算法的概念及误差分析方法(精)
计算方法与误差范文
计算方法与误差范文在科学研究和工程实践中，计算方法和误差是两个非常重要的概念。
计算方法指的是通过数学模型和算法来解决实际问题的方法，而误差则是指计算结果与真实值之间的差异。
在本文中，我们将重点讨论计算方法的选择和误差的评估。
一、计算方法的选择在实际应用中，往往有多种不同的计算方法可以选择。
选择合适的计算方法可以提高计算的精度和效率。
以下是一些常见的计算方法：1.数值计算方法：数值计算方法是通过数值近似来求解数学问题的方法。
数值计算方法包括数值积分、数值微分、数值代数等。
这些数值计算方法的精度和计算量是一个折衷的问题，一般情况下，我们会根据问题的需要确定精度和计算量的平衡点。
2.迭代计算方法：迭代计算方法是通过对问题进行迭代来逐步逼近最终解的方法。
迭代计算方法的精度和计算量可以由迭代次数来控制。
迭代计算方法在实际应用中非常广泛，例如，牛顿迭代法和雅可比迭代法等。
3.统计计算方法：统计计算方法是通过对一组样本数据进行分析和推断来得到总体参数的方法。
统计计算方法包括点估计、区间估计和假设检验等。
统计计算方法在实际应用中非常重要，可以帮助我们分析和解释现实世界中的各种问题。
二、误差的评估误差是计算结果与真实值之间的差异。
在实际应用中，我们需要对计算结果的误差进行评估，以了解计算的可靠性和精度。
1.绝对误差：绝对误差是计算结果与真实值之间的差异的绝对值。
绝对误差可以用来评估计算的精度，但不能反映误差的方向。
2.相对误差：相对误差是计算结果与真实值之间的差异的相对值，通常用百分比表示。
相对误差可以用来评估计算的相对精度，可以比较不同问题的计算结果。
3.收敛性和稳定性：收敛性是指迭代计算方法在迭代过程中计算结果逐渐逼近最终解的性质。
稳定性是指计算方法对输入数据的变化是否敏感的性质。
收敛性和稳定性是评估迭代计算方法的重要指标。
总之，计算方法的选择和误差的评估都是科学研究和工程实践中非常重要的问题。
选择合适的计算方法可以提高计算的精度和效率，而评估误差可以帮助我们了解计算的可靠性和精度。
定位误差的分析与计算
定位误差的分析与计算一、定位误差的概念和原因定位误差是指定位系统测量结果与真实位置之间的差异或偏差。
在现代生活中，定位系统广泛应用于导航系统、无人驾驶、无人飞行器等领域，而定位误差对于系统的准确性和可靠性至关重要。
1.信号传播误差：这是由于信号在传播过程中受到大气中的影响，如电离层、大气湿度等所产生的误差。
这种误差对于GPS系统尤为明显，导致多径效应、钟差误差等。
2.接收机误差：接收机的硬件和软件系统可能存在不同程度的误差。
硬件方面，接收机的时钟精度、天线阻抗匹配等问题都可能导致定位误差。
软件方面，接收机的算法、数据处理等也可能引入误差。
3.观测误差：观测误差是指由于测量设备的精度或不完善性所导致的误差。
例如，测量设备的精度限制了对信号强度、TOA（Time of Arrival）等参数的准确测量。
4.环境因素：环境因素也是定位误差产生的原因之一、比如，建筑物、树木、走廊等物体会对信号传播产生阻碍和衍射，从而影响接收机的测量结果。
5.多径效应：多径效应是指信号传播过程中，信号除了直射到达接收机外，还经历了反射，导致信号的多个传播路径同时到达接收机。
多径效应会产生明显的信号干扰和测量误差。
二、定位误差的计算方法1.位置误差计算：位置误差是指实际测量位置与真实位置之间的距离差异。
一种常见的计算方法是通过比较GPS测量点与参考点之间的差异来计算位置误差。
通过收集多个测量点的数据，可以使用最小二乘法进行曲线拟合，从而计算出测量点与真实位置之间的距离差异。
2.时间误差计算：时间误差是指实际测量时间与真实时间之间的差异。
在GPS系统中，时间误差主要由于卫星钟的钟差所引起。
通过GPS接收机接收到的卫星信号的时间戳和GPS接收机内部的时间戳之间的差异，可以计算出时间误差。
4.误差修正算法：为了减小定位误差，可以使用一些误差修正算法来对测量结果进行修正。
一种常见的方法是差分GPS技术，通过使用两个或多个接收机接收同一卫星信号，对测量结果进行差分处理，从而减小定位误差。
算法的概念
算法的概念——知能阐释一、知识精讲1．算法的含义算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题。
说明：（1）算法一般是机械的，有时要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果。
通常把算法过程称为“数学机械化”，数学机械化的最大优点，是它可以让计算机来完成。
（2）实际上，处理任何问题都需要算法，中国象棋有中国象棋的棋谱，国际象棋有国际象棋的棋谱。
再比如，邮寄物品有其相应的手续，购买飞机票也有一系列的手续等等。
（3）求解某个问题的算法不唯一。
2．算法的特征（1）确定性：算法的每一步必须是确切定义的，且无二意性，算法只有唯一的一条执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出。
（2）有容性：一个算法必须在执行有穷次运算后结束，在所规定的时间和空间内，若不能获得正确结果，其算法也是不能被采用的。
（3）可行性：算法中的每一个步骤都必须能用实现算法的工具——可执行指令精确表达，并在有限步骤内完成，否则这种算法也是不会被采纳的。
（4）算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一步骤。
（5）有输出，算法一定能得到问题的解，有一个或多个结果输出，达到求解问题的目的，没有输出结果的算法是没有意义的。
3．算法的描述（1）自然语言：自然语言就是人们日常使用的语言，可以是汉语、英语或数学语言等。
用自然语言描述算法的优点是通俗易懂，当算法中的操作步骤都是顺序执行时比较容易理解。
缺点是如果算法中包含判断或转向，并且操作步骤较多时，就不那么直观清晰了。
（2）框图（流程图）：所谓框图，就是指用规定的图形符号来描述算法，用框图描述算法，具有直观、结构清晰、条理分明、通俗易懂、便于检查修改及交流等优点。
