2017年中考数学压轴题专题《函数》

【典例探究】已知抛物线2

2y x x =+- （1） 求抛物线与x 轴的交点坐标；

（2） 将抛物线2

2y x x =+-沿y 轴向上平移，平移后与直线y=x+2的一个交点为点P ，

与y 轴相交于点Q ，当PQ ∥x 轴时，求抛物线平移了几个单位；

（3） 2

2y x x =+-将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部

分保持不变,翻折后的图象与原图象x 轴上方的部分组成一个“W ”形状的新图象若直线1

2y x b =

+与该新图象恰好有三个公共点，求b 的值.

分析：（1）令y=0，得到关于x 的方程，解方程即可求得；

（2）设平移后的抛物线为2

2y x x n =+-+，求得与y 轴的交点坐标，根据题意，把交点纵坐标代入2y x =+，求得点P 的坐标，把P 点坐标代入抛物线的解析式可求得n 的值；

（3）由图象可得当直线12y x b =

+与抛物线219

()(21)24

y x x =-++-≤≤相切时，直线12y x b =

+与该新函数恰好有三个公共点，即2191

()242

x x b -++=+有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时b 的值。

解：（1）令y=0，2

20x x +-=，解得122,1,x x =-=∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，

0），（1，0）；

（2）设抛物线向上平移了n 个单位，则平移后的抛物线为2

2y x x n =+-+，如图1， ∵抛物线2

2y x x n =+-+与y 轴的交点为（0，n-2），∴(4,2),P n n --

∴抛物线2

2y x x n =+-+的对称轴为22

n

x =

-，由抛物线22y x x n =+-+的对称轴为1,2x =-

∴1

2,22

n -=-解得n=3， ∴当PQ ∥x 轴时抛物线平移了3个单位；

（3）∵2

2192()24y x x x =+-=+

-，∴抛物线的定点坐标为19

(,)24

-- 则翻折部分的抛物线解析式为2

1

9()(21)2

4y x x =-++

-≤≤，如图2，把直线12

y x =向上平移，当平移后的直线12y x b =

+过点A 时，直线1

2

y x b =+与该新图象恰好有三个公共点，所以

1

(2)0,2

b ⨯-+=解得b=1； 当直线12y x b =

+与抛物线219()(21)24y x x =-++-≤≤相切时，直线12

y x b =+与该新函数恰好有三个公共点，即2191

()242

x x b -+

+=+有相等的实数解，整理得223320,()4(2)0,22x x b b +

+-=∆=--=解得41

,16

b = 所以b 的值为1或

41

.16

【方法突破】

将抛物线沿x轴翻折后与直线探究交点问题：

1.先考虑翻折后的函数解析式，只需要让原函数解析式中的x用-x替换即可；

2.考虑相切，即翻折后的抛物线的解析式与直线的解析式组合成的方程组只有一组解，判

断切点是否在要求范围内，

3.再分析出抛物线与x轴的两个交点，结合草图，把合适的交点坐标代入直线解析式可得

到参数的临界值

【学以致用】

1.（2015山东菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k−12=0有两个不相等的实数根,k为正整数.

(1)求k的值;

(2)当此方程有一根为零时,直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+k−12的图象交于A、B 两点,若M是线段AB上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,交二次函数的图象于点N,求线段MN 的最大值及此时点M的坐标;

(3)将(2)中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象,若直线y=12x+b与该新图象恰好有三个公共点,求b的值.

2. （2016河北模拟）已知关于x

的二次函数2

22

m

y x x =--与x 轴有两个交点，m 为正整数，

（1） 当2

202

m

x x ---

=时，求m 的值； （2） 如图，当该二次函数的图象经过原点时，与直线y=-x-2的图象交于A,B 两点，求

A,B 两点的坐标；

（3） 将（2）中的二次函数图象x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分

保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴下方的部分组成一个“M ”形状的新图象。现有直线y=a(a ≠0)与该图象恰好有两个公共点，直接写出a 的取值范围.

解：（1）由2

202m x x ---

=有两个不想等的实数根，得2

(2)4(1)()0,2

m ∆=--⨯-⨯->解得m<2.由m 是正整数，得m=1；

（2）联立抛物线与直线y=-x-2，得2

222m y x x y x ⎧=---⎪

⎨⎪=--⎩

，解得12121,1,3,3,x x y y ==⎧⎧⎨⎨

=-=-⎩⎩则