离散时间信号—序列
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列为周期序列；
如果：2/0是无理数，则正弦序列是非周期序列 。
0为序列正弦包络的振荡频率，也称为正弦序列的频率。
例：
x1
(t
)
sin(8 3
t)
x2
(t
)
sin(
2 3
t
)
x1[n]
sin(8 3
n)
x2
[n]
sin(
2 3
n)
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2.1.1 离散时间信号的表示
散时间信号，简称为离散信号或序列（sequence）。 用符号表示为： f (tn), x (tn) ； 若 tn = nT（n = 0, 1, 2, …），则表示为f (nT )或x(nT) 或进一步简化为：f [n] ，x[n]
注：n只能取整数，表示各函数值在序列中出现的先后序号。 称 f [n]（或x[n]）为信号在第n个样点的“样本”或“样值” （sample）。
[n
m]
1 0
nm 其它
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x1[n]
2 3
8 9
8 9
64 81
1 01 2 3 4 n
3 2
[n] 1
1 0 1 2 3 4
n
[n m]
1
1 0 1 2 3 m1 m n
3
2.1.1 离散时间信号的表示
2．单位阶跃序列
u[n]
1
0
n≥ 0 n0
n
u[n] [n m] [k]
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2.1.1 离散时间信号的表示
例：
x1[n]
n
2 3
n
{, 3 , 0, 2 , 8 , 8 , 64 } 2 3 9 9 81
当 n = 0时，x1[n]|n=0 = 0； 或：x1[0] = 0
1．单位样值信号
Fra Baidu bibliotek
[n]
1 0
n0 n0
或：
4
r /2 r
周期N4 = 4
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2.1.2 周期序列
例1 比较下列连续周期信号与离散周期序列的频率特点
(其中k是整数)：
(1)
x1k
(t)
cos(k1t)
cos(k
2
T1
t)
解：
(1)
T1k
2
k1
2
2 k / T1
T1 k
(2)
x2k [n]
N k 2 r 0
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2.1.2 周期序列
例2.1-1 判断下列序列的周期性，若是周期序列，求出其周期。
(1)
x1[n]
cos(
4
n
3
)
1 (3) x3[n] cos(2 n)
(2)
x2[n]
sin(
3
5
n)
j( n )
(4) x4[n] e 2 3
（a）LTI离散时间系统的单位冲激响应h[n]及其应用； （b）线性常系数非齐次差分方程及其求解； （c）系统函数与频率响应； （d） LTI离散时间系统的因果性与稳定性。
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2.1 离散时间信号—序列
2.1.1 离散时间信号的表示 只在某些离散瞬时给出函数值的时间函数，称为离
而当k = 8,9,10，…,15等等变化时，其图形变化重复上述
的序列变化。
cosk0n 1
cosk0n 1
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2.1.1 离散时间信号的表示
4. 单边实指数序列
x[n]
a
n，n
0
0, n 0
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2.1.1 离散时间信号的表示
5．单边正弦序列
x[n]
sin 0
0
n
n0 n0
若 0 = /10
周期N0 = 20
若 0 = ，设 x2[n] = cos0n = (1)n
x2[n] 1
1 1 3
2 0 2 4
n
1
周期N2 = 2
若 0 = 2，设 x3[n] = cos2n ---- 非周期序列
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2.1.1 离散时间信号的表示
对正弦序列
x[n] sin0n
如果：2/0 = p/q（p, q为互质整数）为有理数，则正弦序
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2.1.2 周期序列
