高考数学一轮复习第26讲：概率
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《随机事件与概率》ppt课件
从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名，有 C35种情况，其中甲、乙都入选 有 C13种情况，所以甲、乙都入选的概率 P＝CC3513＝130.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 随机事件
命题点1 随机事件间关系的判断
例1 (1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设
射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”， 与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.
教材改编题
2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为
0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的
身高超过175 cm的概率为
A.0.2
知识梳理
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A， 因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝_P_(_A_)_＋__P_(B__) _－__P_(A__∩__B_)_.
知识梳理
6.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率fn(A)会逐渐 稳定于 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这 个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A).
知识梳理
(2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形： 必然事件 、 不可能事件 .
知识梳理
2.两个事件的关系和运算
包含关系 相等关系 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容) 互为对立
高考数学复习知识点讲解教案第26讲 函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用
3
3
2π
2π
3
故 π = sin 4π −
= sin −
=− .
3
3
2
[总结反思]
根据三角函数图象求解析式,关键在于对, , 的理解,主要从以下三个方面考虑:
（1）根据最大值或最小值求出的值.
（2）根据最小正周期求出 的值.
（3）求 的常用方法如下:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标代入（此时要
8
π
4
π
4
= sin 2 −
所以为了得到 的图象，只需将
3π
4
+
π
2
= cos 2 −
3π
4
= cos 2 −
3π
的图象向右平移 个单位长度.故选B.
8
3
π
8
，
（2）
[2023·重庆南开中学质检] 将函数 = sin +
π
3
+ sin 的图象向左
平移 > 0 个单位长度后所得图象关于轴对称，则实数的最小值为(
∈ .
3 9
−
2 2
13π
18
，得
9
13
9
2
4π
−
9
3
2
−
9
2
<
9
5
∈ ，
∈ ，故 = 0，
π
6
+ = 0，
（2）
−
已知函数 = 2cos + 的部分图象如图所示，则满足条件
4π
−
9
4π
− ,0
9
π
2023新高考数学专题 概率(知识点讲解)
2023新高考数学专题概率(知识点讲解)
以下为2023年新高考数学中概率知识点讲解，包括概率、数学期望和独立事件的定义与计算，以及确定性现象与随机现象的概念等。
一、概率的定义和性质
1. 确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。
2. 样本点：构成样本空间的元素，即e中的每个结果，称为样本点。
3. 频数：事件a发生的次数。
4. 频率：频数/总数。
5. 概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这
个值就是概率。
概率的特点有：非负性、规范性和可列可加性。
6. 概率性质：p（空集）=0，有限可加性，加法公式：p（a+b）=p（a）
+p（b）-p（ab）。
7. 条件概率：a事件发生条件下b发生的概率p（ba）=p（ab）/p（a）。
8. 独立事件：设 a、b是两事件，如果满足等式p（ab）=p（a）p（b）则称事件a、b相互独立，简称a、b独立。
二、数学期望的含义和计算
数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平。
数学期望又简称期望。
若离散型随机变量ξ的概率分布为则称Eξ为ξ的数学期望或平均数、均值。
数学期望的计算方式如下：
1. 当0=a时，bE=,即常数的数学期望就是这个常数本身。
2. 当1=a时, bEbE+=+ξξ), 即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与常数的和。
以上内容仅供参考，建议查阅新高考数学专题复习资料获取更全面和准确的信息，以适应新高考的题型变化。
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 《概率、统计与其他知识的交汇问题》课件ppt
X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10， P(X＝5)＝125＝312， P(X＝6)＝C15×121×124＝352， P(X＝7)＝C25×122×123＝1302＝156， P(X＝8)＝C35×123×122＝1302＝156， P(X＝9)＝C45×124×121＝352，P(X＝10)＝C55×125＝312.
例1 “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”.某公 司组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪 念币奖励员工，该系列纪念币有A1，A2，A3，A4四种.每个员工每天自 主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后员工将随机 等可能地获得一枚纪念币. (1)某员工活动前两天获得A1，A4，则前四天恰好能集齐“百年风云” 系列纪念币的概率是多少？
所以选择“田径”的人数的均值为800.
即经过足够多天后，估计该公司接下来每天有600名员工参加球类
运动，800名员工参加田径运动.
思维升华
高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题 常常以概率、统计为命题情景，同时考查等差数列、等比数列的判定 及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的 事件类型.
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率 为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值， 并求出最大值.
