2017年中考数学压轴题专题《函数》

【典例探究】已知抛物线2
2y x x =+- （1） 求抛物线与x 轴的交点坐标；
（2） 将抛物线2
2y x x =+-沿y 轴向上平移，平移后与直线y=x+2的一个交点为点P ，
与y 轴相交于点Q ，当PQ ∥x 轴时，求抛物线平移了几个单位；
（3） 2
2y x x =+-将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部
分保持不变,翻折后的图象与原图象x 轴上方的部分组成一个“W ”形状的新图象若直线1
2y x b =
+与该新图象恰好有三个公共点，求b 的值.
分析：（1）令y=0，得到关于x 的方程，解方程即可求得；
（2）设平移后的抛物线为2
2y x x n =+-+，求得与y 轴的交点坐标，根据题意，把交点纵坐标代入2y x =+，求得点P 的坐标，把P 点坐标代入抛物线的解析式可求得n 的值；
（3）由图象可得当直线12y x b =
+与抛物线219
()(21)24
y x x =-++-≤≤相切时，直线12y x b =
+与该新函数恰好有三个公共点，即2191
()242
x x b -++=+有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时b 的值。

解：（1）令y=0，2
20x x +-=，解得122,1,x x =-=∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，
0），（1，0）；
（2）设抛物线向上平移了n 个单位，则平移后的抛物线为2
2y x x n =+-+，如图1， ∵抛物线2
2y x x n =+-+与y 轴的交点为（0，n-2），∴(4,2),P n n --
∴抛物线2
2y x x n =+-+的对称轴为22
n
x =
-，由抛物线22y x x n =+-+的对称轴为1,2x =-
∴1
2,22
n -=-解得n=3， ∴当PQ ∥x 轴时抛物线平移了3个单位；
（3）∵2
2192()24y x x x =+-=+
-，∴抛物线的定点坐标为19
(,)24
-- 则翻折部分的抛物线解析式为2
1
9()(21)2
4y x x =-++
-≤≤，如图2，把直线12
y x =向上平移，当平移后的直线12y x b =
+过点A 时，直线1
2
y x b =+与该新图象恰好有三个公共点，所以
1
(2)0,2
b ⨯-+=解得b=1； 当直线12y x b =
+与抛物线219()(21)24y x x =-++-≤≤相切时，直线12
y x b =+与该新函数恰好有三个公共点，即2191
()242
x x b -+
+=+有相等的实数解，整理得223320,()4(2)0,22x x b b +
+-=∆=--=解得41
,16
b = 所以b 的值为1或
41
.16
【方法突破】
将抛物线沿x轴翻折后与直线探究交点问题：
1.先考虑翻折后的函数解析式，只需要让原函数解析式中的x用-x替换即可；
2.考虑相切，即翻折后的抛物线的解析式与直线的解析式组合成的方程组只有一组解，判
断切点是否在要求范围内，
3.再分析出抛物线与x轴的两个交点，结合草图，把合适的交点坐标代入直线解析式可得
到参数的临界值
【学以致用】
1.（2015山东菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k−12=0有两个不相等的实数根,k为正整数.
(1)求k的值;
(2)当此方程有一根为零时,直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+k−12的图象交于A、B 两点,若M是线段AB上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,交二次函数的图象于点N,求线段MN 的最大值及此时点M的坐标;
(3)将(2)中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象,若直线y=12x+b与该新图象恰好有三个公共点,求b的值.
2. （2016河北模拟）已知关于x
的二次函数2
22
m
y x x =--与x 轴有两个交点，m 为正整数，
（1） 当2
202
m
x x ---
=时，求m 的值； （2） 如图，当该二次函数的图象经过原点时，与直线y=-x-2的图象交于A,B 两点，求
A,B 两点的坐标；
（3） 将（2）中的二次函数图象x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分
保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴下方的部分组成一个“M ”形状的新图象。

