有限元第三章 单元类型及单元刚度矩阵
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单元刚度矩阵精选ppt
材料参数行对应微分方程弱形式 中的变量
单元刚度矩阵：
DIST = +[u/x;u/x]*ea +[v/x,x;v/x,x]*eiz +[w/x,x;w/x,x]*eiy +[anx/x;anx/x]*gjx
0 l[ E A d d u xd d u x E I zd d x 2 v 2d d x 2 v 2 E I y d d x 2 w 2d d x 2 w 2 G I x d d x xd d x x ] d x
z q
x y
1/3
1/3
1/3
几何模型
➢有限元分析
微分方程描述：
板单元：
采用adini板单元，adini矩形板单元是基于经典薄板理论的板单元，其广义内力和广义应变的定义是
ห้องสมุดไป่ตู้
M
x
M M y
M
xy
其广义应力应变关系是：
κ
x y xy
y x x y
x
y
l f(x)udx 0 j
Fjuj 0lqy(x)vdx j
Nyjvj 0lmz(x)d dxvdxj
Mzjddvxj
0lqz(x)wdx j
Nzjwj 0lmy(x)ddw xdxj
Myjddw xj 0lmx(x)xdxj
Mxjxj
其中，右端项中的非积分项可以看作是集中载荷的情况，所以可以不单独列出，所以上式可以继续写为：
第四讲
结构力学有限元分析
元计算技术部
本讲通过结构力学问题中的两个案例，梁结构和梁板组合结构的力学分析，从ELAB1.0有限元分析、 ELAB1.0操作、ELAB1.0有限元文件描述三个方面进行介绍，旨在让大家可以用ELAB1.0软件公式库对自己 的问题进行分析计算，而通过对有限元描述文件的介绍，可以解决大家遇到的特殊问题。
第3章 有限元方法的一般步骤
3 F1 + lAγ 2 −3 0 0 u1 3 3 2 0 u2 ( 2 + 2 )lAγ EA − 3 3 + 2 − 2 = − 2 2 + 1 − 1 u3 ( 2 + 1 )lAγ l 0 −1 0 0 1 u4 2 2 1 lAγ 2
2 n 一维单元： u = a1 + a2 x + a3 x + ..... + an x 2 2 n 二维单元： u = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a5 xy + a6 y ..... + an x 2 2 2 三维单元： u = a1 + a2 x + a3 y + a4 z + a5 x + a6 y + a7 z
2、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 原则：1、在应力集中区域网格要细化； 2、网格边界尺寸比越近越好，即纵横比尽可能接近1；
3、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 材料，及外部条件发生突变处设置结点。 材料，及外部条件发生突变处设置结点。
单元全部结点力： 单元全部结点力： 单元e中的虚位移： 单元 中的虚位移： 中的虚位移 单元e中的虚应变： 单元 中的虚应变： 中的虚应变 结点力虚功： 结点力虚功： 虚应变能： 虚应变能：
{ε } = [ B]{δ } e ∗ e T δV = ({δ } ) {F } δU = ∫∫∫ { } {σ }dxdydz ε
有限元分析 第三讲
Q1l 2 θ = 2 EJ
m1 l 2 2 EJ
θ =+
1
l
1 2
m1 l EJ
m1
2
l
1节点桡度 节点桡度 1节点转角 节点转角
Q1l 3 m1l 2 f1 = 1 = 3EJ 2 EJ m1l Q1l 2 θ1 = 0 = EJ 2 EJ
解得
Q1 =
12 EJ = k11 3 l 6 EJ m 1 = 2 = k 21 l
局部坐标下梁 单元刚度矩阵
[ ]
12 EJ k e = 3 6l l 12 6l
6l 4l 2 6l 2l 2
12 6l 12 6l
6l 2l 2 6l 4l 2
对称矩阵
上述由几何关系, 物理方程, 上述由几何关系 物理方程 受力和位移的关系求出单元刚度矩阵 的方法——直接刚度法 的方法 直接刚度法
整体座标下的单元刚度矩阵换算通式
[ K e ] = [T ]T [ K e ][T ]
思考: 整体刚度矩阵如何迭加? 思考 整体刚度矩阵如何迭加
§3.3 位移函数—虚功原理推导单元有限元格式 位移函数—
基本原理 将单元内任一点的位移表示成节点位移的某种函数——位 将单元内任一点的位移表示成节点位移的某种函数 位 移函数, 利用虚功原理, 推导单元的刚度矩阵. 移函数 利用虚功原理 推导单元的刚度矩阵.