由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为 p(0<p<1)，则5箱产品恰有3箱被记为B的 概率为 f(p)＝C35p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)
＝10(p3－2p4＋p5)， ∴f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)， ∴当 p∈0，35时，f′(p)>0，函数 f(p)单调递增；
高考数学 概率知识点
高考数学概率知识点概率是数学中的一个重要分支，是研究随机事件发生的可能性的数值。
在高考数学中，概率也是一个重要的考点。
本文将介绍高考数学中的概率知识点，包括样本空间、事件、概率公式、条件概率等内容。
一、样本空间和事件在概率中，样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合。
而事件是指样本空间中的一个子集，表示一个或多个结果的组合。
例如，掷一个六面骰子，其样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，掷出偶数点数为一个事件。
二、概率公式在概率中，我们通常使用概率公式来计算事件发生的可能性。
概率公式有以下几种常见形式：1. 等可能概型下的概率计算在等可能概型下，每个事件发生的可能性相等。
例如，掷一枚硬币，正面和反面的可能性都是1/2。
在这种情况下，事件A发生的概率可以用以下公式计算：P(A) = 事件A的可能性 / 样本空间的大小2. 加法法则加法法则适用于两个事件相互独立的情况。
如果事件A和事件B是相互独立的，那么它们发生的概率可以用以下公式计算：P(A 或 B) = P(A) + P(B)3. 乘法法则乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
如果事件A和事件B相互独立，那么它们同时发生的概率可以用以下公式计算：P(A 且 B) = P(A) × P(B)三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率可以用以下公式计算：P(A|B) = P(A 且 B) / P(B)四、排列组合与概率在高考数学中，排列组合也是与概率有关的知识点。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排序的方法数，用P(n,m)表示。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素不考虑顺序的方法数，用C(n,m)表示。
概率与排列组合有关的情况可以用以下公式计算：P(A) = 事件A的有利结果数 / 样本空间的大小五、概率分布概率分布是指随机变量在各个取值上的概率。
在高考数学中，离散随机变量的概率分布通常可以用概率分布列或概率分布图表示。
2019年上海高考数学·第一轮复习讲义 第26讲 排列组合
2019年上海高考数学·第一轮复习（第26讲 排列组合）[基础篇]一、知识梳理1、乘法原理与排列乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m =⋅⋅⋅种不同的方法。
乘法原理的核心：分步在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数。
排列的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
【说明】如果两个排列相同，那么必须满足：1、元素完全相同；2、元素的排列次序相同。
排列数：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示。
排列数公式：!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-；规定：0!1= 2、加法原理与组合做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法。
【说明】计数原理⎩⎨⎧乘法原理（分步）且加法原理（分类）或组合的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C mn 表示.组合数公式C mn =!)!(!m m n n -. 组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n -； （2）C m n 1+=C m n +C 1-m n . 排列与组合的区别与联系：都是从n 个不同元素中取出m 个不同的元素，都是研究无重复元素问题，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。
高考数学概率知识点讲解
高考数学概率知识点讲解概率是高中数学中的一个重要概念，也是广泛应用于现实生活中的数学概念之一。
概率理论可以帮助我们预测事件的可能性和发生的频率。
在高考中，概率是一个重要的考点，掌握概率知识可以帮助考生在高考数学中获得更高的成绩。
一、基本概念概率是一个事件发生的可能性的度量，一般以0到1之间的数值表示。
当一个事件不可能发生时，概率为0；当一个事件一定发生时，概率为1。
例如，掷一枚均匀硬币，出现正面的概率是0.5，出现反面的概率也是0.5。
二、基本原则在概率的理论中，有三个基本原则：加法原理、乘法原理和全概率公式。
1. 加法原理：对于两个互不相容事件A和B，它们的概率和为它们的概率之和。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
例如，抛一枚骰子，出现奇数的概率为1/2，而出现偶数的概率也为1/2，它们的和等于1。
2. 乘法原理：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们的概率之积。
即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
例如，从一副扑克牌中抽取两张牌，第一张是红心的概率为1/4，而第二张也是红心的概率为1/4，它们的乘积等于1/16。
3. 全概率公式：对于一个事件A，它可以通过多个互不相容的事件B1、B2、...、Bn来发生，那么A的概率等于它们的概率之和。
即P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + ... + P(A∩Bn)。
例如，某班级有40%的学生喜欢音乐，30%的学生喜欢运动，20%的学生既喜欢音乐又喜欢运动，那么随机选择一个学生，他既喜欢音乐又喜欢运动的概率为20%。
三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以用P(A|B)表示，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
条件概率在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在医学诊断中，医生通过已知的疾病症状来确定患者患某种疾病的可能性。
高考概率知识点总结
高考概率知识点总结高考概率是高考数学中的一个重要知识点，它是数学中的一个分支，研究事件发生的可能性及其数量关系。
在高中数学课程中，概率以概念的形式出现，而高考则要求学生具备对概率进行运算和推理的能力。
下面我将对高考概率知识点进行总结。
1. 概率的基本概念概率是用数字表示事件发生的可能性大小的数值，其取值范围为0到1之间。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
事件的概率等于有利的结果数目与所有结果数目之比。
2. 概率的计算计算概率有两种基本的方法，分别是古典概率和频率概率。
