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湖北省“大课改大数据大测评”2021届高三联合测评数学试卷和答案2020.12.28

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2021届高三湖北十一校第一次联考数学答案定稿2020.12.9

2021届高三湖北十一校第一次联考数学答案定稿2020.12.9

（2）物理和历史两大类间有两门相同的方法：
门科目共 60 种；所以均选择物理的概率为60 5
16、 , ，
√3
）
3
由曲线的性质可得：∆ 、∆ 的内心 M、N 在直线

设 C 的右顶点为 E，直线 AB 的倾斜角为θ，则3
;
在Rt∆ 中，∠
，

同理，在Rt∆ 中，∠
设
2021 届高三湖北十一校第一次联考
an a1
6
6
3
3
3


，所以 d
，所以 0 d
，所以 d 的最大值是 ，故
n 1
n 1 21 1 10
10
10
C 正确，







)，在, ， -单调递减，所
√ cs(
11、BD


d
数学答案
所以：k=5
)
14、[ ， ∞）
( )为奇函数且为增函数，( ) (
)；所以
即为( ) (
，所以
15、
分类：（1）物理（历史）大类中有两门相同的方法：
48 种；
=12；所以在 6 门选考科目中恰有两
5
99. ，故选 C
1
9、AB 由表中数据，计算得 x 1 2 3 4 5 3 ，所以 y 45 3 5 140 ，于是
;2 ;
2 ;
2 : 2
，
ℎ
°，
;
以 A 错误；因为
2× √ × √3 × ，
3

3
3
6 °，
8 .7°

湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三1、5月质量检测数学试题含详解

湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三1、5月质量检测数学试题含详解
1
∠AC 的中点．
2
（1)求证：PA//平面 BEF; （2)若 PC 与 AB 所成角为 45°,求二面角 F-BE-A 的余弦值．
20.(12 分）
设 P 是椭圆 C:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) ＝1(a>b>0)上异于长轴顶点 A1, A2 的任意一点，过 P 作
60dB 之间，飞机起飞时的音量约为 120dB,则 120dB 声音的声波强度 I1 是 40dB 声音的声波强
度 I2 的
A.3 倍 B.103 倍 C.106 倍 D.10 倍
4
2
1
6.已知 a 23 , b 45 c 253 ,则
A.b<c<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c
PA //平面 BEF . …………………（4 分）
（2）方法一：（综合法）
由 BCDE 为正方形可得 EC 2BC 2 .
由 ABCE 为平行四边形可得 EC // AB . PCE 为 PC与AB所成角，即 PCE 45 . PA PD E为AD中点 PE AD . 侧面 PAD 底面 ABCD, 侧面 PAD 底面 ABCD AD, PE 平面 PAD ，
1.已知集合 A={x|x2-3x-4≤0},B={x|2x>8},那么集合 A∩B=
A.(3,+ ∞) B.[-1,+ ∞) C.[3,4] D.(3,4]
2.已知
i
是虚数单位，复数
z
2i 1 i
,则复数
z
在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1 cos 2 3.已知 tana=2,则 sin 2

湖北省“大课改大数据大测评”2021届高三第一学期联合测评数学试卷

湖北省“大课改大数据大测评”2021届高三第一学期联合测评数学试卷

湖北师大附中2021届高三上学期联合测评数 学本试题卷共4页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}02|{2<--=x x x A , }1|||{≤=x x B , 则=B A A ．}11|{<<-x x B ．}11|{≤<-x x C ．}11|{<≤-x xD ．}11|{≤≤-x x2．=-+-i i131 A ．i 21+B ．i -2C ．i +-2D ．i 21-3．已知向量b a ,满足3||=-b a , 6|2|=+b a , 2||=a ，则=||bA ．5B ．6C ．22D ．324．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n 月的从事旅游服务工作的人数)(n f 可以近似用函数4000326cos 3000)(+⎪⎭⎫⎝⎛+=ππn n f 来刻画（其中正整数n 表示一年中的月份）．当该地区从事旅游服务工作人数在5500或5500以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有 A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 5．已知等差数列}{n a 对任意正整数n 都有863221+=+-++n a a a n n n ，则=2a A ．1 B ．8 C ．5 D ．4 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个数学问 题：“现有刍甍，下宽3丈，长4丈；上长2丈，无宽，高1丈．问： 有体积多少？”本题中刍甍是如图所示的几何体ABCD EF -，底面 ABCD 是矩形，EF AB //, 4=AB , 3=AD , 2=EF ，直线EF 到底面ABCD 的距离1=h ，则该几何体ABCD EF -的体积是 A ．5B ．10C ．15D ．257．党的十八大要求全面实施素质教育，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，劳动教育受到全社会广泛关注．某学校的某班级将5名同学分配到甲、乙、丙三个村参加劳动锻炼，每个村至少分配一位同学，则甲村恰好分配2位同学的概率为 A ．53 B ．52 C ．51 D ．54 8．已知椭圆124:22=+y x C 的左右顶点分别为B A ,，过x 轴上点)0,4(-M 作一直线PQ 与椭圆交于Q P ,两点（异于B A ,），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为21,k k ，则=21:k kA ．31B ．3C ．21 D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届湖北省武汉市2020-2021学年度部分学校高三起点质量检测数学试卷【含答案】

2021届湖北省武汉市2020-2021学年度部分学校高三起点质量检测数学试卷【含答案】

湖北武汉市2021届高三起点质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A={x| x2-x-2 <0},B ={x|0 < x< 3},则A⋂B =A. (-1,2)B. (0,2)C. (-1 ,3)D. ( 0 ,3 )2.若a+i3-2i为纯虚数，则实数 a的值为A.23 B.-23 C.32 D. -323.已知命题p : 所有的三角函数都是周期函数，则, ⌝p 为A.所有的周期函数都不是三角函数B. 所有的三角函数都不是周期函数C. 有些周期函数不是三角函数D. 有些三角函数不是周期函数4.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,|b| = 2 ,a·b=4,则向量a, b夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.155.某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆.学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有A. 6 种B. 9 种C. 12 种D. 18 种6.过抛物线E : y2= 2x焦点的直线交E于 A, B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则 |AB |==A. 2B.52C . 3D. 47. 如图，点 A , B , C , M , N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN // 平面ABC 的是8. 我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书· 洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克 的思想被正式提出这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中 ，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关 系的概率为 A.35 B.12 C.25 D.13二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 在每小题 给出的选项中，有多项符合题目要求。

2020-2021学年湖北省华大新高考联盟高三(上)教学质量测评数学试卷(文科)(附答案详解)

2020-2021学年湖北省华大新高考联盟高三(上)教学质量测评数学试卷(文科)(附答案详解)