对方程加" 项 扩展为: 对方程加"0"项,扩展为:
N1 EA 1 11 N = 2 l 1 1 2
N1 1 0 0 0 EA 0 N = 1 1 l 0 0 0 0
6l f1 2l 2 θ1 6l f 2 4l 2 θ 2
0 0 0 0 0 0
m1 l 2 2 EJ
θ =+
1
l
1 2
m1 l EJ
m1
2
l
1节点桡度 节点桡度 1节点转角 节点转角
Q1l 3 m1l 2 f1 = 1 = 3EJ 2 EJ m1l Q1l 2 θ1 = 0 = EJ 2 EJ
解得
Q1 =
12 EJ = k11 3 l 6 EJ m 1 = 2 = k 21 l
局部坐标下梁 单元刚度矩阵
[ ]
12 EJ k e = 3 6l l 12 6l
6l 4l 2 6l 2l 2
12 6l 12 6l
6l 2l 2 6l 4l 2
对称矩阵
上述由几何关系, 物理方程, 上述由几何关系 物理方程 受力和位移的关系求出单元刚度矩阵 的方法——直接刚度法 的方法 直接刚度法
整体座标下的单元刚度矩阵换算通式
[ K e ] = [T ]T [ K e ][T ]
思考: 整体刚度矩阵如何迭加? 思考 整体刚度矩阵如何迭加
§3.3 位移函数—虚功原理推导单元有限元格式 位移函数—
基本原理 将单元内任一点的位移表示成节点位移的某种函数——位 将单元内任一点的位移表示成节点位移的某种函数 位 移函数, 利用虚功原理, 推导单元的刚度矩阵. 移函数 利用虚功原理 推导单元的刚度矩阵.
对方程加" 项 扩展为: 对方程加"0"项,扩展为:
N1 EA 1 11 N = 2 l 1 1 2
N1 1 0 0 0 EA 0 N = 1 1 l 0 0 0 0
6l f1 2l 2 θ1 6l f 2 4l 2 θ 2
0 0 0 0 0 0
有限元 第3讲补充_平面问题-整体刚度矩阵
12
整体刚度矩阵
通过以上组装过程可以得到组装整体刚度矩阵的一般规则： 1 ）结构中的等效节点力是相关单元结点力的叠加，整体 刚度矩阵的子矩阵是相关单元的单元刚度矩阵子矩阵的集成； 2）当整体刚度矩阵中的子矩阵K rs 中r=s时，该节点（节点r 或s）被哪几个单元所共有，则K rs 就是这几个单元的刚度矩阵 e 中的子矩阵 K rs 的相加。如 K 33 应该是单元①－④中对应子矩阵 (1) (2) (3) (4) 的集成，即 K33 K33 K33 K33 K33
0
0
0
0 1 0 2 (2) 0 3 K 0 4 0 5
式中： Fi (2) ——②号单元中第i（i=1,3,4）节点所受力；
K (2) ——②号单元的扩大刚度矩阵。
y
4 ④ ② ① 1 2 3③ 5
(1)
0 0
0 0
0 0 1 0 0 2 (1) 0 0 3 K 0 0 4 0 0 5
4 ④ ② ① 1 2 3③
5
x
o
K (1) ——①号单元的扩大刚度矩阵或称为单元贡献矩阵。
5
整体刚度矩阵
y
4 ④ ② ① 14 ④ ② ① 1 2 3③ 5
x
o
(1) (2) (1) (1) (2) (2) K11 K11 K12 K13 K13 K14 0 (1) (1) (3) (1) (3) (3) K 22 K 22 K 23 K 23 0 K 25 K 21 (1) (2) (1) (3) (1) (2) (3) (4) (2) (4) (3) (4) K 31 K 31 K 32 K 32 K 33 K 33 K 33 K 33 K 34 K 34 K 35 K 35 (2) (2) (4) (2) (4) (4) 0 K 43 K 43 K 44 K 44 K 45 K 41 (3) (3) (4) (4) (3) (4) 0 K K K K K K 52 53 53 54 55 55
整体刚度矩阵
通过以上组装过程可以得到组装整体刚度矩阵的一般规则： 1 ）结构中的等效节点力是相关单元结点力的叠加，整体 刚度矩阵的子矩阵是相关单元的单元刚度矩阵子矩阵的集成； 2）当整体刚度矩阵中的子矩阵K rs 中r=s时，该节点（节点r 或s）被哪几个单元所共有，则K rs 就是这几个单元的刚度矩阵 e 中的子矩阵 K rs 的相加。如 K 33 应该是单元①－④中对应子矩阵 (1) (2) (3) (4) 的集成，即 K33 K33 K33 K33 K33
0
0
0
0 1 0 2 (2) 0 3 K 0 4 0 5
式中： Fi (2) ——②号单元中第i（i=1,3,4）节点所受力；
K (2) ——②号单元的扩大刚度矩阵。
y
4 ④ ② ① 1 2 3③ 5
(1)
0 0
0 0
0 0 1 0 0 2 (1) 0 0 3 K 0 0 4 0 0 5
4 ④ ② ① 1 2 3③
5
x
o
K (1) ——①号单元的扩大刚度矩阵或称为单元贡献矩阵。
5
整体刚度矩阵
y
4 ④ ② ① 14 ④ ② ① 1 2 3③ 5
x
o
(1) (2) (1) (1) (2) (2) K11 K11 K12 K13 K13 K14 0 (1) (1) (3) (1) (3) (3) K 22 K 22 K 23 K 23 0 K 25 K 21 (1) (2) (1) (3) (1) (2) (3) (4) (2) (4) (3) (4) K 31 K 31 K 32 K 32 K 33 K 33 K 33 K 33 K 34 K 34 K 35 K 35 (2) (2) (4) (2) (4) (4) 0 K 43 K 43 K 44 K 44 K 45 K 41 (3) (3) (4) (4) (3) (4) 0 K K K K K K 52 53 53 54 55 55
有限元法与ANSYS技术-刚度矩阵
k
N
Re
e1
(r)
上式左边就是弹性体所有单元刚度矩阵的总和，
称为弹性体的整体刚度矩阵（或简称为总刚），记为
[K]。注意到（3-28）式，有
N
N
K k BT DBtdxdy (3-38)
e1
e1
若写成分块矩阵的形式，则
K11 K1i K1 j K1m K1n
Ki1
Kii
T tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d ）式及（3-16）式 代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ }e )T BT DBetdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程， 即
({ }e )T Re ({ }e )T BT DBe tdxdy
注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
图中有两种编码：一是节点总码：1、2、3、4；二是节 点局部码，是每个单元的三个节点按逆时针方向的顺序各自 编码为1，2，3。
图中两个单元的局部码与总码的对应关系为：
单元 1 ： 1，2，3
1，2，3
单元 2 ： 1，2，3
3，4，1
或：
单元 1 ： 1，2，3
1，2，3
单元 2 ： 1，2，3
1，3，4
e
ui
vi
u j
v j
um
T
vm
且假设单元内各点的虚位移为{f *}，并具有与真实位移 相同的位移模式。
故有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f N e
(c)
参照（3-13）式，单元内的虚应变{ *}为
B e
(d)
于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写
汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析
1.一维单元分析 ； 2.二维单元分析； 3.三维单元分析 ； 4.板壳单元 ； 5.其它各种单元介绍； 6.单元选用；
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。
1.1杆单元---最简单的两节点一维单元， 用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴 向分布载荷q为(x) 。单元2个节点的位移 向量为： e ui u j T
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：