（3）程序设计语言：算法最终可通过程序的形式编写出来，并在计算机上执行。
程序设计语言可分为低级语言和高级语言，低级语言包括机器语言和汇编语言。
数学中的数值近似与误差分析
数学中的数值近似与误差分析在数学领域中，我们经常会遇到精确计算不可能的问题，这时就需要使用数值近似方法来逼近答案。
然而，数值近似并不是完全准确的，会引入一定的误差。
因此，对数值近似结果的误差分析显得尤为重要。
本文将介绍数学中的数值近似方法以及误差分析的相关概念。
一、数值近似方法数值近似是通过将复杂的数学问题转化为可计算的近似解的方法。
常用的数值近似方法包括牛顿法、二分法、插值法等。
这些方法在实际运用中，对于特定问题往往有不同的适用性。
在选择数值近似方法时，我们需要根据具体问题的特点来进行判断和选择。
牛顿法作为一种迭代法，可以用来求解非线性方程的近似解。
其基本思想是通过逐步逼近方程的解来达到近似的目的。
具体的算法流程是，在初始估计值的基础上，通过迭代计算来得到一个新的近似解，直到满足预设的精度要求。
二分法则是一种求解方程根的方法。
其基本思想是通过不断缩小区间范围来逼近方程的解。
具体的算法流程是，首先确定方程根可能存在的区间，将区间一分为二，判断根是否在左半区间还是右半区间，然后继续将包含根的那个区间一分为二，以此类推。
插值法是通过已知的散点数据来构造出一个逼近函数，从而求解未知点的近似值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法的基本思想是通过已知数据点之间的连线或曲线来逼近未知数据点处的函数值。
以上只是数值近似方法的简单介绍，不同的数值问题需要根据具体情况选择合适的方法。
然而，即使是最优的数值近似方法，在计算过程中也会引入一定的误差。
二、误差分析误差是数学计算中无法避免的问题，其来源主要有两个方面：截断误差和舍入误差。
截断误差是在使用数值近似方法时，我们通常会对计算过程进行一定程度的截断。
比如在使用牛顿法进行迭代计算时，我们设定了迭代次数或者设定了精度，在计算过程中对于某些计算步骤进行了舍去或者截断。
这样就会引入截断误差。
舍入误差是由于计算机计算精度有限，无法表示无穷小数，所以在计算过程中我们通常会对无穷小数进行近似表示。
《算法的概念》说课设计与点评
ＳＨＡＮＤＯＮＧＪＩＡＯＹＵ合作探究理解概念例１：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共４８，要数脑袋１７，多少小兔多少鸡问题２．本题有哪些解法？请写出解答过程，并与教材比较，思考教材提供的解答有什么特点（学生活动）学生经过思考，可能会提出算术法与代数法两种解法，进而写出两个解答过程。
让学生将自己的解题过程与教材上的解答作比较。
问题３．按照例１解方程组ｘ＋ｙ＝１７２ｘ＋４ｙ＝４!８的步骤，你能得出求解方程组ａ１１ｘ１＋ａ１２ｘ２＝ｂ１ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＝ｂ２!的步骤吗？思考所得步骤能否交换顺序。
问题４．从问题３的计算过程可以看出，ａ１１ａ２２－ａ２１ａ１２是一个很重要的值，它决定了方程组是否有唯一解。
上面得到的结果，ｘ１，ｘ２叫做求解二元一次方程组两个未知数的公式。
由此，你能写出解二元一次方程组的另一算法吗让学生参照已知两点坐标求两点连线斜率的算法，写出本题算法，再与教科书上的过程比较。
让学生知道，解决一个问题的算法不是唯一的；意识到条件问题，引导学生提炼出条件分支结构。
引导学生关注算法的步骤，区分算法与一般解法，体会教科书的解答特点为“有序的步骤”。
设计问题要立足于学生的最近发展区，让学生跳一跳，能摘到桃子。
让学生明白算法是怎么来的，知道算法是建立在一般解法基础之上的，是在对某个具体问题的解法分析之后，归纳出的解决一类问题的程序或步骤，其步骤有着明确的顺序性。
“算法的概念”说课设计与点评□设计：平原县第一中学栗宝生郑暑海□点评：德州市教学研究室杨长智教法与学法一、教材分析１．本课时在教材中的地位和作用在高中数学课程中，解一元二次方程，解二元线性方程组，二分法，判定平面直角坐标系中直线与圆的位置关系，建立线性回归方程等，都是算法的典型实例。
由此可见，算法思想贯穿整个高中数学中，算法概念的学习与整个高中数学的学习有着“源”与“流”的关系。
同时，算法的内容特点使它在发展学生有条理地思考与表达的能力方面有着特殊的作用。
算法的概念
gcd(60,24)=gcd(24,60 mod 24)=gcd(24,12) =gcd(12,24 mod 12)=gcd(12,0)=12
下面是该算法的一个更加结构化的描述。
1.1 算法的概念和描述
用于计算 gcd（m，n）的欧几里得算法：
第一步： 如果 n=0，返回 m的值作为结果，同时函数结束；否则，进入第二步。
第二步：m 除以 n，将余数赋给 r。
第三步： 将 n 的值赋给 m，将r 的值赋给 n，返回第一步。
我们也可以使用伪代码来描述这个算法：
算法 Euclid（m，n）
//使用欧几里得算法计算gcd（m，n）
//输入∶两个不全为0的非负整数m，n
//输出∶m，n的最大公约数
while n≠0do
{ r←mmodn
m←n
n←r
} return m
图1.2 欧几里得算法的流程图
上面的伪代码也可以用流程图来加以描述，如图1.2所示。
第一节、水文现象与桥涵水文的研究意义
第一章 算法的概念
↘1 . 1 ↘1 . 2
算法的概念和描述 算法的时间复杂度和空间复杂度
1.1 算法的概念和描述
【1.1பைடு நூலகம்1 算法的概念】
算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是对于符合一定规范的输入在有限步骤内求
解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗点说，就是计算机解题的过程。在这个过
程中，无论是形成解题思路还是编写程序，都是在实施某种算法。前者是推理实现的算法，