2020-2021学年湖北省华大新高考联盟高三（上）教学质量测评数学试卷（文科）（11月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|(2x +5)(x −2)<0}，B ={−3,−1,1，2，3}，则(∁R A)∩B =( )A. {−1,1}B. {−1,1，2}C. {−3,2，3}D. {−3,2}2. 若z =3i−1(i 为虚数单位)，则z +2i 的虚部为( )A. −12B. 12C. −32D. 323. 自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加.现将A 房产中介公司2010−2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010−2013年，2014−2016年，2017−2019年的数据分别建立回归直线方程y ̂=b ̂1x +a ̂、y ̂=b ̂2x +a ̂2、y ̂=b ̂3x +a ̂，则( )A. b ̂1>b ̂2>b ̂3，a ̂3>a ̂2>a ̂1B. b ̂2>b ̂1>b ̂3，a ̂3>a ̂2>a ̂1C. b ̂1>b ̂2>b ̂3，a ̂3>a ̂1>a ̂2 D. b ̂2>b ̂1>b ̂3，a ̂3>a ̂1>a ̂2 4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是( )A. 若m ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥αB. 若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βC. 若m ⊥α，n ⊥β，α//β，则m ⊥nD. 若m//α，n ⊥β，α//β，则m ⊥n5. 龙马负图、神龟载书图象如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图象如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数中随机抽取2个，则被抽到的2个数的数字之和超过10的概率为()A. 25B. 12C. 310D. 356.若直线l：3sinθ⋅x−2y=0与圆C：x2+y2−2√13y−5=0交于M，N两点，则|MN|的最小值为()A. 4√2B. 2√6C. 2√5D. 2√77.已知y=sin2x+sin(2x+π2)，y=cos(32x−π4)，y=sin(2x+π7)的部分图象如图所示，则()A. f(x)=sin2x+sin(2x+π2)，g(x)=sin(2x+π7)，ℎ(x)=cos(32x−π4)B. f(x)=sin2x+sin(2x+π2)，g(x)=cos(32x−π4)，ℎ(x)=sin(2x+π7)C. f(x)=cos(32x−π4)，g(x)=sin2x+sin(2x+π2)，ℎ(x)=sin(2x+π7)D. f(x)=cos(32x−π4)，g(x)=sin(2x+π7)，ℎ(x)=sin2x+sin(2x+π2)8.已知a=log72，b=−cos(π+1)，c=30.2，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a9.运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为7，则判断框①中可以填()A. S>20B. S>30C. S>50D. S>7010.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2=2b2−2c2，b−c=2sinAsinB+sinC，若△ABC的外接圆半径为2√2，则sinA=()A. √22B. √24C. √23D. √2611.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点M，N在抛物线C上，且关于x轴对称，若NF⊥OM，则△OMN的面积为()A. 5√5B. 15√5C. 10√5D. 20√512.已知关于x的不等式x2+1≥ax3+x2+axe x在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为()A. (−∞,e]B. (−∞,e−12] C. (−∞,e−1] D. (−∞,e−2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足条件{4x+y≤5x−2y+6≥0y≥1，则z=2x+y的最小值为______ ．14.已知a⃗=(2,−1)，b⃗ =(λ,2)，若a⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，则λ的值为______ ．15.已知函数f(x)的定义域为R，图象关于原点对称，且f(x+4)=f(x)，若f(3)<1，f(2021)=log3(m−1)，则实数m的取值范围为______ ．16.已知三棱锥S−ABC中，SA⊥SB，SA⊥SC，SB⊥SC，若三棱锥S−ABC的外接球的表面积为24π，记S=S△SBC+S△SAC+S△SAB，则S的最大值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱.现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如表所示：(1)根据表格中数据，完善频率分布直方图；(2)求近一周内采购量在286箱以下(含286箱)的人数；(3)计算近一周内采购数量x的平均值．18.如图所示，多面体ABCDEF中，四边形ACDE为菱形，∠ACD=60°，平面ACDE⊥平面ABC，BC//DF，AB=AC=BC=2DF=2．(1)求证：平面ABC//平面DEF；(2)求多面体ABCDEF的体积．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=3n2−7n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=3n⋅a n，求数列{b n}的前n项和T n．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)过点(√3,−√32)，(−1,32)，椭圆C与x轴交于A，C两点，与y轴交于B，D两点．(1)求四边形ABCD的面积；(2)若四边形ABCD的内切圆O的半径为R，点M，N在椭圆C上，直线MN斜率存在，且与圆O相切，切点为L，求证：|LM|R =R|LN|．21.已知函数f(x)=(x−2)e x+2．(1)求函数f(x)的极值；(2)若关于x的不等式2f(x)+n(x2+4x)≥0在[0,+∞)上恒成立，其中n≥0，求实数n的取值范围．22.如图所示，已知曲线C的极坐标方程为√1−|cosθ|⋅cos(π2−θ)=1ρ，点P(2,π2).以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的参数方程为{x =3−3ty =−2+4t (t 为参数)，若直线l 与曲线C 交于M ，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|2x −2|+|x −6|．(1)求不等式f(x)>12的解集；(2)记集合A ={x|f(x)−2a =0}，若A ≠⌀，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：依题意，A={x|(2x+5)(x−2)<0}={x|−52<x<2}，所以∁R A={x|x≤−52或x≥2}，又B={−3,−1,1，2，3}，则(∁R A)∩B={−3,2，3}．故选：C．先利用一元二次不等式的解法求出集合A，再由集合补集以及交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合补集以及交集的求解，解题的关键是掌握交集和补集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：依题意，z=3i−1=3(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−3−3i(−1)2+12=−32−32i，则z+2i=−32−32i+2i=−32+12i，故虚部为12．故选：B．把分子分母同乘分母的共轭复数化简z，进一步求得z+2i，再求出虚部．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：回归直线分布在散点图附近，b̂表示回归直线的斜率，â表示回归直线在y 轴上的截距，由题意可知，2010−2013年，y随x的增加而迅速增加，2014−2016年，y随x的增加而平缓增加，2017−2019年，y随x的增加而减少，故b̂1>b̂2>b̂3，由图可知，â3>â2>â1，故选：A．