{} [B]{ }e [[B1 ][B2 ][B20 ]]{ }e
由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可 以表示成：
[ ] [D][ ] [D][B]{ }e [S]{ }e
单元刚度矩阵为 ：
[k]e
[B]T [D][B]dV
[k1e1
[k
e 21
这其中设定单元位移模式，利用虚功 原理建立单元节点力与节点位移关系并组建 单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分 析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋 小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移 函数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位 移项；
这样空间梁单元就由3个节点组成i,，j,k 点必
须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节
点为单元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、
j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定
则可以确定另一坐标iz, 轴j, k(或y轴)。
三点
确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面
方位也就完全确定下来。所增加的一个用于
] ]
[k1e2 ]
[k
e 22
]
[k1e20
[k
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。
1.1杆单元---最简单的两节点一维单元， 用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴 向分布载荷q为(x) 。单元2个节点的位移 向量为： e ui u j T
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：
{} [B]{ }e [[B1 ][B2 ][B20 ]]{ }e
由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可 以表示成：
[ ] [D][ ] [D][B]{ }e [S]{ }e
单元刚度矩阵为 ：
[k]e
[B]T [D][B]dV
[k1e1
[k
e 21
这其中设定单元位移模式，利用虚功 原理建立单元节点力与节点位移关系并组建 单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分 析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋 小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移 函数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位 移项；
这样空间梁单元就由3个节点组成i,，j,k 点必
须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节
点为单元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、
j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定
则可以确定另一坐标iz, 轴j, k(或y轴)。
三点
确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面
方位也就完全确定下来。所增加的一个用于
] ]
[k1e2 ]
[k
e 22
]
[k1e20
[k
计算固体力学第三章_1
TSINGHUA UNIVERSITY
8. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
3 协调模型分析
1. 建立协调模型的一般方法
大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量 原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模 型”（Conforming model)。
每个节点有三个转动 分量和三个位移分量.
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单 元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析 的目的是找出杆端应力集中最高的位置.
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维， 板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
TSINGHUA UNIVERSITY
有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当 的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总 数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的 主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省 计算费用.
一点的位移列阵： 一点的应变列阵：
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵： 一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)
8. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.
TSINGHUA UNIVERSITY
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3 协调模型分析
1. 建立协调模型的一般方法
大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量 原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模 型”（Conforming model)。
每个节点有三个转动 分量和三个位移分量.
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如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单 元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析 的目的是找出杆端应力集中最高的位置.
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有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维， 板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
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有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当 的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总 数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的 主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省 计算费用.
