相位匹配

§2.5 相位匹配在三波非线性耦合波方程中，相位失配因子312k k k k ∆=--起重要作用。

若0k ∆=非线性相互作用就会得到增强；若0k ∆≠，三波相互作用则会减弱。

为获得强的非线性光学过程，通常希望0k ∆=，此称相位匹配条件。

如何满足相位匹配条件，是实用中需要解决的关键问题之一。

一般情况下，三波非线性相互作用发生在介质的透明区，即介质与光场无能量交换，此时三波应满足能量守恒定律和动量守恒定律。

123123,k k k ωωω+= += (2.5.0-1)这里动量守恒就是相位匹配条件0k ∆=，若三波共线传播，相位匹配条件为312123n n n λλλ+= (2.5.0-2)本节主要讨论实现相位匹配的方法，包括利用晶体双折射的角度相位匹配，晶体折射率对温度较敏感的温度相位匹配，将铁电畴晶体极化方向进行周期性反转的准相位匹配方式。

2.5.1 晶体的菲涅尔法线方程设光波为单色平面波，电位移矢量D 、电场矢量E 和磁场强度H 表示为：()()()000i k e r t i k e r t i k e r tD D eE E eH H eωωω⋅-⋅-⋅-=== (2.5.1-1)式中：e 为波矢方向上的单位矢量，上式代入Maxwell 方程组0B H E t tDH t μ∂∂∇⨯=-=-∂∂∂∇⨯=∂ (2.5.1-2)相当于用i ω-置换t ∂∂，用ike 置换算符∇，并利用n k cω= 0ce E Hnce H Dnμ⨯=-⨯= (2.5.1-3)消去H ，并利用2001c με=()()()202020D n e e En e e E Ee e n E e e E εεε=-⨯⨯⎡⎤=-⋅-⋅⎣⎦⎡⎤=-⋅⎣⎦(2.5.1-4)上式是Maxwell 方程组的直接推论，决定了电磁波在晶体中的传播性质，是描述晶体光学性质的基本方程。

()()1001rD E E εχεε=+= (2.5.1-5)()1χ是一个对称张量，因而晶体的相对介电张量r ε也是一个对称张量，经过主轴变换后的介电常数张量是对角张量，0000xx r yyzz εεεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2.5.1-6) ,,xx yy yy εεε称为相对主介电常数。

由迈克斯韦关系式n =D 写成分量形式0,,i xx i D E i x y z εε= = (2.5.1-7)()()20200i i i ii ii D n E e e E D n e e E εεεε⎡⎤=-⋅⎣⎦⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦(2.5.1-8) 或写成()()()()()20220220200221111i i i i i iii i ii iiiii ii D n E e e E Dn n e e En D n e e E n e e E e e E D n n εεεεεεεεε⎡⎤=-⋅⎣⎦=-⋅⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭-⋅⋅==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2.5.1-9) 在主轴坐标系中，重新写成矢量形式()()()000222111111x y z zz xx yy e Ee Ee ED e e e n n n εεεεεε⋅⋅⋅=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.5.1-10)用e 点乘方程左右两边，利用0e D ⋅=，0e E ⋅≠，得2222220111111yxz zz xx yy e e e n n n εεε++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2.5.1-11)波矢k 的单位矢量e 在各坐标轴上的投影为sin cos sin sin cos x y z e e e θφθφθ=== (2.5.1-12) θ为波矢与主轴（光轴）z 的夹角，φ为波矢在xy 面上的投影与x 轴的夹角。

或写成22222222sin cos sin sin cos 0111111zz xx yy n n n θφθφθεεε++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2.5.1-13)或写成22222222222sin cos sin sin cos 0111111z x y n n n n n n θφθφθ++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2.5.1-14)上式称为菲涅尔法线方程，它说明了波矢方向上的折射率随波矢方向的变化而不同。

或者说，沿不同方向上，光波有不同的传播速度。

这就是晶体的光学各项异性。

对单轴晶体，0,,x o z e n n n n φ===22222222222222222sin cos 011111111sin cos 01cos sin o e e o o en n n n n n n n n n n θθθθθθ+=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+ (2.5.1-15)或写成 ()222221cos sin e o en n n θθθ=+ (2.5.1-16)2.5.2 角度相位匹配一般情况下，参与相互作用的三个光波的频率是一定的。