回归直线分布在散点图附近，由b̂和â的几何意义结合图象分析即可判断．本题考查了回归方程的理解和应用，解题的关键是了解回归方程中的b̂和â的几何意义，即b̂表示回归直线的斜率，â表示回归直线在y轴上的截距．4.【答案】D【解析】解：对于A，由m⊂α，m⊥n，推不出n⊥α，可能有n⊂α，m⊥n情况，所以A错；对于B，由α⊥β，m⊂α，推不出m⊥β，可能有m⊂α，m//β情况，所以B错；对于C，由m⊥α，n⊥β，α//β⇒m//n，推不出m⊥n，对于C错；对于D，因为n⊥β，α//β⇒n⊥α，m//α，n⊥α⇒m⊥n，所以D对；故选：D．根据空间线面位置关系基本定理即可分别判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了立体几何线面位置关系，难度不大，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意得，阳数为1、3、5、7、9，故所有的情况为(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共10种，其中满足条件的为(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共4种，故所求概率P=410=25，故选：A．利用列举法求出基本事件总数和被抽到的2个数的数字之和超过10的基本事件数，再代入古典概型的公式计算即可．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：依题意，圆C：x2+(y−√13)2=18，故圆心C(0,√13)到直线l：3sinθ⋅x−2y=0的距离d=√13√9sin2θ+4，故|MN|=2√18−4×139sin2θ+4≥2√5，当且仅当sin2θ=0时等号成立，故|MN|min=2√5，故选：C．求出圆的圆心，利用点到直线的距离，转化求解弦长，然后求解最小值即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】A【解析】解：依题意知，y=sin2x+sin(2x+π2)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，所以函数y=√2sin(2x+π4)的最大值为√2；而y=cos(32x−π4)，y=(2x+π7)的最大值均为1，所以f(x)=sin2x+sin(2x+π2)；而y=cos(32x−π4)，y=sin(2x+π7)的周期分别为4π3，π．所以g(x)=sin(2x+π7)，ℎ(x)=cos(32x−π4).故选：A．分别化简三个三角函数的解析式，再根据函数的图象与性质判断即可．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：依题意，a=log72<log7√7=12，b=−cos(π+1)=cos1>cosπ3=12，故b∈(12,1)，c=30.2>30=1，故a<b<c．故选：A．利用对数函数、三角函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、三角函数、指数函数的单调性等基础知识，是基础题．9.【答案】C【解析】解：运行程序框图，第一次，S=2，i=2；第二次，S=6，i=3；第三次，S=13，i=4；第四次，S=23，i=5；第五次，S=36，i=6；第六次，S=52，i=7；此时输出结果，所以判断框中可以填S>50．故选：C．利用题中给出的程序框图，然后模拟运行，由输出的结果进行分析即可得到答案．本题考查了程序框图的应用，主要考查了循环结构的应用，当循环次数不多的时候或者有规律的时候，常采用模拟循环的方法进行解答，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由b−c=2sinAsinB+sinC，即(b−c)(b+c)=2a，则b2−c2=2a；与a2=2b2−2c2联立，可得a2=4a；因为a>0，故a=4，则sinA=a2r =4√2=√22，故选：A．直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：不妨设M(a2,2a)，N(a2,−2a)(a>0)，则k OM=2a ，k NF=−2aa2−1，由k NF⋅k OM=−1，解得a=√5，故△OMN的面积为12×5×4√5=10√5，故选：C．设出M，N，利用垂直关系，求解a，然后求解三角形的面积．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：由题意x>0，问题转化为a≤(x2+1)e x−x2x3+x =e xx−xx2+1，令g(x)=e xx −xx2+1，故a≤[g(x)]min，而g′(x)=(x−1)[e xx2+x+1(x2+1)2]，令g′(x)>0，解得：x>1，令g′(x)<0，解得：0<x<1，故g(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，故g(x)min=g(1)=e−12，故a≤e−12，故选：B．问题转化为a≤(x2+1)e x−x2x3+x =e xx−xx2+1，令g(x)=exx−xx2+1，根据函数的单调性求出g(x)的最小值，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查函数恒成立以及转化思想，是一道中档题．13.【答案】−7【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =1x −2y +6=0，解得A(−4,1)，化z =2x +y 为y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为−7． 故答案为：−7．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】−14【解析】解：根据题意，a ⃗ =(2,−1)，b ⃗ =(λ,2)，则a ⃗ +2b ⃗ =(2+2λ,3)， 若a ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=0， 即4+4λ−3=0，解得λ=−14； 故答案为：−14．根据题意，求出a ⃗ +2b ⃗ 的坐标，由向量垂直的判断方法可得a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=0，解可得λ的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．15.【答案】(43,+∞)【解析】解：由题意，图象关于原点对称，可知f(x)是奇函数，f(x +4)=f(x)，可得周期T =4，∴f(2021)=f(1)=log 3(m −1)；而f(3)<1⇔f(−1)<1⇔f(1)>−1，故log 3(m −1)>−1，即m−1>13，∴m>43．故答案为：(43,+∞)．根据图象关于原点对称，可知f(x)是奇函数，f(x+4)=f(x)，可得周期T=4，即可求解f(2021)=f(1)，结合f(3)<1，从而求解实数m的取值范围．本题主要考函数图象的对称性的应用，函数周期的求解是解答本题的关键所在．属于基础题．16.【答案】12【解析】解：设SA=x，SB=y，SC=z，则x2+y2+z2=(2R)2；三棱锥S−ABC中，SA⊥SB，SA⊥SC，SB⊥SC，若三棱锥S−ABC的外接球的表面积为24π，而4πR2=24π，得x2+y2+z2=24；故S=S△SBC+S△SAC+S△SAB=12(xy+yz+xz)≤12(x2+y2+z2)=12，当且仅当x=y=z=2√2时等号成立，故S的最大值为12．故答案为：12．设SA=x，SB=y，SC=z，则x2+y2+z2=(2R)2；推出x2+y2+z2=24；然后利用基本不等式求解S的最大值即可．本题考查空间几何体的外接球的半径的求法，三棱锥侧面积的求法，基本不等式的应用，是中档题．17.【答案】解：(1)依题意，频率分布表如下所示：完善频率分布直方图如图所示：(2)采购量在286箱以下(含286)的频率为0.2+0.2+0.1+0.4×620=0.62，故采购量在286箱以下(含286)的人数为200×0.62=124；(3)依题意，所求平均值为230×0.2+250×0.2+270×0.1+290×0.4+310×0.1= 46+50+27+116+31=270．【解析】(1)先完成频率分布表，然后由频率分布表中的数据完成频率分布直方图即可；(2)求出近一周内采购量在286箱以下的频率，由频率、频数以及样本容量的关系求解即可；(3)利用平均数的计算公式求解即可．本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中中位数、众数、平均数、频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵四边形ACDE是菱形，∴AC//DE．