概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业

第一章随机事件与概率

1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{}反正正、正反、反正、反=Ω

{}正正、正反=A ,{}正正=B ,{}正正、正反、反正=C

2.设3

1)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ：

（1）AB =∅，（2）B A ⊂，（3）81

)(=AB P

解:

（1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P

（2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375.0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P

3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。

Ai 表第i 次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

10

3819810991109101)

|()|()()|()()()(2131211211321211=⨯⨯+⨯+=

++=∴

++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥

Θ

如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。

)|||)|(321211B A A A B A A B PA B H P ++=

)|()|()|()|()|()|(2131211211A A B A P A B A P B A P A B A P B A P B A P ++= 53314354415451=⨯⨯+⨯+=

4．进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率： （1）直到第r 次才成功；

解:由于1122

===⎰⎰

+∞+∞

∞-c dx x c dx x c ,故1=c 3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻

(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？ (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？

解: (1)2304.04.06.0}2{3225===C X P

(2)66304.06.04.06.01}5{}4{1}3{5445=--==-=-=≥C X P X P X P

(3)23353225415

4.06.04.06.04.06.0}3{}2{}1{}3{C C C X P X P X P X P ++⋅==+=+==≤ =0.0768+0.2304+0.1728=0.48

(4)98976.04.01}0{1}1{5=-==-=≥X P X P

4.设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。

解: 由0321616)2(441622≥--=+⋅⋅-=∆k k k k 可得:2,1≥-≤k k

所以5

2

}2{=

≥K P 5.假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。

解:0,2.0)(~2.0>=-x e x f X x

2210

02.0112.01}10{1}10{---=+-=-=≤-=>⎰e e dx e X P X P x

4220

10

2.02.0}2010{----==≤≤⎰e e dx e X P x

6. 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(22),P(X>3)；（2）确定c ，使得 P(X>c) = P(X

解:)5.0(1)1()5.0()1()2

3

2()235(}52{Φ+-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤

6915.018413.0+-==0.5328

11)5.3(2)5.3()5.3()2

3

4()2310(}104{=-Φ=-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤<-X P

)5.2()5.0(1)23

2()232(1}2{1}2{-Φ+-Φ-=--Φ+-Φ-=≤-=>X P X P

=6977.06915.09938.01)5.2(1))5.0(1(1=+-=Φ-+Φ--

5.05.01)2

3

3(

1}3{1}3{=-=-Φ-=≤-=>X P X P

)2

3

(}{)23(

1}{1}{-Φ=<=-Φ-=≤-=>c c X P c c X P c X P 所以 5.0)2

3

(

=-Φc 故 3=c 7，Y X 0

1

Y 1

2

P

4

1 4

3

P

5

2 5

3 试求：（1）二维随机变量（X ，Y ）的分布律；（2）随机变量Z=XY 的分布律. 解:

X Y 1 2 0 0.1 0.15 1 0.3

0.45

Z 0 1 2 P

0.25

0.3

0.45

8. 思考题:举出几个随机变量的例子。

第三章 多维随机变量及其概率分布

1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X 表示取到的红球个数，用Y 表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。

X Y 0 1 2 0 0 0 0.1 1 0 0.4 0.2 2 0.1 0.2 0

2.设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为： 试根椐下列条件分别求a 和b 的值；

(1)6.0)1(==X P ； (2)5.0)2|1(===Y X P ；

(3)设)(x F 是Y 的分布函数，5.0)5.1(=F 。 解: (1)6.02.01.0}1{=++==b X P ,3.0=b

(2)1}1{}0{==+=X P X P ,a X P X P +===-==3.04.0}1{1}0{,1.0=a

3.)(Y X 、的联合密度函数为：⎩⎨⎧<<<<+=他其0

1

0,10)(),(y x y x k y x f

Y X 0 1

2

0 0.1 0.2 a 1

0.1

b

0.2