古典概率适用于条件相同且有限个数的事件，其计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间中的总次数。
频率概率适用于统计实际发生次数，其计算公式为：P(A) =n(A) / N，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A发生的次数，N表示试验的总次数。
3. 互斥事件和对立事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，即它们的交集为空。
计算互斥事件的概率时，可通过概率的加法法则进行计算：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
对立事件指的是两个事件中至少有一个发生的情况，即它们的交集不为空。
计算对立事件的概率时，可通过概率的减法法则进行计算：P(A') = 1 - P(A)。
4. 事件的独立性和相关性独立事件指的是两个事件发生与否相互独立，即一个事件的发生不受另一个事件的影响。
对于独立事件来说，两个事件的概率可以互相相乘：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
相关事件指的是两个事件发生与否存在一定关联，即一个事件的发生会影响另一个事件的概率。
对于相关事件来说，要计算事件的交集概率时，需要考虑条件概率：P(A∩B) = P(A) ×P(B|A)。
5. 抽样与排列组合在概率的计算中，经常会遇到抽样和排列组合的问题。
抽样问题指的是从一组对象中随机地选取若干个对象，排列组合问题指的是对已知对象进行不同排列的方式。
高考数学概率问题知识点
高考数学概率问题知识点概率作为数学中的一个重要分支，是生活中经常用到的数学知识。
在高考数学中，概率问题经常出现并占据着不少分值。
因此，了解概率问题的知识点，掌握解题方法，对于高考数学取得好成绩具有重要意义。
本文将从基础概率、条件概率、独立事件、排列组合等几个方面来介绍高考数学中的概率问题知识点。
概率是研究随机现象发生的可能性的数学分支。
其中，基础概率是概率问题的基础。
基础概率指的是在一次随机试验中，事件 A 发生的概率，常用公式为 P(A) = N(A)/N(S)，其中 P(A) 代表事件 A 发生的概率，N(A) 表示事件 A 包含的基本事件数目，N(S) 表示样本空间中的基本事件数目。
在高考数学中，基础概率题目往往比较简单，但是需要考生清楚地理解题目所给条件，正确运用概率定义和公式进行计算。
条件概率是指在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，常用公式表示为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
其中 P(A|B) 代表在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
条件概率题目相对来说难度较大，需要考生熟练使用条件概率公式，理解题目中给定的条件，进行复杂计算。
独立事件是指事件 A 和事件 B 的发生与否互不影响的事件。
如果两个事件 A 和 B 是独立事件，那么P(A∩B) = P(A)P(B) 成立。
高考数学中独立事件的题目较为常见，要求考生熟练使用独立事件的公式进行计算。
在解题时，需要注意题目中是否明确给出事件 A 和事件 B 为独立事件，若没有明确给出，则需要通过题目所给条件来判断。
排列组合是概率问题中另一个重要的知识点。
排列是从 n 个不同元素中取出 m 个元素，按照一定顺序进行排列，记为 A(n,m)，计算公式为 A(n,m) = n!/(n-m)!。
组合是从 n 个不同元素中取出 m 个元素，不考虑顺序，记为 C(n,m)，计算公式为 C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
高考数学一轮复习第26讲：概率
高考数学一轮复习第26 讲：概率一、【复习目标】1、会用摆列、组合的基本公式计算一些等可能事件的概率；2、会用互斥事件的加法公式与互相独立事件乘法公式化计算一些事件的概率；3、会计算事件在n次独立重复试验中发生k 次的概率；4、增强对概率的三种形式的理解和应用，能娴熟应用这些知识解决一些实质应用问题。
二、【课前热身】1．某轻轨列车有 4 节车厢，现有 6 位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰巧为0，1， 2， 3 的概率为.2．在圆周上有 10 个平分点，以这些点为极点，每 3 个点能够组成一个三角形，假如随机选择 3 个点，恰巧构成直角三角形的概率是（）A. B. C. D.3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰巧有 1人解决这个问题的概率是（）A．p1p2B． p1 (1 p2 ) p2 (1 p1 )C．1p1 p2D．1(1 p1 )(1p2 )4．（ 2020 南通）五副不一样的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，而后甲又任取一只，最后乙再任取一只。
（ 1）求以下事件的概率：①A：甲正好获得两只配敌手套；②B：乙正好获得两只配敌手套；（2）A 和B 能否独立？并证明你的结论。
三、【例题研究】例 1、投掷两枚平均的正八面体的骰子（它们的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8）。
试求：（ 1）出现“点数和为5”的概率；（ 2）出现“点数和为几”的概率最大，并求出此时的概率。
例 2、蚂蚁 A 位于数轴x=0 处，蚂蚁 B 位于 x=2 处，这两只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右挪动一个单位，设它21们向右挪动的概率为 3 ，向左挪动的概率为 3 。
（1）求 3 秒后，蚂蚁 A 在 x=1 处的概率；（2）求 4 秒后，蚂蚁 A、B 同时在 x=2 处的概率。
例 3、(2020 湖北 )某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号同样 . 假定每盏灯可否正常照明只与灯泡的寿命相关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2 年以上的概率为p2 . 从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡改换工作，只改换已坏的灯泡，平常不换.（Ⅰ）在第一次灯泡改换工作中，求不需要换灯泡的概率和改换 2 只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡改换工作中，对此中的某一盏灯来说，求该盏灯需要改换灯泡的概率；（Ⅲ）当p10.8, p20.3时，求在第二次灯泡改换工作，起码需要改换 4 只灯泡的概率（结果保存两个有效数字） .备用题：右表为某班英语、数学的成绩散布，全班共有学生 50 人，成绩分为 1~5 五个品位。
2025高考数学一轮复习课件 随机事件的概率
4. (2024·邢台市第二中学期末)如图所示，A，B，C 表示 3
个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为 0.9，
0.8，0.8，则该系统的可靠性(3 个开关只要一个开关正常工作
即可靠)为( )
A．0.504
B．0.994
C．√0.996
D．0.964
解析 由题意知，所求概率为 1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.8)＝1－0.004＝ 0.996.故选 C.