又∵AC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE//平面ABC．同理得，DF//平面ABC．∵DE，DF⊂平面DEF，且DE∩DF=D，∴平面ABC//平面DEF；(2)解：∵AC//DE，DF//BC，∴∠EDF=∠ACB=60°．∵DE=AC=2，DF=12BC=1，∴S△DEF=12×1×2×√32=√32．在菱形ACDE中，S平行四边形ACDE =2×2×√32=2√3．∵平面ABC⊥平面ACDE，取AC的中点为M，连接BM，DM，∴BM⊥平面ACDE，DM⊥平面ABC．由(1)知，平面ABC//平面DEF，∴点B到平面DEF的距离为DM=√3．又∵点B 到平面ACDE 的距离为BM =√3，连接BD ， 则V =V B−DEF +V B−ACDE =13×(√32+2√3)×√3=52．【解析】(1)证明AC//DE.推出DE//平面ABC.DF//平面ABC.然后证明平面ABC//平面DEF ；(2)取AC 的中点为M ，连接BM ，DM ，通过V =V B−DEF +V B−ACDE .转化求解即可． 本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】【解析】(1)当n =1时，则a 1=S 1=−4；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n 2−7n −3(n −1)2+7(n −1)=6n −10， 经检验a 1=−4满足上式，所以a n =6n −10； (2)依题意，b n =3n ⋅(6n −10)，则T n =31⋅(−4)+32⋅2+33⋅8+⋯+3n ⋅(6n −10)， 所以3T n =32⋅(−4)+33⋅2+34⋅8+⋯+3n+1⋅(6n −10)，两式相减可得，−2T n =−31⋅4+32⋅6+33⋅6+⋯+3n ⋅6−3n+1⋅(6n −10)， 即−2T n =3⋅6+32⋅6+33⋅6+⋯+3n ⋅6−3n+1⋅(6n −10)−3⋅10， 整理可得，T n =(3n −132)⋅3n+1+392．【解析】(1)根据S n =3n 2−7n 可得a 1=S 1=−4，那么n ≥2时可用a n =S n −S n−1再将a 1代入其中检验即可得出通项公式．(2)根据题意可知{3n }为等比数列，{a n }为等差数列，所以利用错位相减法即可求得{b n }的前n 项和T n ．本题主要考查数列的前n 项和及其通项的关系、错位相减法；考查运算求解能力，涉及逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，属于中档题．20.【答案】解：(1)依题意，{3a 2+34b 2=11a 2+94b 2=1，解得a 2=4，b 2=3， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．故四边形ABCD 的面积S =2ab =4√3． (2)证明：要证|LM|R=R|LN|，只需证OM ⊥ON ，因为直线AB 的方程为y =√32(x −2)，即√3x −2y −2=0，所以原点O 到直线AB 的距离d =√3|√(√3)2+(−2)2=√3√7，所以R =√3√7， 设直线MN 方程为：y =kx +m ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则√k 2+1=√3√7，所以7m 2=12(1+k 2)；①由{y =kx +m x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0当△>0，x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(4m 2−12)3+4k 2+−8k 2m 23+4k 2+m 2=7m 2−12(1+k 2)3+4k 2，由①得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【解析】(1)依题意，{3a 2+34b 2=11a 2+94b 2=1，解得a 2，b 2，则四边形ABCD 的面积S =2ab ． (2)要证|LM|R=R|LN|，只需证OM ⊥ON ，由点O 到直线AB 的距离得R =√3√7，设直线MN方程为：y =kx +m ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，计算OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案． 本题考查直线与椭圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)依题意，f′(x)=(x −1)e x ，可知当x ∈(−∞,1)时，f′(x)<0，当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0， 故当x =1时，函数f(x)有极小值f(1)=2−e ，无极大值； (2)设ℎ(x)=2f(x)+n(x 2+4x)=(2x −4)e x +n(x 2+4x)+4， 因为ℎ′(x)=(2x −2)e x +2n(x +2)=m(x)，则m′(x)=2xe x +2n ， 因为n ≥0，有m′(x)≥0，此时m(x)在[0,+∞)上单调递增， 则m(x)≥m(0)=4n −2；(i)若4n −2≥0即n ≥12时，ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增， 则ℎ(x)min =ℎ(0)=0恒成立；(ii)若4n −2<0，即0≤n <12时，存在x 0∈[0,+∞)，ℎ′(x 0)=0， 此时函数y =ℎ(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增， 且ℎ(0)=0，故不等式不可能恒成立，不合题意，舍去； 综上所述，实数n 的取值范围为[12,+∞)．【解析】(1)求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值；(2)设ℎ(x)=2f(x)+n(x 2+4x)，求出导函数，构造函数m(x)，通过m′(x)=2xe x +2n ，判断函数的单调性，求解最值推出实数n 的取值范围即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，单调性的判断以及最值的求法，是难题．22.【答案】解：(1)因为ρ√1−|cosθ|⋅sinθ=1，故ρ2(1−|cosθ|⋅sinθ)=1， 故ρ2−|ρcosθ|⋅ρsinθ=1， 根据：{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−|x|y =1；(2)设直线l 的参数方程为(t 为参数)，若直线l 与曲线C 交于M ，N ，则只能交于y 轴右侧部分x 2+y 2−xy =1， 将直线的参数方程代入，可得3725t 2+225t +3=0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，故|PM|⋅|PN|=|t 1t 2|=7537，|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=11037，故1|PM|+1|PN|=|PM|+|PN||PM|⋅|PN|=2215．【解析】(1)直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)依题意，|2x −2|+|x −6|>12；①当x <1时，2−2x +6−x >12，则x <−43，∴x <−43，②当1≤x ≤6时，2x −2+6−x >12，则x >8，∴无解， ③当x >6时，2x −2+x −6>12，则x >203，∴x >203，故不等式f(x)>12的解集为(−∞,−43)∪(203,+∞)． (2)依题意，f(x)=2a ，而f(x)=|2x −2|+|x −6|=|x −1|+|x −1|+|x −6|≥|x −1|+|x −6|， 而|x −1|+|x −6|≥|x −1−x +6|=5，当且仅当1≤x ≤6时等号成立， ∴函数f(x)的值域为[5,+∞)， 因为A ≠⌀，故2a ≥5，则a ≥52， 故实数a 的取值范围为[52,+∞)．【解析】(1)通过讨论x 的范围，解不等式，求出不等式的解集即可． (2)求出函数f(x)的值域，根据函数的值域求出a 的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数以及求函数最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．。