简述算法的概念及其主要点。
简述算法的概念及其主要点。
随着计算机技术的不断发展，算法这个词已经被广泛使用，并在计算机领域中占据着非常重要的位置。
算法可以被认为是一种计算模型，用于解决具体的问题。
算法执行一系列有序的操作，这些操作按照某种特定的方式组合在一起来解决问题。
本文将简述算法的概念及其主要点。
1. 算法的基本概念算法指的是一种针对特定问题的的解决方法。
给定一个问题，算法是通过一系列操作来解决该问题的流程。
具体而言，算法侧重于解决特定的问题，并且可以提供确切的解决方案，以及解决方案所需的计算复杂度。
2. 算法的主要特征算法具有以下几个主要特征:（1）有穷性算法应该是一个有限的过程。
在有限的时间内，它应该能够产生出一个输出。
因此，在实际中，算法应该是可以被计算机所执行的。
（2）确定性在算法的执行过程中，每一步都应该是确定的。
也就是说，相同的输入条件应该能够运行出相同的输出结果。
（3）可行性算法需要依赖计算机上的硬件和软件资源来确保其实践可行。
（4）输出算法将结果输出。
有些算法只能输出是或否的结果，而有些算法则直接输出解决方案。
3. 算法的设计思路在设计算法时，应该遵循以下几个基本步骤:（1）明确问题算法开发人员需要非常清楚地了解要解决的问题。
为此，他们应该认真阅读问题描述，并了解该问题的一般特点和相应的解决方案。
（2）分析问题分析问题是算法设计中的一个重要步骤。
这一步需要对问题进行分解，并考虑每个分组策略的适用性。
分析问题通常需要使用抽象的数据结构、复合语句和循环结构。
（3）设计算法在设计算法的过程中，算法开发人员需要将前两步中的信息和方法结合起来，然后将它们转化为明确的方法和步骤。
这就是算法的设计。
在这一步中，需要考虑算法的复杂度以及所需的硬件和软件资源。
（4）实现算法实现算法是将算法转化为程序。
这一步需要程序员使用具体的编程语言来实现算法。
在实现过程中，程序员应该熟练掌握目标编程语言、程序控制结构和基本算法。
4. 算法的应用领域算法在各种不同的应用领域广泛应用。
算法的概念为解决一个问题而采取的方法和步骤(精)
连接点
例如：有50个学生，要求将他们成绩在80分以上者打印出来。 用N表示学生的学号，N1代表第一学生的学号，Ni代表第I个 学生的学号，用G代表学生的成绩，G1代表第一个学生的成绩， Gi代表第I 个学生的成绩，算法可表示如下： 说明：I 的值变化范围：1……………50 。如果：I＝1 代表 第一个学生
C：有零个或多个输入：所谓输入是指在执行算法时需要从外界取 得必要的信息。
D：有一个或多个输出：算法的目的是为了求解，“解“就是输出。
E：有效性：每一个步骤都应当有效的执行，并得到确定的结果， 例如：若b=0，则执行a/b是不能有效的执行。
四：算法的表示方法：流程图
起始框 输入输出框
判断框
处理框 流程线
二、计算机算法的分类：数值算法和非数值算法
数值运算：求数值解，例如上面的这个计算题。
非数值运算：包括的面十分广泛，最常见的是用于事务管理领域， 例如图书检索，人事管理，行车调度等
三、算法的特点：
A:有穷性：一个算法应包含有限的操作步骤，而不能是无限的。
B：确定性：每一个步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模 棱两可的。
S1：1
I
S2：如果Gi>=80，则打印Ni 和Gi ；否则不打印。
S3：I+1 I
S4:如果I<=50,返回S2，继续执行，否则，算法结 束 流程图如下：
开始
I=1(输入第一个学生学号)
Y 打印第Ｉ个学生
的学号和成绩
第Ｉ 个学生的成绩 N 是否大于等于t;50
程序的灵魂－－－－－算法
一、算法的概念：为解决一个问题而采取的方法和步骤，就 称为算法。
？：对同一个问题，可以有不同的解题方法和步骤， 例如：求 1＋2＋3＋……＋100，对于这个问题大 家可能不同的解法，想一想？
数学教材梳理算法的含义
庖丁巧解牛知识·巧学一、算法的含义简单地说，算法是完成某项工作的方法和步骤。
现代意义上的“算法”通常指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限的步骤内完成的.粗略地讲,算法就是解题的具体步骤，即把为解决某一问题所需进行的具体步骤一一详细地写出来，广义地说，处理任何问题都有相应的算法。
如：太极拳的图解就是“打太极拳的算法”，又如做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤，这也是一个算法.当然这些算法计算机是不能执行的，我们要讲述的算法是用计算机能实现的算法，即对一类问题的机械的、统一的求解方法。
例如：怎样发电子邮件?①打开电子信箱；②点击“写邮件”；③输入发送地址；④输入主题；⑤输入信件内容;⑥点击“发送邮件”。
在生活中，做任何事都有一定的方法、步骤，再比如盖房子，需先打地基,后砌墙；看病需先挂号，再看病、开处方、划价、交钱、取药。
这些过程都包括一系列的基本操作，在学习上也不例外。
辨析比较算法与计算方法二、算法的不同描述方式①自然语言或数学语言；②流程图；③程序语言。
三、算法的主要特点(1)有穷性：对于一个算法来说，他的操作步骤必须是有限的，必须在执行有限个步骤之后结束。
深化升华算法的有穷性往往指“在合理的范围之内”.如果让计算机执行一个历时1 000年才能结束的算法，虽然是有限的，但超过了合理的限度，人们也不把它视作有效算法.究竟什么算“合理限度”并无严格标准,由人们的常识和需要而定。
（2）确定性:算法中的每一步操作的内容和顺序都应该是确定的，而不能含糊其词，含有歧义。
如：某健身操中一个动作“手举过头顶",这个步骤就是不确定的，含糊的。
是双手都举过头？还是左手?或右手?举过头顶多少厘米?不同的人可以有不同的理解。
算法中的每一步不应产生歧义，而应当是明确无误的。
(3）可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，算法中的每一步都能通过手工和机器在有限时间内完成，这称之为有效性。