如：周期信号的傅里叶级数展开：
(1) xT (t)
X e
jk 1t
k k
jk 2 t
k
Xke
T1
(2)
x2k [n]
cos(k1n)
cos(k
2
8
n)
当整数k = 0,1,2，…,7变化时，其图形如下，可见其周期
N2k不单调减小，因而频率k 1也不单调增加；
cos(k1n)
cos(k
2
N
n)
周期T1k = T1/k
随着整数k的增加，信号x1k(t)的周期T1k减小，
而频率k 1增加；
(2)
N2k
m 2 r k1
m 2 r 2 k / N
mN kr
周期N2k = mN/rk
随着整数k的增加，序列x2k[n]的周期N2k不总是减小，
因而频率k 1也不总是增加；
m0
k
[n] u[n] u[n 1]
3．矩形序列
1 RN [n] 0
0 n N 1 其它
u[n] 1
21 0 1 2 3 4
RN[n] 1
21 0 1 2 3 4
n N1 N n
明显地：RN[n] = u[n] u[n N] RN[n]称为长度为N的有限长度序列。
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第2章 离散时间信号与系统
学习目标： 1. 熟练描述离散时间信号x[n]（时间域及变换域），区分离散
时间信号与连续时间信号的差异；
（a）离散时间信号的时域描述方法及序列[n]和u[n]的应用 ；
（b）序列的傅里叶变换及其性质； （c）序列的z变换及其性质。 2. 理解线性时不变性（LTI）离散时间系统及其描述方法
解：
(1)
N1
k r
2 1
k 2 8 k r /4 r
周期N1 = 8
(2)
N2
k 2 r 2
k 2 k 10 r 3 / 5 r 3
周期N2 = 10
(3)
N3
k r
2 3
k 2 k 4
r 1/ 2 r
非周期序列 N3 =
k 2 k 2 k
(4)
N4 r 4
6．复指数序列
x[n] ej0n cos0n jsin0n
复数值：直角坐标表示：即 x[n] = cos0n + jsin0n
极坐标表示：即 x[n] ej0n
2.1.2 周期序列
周期序列应满足：x[n] = x[n+rN]，0 n N1，r是任意整数
设正弦序列：x[n] = cos0n 则取：x[n+rN] = cos(0n +rN0)，所以当且仅当 0rN = 2k（k是整数）时，正弦序列是周期序列，且周期为
如果：2/0是无理数，则正弦序列是非周期序列 。
0为序列正弦包络的振荡频率，也称为正弦序列的频率。
例：
x1
(t
)
sin(8 3
t)
x2
(t
)
sin(
2 3
t
)
x1[n]
sin(8 3
n)
x2
[n]
sin(
2 3
n)
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2.1.1 离散时间信号的表示
散时间信号，简称为离散信号或序列（sequence）。 用符号表示为： f (tn), x (tn) ； 若 tn = nT（n = 0, 1, 2, …），则表示为f (nT )或x(nT) 或进一步简化为：f [n] ，x[n]
注：n只能取整数，表示各函数值在序列中出现的先后序号。 称 f [n]（或x[n]）为信号在第n个样点的“样本”或“样值” （sample）。
[n
m]
1 0
nm 其它
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x1[n]
2 3
8 9
8 9
64 81
1 01 2 3 4 n
3 2
[n] 1
1 0 1 2 3 4
n
[n m]
1
1 0 1 2 3 m1 m n
3
2.1.1 离散时间信号的表示
2．单位阶跃序列
u[n]
1
0
n≥ 0 n0
n
u[n] [n m] [k]
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2.1.1 离散时间信号的表示
例：
x1[n]
n
2 3
n
{, 3 , 0, 2 , 8 , 8 , 64 } 2 3 9 9 81
当 n = 0时，x1[n]|n=0 = 0； 或：x1[0] = 0
1．单位样值信号
Fra Baidu bibliotek
[n]
1 0
n0 n0
或：
4
r /2 r
周期N4 = 4
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2.1.2 周期序列
例1 比较下列连续周期信号与离散周期序列的频率特点
(其中k是整数)：
(1)
x1k
(t)
cos(k1t)
cos(k
2
T1
t)
解：
(1)
T1k
2
