假想一个平动坐标系Ax’y’ ， 通常将这一平移的动系的原点A称为基点，则平面 图形的运动可分解为随基点的平动及绕基点的转动。
*平动与基点选择有关（ 平移的轨迹、速 度与加速度都与基点的选择有关。），转动 与基点选择无关（平面运动的转动角速度以及 角加速度都与基点的选择无关）。
相对于基点的转动部分与基点选择无关。
y
30
铅直，杆AC 和O2B水平，而杆BC对铅直线的偏角30°；
B
O2
ω2
x
A
C
O1
ω1
y
30
B
O2
A
vA
vB
C
vA
vB
ω2
x
解： O1A与O2B 杆均为定轴转动
vC B
v O A 3 b A 1 1 1 v O B b B 2 2 2
O1
ω1
vCA vC 连杆AC 和BC 均作平面运动 A点为基点,动点C
x A f 1 t y A f 2 t f 3 t
4.平面运动的分解
x A f 1 t y A f 2 t f 3 t
由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形 中的A点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果 线段AB的方位不变（即=常数），则刚体将作平 动。 可见，平面图形的运动可以看成是平移和转 动的合成运动。