算法分析知识点总结
算法分析知识点总结一、算法的基本概念1.1 算法的定义：算法是一个有限指令序列，用于解决特定问题或执行特定任务的描述。
1.2 算法的特性：有穷性、确定性、可行性、输入输出和有效性。
1.3 算法的表示：伪代码和流程图是常见的算法表示方式。
1.4 算法的复杂度：算法的时间复杂度和空间复杂度是衡量算法性能的重要指标。
二、算法分析的基本方法2.1 时间复杂度：描述算法所需的运行时间与输入规模之间的关系。
2.2 空间复杂度：描述算法所需的内存空间与输入规模之间的关系。
2.3 最好情况、平均情况和最坏情况：算法复杂度分析通常考虑这三种情况的复杂度。
2.4 渐进复杂度分析：通过增长数量级的方式描述算法的复杂度。
2.5 复杂度函数的求解：基于递推关系和分析法求解算法的复杂度函数。
三、常见的时间复杂度分析方法3.1 常数阶O(1)：所有输入规模下，算法的运行时间是固定的。
3.2 线性阶O(n)：算法的运行时间与输入规模成线性关系。
3.3 对数阶O(log n)：算法的运行时间与输入规模的对数成关系。
3.4 平方阶O(n^2)及以上阶：算法的运行时间与输入规模呈指数或多项式关系。
3.5 指数阶O(2^n)：算法的运行时间与输入规模成指数关系。
四、常见的空间复杂度分析方法4.1 常数空间复杂度O(1)：算法所需的内存空间与输入规模无关。
4.2 线性空间复杂度O(n)：算法所需的内存空间与输入规模成线性关系。
4.3 对数空间复杂度O(log n)：算法所需的内存空间与输入规模的对数成关系。
4.4 平方空间复杂度O(n^2)及以上阶：算法所需的内存空间与输入规模呈指数或多项式关系。
4.5 指数空间复杂度O(2^n)：算法所需的内存空间与输入规模成指数关系。
五、常见的复杂度函数分析方法5.1 基于递推关系求解：通过递推关系式及其解的求解方法分析算法的复杂度。
5.2 基于分析法求解：通过数学分析和极限运算等方法求解算法的复杂度函数。
算法的概念
⑶没有死循环（永无休止的循环）。
4.3.2 结构化流程图
在结构化程序设计中，经常采用结 构化流程图来表示算法。结构化流程图 是在去掉传统流程图中的流程线的基础 上形成的，由美国计算机科学家I.Nasi和 B.Schneiderman 1973 年提出，因此又称 为Ｎ－Ｓ图。看Ｎ－Ｓ图就好比是看一 页书，从上到下看下来就全明白了。
通常用RETURN 命令将一个<表达式>的 值返回给调用程序。
②重试命令──RETRY 【格式】RETRY 【功能】返回调用程序，并再次执行调 用程序中上一次被执行的那一行。该命 令常用在错误处理程序中。
③结束命令──CANCEL 【格式】CANCEL 【功能】中止程序的执行，直接返回到 Foxpro命令窗口。 ④退出命令──QUIT 【格式】QUIT
有条不紊地一步一步深入地工作，用较 短的时间设计出结构良好、可读性强、 可靠性较高的程序，并容易验证程序的 正确性，便于维护。
⒉ 逐步求精设计方法
逐步求精设计方法是将一个抽象的 问题分解成若干个相对独立的小问题， 并逐级进行由抽象到具体，由粗到细， 由表及里不断进行精细化的程序设计方 法。每一步求精过程都将问题的算法进 一步细化，直到算法精细化到可以用三 种基本结构实现为止。
【功能】结束程序的执行，关闭所有已打 开的文件，退出Foxpro环境，返回到操 作系统。
以上四条结束命令可以放在一个程 序、过程或用户自定义函数中的任何地 方，并且允许出现多次。Foxpro规定， 如果在一个程序、过程或用户自定义函 数中没有结束部分，则默认为RETURN， 在这种情况下，当执行完最后一条命令 后，将返回到调用处的下一条命令继续 执行。
算法的基本概念算法描述语言算法设计的基本方法
返回
2.4 算法复杂度分析
算法的时间复杂度：执行算法所需要的计算工作量。 算法的空间复杂度：执行算法所需要的内存空间。
1.自然语言表示算法
自然语言就是人们日常使用的语言，可以是汉语、英语或其它语 言。 如求1×2×3×4×5 其算法描述如下： S1:使p=1 S2:使i=2 S3:使p×i,乘积仍放在变量p中，即p×i→p S4:使i的值加1，即i+1→i S5:如果i不大于5，返回重新执行步骤S3以及其后的步骤S4和S5， 否则，算法结束 S6:输出p
i>5 Y结束来自3.N-S流程图表示算法
1973年美国学者I.Nassi和B.Shneiderman提出的一种新的流程图形 式。在这种流程图中，完全去掉了带箭头的流程线，全部算法写 在一个矩形框内。所采用的流程图符号为：
P
当 p 成立
A
成立
不成立
A
B
A
B
A 直到 p 成立
顺序结构
选择结构
循环结构
1→p
如 main() { int i,p; p=1; i=2; while(i<=5) { p=p*i;
i=i+1; } printf(“%d”,p); }
返回
2.3 算法设计基本方法
列举法：根据提出的问题，列举所有可能的情况，并用问题中给 定的条件检验哪些是需要的，哪些是不需要的。
归纳法：通过列举少量的特殊情况，经过分析，最后找出一般的 关系。
2.流程图表示算法
流程图是用一些图框表示各种操作。普遍采用的美国国家标准化 协会ANSI（American National Standard Institute）规定的一 些常用的流程图符号有：
1.算法的概念
例如，某计算工具具有七位有效数字（如 FORTRAN中的单精度运算）,在计算下列三个
量 A＝101，2 B＝1，C＝1012 的和时，如果采
用不同的运算顺序，就会得到不同的结果，即
A＋B＋C =1012＋1＋ 1012 =0 A＋C十B =1012＋ 1012 ＋1=1
而在数学上，A +B +C与A+C+B是完全等价的。 这可知，算法和计算公式是有差别的。
1.算法的概念
3）有穷性(finiteness）
算法的有穷性是指算法必须能在有限的时 间内执行完，即算法必须能在执行有限个步骤 之后终止。数学中的无穷级数，在实际计算时 只能取有限项，即计算无穷级数的过程只能是 有穷的。因此，一个数的无穷级数的表示只是 一种计算公式，而根据精度要求确定的计算过 程才是有穷的算法。