2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一(上)期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知A ={−2,2}，B ={x|ax =1}，且A ∪B =A ，则a 的取值集合为( )A. {12}B. {−12}C. {12,−12}D. {12,−12,0} 2. 已知全集U =R ，集合M ={x|x 2−2x <0}，N ={x|x ≥1}，则集合M ∩(C U N)等于( )A. ФB. {x|0<x <2}C. {x|x <1}D. {x|0<x <1}3. 已知a >b >0，c >d >0，则下列正确的是( )A. ac >bdB. ac <bdC. ad >bcD. ad <bc4. 函数f(x)=(x 2−x)lnx 的图象大致为( )A. B.C. D.5. 已知函数f(x)为定义在[−3,t −2]上的偶函数，且在[−3,0]上单调递减，则满足f(−x 2+2x −3)<f(x 2+t5)的x 的取值范围( ) A. (1,+∞) B. (0,1] C. (1,√2] D. [0,√2]6. 已知条件p ：−3<x <0，条件q ：x 2+3x −4<0，则q 是p 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数f(x)={2x −x 2(0≤x ≤3)x 2+6x(−2≤x ≤0)的值域是( ) A. R B. [−8,1] C. [−9,+∞) D. [−9,1]8. 若a ，b ∈R ，则使|a|+|b| >1成立的一个充分不必要条件是( )A. |a+b|≥1B. a2+b2>1C. a<1或b<1D. a≤1或b≤1二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.若集合M={−1,1，3，5}，集合N={−3,1，5}，则正确的是()A. ，x∈MB. ∃x∈N，x∈MC. M∩N={1,5}D. M∪N={−3,−1,3}10.下列各组不等式中，同解的是()A. xx2−4x+12>1与x>x2−4x+12B. |x−2|>|2x+6|与(x−2)2>(2x+6)2C. |x2−2x|>3与x2−2x>3或x2−2x<−3D. x−2x+1≤0与(x−2)(x+1)≤011.关于函数f(x)=|x−1|+e x−1+e1−x+m，下列结论正确的有()A. f(x)的图象关于直线x=1对称B. f(x+1)是偶函数C. f(x+1)是奇函数D. 若f(x)有唯一零点，则m=−212.数学兴趣小组老师让大家一起研究函数f(x)=2x|x|+1(x∈R)并给出自己的研究结论，甲乙丙丁各抒己见，他们的研究结论正确的是()A. 甲：等式f(x)+f(−x)=0在x∈R时恒成立B. 乙：函数f(x)的值域为(−2,2)C. 丙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)D. 丁：函数g(x)=f(x)−2x在R上有三个零点．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.幂函数f(x)=(m2−2m−2)x2m+1过原点，则实数m=______ ．14.函数f(x)=ln(2x−x2)的单调递减区间为______ ．15.若函数f(x+1)的定义域为[0,1]，则f(3x−1)的定义域为__________．16.已知a>0，b>0，且ab=1，则12a +12b+8a+b的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求下列函数的值域：(1)y=1−x21+x2；(2)y=√−2x2+x+3．18.已知集合A={x|−3<2x+1<11}，B={x|m−1≤x≤2m+1}(1)当m=3时，求A∩∁R B；(2)若A∪B=A，求m的取值范围．19.已知f(x)为定义在R上的奇函数，且当x<−1时，f(x+1)=−x2+2x+2．(1)写出f(x)的函数表达式；(2)作出函数f(x)的图象并写出|f(x)|≤6的解集；(3)如果|f(x+m)|≤6的解集为闭区间[0,a]，求m和a的值．20.某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x(x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入R(x)(万元)满足R(x)={−6x 2+63x , 0≤x≤5165 , x>5，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述条件，完成下列问题：(1)写出总利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入−总成本)；(2)要使工厂有盈利，求产量x的范围；(3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？21.已知f(x)=ax+1x+b是定义在{x∈R|x≠0}上的奇函数，且f(1)=5．(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)在(12,+∞)上的单调性，并用定义加以证明．22.已知函数f(x)=a−1|x|.(1)求证：函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A ∪B =A ，∴B ⊆A.又∵集合A ={−2,2}，B ={x|ax =1}，∴B =⌀，或B ={1a }当B =⌀时，a =0．当B ={1a }时，1a =−2或1a =2解得a =12，或a =−12．综上，a 的取值组成的集合是{12,−12,0}．故选：D ．由题意可得 B ⊆A ，再分B =⌀和B ≠⌀两种情况，分别求出a 的值，即可求得a 的取值组成的集合． 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 2.答案：D解析：解：由M ={x|x 2−2x <0}，化简得：M ={x|0<x <2}∵N ={x|x ≥1}，全集U =R∴C U N ={x|x <1}∴M ∩(C U N)={x|0<x <1}故选：D ．首先对集合M 进行化简，然后根据全集U 和集合N 求C U N ，再根据化简得到的M 求它们的交集M ∩(C U N)．本题考查集合的交集，并集，补集的混合运算，属于基础题．3.答案：A解析：本题考查了不等式与不等关系，难度不大，属于基础题.作差法来证明不等式成立，利用特殊值法来排除选项，可得答案．解：若a >b >0，c >d >0，所以ac −bd =ac −ad +ad −bd =a(c −d)+(a −b)d >0，故ac >bd ，故A 正确，B 错误．若a =2，b =1，c =2，d =1，则ad =2=bc ，故C ，D 错误;故选：A ．4.答案：B解析：本题考查了图象的作法，由f (x )≥0，可排除A ，C ，再由特殊值可得答案．解析：解：由f (x )≥0，可排除A ，C ，由f (18)=21ln264，f (14)=24ln264，可得f (18)<f (14)，由此可排除D ， 故选B ． 5.答案：C解析：根据函数的奇偶性和单调性可得．本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题．解：因为函数f(x)为定义在[−3,t −2]上的偶函数，所以−3+t −2=0，t =5，因为函数f(x)为定义在[−3,3]上的偶函数，且在[−3,0]上单调递减，所以f(−x 2+2x −3)<f(x 2+t 5)等价于f(−x 2+2x −3)<f(−x 2−1)，即0≥−x 2+2x −3>−x 2−1≥−3，1<x ≤√2．故选：C ．6.答案：B解析：本题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，涉及一元二次不等式的求解，属于基础题．解不等式求得q:−4<x<1，根据集合的关系结合充分、必要条件的定义，可得结论．解：命题p：−3<x<0，记A={x|−3<x<0}，命题q:x2+3x−4<0，解得：−4<x<1，记B={x|−4<x<1}，∵A是B的真子集，∴q是p的必要不充分条件．故选B．7.答案：B解析：本题主要考查了分段函数的值域的求法，属于基础题．分别求出f(x)=2x−x2，f(x)=x2+6x在其定义域上的值域，故得到答案．解：f(x)=2x−x2=−(x−1)2+1，开口向下，最大值为f(1)=1，而f(0)=0，f(3)=−3，故函数f(x)=2x−x2的值域为[−3,1]，f(x)=x2+6x=(x+3)2−9，开口向上，函数f(x)=x2+6x在[−2,0]上单调递增，f(−2)=−8，f(0)=0，故函数f(x)=x2+6x的值域为[−8,0]，故函数f(x)={2x−x2(0≤x≤3)x2+6x(−2≤x≤0)的值域为[−8,1]．故选：B．8.答案：B解析：解：A.因为|a|+|b|≥|a+b|，所以当|a+b|≥1时，有|a|+|b|≥1，所以|a+b|≥1是|a|+ |b|>1必要不充分条件，所以不成立．B.若a2+b2>1，则|a|>1，|b|>1，所以|a|+|b|>1成立，但当|a|+|b|>1时，当a=b=√22时，a2+b2=12<1，所以a2+b2>1是|a|+|b|>1成立的一个充分不必要条件，成立．C.当a=2，b=2时，满足|a|+|b|>1，但a<1或b<1不成立，同理当a=0，b=0时，满足a<1或b<1，但|a|+|b|>1不成立．所以a<1或b<1是|a|+|b|>1成立的既不充分不必要条件．D.当a=2，b=2时，满足|a|+|b|>1，但a≤1或b≤1不成立，同理当a=0，b=0时，满足a≤1或b≤1，但|a|+|b|>1不成立．所以a≤1或b≤1是|a|+|b|>1成立的既不充分不必要条件．故选：B．根据充分不必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系分别进行判断即可．9.答案：BC解析：本题考查了交集和并集运算，全称量词、存在量词，属于基础题．由集合N中的元素不都是集合M中的元素，判断A不正确，根据，x∈M判断B正确，再由交集以及并集运算判断C，D则答案即可．解：集合M={−1,1，3，5}，集合N={−3,1，5}，对于A，，x∈M不正确，−3∈N,−3∉M，故A不正确;对于B，，x∈M，故B正确;对于C，M∩N={−1,1，3，5}∩{−3，1，5}={1，5}，故C正确；对于D，M∪N={−1,1,3,5}∪{−3,1,5}={−3,−1,1,3,5},故D不正确．故选BC．10.答案：ABC解析：本题主要考查了不等式的等价转化，考查分析与计算能力，属于基础题．结合不等式的性质及绝对值的几何意义，分式不等式的转化即可进行判断．解：由于x2−4x+12>0恒成立，故xx2−4x+12>1可转化为x>x2−4x+12，根据绝对值的大小与平方的大小一致可知，|x−2|>|2x+6|可转化为(x−2)2>(2x+6)2，根据绝对值的几何意义可知，|x2−2x|>3可转化为x2−2x>3或x2−2x<−3，根据分式不等式的性质可知，g(x)f(x)≤0⇔{f(x)⋅g(x)≤0f(x)≠0，则D中两个不等式不等价，故选：ABC．11.答案：ABD解析：本题考查函数的奇偶性和对称性，以及函数零点的问题，属于一般题目，根据函数的性质以及函数零点的有关知识，逐一判断即可。