C√．“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球”
D．“至多有 1 个白球”和“都是红球”
【解析】 对于 A，“至少有 1 个白球”和“都是红球”是对立事件，不 符合题意；对于 B，“至少有 2 个白球”表示取出的 2 个球都是白色的，而“至 多有 1 个红球”表示取出的球 1 个是红球，1 个是白球，或者 2 个都是白球， 二者不是互斥事件，不符合题意；对于 C，“恰有 1 个白球”表示取出的 2 个 球 1 个是红球，1 个是白球，与“恰有 2 个白球”是互斥而不对立的两个事件， 符合题意；对于 D，“至多有 1 个白球”表示取出的 2 个球 1 个是红球，1 个 是白球，或者 2 个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故 选 C.
并事件 (和事件)
若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发
生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 __并__事__件__(或__和__事__件__)___
符号表示
___B_⊇__A___
(或 A⊆B)
_A__＝__B_
A∪B (或 A＋B)
交事件 (积事件) 互斥事件
对立事件
若某事件发生当且仅当 _事__件__A_发__生__ 且___事__件__B_发__生_____，则称此事件为
高中概率知识点总结ppt
高中概率知识点总结ppt一、概率的基本概念概率是研究随机事件可能性大小的数学工具。
在高中数学中，我们研究的是基本概率、古典概率和几何概率。
1. 基本概率基本概率是指一个随机事件发生的可能性大小。
常用的表示方法有用[0,1]区间内的数来表示。
2. 古典概率古典概率是指通过实验或推理判断可能性的大小。
通过实验得到一个随机事件发生的次数，计算该事件发生的概率。
3. 几何概率几何概率是指通过计算几何模型中的面积、长度等来计算概率。
常用的计算方法有面积法和长度法。
二、概率的运算规则概率的运算规则有加法规则和乘法规则。
1. 加法规则加法规则适用于两个事件同时发生的情况。
计算方法为两个事件的概率之和减去两个事件同时发生的概率。
2. 乘法规则乘法规则适用于两个事件依次发生的情况。
计算方法为两个事件的概率相乘。
三、条件概率和独立事件1. 条件概率条件概率是指在某个条件下某事件发生的可能性。
计算方法为已知某个事件发生的条件下另一个事件发生的概率。
2. 独立事件独立事件是指两个事件相互独立，一个事件的发生不受另一个事件的影响。
计算方法为两个事件的概率相乘。
四、置信区间的计算1. 置信区间置信区间是指对于一个统计模型中未知参数的估计区间。
通过置信区间，我们可以对未知参数的取值范围做一个估计。
2. 置信区间的计算方法在计算置信区间时，需要先确定置信水平和样本容量，并结合统计方法进行计算。
五、随机变量和概率分布1. 随机变量随机变量是指在随机试验中可能取得的结果。
根据随机变量的性质，可以将其分为离散随机变量和连续随机变量。
2. 概率分布概率分布是指随机变量在每个取值上的概率。
常用的概率分布有离散型概率分布和连续型概率分布。
六、常见概率分布1. 二项分布二项分布是指在n次独立的伯努利试验中，成功的次数的概率分布。
常用于描述在多次重复试验中，成功的次数的概率。
2. 正态分布正态分布是一种常见的连续型概率分布。
其特点是呈钟形曲线，均值处为最高点，标准差决定了曲线的平坦程度。
高考数学一轮专项复习ppt课件-概率、统计与其他知识的交汇问题(北师大版)
第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn， 则当n≥2时，第n－1次传球之前球在甲脚下的概率为 pn－1， 第n－1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－pn－1， 则 pn＝pn－1×0＋(1－pn－1)×12＝－12pn－1＋12， 即 pn－13＝－12pn－1－31，
又 p1－13＝23， 所以pn－13是以23为首项，－12为公比的等比数列.
(2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，
则 P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)
(5分)
＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，
② 处 写 出 P(Ai ＋ 1) 的 概率计算公式
即 pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2，
③ 处 写 出 pi ＋ 1 与 pi 的关系
构造等比数列{pi＋λ}，设 pi＋1＋λ＝25(pi＋λ)，解得 λ＝－13，
则 pi＋1－13＝25pi－13， (7分)
④处构造出等比数列
又 p1＝12，p1－13＝16， 所以pi－13是首项为16，公比为25的等比数列， 即 pi－13＝16×25i－1， pi＝61×25i－1＋13. (9分) (3)因为 pi＝16×25i－1＋13，i＝1,2，…，n， 所以当n∈N+时，
0,1,2,3， 易知 X～B3，19， 所以 P(X＝k)＝Ck3·19k·893－k，k＝0,1,2,3，
故X的分布列为
X0
1
2
3
P
512 729
64 243
8 243
1 729
所以 X 的期望 EX＝3×19＝13.