例如，某计算工具规定：大于100的数认为是比 1大很多，而小于10的数不能认为是比1大很多； 且在正常情况下出现的数或是大于100,或是小于 10.但指令“输入一个X，若x比1大很多，则输 出数字1，否则输出数字0”是不确定的。这是因 为，在正常的输入情况下，这一指令的执行可以 得到正确的结果，但在异常情况下（输入的x在 10与100之间），这一指令执行的结果就不确定 了．
于求两个整数的最大公约数的过程，这就是著 名的欧几里得算法——辗转相除法，其具体过 程如下：
设给定的两个正整数为m和n，求它们的最大 公约数的步骤为：
（1）以m除以n，令所得的余数为r（r必小于n）；
（2）若r＝0，则输出结果n，算法结束；否则，继续步骤（3)
（3）令m=n，n=r,并返回步骤（1）继续进行。
（4）算法必须拥有足够的情报
一个算法是否有效，还取决于为算法的执行所 提供的情报是否足够。例如，对于指令“如果小明是 学生，则输出字母Y，否则输出N”。当算法执行过程 中提供了小明一定不是学生的某种信息时，执行的结 果将输出字母N；当提供的只是部分学生的名单，且小 明恰在此名单之中，则执行的结果将输出字母Y。但如 果在提供的部分学生的名单中找不到小明的名字．则 在执行该指令时无法确定小明是否是学生。
误差分析
第一章 误差分析一 内容提要本章主要是讨论误差的概念及其简单理论.其中包括: 1.误差的来源误差的来源是多方面的,但主要有四个方面. (1)模型误差反映实际问题有关量之间的计算公式,即数学模型,通常只是近似,由此产生的数学模型的解与实际问题的解之间的误差称为模型误差.(2)观测误差数学模型中包含的某些参数(如时间,长度,点位等)往往通过观测而获得,由观测得到的数据与实际的数据之间是有误差的,这种误差称为观测误差.(3)截断误差求解数学模型所用的数值计算方法如果是一种近似方法,那么只能得到数学模型的近似解,由此产生的误差称为方法误差或模型误差.(4)舍入误差由于计算机的字长有限,参加计算的数据以及运算结果在计算机上存放会产生误差,这种误差称为计算误差或舍入误差.在数值分析中,主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响,而一般不考虑模型误差和观测误差.2.误差的基本概念 (1)绝对误差绝对误差是指准确值与近似值之差.设*x 是准确值x 的一个近似值,则*e x x =-为*x 的绝对误差,e 的一个上界*ε叫做近似值的误差限.一般来说,误差限都取到某位的半个单位.(2)相对误差用绝对误差来刻画近似数的精确程度的有局限性的,因为它没有反映出它在原数中所占的比例.记*r x x e x-=r e 称为近似值*x 的相对误差.由于准确值x 未知,实际上总把**x x x-作为*x 的相对误差.相对误差一般用百分比表示.相对误差绝对值的一个上界*r ε称作近似值的相对误差限. (3)有效数字若近似值*x 的误差限是某一位的半个单位,设该位到*x 的第一位非零数字共有n 位,则称*x 有n 位有效数字.有效数字是表示近似数准确度的另一主要方法,它是由组成近似数的数字个数来表示近似数的精确度的.若*x 有n 位有效数字,可写成标准化形式:*123...10m n x a a a a =±⨯ (1.1)其中123,,,...,n a a a a 是0到9中的一个数字,且10a ≠,m 为整数.有效数字与相对误差限的关系:用(1.1)式表示的近似数*x ,若*x 具有n 位有效数字,则其相对误差限为()1*11102n r a ε--≤⨯ (1.2) 反之,若*x 的相对误差限()()1*111021n r a ε--≤⨯+ (1.3)则*x 至少有n 位有效数字.3.数值计算的误差估计设近似数*1x 与*2x 的误差限分别为()*1x ε及()*2x ε,则它们进行加减乘除运算得到的误差限为()()()()()()()()()()****1212******121221****1221***1222*2,,/0x x x x x x x x x x x x x x x x x x εεεεεεεεε⎧±=±⎪⎪⋅≈+⎪⎪⎨⎪+⎪≈≠⎪⎪⎩(1.4) 函数值的误差:设有函数()12,,...,n f x x x ,若需要计算()12,,...,n A f x x x =,而12,,...,n x x x 的近似值为***12,,...,n x x x ,A 的近似值为()****12,,...,n A f x x x =,于是函数值*A 的误差()*e A 为()()()()()*****1212***12*1**1,,...,,,...,,,...,n n nn k k k k nkk k e A A A f x x x f x x x f x x x x x x f e x ===-=-⎛⎫∂⎪≈- ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭∑∑ (1.5)误差限 ()()***1nk k k f A x x εε=⎛⎫∂≈ ⎪∂⎝⎭∑; (1.6)而*A 的相对误差为()()()*******1nk r r k k A x f A x A A εεεε=⎛⎫∂==≈ ⎪∂⎝⎭∑. 4.数值计算中的一些原则数值计算总是在一个预先设计好的算法中进行的.所谓算法就是一个有限的基本运算序列,这个序列规定了这样从输入数据去计算出问题的解.由于运算是在计算机上进行的,而计算机 字长有限,因而产生舍入误差.为减小舍入误差的影响,设计算法时应遵循以下一些原则.(1)要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法; (2)要避免两相近数相减; (3)要防止大数”吃掉” 小数;(4)注意简化计算步骤,减少运算次数;(5)要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播. 二 基本要求(1)误差是用来衡量数值方法好与坏的重要标志,为此对每一个方法都要注意误差分析,可结合一些实际问题加深理解无线概念和理论的实际意义.(2)在弄清楚基本概念以及他们之间的内在联系的基础上,会处理最常见的一般运算结果和解决某些实际问题.。