2020-2021学年湖北省七市高考联考数学试卷(理)及答案解析

2020-2021学年湖北省七市高考联考数学试卷(理)及答案解析

湖北省七市（州）高三三月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i505的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣l D．l2．命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为（）A．∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1 B．∃x0[﹣2，+∞），x0+3≥lC．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1 D．∀x∈（﹣∞，﹣2），x+3≥l3．二项式的展开式中x的系数等于（）A．84 B．24 C．6 D．﹣244．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（）A．l丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=（）A．4 B．5 C．6 D．76．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．7．己知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab的最大值是（）A．9 B．C．4 D．8．T为常数，定义f T（x）=，若f（x）=x﹣lnx，则f3[f2（e）]的值为．（）A．e﹣l B．eC．3 D．e+l9．设M，N是抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意两点，点E的坐标为（﹣λ，0）（λ≥0），若•的最小值为0，则λ=（）A．0 B．C．p D．2p10．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．2C．3D．411．已知集合P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（）A．147 B．140 C．130 D．11712．设向量=（1，k），=（x，y），记与的夹角为θ．若对所有满足不等式|x﹣2|≤y≤1的x，y，都有θ∈（0，），则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．观察下列等式l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；可以推测，1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=_______．14．函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数是_______．15．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD=_______ m．16．平面区域A1={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，A2={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R）．在A2内随机取一点，则该点不在A1的概率为_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．18．某电子商务公司随机抽取l 000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7），[0.7，0.8），[0.8，0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券；购物金额在[0.3，0.6）内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6，0.9]内的购物者发放200元的优惠券，现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X（单位：元）的分布列和均值．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设SD=2DC，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．20．已知圆心为H的圆x2+y2+2x﹣15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH 相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．21．（Ⅰ）求函数f（x）=8cosx﹣6cos2x+cos4x在[0，）上的最小值；（Ⅱ）设x∈（0，），证明：sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）设n为偶数，且n≥6．单位圆内接正n边形面积记为S n．（1）证明：S2n一S n＜π＜S2n一2S n+；（2）已知1.732＜＜1.733，3.105＜S24＜3.106，证明：3.14＜π＜3.15．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE=FG．（I）证明：FE∥BC；（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF=30°，求．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，曲线C2的极坐标方程为ρ=2 acos（θ﹣）（a＞0）．（I）求直线，与曲线C1的交点的极坐标（P，θ）（p≥0，0≤θ＜2π）．（Ⅱ）若直线l与C2相切，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≥（x+l）；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣|x﹣2|的值域为A，若A⊆[1，3]，求a的取值范围．湖北省七市（州）高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i505的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣l D．l【考点】虚数单位i及其性质．【分析】直接利用虚数单位i的运算性质得答案．【解答】解：i505=（i4）126•i=i，∴i505的虚部为1．故选：D．2．命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为（）A．∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1 B．∃x0[﹣2，+∞），x0+3≥lC．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1 D．∀x∈（﹣∞，﹣2），x+3≥l【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为，∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1故选：A．3．二项式的展开式中x的系数等于（）A．84 B．24 C．6 D．﹣24【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1==99﹣r，令=1，解得r即可得出．【解答】解：T r+1==99﹣r，令=1，解得r=6．∴二项式的展开式中x的系数==84．故选：A．4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（）A．l丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据圆柱的体积和高计算出圆柱的底面周长，从而求出圆周的底面周长．【解答】解：由题意得，圆柱形谷仓底面半径为r尺，谷仓高h=尺．于是谷仓的体积V==2000×1.62．解得r≈9．∴圆柱圆的周面周长为2πr≈54尺．故选B．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可计算得到s的值．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得：s=1，n=1n=2，s=﹣3，满足条件n＜3，n=3，s=﹣3+（﹣1）4•32=6，不满足条件n＜3，退出循环，输出s的值为6．故选：C．6．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．7．己知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab的最大值是（）A．9 B．C．4 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的性质及点到直线的距离公式得圆心（1，2）在直线ax+by﹣6=0上，而a+2b=6，由此利用均值定理能求出ab的最大值．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心（1，2），半径r==，直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，∴圆心（1，2）在直线ax+by﹣6=0上，∴a+2b=6，∵a＞0，b＞0，∴2ab≤（）2=9，∴ab≤，∴当且仅当a=2b=3时，ab取最大值．故选：B．8．T为常数，定义f T（x）=，若f（x）=x﹣lnx，则f3[f2（e）]的值为．（）A．e﹣l B．eC．3 D．e+l【考点】函数的值．【分析】由条件先求出f（e），根据f T（x）求出f2（e），再求出f3[f2（e）]的值．【解答】解：由题意可得，f（e）=e﹣lne=e﹣1＜2，则f2（e）==2，又f（2）=2﹣ln2＜2，所以f3（2）==3，即f3[f2（e）]=3，故选：C．9．设M，N是抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意两点，点E的坐标为（﹣λ，0）（λ≥0），若•的最小值为0，则λ=（）A．0 B．C．p D．2p【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用数量积公式，结合配方法、的最小值为0，即可求出λ．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则=（x1+λ，y1）•（x2+λ，y2）=x1x2+λ（x1+x2）+λ2+y1y2=+λ•+λ2﹣p2，∵的最小值为0，∴λ=．故选：B．10．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．2C．3D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥（底面在侧面上）剩下的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥（底面在侧面上）剩下的几何体．∴该几何体的体积=×22×3﹣=2．故选：B．11．已知集合P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（）A．147 B．140 C．130 D．117【考点】元素与集合关系的判断；集合的表示法．【分析】由题意得到集合P的元素是大于等于1且小于等于99的奇数，逐一与2，3，5相乘，除去重复的元素得答案．【解答】解：P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}={n|n为大于等于1且小于等于99的奇数}，Q={2，3，5}，T={xy|x∈P，y∈Q}，当x∈P，y=2时，xy为偶数，有50个；当x∈P，y=3时，xy为奇数，有50个；当x∈P，y=5时，xy为奇数，有50个．在满足条件的奇数中，重复的有：15，45，75，105，135，165，195，225，255，285共10个．故集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为150﹣10=140．故选：B．12．设向量=（1，k），=（x，y），记与的夹角为θ．若对所有满足不等式|x﹣2|≤y≤1的x，y，都有θ∈（0，），则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出不等式|x﹣2|≤y≤1的可行域：△PQR及内部，画出直线l：x+ky=0，旋转直线l，观察直线在可行域的位置，即可得到所求范围．【解答】解：画出不等式|x﹣2|≤y≤1的可行域：△PQR及内部，画出直线l：x+ky=0，当k=0时，x＞0显然成立；旋转直线l，当l∥QR，即有直线l的斜率为1，可得k=﹣1，由图象可得k＞﹣1，又θ≠0，所以与不能同向，因此k＞1或k＜0；所以k的范围是﹣1＜k＜0或k＞1；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．观察下列等式l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；可以推测，1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）= n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）．【考点】归纳推理．【分析】根据已知中的等式，分析出第K个等式右边系数和因式个数的变化规律，归纳可得答案．【解答】解：根据已知中的等式：l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；归纳可得：第K个等式右边系数的分母是K!，后面依次是从n开始的K个连续整数的积，故1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）故答案为：n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）14．函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数是 2 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数可化为函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象的交点的个数；从而作图滶解即可．【解答】解：函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数可化为方程3﹣x=4﹣x2的解的个数；即函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象的交点的个数；作函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象如下，，故函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象共有2个交点，故答案为：2．15．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD= 10m．【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据方位角求出∠ADB，利用仰角的正切值得出AD，BD关系，在△ABD中使用余弦定理解出AD，BD，从而得出CD．