一点的位移列阵： 一点的应变列阵：
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵： 一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)
单元类型及单元刚度矩阵课件
面积单元的刚度矩阵可以通过解析方 法或数值方法计算得到。
它具有四个节点，每个节点具有三个 自由度：x、y和z方向的位移。
体积单元
体积单元是一种几何 形状，通常用于模拟 结构中的三维实体或 区域。
体积单元的刚度矩阵 可以通过解析方法或 数值方法计算得到。
它具有八个节点，每 个节点具有三个自由 度：x、y、z方向的 位移。
移。
线性单元的刚度矩阵可以通过解 析方法或数值方法计算得到。
角点单元
角点单元是一种特殊类型的线 性单元，通常用于模拟结构中 的角点或连接两个线性单元的 节点。
它具有三个自由度：x、y和z方 向的位移。
角点单元的刚度矩阵可以通过 解析方法或数值方法计算得到。
面积单元
面积单元是一种几何形状，通常用于 模拟结构中的平面区域或曲面上的小 区域。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文， 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最终 呈现发布的良好效果单击此4*25}
通过稳定性分析，可以评估结构的承载安全性和预防 失稳的措施。
PART 04
单元类型选择与注意事项
选择依据
计算精度
根据模型精度要求选择合适的单 元类型，例如，对于复杂形状或 精细结构，应选择高阶单元以提
2023 WORK SUMMARY
单元类型及单元刚度 矩阵课件
REPORTING
CATALOGUE
• 单元类型介绍 • 单元刚度矩阵
PART 01
单元类型介绍
线性单元
线性单元是一种简单的几何形状， 通常用于模拟结构中的直线段或 平面区域。
它具有两个节点，每个节点具有 三个自由度：x、y和z方向的位
单元刚度矩阵的获得
单元刚度矩阵的获得
单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）是用来描述力学系
统中单元的刚度性能的矩阵。
获得单元刚度矩阵的一种常见方法是使用有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）。
以下是一般步骤：
1. 确定单元类型和几何形状：单元可以是一维（beam、bar）、二维（plate、shell）或三维（solid）的。
定好单元类型后，还
需要确定几何形状和坐标系。
2. 假设单元内部的位移场：假设单元内部的位移场，通常为多项式形式，例如线性位移场或二次位移场。
3. 应变-位移关系：根据材料的弹性模量和泊松比等物理参数，建立应变-位移关系，通常为线性关系。
4. 单元刚度矩阵推导：通过将整个单元分解为小单元，并以每个小单元的位移场和应变-位移关系为基础，将其变换到整个
单元的系统方程中。
然后，根据能量方法，使用变分原理和积分方法求解线性方程组，以获得单元刚度矩阵。
5. 单元刚度矩阵合并：如果有多个单元组成整个系统，则需要将每个单元的刚度矩阵合并成整个系统的刚度矩阵。
需要注意的是，单元刚度矩阵的获得依赖于特定的单元类型和分析方法，因此具体的推导过程可能会有所不同。
同时，也可以使用商业有限元软件或数值计算软件来自动生成单元刚度矩阵。
有限元分析法第3章 杆单元
提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第三章
杆单元
§ 3 –1
习题2：
一维等截面杆单元
已知：
求：杆两端的支反力
解
第三章 杆单元
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：
第三章
杆单元
§ 3 –2
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
u1 v1 u2
v2
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
单元2：2-3
135，l
按公式计算杆应力：
二维空间中的杆单元
得：
0 E 2 L 0 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 1 L 2 EA P 2A 1 P2
P 1 E 2 L P2 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 2 L 2 EA 0 2 A 0
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：
~ d i Tdi
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
有限元课后第三章习题答案
有限元课后第三章习题答案有限元课后第三章习题答案第一题：根据题目给出的信息，我们可以得出以下结论：1. 题目中提到了一个平面问题，即只考虑二维情况。
2. 材料的弹性模量为E = 210 GPa。
3. 材料的泊松比为ν = 0.3。
4. 材料的厚度为t = 10 mm。
5. 材料的长度为L = 100 mm。
6. 材料的宽度为W = 50 mm。
7. 材料的边界条件为固定边界。
根据以上信息，我们可以开始解题。
首先，我们需要确定有限元模型的几何形状和单元类型。
由于题目给出的是一个平面问题，我们可以选择使用二维平面应力单元来建模。
根据题目给出的材料尺寸，我们可以选择一个矩形区域作为有限元模型的几何形状。
接下来，我们需要确定有限元模型的单元划分。
由于题目没有给出具体的单元划分要求，我们可以根据经验选择适当的单元尺寸和划分密度。
在这里，我们可以将矩形区域划分为若干个等大小的四边形单元。
然后，我们需要确定有限元模型的边界条件。
根据题目给出的信息，材料的边界条件为固定边界。