实现相位匹配的方法，就是利用非线性光学晶体的双折射特性和色散特性，来改变三波折射率的相对大小，使之满足相位匹配。

对于单轴晶体，光波有o 光和e 光之分，其中e 光折射率随波矢与光轴间的夹角θ变化。

改变光波的θ角，使e 光折射率变化。

当θ角变化到某一角度时，e 光折射率正好使相位匹配关系成立。

这种改变晶体入射角度来实现相位匹配的方法称为角度相位匹配或称为临界相位匹配，使相位匹配条件成立时的角度m θ称为角度相位匹配。

以KDP 晶体为例，讨论相位匹配角的计算。

(1) 选取相互作用方式：KDP 晶体为负单轴晶体，I 类匹配o o e +→，II 类匹配o e e +→。

(2) 由能量守恒和共线条件下的动量守恒确定基频光和倍频光折射率关系()212211/2e oon n n ωωωλλθλλλ==+得到匹配条件： ()2e on n ωωθ= (2.5.2-1) (3) 由单轴晶体菲涅尔波法线方程()()()222222221cos sin eoenn n ωωωθθθ=+⎡⎤⎣⎦(2.5.2-2)将()()2,e o n n ωθω=带入方程，得()()()22222221cos sin ooen n n ωωωθθ=+()()()()()222222sin 22o o m e o n n n n ωωθωω-----=- (2.5.2-3) (4) 由色散方程(Sellmeier 方程)求出基频光和倍频光的主轴折射率KDP 晶体的Sellmeier 方程()()2222/400n A B C D λλλ=+-+- (2.5.2-4)表1 KDP 晶体的Sellmeier 系数1064nm 1.494 1.460532nm1.5121.471o e o e n n n n ====代入公式（2.5.2-3），计算KDP 晶体1类相互作用（e o o →+）的相位匹配角为041.2m θ=。

计算在相位匹配条件下的KDP 晶体1类相互作用（e o o →+）的有效非线性光学系数为014sin sin 20.3pm/V (=45)I eff d d θφφ==(式中14360.46pm/V d d ==)。

2、II 类匹配条件下的相位匹配角(1) 相互作用方式(或偏振取向) o e e +→(2) 由共线条件下动量守恒公式()()22e e on n n ωωωθθ=+ (2.5.2-4) (3)将单轴晶体波法线菲涅尔方程代入上式on ω=(2.5.2-5)计算的相位匹配角059.1m θ=，根据II 类的有效非线性系数公式：()14sin 2cos20.4pm/V 0IIeff d d θφφ=== (2.5.2-6)显然II 类相位匹配的有效非线性系数大。

因此KDP 晶体一般采用II 类相位匹配进行倍频。

2.5.3 温度相位匹配e 光在晶体中传播时，波矢k 和能流坡印亭传输方向不共线，二者存在一个夹角α，离散角α值为()222111tan sin 22e m m o e n n n αθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2.5.3-1) 倍频光为e 光与基频光o 光光束在空间中会产生分离，如图1 所示。

离散长度 tan d dL ααα=≈ (2.5.3-2)为消除离散效应影响，通常相位匹配角090m θ=。

利用晶体折射率对温度的敏感性来实现相位匹配，称为温度相位匹配。

例如负单轴晶体LiNbO 3 倍频时，采用I 类相位匹配方式()o o e +→，相位匹配条件：2e o n n ωω=。

基频光1 1.064μm λ=，倍频光为20.532m λμ=。

LiNbO3晶体属于3m 点群，有效非线性光学系数：1522sin cos sin 3eff d d d θθφ=- (2.5.3-3)取0090,0θφ==时，有效非线性系数最大，为15eff d d =。

LiNbO3晶体的o 光和e 光折射率与晶体温度关系公式为()()()()()8222228282272222820.1173 1.65104.91300.02780.212 2.7100.097 2.7104.5455 2.605100.02240.201 5.410oe T n T T n T T λλλλ-----+⨯=+--+⨯+⨯=+⨯+--+⨯(2.5.3-4)计算当358T K =时， 510o e n n --<，具体的匹配温度由实验确定。

L αLdαω2ω图 1 离散角对基频和倍频光空间耦合的影响。