【解答】解：作出平面ABD的方位图如图所示：由题意可知∠WAD=20°，∠EAD=40°，设∠ABE=θ，则∠WAB=θ，∴∠DBA+∠DAB=40°﹣θ+20°+θ=60°，∴∠ABD=120°，设BD=x，AD=y，则由余弦定理得AB2=x2+y2﹣2xycos∠ADB，即16900=x2+y2+xy．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴CD=，在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=，∴CD=．∴x=3y．解方程组得．∴CD==10．故答案为：10．16．平面区域A1={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，A2={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R）．在A2内随机取一点，则该点不在A1的概率为1﹣．【考点】几何概型．【分析】利用几何关系的概率公式求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：平面区域A2={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，表示为半径为2的圆及其内部，其面积为4π，A1={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R），表示正方形，其面积为6×6×=18，∴A2内随机取一点，则该点取自A1的概率为=，则不在的A1概率P=1﹣故答案为：1﹣．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．可得1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解出即可得出．（II）当时，c n=a n b n=1，S n=n．当时，c n=a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．∴1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解得或．∴a n=1，b n=1；或a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=3n﹣1．（II）当时，c n=a n b n=1，S n=n．当时，c n=a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1，∴S n=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1，3S n=3+3×32+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，∴﹣2S n=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n=﹣1﹣（2n﹣1）•3n=（2﹣2n）•3n﹣2，∴S n=（n﹣1）•3n+1．18．某电子商务公司随机抽取l 000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7），[0.7，0.8），[0.8，0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券；购物金额在[0.3，0.6）内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6，0.9]内的购物者发放200元的优惠券，现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X（单位：元）的分布列和均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用分层抽样从1000人中抽取10人，发放100元优惠券的购物者有7人，发放200元优惠券的购物者有3人，则此3人所获优惠券的总金额X的可能取值有300，400，500，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和均值．【解答】解：利用分层抽样从1000人中抽取10人，发放100元优惠券的购物者有：10×（1.5+2.5+3）×0.1=7人，发放200元优惠券的购物者有：10×（2+0.8+0.2）×0.1=3人，则此3人所获优惠券的总金额X的可能取值有300，400，500，600，P（X=300）==，P（X=400）==，P（X=500）==，P（X=600）==，∴X的分布列为：X 300 400 500 600PEX=+=390．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设SD=2DC，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【分析】法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小．法二：（1）建立空间直角坐标系，证明，可得EF∥AG，从而EF∥平面SAD．（2）利用和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角，根据向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】解法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接AG，则FG平行且等于CD，又CD平行且等于AB，∴FG平行且等于AE，∴AEFG为平行四边形．∴EF∥AG，∵AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．∴EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角∴tan∠DMH==．∴cos∠DMH=∴二面角A﹣EF﹣D的余弦值为．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），F（0，，），∴．取SD的中点G（0，0，），则．∴∴EF∥AG∵AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．∴EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E（1，，0），F（0，，1）．∴EF中点M（）∴，∴=0∴MD⊥EF又=（0，﹣，0），∴=0∴EA⊥EF，∴和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．∵cos＜，＞==．∴二面角A﹣EF﹣D的余弦值为．20．已知圆心为H的圆x2+y2+2x﹣15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH 相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标和半径，由|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4可得点M的轨迹是以A，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，则其标准方程可求；（Ⅱ）利用向量减法法则得=，然后分直线PQ的斜率不存在、直线PQ的斜率为0及直线PQ的斜率存在且不为0时分别求解．当直线PQ的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合配方法求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2+2x﹣15=0，得（x+1）2+y2=42，∴圆心为H（﹣1，0），半径为4，连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|=|MB|，∴|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4，又|AH|=2＜4，故点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为；（Ⅱ）由直线EF与直线PQ垂直，可得，于是．（1）当直线PQ的斜率不存在时，则直线EF的斜率的斜率为0，此时不妨取P（），Q（），E（2，0），F（﹣2，0），∴；（2）当直线PQ的斜率为0时，则直线EF的斜率不存在，同理可得；（3）当直线PQ的斜率存在且不为0时，则直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），则直线EF的方程为y=，将直线PQ的方程代入曲线C的方程，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴，于是，=（1+k2）[x P x Q﹣（x P+x Q）+1]=．将上面的k换成，可得，∴=，令1+k2=t，则t＞1，于是上式化简整理可得：=．由t＞1，得0，∴．综合（1）（2）（3）可知，所求的取值范围为[]．21．（Ⅰ）求函数f（x）=8cosx﹣6cos2x+cos4x在[0，）上的最小值；（Ⅱ）设x∈（0，），证明：sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）设n为偶数，且n≥6．单位圆内接正n边形面积记为S n．（1）证明：S2n一S n＜π＜S2n一2S n+；（2）已知1.732＜＜1.733，3.105＜S24＜3.106，证明：3.14＜π＜3.15．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（Ⅱ）设g（x）=sinx﹣sin2x﹣x，设h（x）=sinx﹣sin2x+sin4x﹣x，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）（1）令x=，代入sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x中，整理即可；（2）得到s6=，s12=3，在S2n一S n＜π＜S2n一2S n+中，令n=12，代入整理即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣8sinx+12sin2x﹣4sin4x=8sinx（﹣1+3cosx﹣2cosxcos2x）=8sinx（1﹣cosx0（4cos2x+4cosx﹣1）；x∈（0，）时，得sinx＞0，1﹣cosx＞0，由cosx＞，得：4cos2x+4cosx﹣1＞0，古f′（x）＞0，即f（x）在[0，）递增，又f（0）=3，故f（x）在[0，）的最小值是3；（Ⅱ）设g（x）=sinx﹣sin2x﹣x，x∈（0，）时，g′（x）=cosx﹣cos2x﹣1=﹣（cosx﹣1）2＜0，故g（x）在[0，）递减，得g（x）＜g（0）=0，即sinx﹣sin2x＜x，①，设函数h（x）=sinx﹣sin2x+sin4x﹣x，h′（x）=cosx﹣2cos2x+cos4x﹣1=f（x）﹣1，x∈（0，）时，由（Ⅰ）知f（x）＞3，得h′（x）＞0，故h（x）在[0，）上递增，得h（x）＞h（0）=0，即sinx﹣sin2x+sin4x＞x，②，综合①②，x∈（0，）时，有sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）（1）令x=，得：sin﹣sin＜＜sin﹣sin+sin，即sin﹣sin＜π＜nsin﹣nsin+sin，易知s n=sin，s2n=nsin，=sin，即s2n﹣s n＜π＜S2n一2S n+；（2）易得，s6=，s12=3，在S2n一S n＜π＜S2n一2S n+中，令n=12，得：π＞s24﹣s12＞×3.105﹣×3=3.14，﹣2s12+s6＜×3.106﹣2×3+××1.733＜3.15，π＜s24综上，3.14＜π＜3.15．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE=FG．（I）证明：FE∥BC；（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF=30°，求．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）利用切割线定理，EF=FG可得，利用∠EFD=∠AFE，可得△DEF∽△EAF，再利用圆周角定理证明∠DEF=∠EAF=∠DCB，即可得证FE∥BC；（Ⅱ）由已知可求∠EAD=30°，解得=tan30°=，利用相似三角形的性质即可得解的值．【解答】（本题满分为10分）证明：（Ⅰ）由切割线定理得：FG2=FA•FD．又EF=FG，所以EF2=FA•FD，即．因为∠EFD=∠AFE，所以△FED∽△EAF．又∠DAB，∠DCB都是弧DB上的圆周角，有∠DEF=∠EAF=∠DCB，所以，FE∥BC，…（Ⅱ）由AB⊥CD，得∠AED=90°．因为∠EAD=∠DEF=30°，所以=tan30°=，所以===．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，曲线C2的极坐标方程为ρ=2 acos（θ﹣）（a＞0）．（I）求直线，与曲线C1的交点的极坐标（P，θ）（p≥0，0≤θ＜2π）．（Ⅱ）若直线l与C2相切，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据C1的参数方程和直线的极坐标方程便可得出它们的直角坐标方程，联立形成方程组即可求出l与C1的直角坐标交点，再化成极坐标交点即可；（Ⅱ）可写出曲线C2的直角坐标方程，配方得到（x+a）2+（y﹣a）2=2a2，从而根据直线和圆相切时圆心到直线距离和半径的关系即可建立关于a的方程，解出a即可．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为y=x2，，直线l的普通方程为x+y=2；联立，解得，或（舍去）；故直线l与曲线C1的直角坐标为（1，1），其极坐标为；（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为x2+y2+2ax﹣2ay=0，即：（x+a）2+（y﹣a）2=2a2（a＞0）；由曲线l与C2相切，得；∴a=1．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≥（x+l）；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣|x﹣2|的值域为A，若A⊆[1，3]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围，解不等式，从而求出不等式的解集；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合集合的包含关系，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=，x＜1时，由f（x）≥（x+1），有1﹣x≥（x+1），解得：x≤，当x≥1时，f（x）≥（x+1），有x﹣1≥（x﹣1），解得：x≥3，综上，不等式的解集是（﹣∞，]∪[3，+∞）；（Ⅱ）当a＜2时，g（x）=，g（x）的值域A=[a﹣2，2﹣a]，由A⊆[﹣1，3]，得，解得：a≥1，又a＜2，故1≤a＜2，当a≥2时，g（x）=，g（x）的值域A=[2﹣a，a﹣2]，由A⊆[﹣1，3]，得，解得：a≤3，又a≥2，故2≤a≤3，综上，所求a的范围是[1，3]．。