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名 前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可 能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能 地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传 出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn， 易知p1＝1，p2＝0. ①证明：pn－13为等比数列；
高考数学知识点归纳概率
高考数学知识点归纳概率：概率概率是数学中一个重要的概念，它刻画了随机事件发生的可能性大小。
在高考数学中，概率是一个必考的知识点。
理解和掌握概率的基本概念和计算方法，至关重要。
在本文中，我们将对高考数学中的概率知识点进行归纳和概述，帮助同学们更好地准备和应对考试。
一、基本概念1. 随机事件：概率与随机事件密切相关。
随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
例如，在掷一个骰子的过程中，出现点数为6的情况就是一个随机事件。
2. 样本空间：样本空间是指所进行的随机实验中，所有可能结果的集合。
对于掷骰子的实验，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 事件：事件是样本空间的一个子集，表示我们感兴趣的结果。
例如，掷骰子的事件可以是“出现点数为偶数”。
4. 基本事件：样本空间中的元素就是基本事件。
例如，在掷骰子的样本空间{1, 2, 3, 4, 5, 6}中，每一个点数就是一个基本事件。
二、概率的计算1. 经典概型：当样本空间中的每个基本事件发生的可能性相等时，我们称之为经典概型。
在这种情况下，事件A发生的概率可以通过计算A包含的基本事件数目与样本空间中基本事件的总数目之比来确定。
例如，一枚硬币正反面的基本事件总数为2，当我们关心硬币正面朝上的事件时，概率为1/2。
2. 相对频率概率：通过实验的方法，进行多次重复试验，统计事件A发生的次数与总实验次数的比值，作为事件A发生的概率。
例如，我们可以通过多次掷骰子实验来确定出现点数为5的概率。
3. 几何概型：当事件的发生与空间中的几何结构有关时，我们可以使用几何概型来计算概率。
例如，在一个单位正方形中，以均匀分布随机选择的点落在某一子集内的概率可以通过计算两个集合的面积之比来确定。
4. 条件概率：当一个事件的发生受到已知信息的影响时，我们可以使用条件概率来计算事件发生的概率。
例如，已知某个学生乘坐校车迟到的概率为1/4，而他忘带雨伞的概率为1/3，那么已知他迟到的情况下忘带雨伞的概率为多少？5. 独立事件：如果事件A的发生与事件B的发生不相关，则两个事件是独立的。
高考数学一轮复习 随机事件的概率(文)课件
提示：若A、B是两个互斥事件，反映在集合上是表 示A、B所含结果组成的集合的交集为空集，若A、B 是两个对立事件，反映在集合上是表示A、B所含结 果组成的集合的交集为空集且并集为全集.
1．某入伍新兵在打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少
有1次中靶”的互斥事件是
()
A．至多有1次中靶
B．2次都中靶
第一节 随机事件的概率（文）
一、概率 1．在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生
的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率 具有稳定性 ．我们把这个常数叫做随机事件A的概率 ．记 作 P(A) ．
2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是 随机的，而概率 是一个确定的值，通常人们用概率来反 映随机事件发生的可能性的大小．有时也用 频率 来作为 随机事件概率的估计值．
•
三、概率的几个基本性质 1．概率的取值范围： [0,1] ．
2．必然事件的概率P(E)＝ 1 . 3．不可能事件的概率P(F)＝ 0 . 4．概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ．
5．对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事 件．P(A∪B)＝1 ，P(A)＝1－P(B) ．
C．2次都不中靶
D．只有1次中靶
解析：事件“至少有1次中靶”包括“中靶1次”和“中靶2次”
两种情况，由互斥事件的定义，可知“2次都不中靶”与
之互斥．答案：C来自2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率
为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为
()
A．60%
B．30%
C．10%
D．50%
解析：甲、乙二人下成和棋的概率为50%.
山东高考数学概率知识点
山东高考数学概率知识点随着中国教育的改革与发展，高考已经成为衡量学生综合素质的重要指标之一。
而数学是高考中必考的科目，其中概率是数学中一个重要的知识点。
下面我们将从概率的基础概念、概率的运算规则以及与概率相关的问题解析等方面来探讨山东高考数学中的概率知识。
概率的基础概念是我们理解概率的首要条件。
在数学中，事件的概率指的是该事件发生的可能性大小。
常用的概率表示方法有分数形式、百分数形式和小数形式。
比如，当某个事件发生的可能性为1/2时，我们可以表示为50%或者0.5。
了解了概率的基本概念后，我们还需要熟悉概率的运算规则。
在数学中，概率的加法规则和乘法规则是常用的两个运算规则。
概率的加法规则指的是对于两个互斥事件A和B，它们的和事件发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
概率的乘法规则指的是对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
除了基本的概念和运算规则，概率在高中数学中的应用也是我们必须掌握的。
在数学与生活中，我们经常会遇到与概率相关的问题。
比如投掷硬币的问题，摸彩抽奖的问题等。
这些问题需要我们根据所给的条件来计算概率。
在高考中，也有许多与概率相关的题目。
比如某学校考试的及格率是80%，如果一个学生及格的概率是60%，那么他在这次考试中及格的概率是多少？此类题目考察的是学生对于概率的应用能力以及对于运算规则的灵活运用。
除了上述内容，概率还有一些衍生的概念需要我们了解。
比如条件概率、独立性和全概率公式等。