这意味着模型的边界上的节点在计算过程中将保持固定位置，不发生位移。
因此，我们需要将边界上的节点固定。
接下来，我们可以开始进行有限元计算。
首先，我们需要确定有限元模型的节点和单元编号。
然后，我们可以根据材料的弹性模量和泊松比，以及节点和单元的位置信息，计算出每个节点和单元的刚度矩阵。
然后，我们可以根据边界条件，将固定边界上的节点的位移设置为0。
这样，我们就可以得到一个由位移未知数构成的线性方程组。
通过求解这个线性方程组，我们可以得到模型中每个节点的位移。
最后，我们可以根据节点的位移和单元的刚度矩阵，计算出每个单元的应力和应变。
根据题目给出的材料厚度，我们可以得到每个单元的应力和应变的平均值。
综上所述，根据题目给出的信息，我们可以使用有限元方法来求解这个平面问题。
通过建立有限元模型，确定边界条件，进行有限元计算，我们可以得到模型中每个节点的位移和每个单元的应力和应变。
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析
这样空间梁单元就由3个节点组成， 点必须 在一个平面内，但不能共线。i节点到j节点为单 元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、j和k构成 的平面上且与x轴垂直，应用右手定则可以确定 另一坐标z轴(或y轴)。 三点确定后，单元坐 标系即确定，梁单元的截面方位也就完全确定下 来。所增加的一个用于定向的参考点k，也是构 建空间刚架有限元模型的内容，汽车不结构能有限忽元分析略03单。元类型及单
目前使用的梁单元除一次梁单 元外，还有二次梁单元、曲梁单 元和锥梁单元等。二次梁单元是 由三个节点确定的抛物线，曲梁 单元是由两个节点决定的、具有 曲率半径的圆弧，而锥梁单元则 是采用两个节点处截面积不等的 线性梁。
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
上述在局部坐标系中得出的杆单元或梁 单元刚度矩阵，由于整体结构中各杆梁位 置不同、倾角不同，有限元模型要求一个 单元在整体坐标系中能够任意定位，这就 需要建立两种坐标系下的转换关系。对平 面桁架、空间桁架、平面刚架与空间刚架， 都需要建立这种坐标变换关系。
形函数的构成要分成八个角点的形函 数和各棱边中节点的形函数两种情况表述。 其表达式如下：
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式： 由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可以
表示成： 单元刚度矩阵为 ：
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
实体单元可以直接利用三维CAD所做好的 实体模型，所以非常容易理解。实体单元能够 适用于所有的结构，但其节点数或单元数可能 非常之多。虽然板梁结构都可以采用实体单元 建模，但对于符合板或梁形式的结构还是采用 梁单元或板壳单元为佳，其精度完全满足工程 结构设计要求。采用实体单元分析所花费时间 一般较采用梁单元与板单元为多，另外三维网 格调整是比较困难的，用板梁单元建立的模型， 截面内力容易判断，在初期设计阶段，更易于 评价计算结果。
目前使用的梁单元除一次梁单 元外，还有二次梁单元、曲梁单 元和锥梁单元等。二次梁单元是 由三个节点确定的抛物线，曲梁 单元是由两个节点决定的、具有 曲率半径的圆弧，而锥梁单元则 是采用两个节点处截面积不等的 线性梁。
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
上述在局部坐标系中得出的杆单元或梁 单元刚度矩阵，由于整体结构中各杆梁位 置不同、倾角不同，有限元模型要求一个 单元在整体坐标系中能够任意定位，这就 需要建立两种坐标系下的转换关系。对平 面桁架、空间桁架、平面刚架与空间刚架， 都需要建立这种坐标变换关系。
形函数的构成要分成八个角点的形函 数和各棱边中节点的形函数两种情况表述。 其表达式如下：
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式： 由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可以
表示成： 单元刚度矩阵为 ：
汽车结构有限元分析03单元类型及单 元分析
实体单元可以直接利用三维CAD所做好的 实体模型，所以非常容易理解。实体单元能够 适用于所有的结构，但其节点数或单元数可能 非常之多。虽然板梁结构都可以采用实体单元 建模，但对于符合板或梁形式的结构还是采用 梁单元或板壳单元为佳，其精度完全满足工程 结构设计要求。采用实体单元分析所花费时间 一般较采用梁单元与板单元为多，另外三维网 格调整是比较困难的，用板梁单元建立的模型， 截面内力容易判断，在初期设计阶段，更易于 评价计算结果。
-11-15有限元讲稿第三章rev2
对梁旳弯曲问题，当梁旳长度明显不小于其截面尺寸时，能够选择“一维梁单元 ”，但对短梁（长度与截面尺寸相当）进行分析时，应采用“三维实体单元”； 平板构造问题，能够采用“板壳单元”，也能够用“三维实体单元”。
单元旳物理类型决定了节点自由度（独立未知变量）旳数目。 如对铰接三维杆单元，节点独立变量为(UX,UY,UZ)； 对平面二维（或轴对称）实体单元，节点独立变量为(UX, UY)； 对三维实体单元，节点独立变量为(UX,UY,UZ)； 三维梁单元，独立变量为(UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ)； 三维四边形板壳单元，独立变量为(UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ)； 三维实体热单元，独立变量为(TEMP)等。
10
第三章 有限元法的一般理论
求解区域离散化
对于曲线几何形状旳物体进行离散时，应采用曲线边界旳单元。具有直线边 界旳单元称为线性（一次）单元；而具有曲线边界旳单元称为高次（如二次 、三次、p次等）单元。