现有直线y=a(a ≠0)与该图象恰好有两个公共点，直接写出a 的取值范围.
解：（1）由2
202m x x ---
=有两个不想等的实数根，得2
(2)4(1)()0,2
m ∆=--⨯-⨯->解得m<2.由m 是正整数，得m=1；
（2）联立抛物线与直线y=-x-2，得2
222m y x x y x ⎧=---⎪
⎨⎪=--⎩
，解得12121,1,3,3,x x y y ==⎧⎧⎨⎨
=-=-⎩⎩则
--
A B
(2,0),(1,3);
(3)如图，
由翻折的性质，得新函数翻折部分的顶点纵坐标为-1，当a<-1,直线y=a(a≠0)与该新图象恰好有两个公共点，
直线y=a(a≠0)与该新图象恰好有两个公共点，a的取值范围是a<-1.
【典例探究】
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,直线y=kx+n(k≠0)经过B、C两点.已知A(1,0),C(0,3),且BC=5.
(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式);
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析：(1)由C的坐标求出OC的长，在Rt△BOC中，利用勾股定理求出OB的长，确定B坐标,再利用待定系数法确定直线BC的解析式，抛物线的解析式
（2）分别表示出PB,PC,BC之间的距离，借助勾股定理分情况进行验证求解
解：(1)∵C(0,3),即OC=3,BC=5,∴在Rt△BOC中,根据勾股定理得:
4OB ==,即B(4,0),把B 与C 坐标代入y=kx+n 中,得: 40
3k n n +==⎧⎨
⎩
, 解得: 34
3
k n =-
=⎧
⎪⎨⎪⎩,∴直线BC 解析式为334y x =-+;由A(1,0),B(4,0),设抛物线解析式 为y=a(x －1)(x －4),把C(0,3)代入得:a=34,则抛物线解析式为2315
344
y x x =
-+; (2)在抛物线的对称轴上存在点P,使得以B,C,P 三点为顶点的三角形是直角三角形,理由如下: ∵2315344y x x =
-+,∴522b x a =-=,∴抛物线的对称轴为直线5
2
x =,设点5
(,)2
P m , 则
222259
(4)(0);
24PB m m =-+-=+2222561
(0)(3)6;
24
PC m m m =-+-=-+222(04)(30)25.BC =-+-=
①以PB 为斜边，则2
261962544m m m -+
+=+，得193
m =∴点1519
(,)23P ; ②以PC 为斜边，则2296125644m m m +
+=-+，得2m =-∴点25
(,2)2
P -; ③以BC 为斜边，则22
96162544m m m ++-+=
，得12
m m ==
∴点3455((22P P ∴
345353(,(,2222P P +-∴综上,使得△BCP 为直角三角形的点P 的坐标为
21519(,),5
,22
(),23P P
-345353(,
(,2222P P +-.
【方法突破】：
抛物线的对称轴上是否存在点与已知两点构成直角三角形：
由于抛物线解析式已经知道，则动点的横坐标已知，只需要求纵坐标即可，首先利用两点间的距离公式分别表示出来这三个点中两两之间的距离的平方，如涉及的P,A,B,则分别表示
222()();A P A P PA x x y y =-+- 222()();
B P B P PB x x y y =-+-
222()()A B A B AB x x y y =-+-
根据锁定的斜边分类讨论，再利用勾股定理建立方程求解.
【学以致用】
1.如图,已知抛物线y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的对称轴为直线x=－1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x 轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n 经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=－1上找一点M,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标;
(3)设点P 为抛物线的对称轴x=－1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标
.
解:(1)依题意得:1203
b
a a
b
c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪
⎩
解之得:⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-=321c b a
∴抛物线解析式为322
+--=x x y ∵对称轴为x=－1,且抛物线经过A(1,0) ∴把B(－3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n
得⎩⎨
⎧==+-3
3n n m
解之得:⎩⎨
⎧==3
1
n m
∴直线y=mx+n 的解析式为y=x+3
(2)设直线BC 与对称轴x=－1的交点为M,则此时MA+MC 的值最小.把x=－1代入直线y=x+3得,y=2
∴M(－1,2).即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为(－1,2). (注:本题只求M 坐标没说要证明为何此时MA+MC 的值最小,所以答案没证明MA+MC 的值最小的原因)
(3)设P(－1,t),又B(－3,0),C(0,3)
∴BC 2
=18,PB 2
=(－1+3)2
+t 2
=4+t 2
,PC 2
=(－1)2
+(t －3)2
=t 2
－6t+10
①若点B 为直角顶点,则BC 2
+PB 2
=PC 2
即:18+4+t 2
=t 2
－6t+10解之得:t=－2 ②若点C 为直角顶点,则BC 2
+PC 2
=PB 2
即:18+t 2
－6t+10=4+t 2
解之得:t=4 ③若点P 为直角顶点,则PB 2
+PC 2
=BC 2
即:4+t 2
+t 2
－6t+10=18 解之得:t 1=
2173+,t 2=2
17
3- 综上所述P 的坐标为(－1,－2)或(－1,4)或(－1,2173+)或(－1,2
17
3-)
2.如图,直线y=－3x+3与x 轴,y 轴分别交于点A 、B,抛物线y=a(x －2)2
+k 经过A 、B,并与x 轴交于另一点C,其顶点为P. (1)求a,k 的值;
(2)在图中求一点Q,使得以点Q,A,B,C 为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出相应的点Q 的坐标;
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点M,使△ABM 的周长最小,若存在,求△ABM 的周长;若不存在,请说明理由;
(4)抛物线的对称轴上是否存在一点N,使△ABN 是以AB 为斜边的直角三角形,若存在,求出N 点的坐标;若不存在,请说明理由.
解：（1）在y=﹣3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，可求得y=3，
∴A（1，0），B（0，3），
分别代入y=a（x﹣2）2+k，可得，解得，
即a为1，k为﹣1；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣1，
令y=0，可求得x=1或x=3，
∴C（3，0），
∴AC=3﹣1=2，AB=，
过B作平行x轴的直线，在B点两侧分别截取线段BQ1=BQ2=AC=2，如图1，
∵B（0，3），
∴Q1（﹣2，3），Q2（2，3）；
过C作AB的平行线，在C点分别两侧截取CQ3=CQ4=AB=，如图2，
∵B（0，3），
∴Q3、Q4到x轴的距离都等于B点到x轴的距离也为3，且到直线x=3的距离为1，∴Q3（2，3）、Q4（4，﹣3）；
综上可知满足条件的Q点的坐标为（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）；
（3）由条件可知对称轴方程为x=2，连接BC交对称轴于点M，连接MA，如图3，
∵A、C两点关于对称轴对称，
∴AM=MC，
∴BM+AM最小，
∴△ABM周长最小，
∵B（0，3），C（3，0），
∴可设直线BC解析式为y=mx+3，
把C点坐标代入可求得m=﹣1，
∴直线BC解析式为y=﹣x+3，
当x=2时，可得y=1，
∴M（2，1）；
∴存在满足条件的M点，
此时BC=3，且AB=，
∴△ABM的周长的最小值为3+；
（4）由条件可设N点坐标为（2，n），
则NB2=22+（n﹣3）2=n2﹣6n+13，NA2=（2﹣1）2+n2=1+n2，且AB2=10，
当△ABN为以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得NB2+NA2=AB2，
∴n2﹣6n+13+1+n2=10，解得n=1或n=2，
即N点坐标为（2，1）或（2，2）.。