2007广东工业大学 离散数学A

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6、下面等式中唯一的恒等式是 [ ] A. (A ∪B ∪C)-(A ∪B)=C B. A ⊕A=A C. A-(B×C)=(A-B)×(A-C) D. A×(B-C)=(A×B)-(A×C)

7、设R 为实数集，定义* 运算如下：a*b=|a+b+ab|，则 * 运算满足 [ ]

A. 结合律

B. 交换律

C. 有幺元

D. 幂等律 8、对于集合A ＝｛0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10｝，不封闭的二元运算是[ ] A x*y=max(x,y) B x*y=x －y C x*y=(x+y)mod 9 D x*y=min(x,y)

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共24分)

9、含n 个命题变项的重言式的主合取范式为_________________________。 10、设个体域为整数集合Z ，命题Vx ヨy(x+y=3)的真值为___________。 11、以1，1，1，2，2，3为度数序列的非同构的无向树共有___________棵。 12、已知n 阶无向简单图G 有m 条边，则G 的补图G 有__________条边。

13、设R={<{1}, 1>，<1, {1}>，<2, {3}>，<{3}, {2}>}，则domR ⊕ranR=_____________________。

14. 设A={1, 2, 3, 4}，则A 上有____________个不同的双射函数。 15. 设σ=(1345)(2678)是8元置换，则σ-1=___________。

16、集合A ＝｛1、2、3、4｝上的恒等关系是_________________________。

三、 简答及证明(本大题共6小题，每小题10分，共60分)

17、(10分)设G 为n(n ≥3)阶无向简单图，证明G 或G 的补图必连通。 18、(10分)设A ，B ，C 为集合，证明：

A ∩(

B －C)=(A －C)∩(B －C)

19、(10分)右图是偏序图的哈斯图

1)X 和≤的集合表达式

2)指出偏序集的极大元、极小元、最大元、最小元 20、(10分)设Z 为整数集，在Z 上定义二元运算*如下： ∀x ，y ∈Z ，x*y ＝x ＋y －2 请证明（Z ，*） 是群。

21、(10分)在命题逻辑中构造下面推理的证明。 前提：p →s ，q →r ，┐r ，p ∨q

结论：r

22、(10分) 用狄克斯特洛算法求下图中从a 到f 的最短

通路。（写出求解过程）

第19题图 1

6

3

2

3

3 5

1

6

a

d

c

e

b

f

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课程名称:

离散数学A 卷标准答案

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)

二、填空题(本大题共8小题，每空3分，共24分)

1.无（或没有，或空）

2. 1（或T ，或真）

3. 2

4. [n(n-1)/2]-m

5. {2,{2}}

6. 4!（或24）

7. 24（或16） 8.{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

三、(10分)

证明：如果图G 是连通图，问题得证。 2分

如果G 不是连通图，不妨设图G 由K 个连通分支G 1,G 2,…,G k 构成。现证G 的补图是 连通图。 2分

在补图中任取两点u 和v ，由于补图和原图有相同的顶点，所以u 和v 也是图G 的点。 下面分两种情况讨论。

1. u 和v 分别是不同的连通分支G i 和G j 的点（见下图1）。易知，连接u 和v 的边在补图中， 即在补图中，u 和v 之间有通路相连。 3分

2. u 和v 是同一连通分支G i 中的点（见上图2）。则可在另一连通分支G j 中任取一点x ， 易见边ux 和边vx 是补图中的边，由此可知点u 和v 之间在补图中

有通路uxv 相连。 3分 综上所述，补图是连通图。证毕。 四、(10分)

证明：①￢s P 1分

②p →s P 1分 ③￢p T ①② 1分 ④p q P 1分 ⑤q T ③④ 1分 ⑥q →r P 1分 ⑦r T ⑤⑥ 1分

T 规则应用正确：2分； P 规则应用正确：1分； 五、(10分) 解：

1.X ＝{a,b,c,d,e,f} 2分

≤={(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,e)，(c，e), (c,f)，(d,f)}∪I

x 4分，其中错一个、多一个、漏一个元素均扣0.5分，直至4分扣完。

2.极大元e；1分

极小元a；1分

最大元不存在；1分

最小元a。1分

六、(10分)

证明：

①由已知，运算显然封闭；2分

②对∀x，y，z∈Z有：

(x*y)*z=(x+y-2)*z=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 1分

x*(y*z)=x*(y+z-2)=x+(y+z-2)-2=x+y+z -4 1分

所以，*满足结合律；

③对∀x∈Z有：x*2=x+2-2=0，1分

且2*x=2+x-2=0 1分

所以，存在单位元：2

④对∀x∈Z有：x*(4-x)=x+4-x-2=2，1分

且(4-x)*x=4-x+x-2=2 1分

所以，对∀x∈Z有x的逆元是：4-x 1分

由①②③④可知，（Z，*）是群。1分

七、(10分)

故a到f

其权为10 1分

八、(10分)

前提：∀x(F(x)→G(x))，∀x(G(x) ∧H(x)→I(x))，F(a)，H(a) 2分

结论：I(a) 1分

证明：①∀x(F(x)→G(x)) P

②F(a)→G(a) US①

③F(a) P

④G(a) T②③

⑤H(a) P

⑥G(a)∧H(a) T④⑤

⑦∀x(G(x) ∧H(x)→I(x)) P

⑧G(a) ∧H(a)→I(a) US⑦

⑨I(a) T⑥⑧

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