条件概率指的是在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
独立性指的是两个事件A和B相互独立，即事件A的发生与事件B的发生没有关联。
全概率公式是概率理论中的一个重要公式，它能够帮助我们计算一些复杂问题的概率。
总结起来，山东高考中的数学概率知识点包括概率的基本概念、概率的运算规则以及与概率相关的问题解析等内容。
熟练掌握这些知识点对于高考数学的复习备考是非常重要的。
高考数学知识点概率
高考数学知识点概率概率是数学中一门重要的分支，广泛应用于各个领域。
在高考数学中，概率也是一个必考的知识点。
下面我们将详细介绍高考数学中涉及的概率知识点。
一、基本概念1.试验与事件试验是指对某个现象或问题进行观察、实验或调查的过程，其结果不确定。
试验的每个可能结果称为一个基本事件。
事件是试验结果的一个集合，事件可以是基本事件，也可以是由基本事件组成的事件。
2.概率的定义概率是描述事件发生可能性大小的数值。
对于一个事件A，其概率P(A)满足0≤P(A)≤1，且P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0。
3.独立事件与互斥事件若两个事件A和B的发生与对方无关，则称它们是独立事件。
若两个事件A和B不可能同时发生，则称它们是互斥事件。
二、概率的计算1.等可能概型等可能概型是指在一个试验中，每个基本事件发生的可能性相同。
对于等可能概型的事件，可以用事件发生的基本事件数除以所有基本事件总数计算概率。
2.条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率P(A|B)的计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
3.乘法公式和加法公式乘法公式表示若事件A和事件B相互独立，则事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(AB)=P(A)×P(B)。
加法公式表示对于两个事件A和B，它们的和事件（A或B事件发生）的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率减去事件A 和事件B同时发生的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
三、排列与组合1.排列排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定顺序组成的序列数。
排列的计算公式为Anm=n!/(n-m)!2.组合组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照任意顺序组成的集合数。
组合的计算公式为Cnm=n!/[m!(n-m)!]。
新高考概率知识点总结
新高考概率知识点总结概率是数学中非常重要的一个分支，它描述的是一件事情发生的可能性大小。
在新高考中，概率是数学的一个重要知识点，在考试中经常会出现各种概率相关的题目。
本文将对新高考中的概率知识点进行总结，包括基本概念、概率计算、概率分布、统计学习等内容。
通过本文的学习，希望能帮助大家更好地掌握概率知识，提高数学成绩。
一、基本概念概率是描述一个随机事件发生可能性大小的数值。
一般来说，概率的范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示一定发生。
在实际的概率计算中，我们可以通过统计或者理论推导来确定一个事件发生的概率大小。
在新高考中，学生需要掌握概率的基本概念，包括概率的定义、性质、计算方法等。
1. 概率的定义概率是描述一个随机事件发生可能性大小的数值。
如果一个事件发生的可能性大小可以用一个数值来表示，我们就称这个数值为概率。
在概率的定义中，有两个重要的概念，即事件和样本空间。
事件是指一个随机试验可能出现的结果，样本空间是指所有可能出现的结果的集合。
概率是通过事件和样本空间的关系来确定的，通常可以用P(A)来表示事件A发生的概率。
2. 概率的性质概率具有一些常见的性质，包括非负性、规范性、可列可加性等。
其中，非负性是指概率的值必须大于等于0，规范性是指样本空间中所有可能结果的概率之和必须等于1，可列可加性是指如果两个事件是互斥的，那么它们发生的概率之和等于它们分别发生的概率之和。
3. 概率的计算方法在实际应用中，我们通常需要计算一个事件的概率大小。
概率的计算方法有两种，一种是经典概率，另一种是频率概率。
经典概率是指根据事件发生的可能性来确定概率大小，而频率概率是指通过大量实验来确定事件发生的概率大小。
在新高考中，学生需要掌握这两种计算方法，并能够灵活运用到实际问题中。
二、概率计算概率计算是概率知识中的一个重要部分，主要包括排列组合、条件概率、贝叶斯定理等内容。
这些知识点在新高考中经常会出现在各种概率题目中，所以学生需要认真掌握。
高三第一轮复习_概率精品PPT教学课件
解：按等可能性事件的概率计算公式，5把钥匙逐把试开有 A
5 5
种结果，
由于该人忘记了是哪一把钥匙，因此这些结果是等可能的。
（1）第三次打开房门相当于房门钥匙排在第三个位置，有 A 44种结果
故概率 P1
A
4 4
A
5 5
1 5
（2）三次内打开房门的结果有3 A 44种，故概率
P2
3 A44 A55
3 5
（2）面试抽签，共有a+b张不同的考签，每个考生抽1张考签，抽过的不再放回。考
生黄某会答其中的a张，他是第k个抽签者（ ka）b，求黄某抽到会答考
签的概率。
解：（1）法一：把所有的球看成不同的，将所有球都一一摸出排在一直线上 的a+b个位置上，则全体基本事件数为 （a+b）!，
第k个位置是一个黑球的事件数为a(a+b-1)!，
复习题组
例1 （1）若以连续掷两次骰子分别得到的点数n、m作为点M的坐
标，则点M落在圆 x2 y2 16 内的概率为多少？
（2）从集合A＝{0,1,2,3,4,5,6}中任取三个元素分别作为直线
AxByC0中的A、B、C，所得的直线恰好经过坐标原
点的概率是多少？
2020年10月2日
解：（1）按等可能性事件的概率计算公式，所有可能的结果有
故所求事件的概率为： Pa(ab1)! a (ab)! ab
法二：把前k次摸球的所有可能结果作为事件全体，则所有可能的结果数为
Ak ab
第k次摸到黑球的事件数为
a
Aak
1 b
1
故所求事件的概率为：P
aAk1 ab1
a
（2）类似于（1），P a
高考数学一轮复习概率的基本性质知识点_
高考数学一轮复习概率的基本性质知识点_
1、基本概念：
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件
(2)若AB为不可能事件，即AB=ф，那么称事件A与事件B互斥;