算法的概念课件PPT
动态规划
背包问题
给定一组物品和一个背包容量，如何选择物品放入背包以使得背 包内物品的总价值最大。
最长公共子序列（LCS）
给定两个序列，找出它们的最长公共子序列。
最优二叉搜索树
给定一组按概率排序的键和对应的搜索成本，构建一棵二叉搜索树 使得总的搜索成本最低。
04 算法性能分析
时间复杂度
时间复杂度的定义
空间复杂度
1 2
空间复杂度的定义
描述算法执行所需内存空间与问题规模之间的关 系，也用大O表示法表示。
常见空间复杂度类型
包括常数空间复杂度O(1)、线性空间复杂度O(n) 等。
3
空间复杂度的优化
通过减少不必要的内存占用、使用数据结构等方 式来降低空间复杂度。
稳定性与正确性评估
01
算法稳定性评估
稳定性指算法在输入数据发生微小变化时，输出结果不会发生较大变化
问题分类
根据问题的性质和求解方 法，将问题分为不同类型， 如排序问题、图论问题等。
问题建模方法
运用数学、逻辑等工具， 对问题进行形式化描述， 建立问题的数学模型。
数据结构选择
基本数据结构
掌握数组、链表、栈、队 列等基本数据结构的特点 和使用方法。
高级数据结构
了解并学会使用树、图、 堆等高级数据结构，以便 更有效地解决问题。
算法在各个领域的应用
随着算法技术的不断成熟和普及，其将在各个领域得到更广泛的应用，如医疗、金融、交 通等，为社会发展带来更多的便利和进步。
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描述算法执行时间与问题规模之间的关系，通常用大O表 示法表示。
常见时间复杂度类型
包括常数时间复杂度O(1)、线性时间复杂度O(n)、对数时 间复杂度O(logn)、线性对数时间复杂度O(nlogn)、平方 时间复杂度O(n^2)、立方时间复杂度O(n^3)等。
算法设计与分析
算法设计与分析算法是计算机科学的核心内容之一，是解决问题的一种逻辑和数学表示方法。
在计算机科学的研究和实践中，算法设计与分析是一个非常重要的领域。
本文将介绍算法设计与分析的基本概念、常用方法和实际应用。
一、算法设计与分析的基本概念1.1 算法的定义和特性算法是一种有限的、确定的、可执行的计算过程，用于解决特定问题或完成特定任务。
算法应具备输入、输出、有限性、确定性和可行性等特性。
1.2 算法复杂度算法复杂度是衡量算法性能的重要指标，通常通过时间复杂度和空间复杂度来表示。
时间复杂度描述算法的运行时间与输入规模的关系，空间复杂度描述算法所需的额外存储空间与输入规模的关系。
二、算法设计与分析的常用方法2.1 贪心算法贪心算法是一种通过每一步的局部最优选择来达到全局最优解的算法思想。
贪心算法对于一些特定问题具有简单、高效的特点，但不能保证求得最优解。
2.2 动态规划动态规划是一种通过将原问题划分为子问题，并保存子问题的解来求解原问题的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
2.3 分治算法分治算法是一种将原问题划分为多个相互独立且相同的子问题，并通过合并子问题的解来求解原问题的方法。
分治算法通常用于求解具有可分割性和合并性质的问题。
2.4 回溯算法回溯算法是一种通过逐步构建解空间树并进行回溯搜索来求解问题的方法。
回溯算法对于问题的解空间进行全面搜索，可以找到满足约束条件的所有解。
三、算法设计与分析的实际应用3.1 排序算法排序算法是算法设计与分析中的经典问题之一。
常见的排序算法包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序等。
不同的排序算法在时间复杂度和空间复杂度上有所差异，应根据具体需求选择合适的算法。
3.2 图算法图算法是解决图相关问题的一类算法。
常见的图算法包括深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、最短路径算法（如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）等。
算法的概念及描述
3.算法的三要素
• （1）数据 • （2）运算 • （3）控制转移
练习：用求根公式求②若m<n，则交换m和n的值 • ③以m除以n，相除得到的余数为r。 • ④若r=0,则输出n的值，算法结束；否则执行第五步。 • ⑤令m=n,n=r,返回步骤③继续执行。
在计算机领域：
• 算法指的是用计算机解决问题的步骤，是为 了解决问题而需要让计算机有序执行的、无 歧义的、有限步骤的集合。
• 公鸡：X • 母鸡：Y • 小鸡：Z • ①X+Y+Z=100 • ②5X+3Y+Z/3=100
• 穷举法
百钱买百鸡
2.算法的特征
• ①有穷性。 • ②可行性。 • ③确定性。 • ④0个或多个输入。 • ⑤1个或多个输出。
算法的概念及描述
2.1.1 算法的概念
1.算法的定义
• 广义:
• 算法指的是用来解决问题的一系列步骤。
•辗转相除法
• ①输入正整数m和n • ②若m<n，则交换m和n的值 • ③以m除以n，相除得到的余数为r。 • ④若r=0,则输出n的值，算法结束；否则执行第五步。 • ⑤令m=n,n=r,返回步骤③继续执行。
算法的概念
5．算法的基本结构： 1）顺序结构 2）选择结构 3）重复结构
2012算法与程序设计
算法的概念
顺序结构的流程图： 例1．已知两个数，求它们的和。
2012算法与程序设计
算法的概念
一般的：一个算法由三大部分组成： 第一部分：输入部分（把求解问题的已知值通过键盘输入给计算 机程序） 第二部分：计算部分（根据已经输入的已知值，按照问题求解的 方法进行计算，获得结果值） 第三部分：输出部分（把求得的结果值，显示出来） 强调： 1．流程图中用来表示输入、输出数据的图形，是平行四边形框； 2．流程图中用来表示计算的图形，是矩形框； 3．流程图必须有开始和结束符号。