11
第三章 有限元法的一般理论
求解区域离散化
单元类型：怎样选择单元类型？显然应根据所研究问题本身旳物理特征来选择。 如所研究旳问题属于外载作用下桁架构造旳受力问题，则单元类型是“杆单元或 线单元” 。
数必须等于单元旳自由度数； 2. 协调性要求插值函数在单元内是坐标x,y,z旳连续函数，在相邻单元边界上也是连
续函数； 3. 对称性是指多项式插值函数形式不依赖于局部坐标系旳变化，这种性质称为几何
等向性、几何不变性或空间等向性。
21
第三章 有限元法的一般理论
单元插值(形)函数(续)
DOF值二次分布
一维线性单元：考虑长度为l旳两个节点一维单元（线段），节点i和j表达，ui和uj 表达节点i, j旳变量值（位移）。在单元内部，假设u(x)为线性变化函数：
单元旳物理类型决定了节点自由度（独立未知变量）旳数目。 如对铰接三维杆单元，节点独立变量为(UX,UY,UZ)； 对平面二维（或轴对称）实体单元，节点独立变量为(UX, UY)； 对三维实体单元，节点独立变量为(UX,UY,UZ)； 三维梁单元，独立变量为(UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ)； 三维四边形板壳单元，独立变量为(UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ)； 三维实体热单元，独立变量为(TEMP)等。
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第三章 有限元法的一般理论
求解区域离散化
对于曲线几何形状旳物体进行离散时，应采用曲线边界旳单元。具有直线边 界旳单元称为线性（一次）单元；而具有曲线边界旳单元称为高次（如二次 、三次、p次等）单元。
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第三章 有限元法的一般理论
求解区域离散化
单元类型：怎样选择单元类型？显然应根据所研究问题本身旳物理特征来选择。 如所研究旳问题属于外载作用下桁架构造旳受力问题，则单元类型是“杆单元或 线单元” 。
数必须等于单元旳自由度数； 2. 协调性要求插值函数在单元内是坐标x,y,z旳连续函数，在相邻单元边界上也是连
续函数； 3. 对称性是指多项式插值函数形式不依赖于局部坐标系旳变化，这种性质称为几何
等向性、几何不变性或空间等向性。
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第三章 有限元法的一般理论
单元插值(形)函数(续)
DOF值二次分布
一维线性单元：考虑长度为l旳两个节点一维单元（线段），节点i和j表达，ui和uj 表达节点i, j旳变量值（位移）。在单元内部，假设u(x)为线性变化函数：
有限元中单元刚度矩阵和残差矩阵关系
单元刚度矩阵在有限元方法中扮演着非常重要的角色，它是建立整个结构系统的刚度矩阵的基本组成部分。通过组装所有单元的刚度矩阵，可以得到整个结构的总刚度矩阵，从而构建结构的有限元方程组。
2.残差矩阵（Residual Matrix）：在有限元分析中，残差矩阵是由已知载荷和位移向量计算得到的。在求解有限元方程组时，我们需要通过计算结构的位移向量来满足平衡方程。残差矩阵表示在应用已知载荷以用来评估有限元分析的准确性和收敛性。当残差矩阵趋近于零时，意味着结构达到平衡，有限元分析的结果较为准确。
关系：单元刚度矩阵和残差矩阵之间的关系在有限元方法中是通过组装整个结构的刚度矩阵和载荷向量来建立的。在有限元分析中，我们首先计算每个单元的刚度矩阵，然后将这些单元刚度矩阵根据它们的连接方式进行组装，形成整个结构的总刚度矩阵。
在有限元分析中，单元刚度矩阵和残差矩阵是两个重要的概念，它们在求解有限元方程组时起着关键作用。
1.单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：在有限元分析中，将结构或物体离散成若干个单元，每个单元内部有一定的刚度，这些刚度的集合构成了单元刚度矩阵。单元刚度矩阵描述了单个有限元单元的刚度特性，通常通过解析计算或数值积分得到。
接下来，我们通过施加边界条件和已知载荷，将总刚度矩阵转化为有限元方程组。解这个方程组可以得到结构的未知位移向量。然后，我们可以计算残差矩阵，看它是否趋近于零。如果残差矩阵趋近于零，说明结构已经达到平衡，有限元分析的结果较为准确。
总之，单元刚度矩阵和残差矩阵是有限元分析中两个重要的概念。单元刚度矩阵描述了单个有限元单元的刚度特性，是构建结构总刚度矩阵的基本组成部分；而残差矩阵用于评估有限元分析的准确性和收敛性，它与结构的未知位移向量直接相关。通过计算单元刚度矩阵、组装总刚度矩阵、求解方程组以及计算残差矩阵，可以得到结构的有限元分析结果。
2.残差矩阵（Residual Matrix）：在有限元分析中，残差矩阵是由已知载荷和位移向量计算得到的。在求解有限元方程组时，我们需要通过计算结构的位移向量来满足平衡方程。残差矩阵表示在应用已知载荷以用来评估有限元分析的准确性和收敛性。当残差矩阵趋近于零时，意味着结构达到平衡，有限元分析的结果较为准确。
关系：单元刚度矩阵和残差矩阵之间的关系在有限元方法中是通过组装整个结构的刚度矩阵和载荷向量来建立的。在有限元分析中，我们首先计算每个单元的刚度矩阵，然后将这些单元刚度矩阵根据它们的连接方式进行组装，形成整个结构的总刚度矩阵。
在有限元分析中，单元刚度矩阵和残差矩阵是两个重要的概念，它们在求解有限元方程组时起着关键作用。
1.单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：在有限元分析中，将结构或物体离散成若干个单元，每个单元内部有一定的刚度，这些刚度的集合构成了单元刚度矩阵。单元刚度矩阵描述了单个有限元单元的刚度特性，通常通过解析计算或数值积分得到。
接下来，我们通过施加边界条件和已知载荷，将总刚度矩阵转化为有限元方程组。解这个方程组可以得到结构的未知位移向量。然后，我们可以计算残差矩阵，看它是否趋近于零。如果残差矩阵趋近于零，说明结构已经达到平衡，有限元分析的结果较为准确。