(3)若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件;
(4)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);若事件A与B为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)
2、概率的基本性质：
1)必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此01;
2)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);
3)若事件A与B为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1
4)互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：
(1)事件A发生且事件B不发生;
(2)事件A不发生且事件B发生;
(3)事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，
其包括两种情形;
(1)事件A发生B不发生;
(2)事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
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高考数学一轮复习第26 讲：概率一、【复习目标】1、会用排列、组合的基本公式计算一些等可能事件的概率；2、会用互斥事件的加法公式与相互独立事件乘法公式化计算一些事件的概率；3、会计算事件在n次独立重复试验中发生k 次的概率；4、加强对概率的三种形式的理解和应用，能熟练应用这些知识解决一些实际应用问题。
二、【课前热身】1．某轻轨列车有4节车厢，现有 6 位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3 的概率为.2．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每 3 个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（）A. B. C. D.3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）A．p1p2 B ．p1（1 p2） p2（1 p1）C．1 p1 p2 D．1 (1 p1)(1 p2)4．（2020 南通）五副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只。
（1）求下列事件的概率：① A：甲正好取得两只配对手套；② B：乙正好取得两只配对手套；（2）A和 B 是否独立？并证明你的结论。
三、【例题探究】例1、抛掷两枚均匀的正八面体的骰子（它们的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8）。
试求：（1）出现“点数和为5”的概率；（2）出现“点数和为几”的概率最大，并求出此时的概率。
例2、蚂蚁A位于数轴x=0 处，蚂蚁B位于x=2 处，这两只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它21们向右移动的概率为3 ，向左移动的概率为3 。
（1）求3秒后，蚂蚁A在x=1处的概率；（2）求4秒后，蚂蚁A、B同时在x=2 处的概率。
例 3 、（2020 湖北）某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同. 假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为p1，寿命为 2 年以上的概率为p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1 0.8, p2 0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换 4 只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.备用题：右表为某班英语、数学的成绩分布，全班共有学生 50 人，成绩分为 1~5五个档次。
例如表中英语成 绩为4分、数学成绩为 2 分的学生共 5 人，设 x, y 分别表示英语成绩和数学成绩。
时成立的概率为多少？ （2） x 2 的概率为多少？ a b （3）如果 x 2 及 y 4相互独立， 为四、【方法点拔】 求等可能事件的概率，首先要确定试验的所有基本事件数及所求事件中包含的基本事件数。
要熟练地应用概念来处理解决问题。
求复杂的事件的概率时， 通常有两种方法： 一是将所求事件的概率化为一些彼此互斥的事件的概率的和， 二是 先去求此事件的对立事件的概率。
解概率应用题时须正确理解题意，并将其转化为熟悉的事件的概率问题来求解。
读图能力一直是高考考查的一个方面，在平时的训练中要多加训练、理解，掌握读图的方法。
冲刺强化训练（ 26）班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿ 日期＿＿月＿＿日1、从湖中打一网鱼，共 M 条，做上记号再放回湖中，数天后再打一网鱼共有 N 条，其中有记号的 K 条，则估计湖中有鱼（ ）条MNMK NKA ． KB ． NC ． MD ．无法确定2、 10 根签中有3 根彩签，设首先由甲抽一根签，然后由乙抽一根签，求下列事件的概率：（1）甲、乙都中彩签的概率是 ，（ 2）乙中彩签的概率是 。
3、某中学有高一学生 400 人，高二学生 300人，高三学生 300 人，现通过分层抽样抽取一样本容量为 n 的样 本，已知每个学生被抽到的概率为 0.2 ，则 n 。
4、（ 2020 广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为 x 、 y ，则log（2x ）y 1的概率为 （ ）1 5 1 1A ． 6B ． 36C ． 12D ． 25、 10 张奖券中只有 3 张有奖， 5 个人购买，至少有 1 人中奖的概率是（ ）1） x 4的概率为多少？ x 4 且 y 3的概率为多少？ x 3的概率为多少？在 x3的基础上，3同的值是多少？a,b的值分别I 24（ II ）全线途经 10 个停靠点，若有 2 个以上（含 2 个）停靠点出发后，车上乘客人数超过 18 人的概率大于0.9 ，公交公司就要考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？9、（ 2020 全国）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