2012算法与程序设计
算法的概念
2．算法的5个特征： 1）有穷性：有限的步骤，合理的时间。 2）确定性： 3）可行性：可操作性。 4）有0个或多个输入的值： 5）有1个或多个输出的值；
2012算法与程序设计
Hale Waihona Puke 算法的概念3．算法的描述方法： 1）自然语言：有二义性 2）伪代码：代码与自然语言的混合表示 3）流程图：用规范的图形来表示。 4．流程图中最常见的图形符号： （1）处理框（矩形框）：（2）输入、输出框（平行四边形）；
2012算法与程序设计
算法的概念
1．算法定义： 广义的定义： 是指解决问题的具体方法和步骤。算法是在有限步骤内求解 某一问题所使用的具有精确定义的一系列操作规则。 考题中的叙述： 算法就是为解决某一问题而设计的确定的有限的步骤。 狭义的定义： 用计算机程序解决问题的方法与步骤。
因为，现代信息技术是基于计算机的技术，我们讨论的是 用计算机解决现实世界问题，所以本课程涉及的算法，最终要 用计算机程序来实现。
（3）判断框（菱形框）：（4）连接框（圆形框）：
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3.2算法3.2.1算法的概念3.2.1.1 什么叫算法算法（Algorithm）是解题的步骤，可以把算法定义成解一确定类问题的任意一种特殊的方法。
在计算机科学中，算法要用计算机算法语言描述，算法代表用计算机解一类问题的精确、有效的方法。
算法+数据结构=程序，求解一个给定的可计算或可解的问题，不同的人可以编写出不同的程序，来解决同一个问题，这里存在两个问题：一是与计算方法密切相关的算法问题；二是程序设计的技术问题。
算法和程序之间存在密切的关系。
算法是一组有穷的规则，它们规定了解决某一特定类型问题的一系列运算，是对解题方案的准确与完整的描述。
制定一个算法，一般要经过设计、确认、分析、编码、测试、调试、计时等阶段。
对算法的学习包括五个方面的内容：①设计算法。
算法设计工作是不可能完全自动化的，应学习了解已经被实践证明是有用的一些基本的算法设计方法，这些基本的设计方法不仅适用于计算机科学，而且适用于电气工程、运筹学等领域；②表示算法。
描述算法的方法有多种形式，例如自然语言和算法语言，各自有适用的环境和特点；③确认算法。
算法确认的目的是使人们确信这一算法能够正确无误地工作，即该算法具有可计算性。
正确的算法用计算机算法语言描述，构成计算机程序，计算机程序在计算机上运行，得到算法运算的结果；④分析算法。
算法分析是对一个算法需要多少计算时间和存储空间作定量的分析。
分析算法可以预测这一算法适合在什么样的环境中有效地运行，对解决同一问题的不同算法的有效性作出比较；⑤验证算法。
用计算机语言描述的算法是否可计算、有效合理，须对程序进行测试，测试程序的工作由调试和作时空分布图组成。
3.2.1.2算法的特性算法的特性包括：①确定性。
算法的每一种运算必须有确定的意义，该种运算应执行何种动作应无二义性，目的明确；②能行性。
要求算法中有待实现的运算都是基本的，每种运算至少在原理上能由人用纸和笔在有限的时间内完成；③输入。
一个算法有0个或多个输入，在算法运算开始之前给出算法所需数据的初值，这些输入取自特定的对象集合；④输出。
作为算法运算的结果，一个算法产生一个或多个输出，输出是同输入有某种特定关系的量；⑤有穷性。
一个算法总是在执行了有穷步的运算后终止，即该算法是可达的。
满足前四个特性的一组规则不能称为算法，只能称为计算过程，操作系统是计算过程的一个例子，操作系统用来管理计算机资源，控制作业的运行，没有作业运行时，计算过程并不停止，而是处于等待状态。
3.2.2算法的描述算法的描述方法可以归纳为以下几种：(1 自然语言；(2 图形，如N S图、流程图，图的描述与算法语言的描述对应；(3 算法语言，即计算机语言、程序设计语言、伪代码；(4 形式语言，用数学的方法，可以避免自然语言的二义性。
用各种算法描述方法所描述的同一算法，该算法的功用是一样的，允许在算法的描述和实现方法上有所不同。
人们的生产活动和日常生活离不开算法，都在自觉不自觉地使用算法，例如人们到商店购买物品，会首先确定购买哪些物品，准备好所需的钱，然后确定到哪些商场选购、怎样去商场、行走的路线，若物品的质量好如何处理，对物品不满意又怎样处理，购买物品后做什么等。
以上购物的算法是用自然语言描述的，也可以用其他描述方法描述该算法。
图3.3用流程图描述算法的例子，其函数为：图3.3是用流程图图形描述算法3.2.3算法的复杂性算法的复杂性是算法效率的度量，在评价算法性能时，复杂性是一个重要的依据。
算法的复杂性的程度与运行该算法所需要的计算机资源的多少有关，所需要的资源越多，表明该算法的复杂性越高；所需要的资源越少，表明该算法的复杂性越低。
计算机的资源，最重要的是运算所需的时间和存储程序和数据所需的空间资源，算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。
算法在计算机上执行运算，需要一定的存储空间存放描述算法的程序和算法所需的数据，计算机完成运算任务需要一定的时间。
根据不同的算法写出的程序放在计算机上运算时，所需要的时间和空间是不同的，算法的复杂性是对算法运算所需时间和空间的一种度量。
不同的计算机其运算速度相差很大，在衡量一个算法的复杂性要注意到这一点。
对于任意给定的问题，设计出复杂性尽可能低的算法是在设计算法时考虑的一个重要目标。
另外，当给定的问题已有多种算法时，选择其中复杂性最低者，是在选用算法时应遵循的一个重要准则。
因此，算法的复杂性分析对算法的设计或选用有着重要的指导意义和实用价值。
在讨论算法的复杂性时，有两个问题要弄清楚：(1 一个算法的复杂性用怎样的一个量来表达；(2 怎样计算一个给定算法的复杂性。
找到求解一个问题的算法后，接着就是该算法的实现，至于是否可以找到实现的方法，取决于算法的可计算性和计算的复杂性，该问题是否存在求解算法，能否提供算法所需要的时间资源和空间资源。