总之，单元刚度矩阵和残差矩阵是有限元分析中两个重要的概念。单元刚度矩阵描述了单个有限元单元的刚度特性，是构建结构总刚度矩阵的基本组成部分；而残差矩阵用于评估有限元分析的准确性和收敛性，它与结构的未知位移向量直接相关。通过计算单元刚度矩阵、组装总刚度矩阵、求解方程组以及计算残差矩阵，可以得到结构的有限元分析结果。
单元刚度矩阵推导步骤
单元刚度矩阵推导步骤单元刚度矩阵是在有限元分析中用于描述单元位移与力的关系的矩阵。
它是由单元的物理和几何性质计算得出的。
下面将详细介绍单元刚度矩阵的推导步骤。
1. 选择单元类型和材料模型首先，需要选择单元类型和材料模型。
不同的单元类型具有不同的形状和自由度，而材料模型则描述了材料的物理性质。
这些因素将影响最终的单元刚度矩阵。
2. 定义单元的几何形状和尺寸接下来，需要定义单元的几何形状和尺寸。
这通常涉及选择节点（或顶点）的位置，并确定单元的尺寸和形状。
这些信息将用于计算单元刚度矩阵。
3. 建立局部坐标系为了计算单元刚度矩阵，需要建立一个局部坐标系。
这个坐标系将用于描述单元内力和位移的关系。
通常，局部坐标系的原点设在单元的中心，x轴沿单元的长度方向，y轴沿宽度方向（对于矩形单元），z轴则垂直于xy平面。
4. 确定单元的物理性质单元刚度矩阵还取决于单元的物理性质，如弹性模量、泊松比、密度等。
这些性质将用于计算单元刚度矩阵中的元素。
5. 建立平衡方程根据弹性力学的平衡方程，可以建立单元的平衡方程。
对于一个三维单元，平衡方程可以表示为：[F] = [B] * [u]其中，[F]是作用在单元上的力向量，[u]是位移向量，[B]是应变-位移矩阵（或称为应变矩阵）。
该矩阵包含了由于位移引起的应变信息。
6. 计算应变-位移矩阵根据几何形状和尺寸，可以计算应变-位移矩阵[B]。
该矩阵描述了位移如何引起应变的变化。
对于三维单元，应变-位移矩阵通常具有以下形式：[B] = [B1 B2 B3; B4 B5 B6; B7 B8 B9]其中，B1-9是应变-位移矩阵的元素。
这些元素可以通过几何关系和物理性质计算得出。
7. 建立单元刚度矩阵使用弹性力学的公式，可以将平衡方程重写为：[K] * [u] = [F]其中，[K]是单元刚度矩阵，它描述了力和位移之间的关系。
通过将应变-位移矩阵[B]和弹性模量等物理性质代入公式中，可以计算出单元刚度矩阵[K]。
单元刚度矩阵
y Ni =1 i
j
m x
2021/3/10
29
性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的 值等于0。对于本单元，有:
u ( x , y ) N i u i N j u j N m u m( x , y ) N ii N jj N m m
{}[x y xy]T（2-4）
2021/3/10
{}ux
y
uyxT
（2-6）
8
7、物理方程矩阵式
对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形式可 表示为：
xy
xy
E
12
1
0
对 1 0
1称 2xyxy
（2-7）
式中 E、——弹性模量、泊松比。
上式可简写为
2021/3/10
{}[D]{}
（29-8）
轴向受力状态下轴向杆端力同轴向杆端位移之间的关系如图1abc2弯曲受力状态下杆端剪力及杆端弯矩同垂直于杆轴方向的相对线位移及杆端转角之间的关系两端固定的单跨超静定梁ab在无外荷载的作用时其位移法的转角位移方程为图2d如果把该梁视矩阵位移法的一般单元使其a两端分别同一般单元的始端和末端j对应
有限元思路框图
2021/3/10
u
x xa 2,
v y ya 6,
xya 3a 5
15
3、选取位移函数应考虑的问题
（1）单元有几个位移函数
单元中任意一点有几个位移分量就有几个位移函数。 本单元中有u和v，与此相应，有2个位移函数；
（2）位移函数是坐标的函数
本单元的坐标系为：X、Y；
（3）位移函数中待定常数个数
y
vm um
m
vj
vi
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Fξ j(2) x
l
0 1
x xi x xj
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是 描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。 对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点 间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算 （二点一次拉氏插值），即
一、形状函数类型及其特征
在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设 适应满足的4项原则。
●包含单元的刚体位移 ●包含单元的常应变状态 ●保证不偏惠各坐标轴 ●保证单元内位移连续
体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性
一、形状函数类型及其特征
要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，
将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元 形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。
●一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部
坐标 ，记 x l，并取i为x坐标的原点，则有
F i(1)
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 元素的计算
●二次杆单元