已知在某一小时内，甲、乙都需要 照顾的概率为 0.05 ，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1 ，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125 ，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率 .3A ) 101 C ) 211 D )121 B ）126、（ 2020 上海）某班有 50名学生，其中 15人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程。
从班级中任选两名学生， 他们是选修不同课程的学生的概率是 _____ 。
（结果用分数表示）7、“幸运 52”知识竞猜电视节目为每位选手准备 5 道试题，每道题设“对”和“不对”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标。
假设甲、乙两位选手手仅凭猜测独立答题。
（ 1）求甲至少获得 3 个商标的概率；（2）是否有 99.9%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得 1个或 1 个以上的商标？高考数学一轮复习第 26 讲：概率 【课前热身】451． 128 2 ． B 3 ． B119, P(B)= 9, (2) P(AB)= 4．(1)P(A)=63 ,P （A ）P （B ）= 81，所以 A 、B 不独立。
动，两次向左移动。
故其发生的概率为32 3 1 2 2 2 1 2 256C 43(23)3(31)C 42(23)2(31)2 2215867〖教学建议〗本题关键是转化问题，即将本题转化为一个独立重复事件的概率来求。
理地进行转化。
II ）对该盏灯来说， 在第 1、2次都更换了灯泡的概率为 （1 p 1）; 在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换2灯泡的概率为 p 1（1 p1） ;故所求的概率为 p（1 p1）例题探究】 例 1 ．（1） 在一次抛骰子的过程中，每个点数出现的概率都是8 ，点数和为 5 共有四种情况，故所求概率为1 1 1 48 8 168 1 1 1 8 （ 2）点数和为 9 的概率最大，共有八种情况，故概率为 8 8 8 〖教学建议〗从等可能概率事件的基本事件出发，引导学生寻找答案。
例 2．（ 1）蚂蚁 A 在三次移动中，恰有两次向右移动，故其发生的概率为)1 ( 2) 2 ( 232）蚂蚁 A 在四次移动中，恰有三次向右移动，一次向左移动，且同时蚂蚁 B 在四次移动中恰有两次向右移5例 3．解：（I ）在第一次更换灯泡工作中， 不需要换灯泡的概率为 p 1 , 需要更换 2 只灯泡的概率为 C 52 p 13(1p 1)2;III ）至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况，换 5 5 只的概率为 p （其中 p 为（ II ）中所求，下同）换 4 只的概率为 C 5p （1 p ） ，故至少换 4 只灯泡的概率为 5 1 4 p 3 p 5 C 51 p 4(1 p). 25又当 p 1 0.8,p 2 0.3时,p 0.220.8 0.7 0.6. p 3 0.6 5 4 0.64 0.4 0.34. 即满 2年至少需要换 4只灯泡的概率为0.34. 14 735备用题： （1） x 4的概率为 50 25； x 4 且 y 3的概率为 50；x 3 的概率为 5010 ；在 x 3 的11在教学中，要引导学生合p 1(1 p 2);84基础上， y 3 同时成立的概率为 50 25 。
冲刺强化训练( 26)131．A 2 ．(1)15(2)10 3 ．200 4 ．C 5．D 6 ． 78．解：(Ⅰ)每个停靠点出发后，乘客人数不超过24 人的概率约为0.1+0.15+0.25+0.2=0.7∴该线路需要增加班次。
答：(Ⅰ)每个停靠点出发后，乘客人数不超过 24 人的概率约为 0.7( Ⅱ ) 该线路需要增加班次9．解：(Ⅰ)记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，则 A 、B 、 C 相互独立，由题意得： P ( AB )=P(A)·P(B)=0.05 P (AC )=P(A)·P(C)=0.112) x 2 的概率为 40 50 1 5 ； a b 的值是 3。
3)如果 x 2 及 y4相互独立， a 3,b 0 。
7． 1)甲获得 3 枚商标的概率为 3 1 3 1 2 C 53(21)3(1 21)2 ；甲获得 4 枚商标的概率为414C 54(21)4(1 2)；甲获得 5 枚商标的概率为C5 (2) (12)；所以甲至少获得3 枚商标的概率为C 53(12)3(1 21)2+C 54(12)4(1 21)+C 55(12)5(121)0=122)甲、乙两选手至少有一位获得 1个或 1 个以上的商标的概率为C 50(12)0 (1 12)5 C 50(12)0 (1 12)510231024 99.9%，故有把握断( Ⅱ ) 从每个停靠点出发后，乘客人数超过 18 人的概率为 途经 10 个停靠点，没有一个停靠点出发后，乘客人数超过C 100(1)0(1 1)1022途经 10 个停靠点，只有一个停靠点出发后，乘客人数超过1 111 9C 110( )1(1 )922 所以，途经 10 个停靠点，有 0.20+0.20+0.1=0.518 人的概率为18 人的概率2 个以上(含 2 个)停靠点出发后，乘客人数超过 18 人的概率0 1 01 10 1 11 50 973 C 100( )0(1 )10 110 9P=1－ 2 2 － C 10 (2) ( 1－ 2 ) 9=1－ 210 29 10240.9 1024P( BC)=P(B)·P(C)=0.1 25解得：P(A)=0.2 ；P(B)=0.25 ；P(C)=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2 、0.25 、0.5 (Ⅱ)∵ A、B、C相互独立，∴ A、B、C 相互独立，∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为P(A B C) P(A)P(B)P(C) 0.8 0.75 0.5 0.3 ∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为p 1 P(A B C) 1 0.3 0.7。