第二章数据处理与误差分析一切科学实验都要进行测量，总会记录大量的数据。
所有的测量均存在误差，大学物理实验当然也不例外。
误差理论和数据处理是每一个实验都会遇到的问题，两者是不可分割的有机整体，已经成为一门广受科技界重视的科学。
限于篇幅和学时，本章只介绍误差理论与数据处理的初步知识，有的只引用它的结论和计算公式，以满足大学物理实验的基本要求。
§2—1 测量与误差1. 直接测量和间接测量在大学物理实验中，我们不仅要定性地观察和描述物理现象及其变化，还要定量地测量某些物理量的值。
研究物理现象、了解物质的性质及验证物理原理都离不开测量。
所谓测量就是将被测的物理量与同类已知物理量进行比较，用已知量来表示被测量。
这些已知量称作计量单位。
测量时，待测量与已知量比较得到的倍数称为测量值。
例如某一物体的长度是单位米的 1.1196倍，则该物体的测量值为 1.1196米。
在人类历史的不同时期、不同国家乃至不同地区，同一物理量有许多不同的计量单位。
为了便于国际贸易以及科技文化的交流，国际计量大会于1960年确定了国际单位制，其国际代号为SI。
国际单位制中有七个基本单位，它们分别是长度单位米(m，质量单位千克(kg，时间单位秒(s，电流强度单位安培(A ，热力学温度单位开尔文(K，物质的量单位摩尔(mol，发光强度单位坎德拉(cd。
测量可分为直接测量和间接测量两类。
直接测量是指某些物理量可以通过相应的测量仪器直接得到被测量的量值的方法。
如用米尺量长度，用天平和砝码测物体的质量，用电桥或欧姆表测导体的电阻等。
间接测量是指利用直接测得量与被测量之间已知的函数关系，经过计算而得到被测量值的方法。
例如，用单摆测量重力加速度g时，先直接测出摆长L和摆动周期T，再依据公式g =4π2L/T2进行计算，求出g值。
再如要测量导体的电阻R，可用电压表测量导体两端的电压U，用电流表测量通过该导体的电流I，然后用公式R = U/I计算出导体的电阻。
2. 测量误差及其表示方法任何测量过程中必然伴随有误差产生，这是因为任何测量仪器、测量方法都不可能绝对正确，测量环境不可能绝对稳定，测量者的观察能力和分辨能力也不可能绝对精细和严密。
因此，分析测量中可能产生的各种误差，尽可能地消除其影响，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是科学实验中不可缺少的工作。
为此，我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因、消除的方法、以及对未能被消除的误差如何做出估计等有关知识。
1 误差的定义大学物理实验 8测量误差就是测量值x与被测量的真值μ之差值，若用δ表示，则有μδ−=x (2-1-1δ反映了测量值偏离真值的大小，即反映了测量结果的可靠程度。
所谓真值是指该物理量本身客观存在的真实量值，但由于客观实际的局限性，真值一般是不知道的。
通常我们只能测得物理量的近似真值，故对测量误差的量值范围也只能给予估计。
国际上规定用不确定度（Uncertainty）来表征测量误差可能出现的量值范围，它也是对被测量的真值所处的量值范围的评定。
有时为了使用上的需要，在实际测量中，常用被测量的实际值来代替真值。
而实际值是指满足规定精确度的用来代替真值使用的量值（又称约定真值）。
例如，在检定工作中，把高一等级精度的标准所测得的量值称为实际值。
如，用0.5级电流表来测得某电路的电流为2.100A，用0.2级电流表测得为2.102A，则后者视为实际值。
2 误差的表示方法误差δ常称为绝对误差，其大小不同，反映了测量结果的优劣不等，但它只能适用于同一物理量。
例如，20mm厚的平板，用千分尺测得的绝对误差分别为0.005mm和0.003mm，则显然后者优于前者。
但若要比较两个不同的物理量，如20mm和2mm厚的两块平板，用千分尺测得它们的绝对误差都为0.005mm，若用绝对误差来评价，则测量误差相同。
显然，用绝对误差表示没有能反映出它的本质特征。
另外，若要比较两类不同物理量的测量优劣，如某物长20mm，绝对误差为0.05mm，某物质量为17.03g，绝对误差为0.02g，因绝对误差数值与单位都不同而无法比较。
基于上述两种情况，还需引入相对误差的概念，即100%rEδμ=× (2-1-2所以相对误差也称为百分误差。
由上式可见相对误差是不带单位的一个纯数，所以它既可评价量值不同的同类物理量的测量，也可评价不同类物理量的测量，以判断它们之间的优劣。
3. 误差的分类及其处理方法按照误差的特点与性质，误差可分为系统误差、随机误差（也称偶然误差）和粗大误差三类。
1 系统误差在同一条件下（指方法、仪器、人员及环境不变），多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变的误差；或在条件改变时，按一定规律变化的误差，称为系统误差。
系统误差的来源大致有以下几个方面：§2—1 测量与误差9①仪器误差：由于仪器本身的缺陷或未按规定条件使用仪器而造成的误差。
如仪表指针在测量前没有调准到零位而带来的测量误差；米尺本身由于刻度划分得不准，或因环境温度的变化导致米尺本身长度的伸缩带来的测量误差均属于这一类型。
②理论或方法的误差：由于所依据的理论及公式本身的近似性、测量时未能达到公式理想化的条件或实验方法不完善而带来的误差。
如用伏安法测电阻，由于没有考虑电流表或电压表内阻带来的测量误差。
③环境误差：由于外界环境，如温度、湿度、电场、磁场和大气压强等因素的影响而带来的误差。
④个人误差：由于观测者本身的感官，特别是眼睛或其它器官的不完善以及心理因素而导致的习惯性误差。
这种误差，往往是因人而异，如停表计时，有人反应较慢，所以计时总是失之过长。
系统误差可以通过校准仪器、改进实验装置和实验方法，或对测量结果进行理论上的修正来加以消除或尽可能减小。
然而发现和减小实验中的系统误差并非易事，这需要实验者深入了解实验的原理、方法与步骤，熟悉所使用仪器的特点和性能，还要在实验中不断积累理论知识和实践经验，才能找出产生系统误差的原因以及消除、减小系统误差的方法。