k22 E l2 A 0 l(421 )2d xE 3 l A 7 k33 E l2 A 0 l(4142)2d xE 3 l A 16
k 12 E l2 0 lA (42 1 )4 (2 1 )d x E 3 l A 1
一、形状函数类型及其特征
ngrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。
2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点 位移和节点位移导数。
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
所以单元内点位移为 u(x) N1
N2
N3uu12
单元应变
u3
1lddN 1
dN 2
d
ddN 1 u u u1 3 2 Be
几何矩阵为
B 1 l (41 1 ) (42 1 ) (41 42 )
二、一维单元及其单元刚度阵
11 l
1 uu1 2 Be
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
所以，几何矩阵为 B 1l 1l
单元应力为 E
DE 弹性矩阵
单元刚度矩阵通式为
k e A l B T D B dx
Al B T D B
keBTDBdV
V
代入，得
EA l
1
1
1
1
这是一次杆单元的单刚阵，它对 称、对角线元素大于零且奇异！
N 1 (l x )l;N 2 xl
u0 x llu1x l 0 0u2 uN 1 N 2 u u1 2
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
代入 ，有 令 11;2
所以单元内点位移为
单元应变
N 11;N 2
得 N 11;N 22
u(x) 1 2uu12
d d u xd d d d u x1 ld d u1 l d d 1 Nd d 2 N u u 1 2
m
2. Ni Xi 1
i1
3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续
工程4实.保际证中所有定一义种位结移构函，数特反征映为常：应存变在状一态个长维，但 相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可 以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类 结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同， 一维单元又可分为杆单元和梁单元。
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时， 其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：
ke
GJ l
1 1
1 1
Mn
Mn
ξ
i(1)
j(2) x
l
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j,
三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物 线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
一、形状函数类型及其特征
ngrange型形状函数
2.Hermite型形状函数
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
2.三次梁单元
三、二维单元及其单元刚度阵
1.三角形单元
2.矩形单元
四、三维单元及其单元刚度阵
1.六面体单元
2.四面体单元
3.曲线等参元
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单 元内用较简单的函数描述单元位移，即
u~(x) m Ni(x)qi i1
这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍 中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内 点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推 广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节 点位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元 广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange 和Hermite型。
1.杆单元
●二次杆单元
单元应力为 E DE
单 1 7 8
元素的计算
8 8 16
k11 E l2 A 0 l(41 1 )2d xE 3 l A 7
可以直接应用
x2
x1
1 mn 2dx (x2x1)(m (m !)nn ( !1 ))!
二维单元的帕斯卡三角形
1
x
y
x2
xy
y2
x3
x2y
x y2
y3
一、形状函数类型及其特征
1
x
y
三
z
维 的
x2
xy
y2
帕
zx
yz
斯
z2
卡
x3
x2y
xy 2
y3
三
zx 2
xyz
y2z
角
z2x
yz 2
形
z3
一、形状函数类型及其特征
形状函数应该满足以下条件
1.
N iX l0 1
li li
N iX i1
N iX j0
同样令
0
1
x xi x xj
11;2
F
Fξ
i(1)
(3)
j(2) x
l
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
u(x)(x( 2 ll))x ((l)l)u1(x0 l()lx()2 l)u2(x(l0 )) (x(l)l)u3
2
2
22
令 N1 (2 1)( 1) 212 1 N2 22 222 2 N3 4(1) 412