相位匹配

§2.5 相位匹配

在三波非线性耦合波方程中，相位失配因子312k k k k ∆=--起重要作用。若0k ∆=非线性相互作用就会得到增强；若0k ∆≠，三波相互作用则会减弱。为获得强的非线性光学过程，通常希望0k ∆=，此称相位匹配条件。如何满足相位匹配条件，是实用中需要解决的关键问题之一。

一般情况下，三波非线性相互作用发生在介质的透明区，即介质与光场无能量交换，此时三波应满足能量守恒定律和动量守恒定律。

123123,k k k ωωω+= += (2.5.0-1)

这里动量守恒就是相位匹配条件0k ∆=，若三波共线传播，相位匹配条件为

3

1

2

123

n n n λλλ+= (2.5.0-2)

本节主要讨论实现相位匹配的方法，包括利用晶体双折射的角度相位匹配，晶体折射率对温度较敏感的温度相位匹配，将铁电畴晶体极化方向进行周期性反转的准相位匹配方式。

2.5.1 晶体的菲涅尔法线方程

设光波为单色平面波，电位移矢量D 、电场矢量E 和磁场强度H 表示为：

()()()

00

0i k e r t i k e r t i k e r t

D D e

E E e

H H e

ωωω⋅-⋅-⋅-=== (2.5.1-1)

式中：e 为波矢方向上的单位矢量，上式代入Maxwell 方程组

0B H E t t

D

H t μ∂∂∇⨯=-

=-∂∂∂∇⨯=

∂ (2.5.1-2)

相当于用i ω-置换

t ∂∂，用ike 置换算符∇，并利用n k c

ω= 0c

e E H

n

c

e H D

n

μ⨯=-⨯= (2.5.1-3)

消去H ，并利用

200

1

c με=

()

()()2020

20

D n e e E

n e e E Ee e n E e e E εεε=-⨯⨯⎡⎤=-⋅-⋅⎣⎦

⎡⎤

=-⋅⎣⎦

(2.5.1-4)

上式是Maxwell 方程组的直接推论，决定了电磁波在晶体中的传播性质，是描述晶

体光学性质的基本方程。

()

(

)100

1r

D E E εχ

εε

=+= (2.5.1-5)

()

1χ

是一个对称张量，因而晶体的相对介电张量r ε也是一个对称张量，经过主轴变换

后的介电常数张量是对角张量，

00

00

xx r yy

zz εεεε⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭ (2.5.1-6) ,,xx yy yy εεε

称为相对主介电常数。由迈克斯韦关系式n =

D 写成分量形式

0,,i xx i D E i x y z εε= = (2.5.1-7)

()

()

20200i i i i

i ii D n E e e E D n e e E εεεε⎡⎤

=-⋅⎣⎦

⎡⎤=-⋅⎢⎥

⎣⎦

(2.5.1-8) 或写成

()()

()

()()2022022020

0221111i i i i i ii

i i ii i

i

i

ii ii D n E e e E D

n n e e E

n D n e e E n e e E e e E D n n εεεεεεεεε⎡⎤=-⋅⎣⎦=-⋅⎛⎫

-=-⋅ ⎪⎝⎭

-⋅⋅==

⎛⎫

⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(2.5.1-9) 在主轴坐标系中，重新写成矢量形式

()

()

()

000222111111x y z zz xx yy e E

e E

e E

D e e e n n n εεεεεε⋅⋅⋅=

+

+

⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

(2.5.1-10)

用e 点乘方程左右两边，利用0e D ⋅=，0e E ⋅≠，得

22

22220111111y

x

z zz xx yy e e e n n n εεε+

+

=⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝

⎭ (2.5.1-11)

波矢k 的单位矢量e 在各坐标轴上的投影为

sin cos sin sin cos x y z e e e θφ

θφθ

=== (2.5.1-12) θ为波矢与主轴（光轴）z 的夹角，φ为波矢在xy 面上的投影与x 轴的夹角。

或写成

22222222sin cos sin sin cos 0111111

zz xx yy n n n θφθφθ

εεε++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭ (2.5.1-13)

或写成

22222222222sin cos sin sin cos 0111111z x y n n n n n n θφθφθ++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫

--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭ (2.5.1-14)

上式称为菲涅尔法线方程，它说明了波矢方向上的折射率随波矢方向的变化而不同。

或者说，沿不同方向上，光波有不同的传播速度。这就是晶体的光学各项异性。

对单轴晶体，0,,x o z e n n n n φ===

2222222222222222

2

sin cos 0

11111111sin cos 01cos sin o e e o o e

n n n n n n n n n n n θθ

θθθθ+=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫

-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+ (2.5.1-15)