k1
2
2 k / T1
T1 k
(2)
x2k [n]
N k 2 r 0
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2.1.2 周期序列
例2.1-1 判断下列序列的周期性，若是周期序列，求出其周期。
(1)
x1[n]
cos(
4
n
3
)
1 (3) x3[n] cos(2 n)
(2)
x2[n]
sin(
3
5
n)
j( n )
(4) x4[n] e 2 3
（a）LTI离散时间系统的单位冲激响应h[n]及其应用； （b）线性常系数非齐次差分方程及其求解； （c）系统函数与频率响应； （d） LTI离散时间系统的因果性与稳定性。
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2.1 离散时间信号—序列
2.1.1 离散时间信号的表示 只在某些离散瞬时给出函数值的时间函数，称为离
而当k = 8,9,10，…,15等等变化时，其图形变化重复上述
的序列变化。
cosk0n 1
cosk0n 1
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4
2.1.1 离散时间信号的表示
4. 单边实指数序列
x[n]
a
n，n
0
0, n 0
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5
2.1.1 离散时间信号的表示
5．单边正弦序列
x[n]
sin 0
0
n
n0 n0
若 0 = /10
周期N0 = 20
若 0 = ，设 x2[n] = cos0n = (1)n
x2[n] 1
1 1 3
2 0 2 4
n
1
周期N2 = 2
若 0 = 2，设 x3[n] = cos2n ---- 非周期序列
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2.1.1 离散时间信号的表示
对正弦序列
x[n] sin0n
如果：2/0 = p/q（p, q为互质整数）为有理数，则正弦序
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2.1.2 周期序列
如：周期信号的傅里叶级数展开：
(1) xT (t)
X e
jk 1t
k k
jk 2 t
k
Xke
T1
(2)
x2k [n]
cos(k1n)
cos(k
2
8
n)
当整数k = 0,1,2，…,7变化时，其图形如下，可见其周期
N2k不单调减小，因而频率k 1也不单调增加；
cos(k1n)
cos(k
2
N
n)
周期T1k = T1/k
随着整数k的增加，信号x1k(t)的周期T1k减小，
而频率k 1增加；
(2)
N2k
m 2 r k1
m 2 r 2 k / N
mN kr
周期N2k = mN/rk
随着整数k的增加，序列x2k[n]的周期N2k不总是减小，
因而频率k 1也不总是增加；
m0
k
[n] u[n] u[n 1]
3．矩形序列
1 RN [n] 0
0 n N 1 其它
u[n] 1
21 0 1 2 3 4
RN[n] 1
21 0 1 2 3 4
n N1 N n
明显地：RN[n] = u[n] u[n N] RN[n]称为长度为N的有限长度序列。
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第2章 离散时间信号与系统
学习目标： 1. 熟练描述离散时间信号x[n]（时间域及变换域），区分离散
时间信号与连续时间信号的差异；
（a）离散时间信号的时域描述方法及序列[n]和u[n]的应用 ；
（b）序列的傅里叶变换及其性质； （c）序列的z变换及其性质。 2. 理解线性时不变性（LTI）离散时间系统及其描述方法
解：
(1)
N1
k r
2 1
k 2 8 k r /4 r
周期N1 = 8
(2)
N2
k 2 r 2
k 2 k 10 r 3 / 5 r 3
周期N2 = 10
(3)
N3
k r
2 3
k 2 k 4
r 1/ 2 r
非周期序列 N3 =
k 2 k 2 k
(4)
N4 r 4
6．复指数序列
x[n] ej0n cos0n jsin0n
复数值：直角坐标表示：即 x[n] = cos0n + jsin0n
极坐标表示：即 x[n] ej0n
2.1.2 周期序列
周期序列应满足：x[n] = x[n+rN]，0 n N1，r是任意整数
设正弦序列：x[n] = cos0n 则取：x[n+rN] = cos(0n +rN0)，所以当且仅当 0rN = 2k（k是整数）时，正弦序列是周期序列，且周期为