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题含答案

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题含答案

高三数学试卷（答案在最后）试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试装、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}21,Z |M x x n n ==+∈，{}31,Z |N x x n n ==+∈，{}61,Z |P x x n n ==+∈，则（）A.M P⊂ B.N P⊂ C.P M N = D.M N =∅2.已知b ，R λ∈，虚数1i z b =+是方程2230x x λ++=的根，则λ=（）A.4- B.2- C.4D.23.已知向量(cos ,sin )m θθ= ，(1,2)n = ，若//m n，则2sin 2cos θθ+=（）A.2B.85C.1D.04.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是（）cm.A.5400πB.90πC.180πD.40π5.已知随机变量()2~2,N ξσ，且()()1P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a x a x+<<-的最小值为（）A.5B.112C.203D.1636.已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（）A.147π4B.3433π16C. D.48π7.设函数320.5()()log ()f x x ax x a x b =-+-+，若()0f x ≤，则a ，b 满足的关系式为（）A.a b= B.a b=- C.1a b += D.1b a -=8.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为()01p p <<，他掷了k 次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X 表示每掷N 次骰子出现1点的次数，现以使()6P X =最大的N 值估计N 的取值并计算()E X .（若有多个N 使()6P X =最大，则取其中的最小N 值）.下列说法正确的是（）A.()6E x >B.()6E X <C.()6E X = D.()E X 与6的大小无法确定二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()332f x x x =--，则（）A.()f x 的极小值点为1B.()f x 有三个零点C.点()0,2-为曲线()y f x =的对称中心D.过点()0,2可以做曲线()y f x =的两条切线10.受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的关系都符合函数sin()y A x h ωϕ=++（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<，R h ∈）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下选项正确的有（）A.水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的函数关系为ππ3sin 766y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[0,24)x ∈B.该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口C.该船卸完货物后可以在19：00离开港口D.该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：0011.已知圆()22:201M x ax y a -+=>-，过点()2,0P -向圆M 引切线l，切点为Q ，记Q 的轨迹为曲线C ，则（）A.曲线C 关于x 轴对称B.C 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为1-C.C 的渐近线为1x =D.当点()00,x y 在C 上时，0y ≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在()3nx -的展开式中，若2x 的系数为()2n a n ≥，则2323333nna a a +++= --_____.13.M 、N 分别为曲线e 2xy x =+与直线31y x =-上的点，则MN 的最小值为______.14.将椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>上所有的点绕原点逆时针旋转π02θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭角，得到椭圆2C 的方程：223x y xy +-=，椭圆2C 的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin b C B +=.（1）求角C 的大小；（2）若c =2b a -=，求AB 边上的中线长.16.（本题满分15分）已知平面内一动圆过点()2,0P ，且在y 轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）若过点()4,0Q 的直线l 与曲线C 交于点M ，N ，问：以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.17.（本题满分15分）某学校有A ，B 两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去A 餐厅用餐的概率是23.如果第1天去A 餐厅，那么第2天继续去A 餐厅的概率为13；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为12，如此往复.（1）计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.（2）记王同学第n 天去A 餐厅用餐概率为n P ，求n P ；（3）求九月（30天）王同学去A 餐厅用餐的概率大于去B 餐厅用餐概率的天数.18.（本题满分17分）已知函数()()()2ln 1cos 2g x t t =--+--.（1）函数()f x 与()g x 的图像关于1x =-对称，求()f x 的解析式；（2）()1f x ax -≤在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，*N n ∈.19.（本题满分17分）类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）S 的方程，若曲面S 和三元方程(),,0F x y z =之间满足：①曲面S 上任意一点的坐标均为三元方程(),,0F x y z =的解；②以三元方程(),,0F x y z =的任意解()000,,x y z 为坐标的点均在曲面S 上，则称曲面S 的方程为(),,0F x y z =，方程(),,0F x y z =的曲面为S .已知曲面C 的方程为2221114x y z +-=.（1）写出坐标平面xOz 的方程（无需说明理由），并说明xOz 平面截曲面C 所得交线是什么曲线；（2）已知直线l 过曲面C 上一点()1,1,2Q ---，以()1,0,2d =为方向量，求证：直线l 在曲面C 上（即l 上任意一点均在曲面C 上）；（3）已知曲面C 可视为平面xOz 中某双曲线的一支绕z 轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面C 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C 上.设直线l '在曲面C 上，且过点()1,0,0T ，求异面直线l （第二间中的直线l ）与l '所成角的余弦值.2024年高三9月起点考试高三数学答案1234567891011C AC BD ACBACABDABD12.()181n n-13.514.31.因为6为2和3的公倍数，故P M N= 2.1i z b =+是方程的根，则方程另一根为1i z b =-，故242λλ-=⇒=-.3.由于//sin 2cos tan 2m n θθθ⇒=⇒=，2222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 2sin cos cos 1sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθ+++=+===++.4.大轮有45齿，小轮有30齿，…当大轮转动一周时小轮转动453302=周，当大轮的转速为180/min r 时，小轮转速为2180270/min 3r ⨯=，小轮周上一点每1s 转过的弧度数为：2702π609π⨯÷=.又小轮的半径为10cm ，所以小轮周上一点每1s 转过的弧长为：9π1090cm ⨯=.5.143a a +=⇒=，1911913916(3)1033333x x x x x a x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥⎪⎪---⎝⎭⎝⎭，当且仅当393x x x x -=-，即34x =时取等. 6.四台轴截面等腰梯形底角为60°，高为732，边长为12的正三角形内切圆半径为4>，故能放入最大球半径为4，表面积为42147π4π44⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭7.3220.50.5()()log ()(1)()log ()f x x ax x a x b x x a x b =-+-+=+-+，且210y x =+>恒成立， y x a =-在定义域上单调增且零点为x a =，()0.5log y x b =+在定义域上单调减且零点为1x b =-，故y x a =-与()0.5log y x b =+在定义域内函数值正负相反且零点重合，则11a b a b =-⇔+=.8.X 服从二项分布(),B N P ，则666(6)C (1)N N P X p p -==-，()6P X =最大即为满足66666511C (1)C (1)N N N N p p p p --++-≥-的最小N ，即为6666651C (1)15611111C (1)N N N N p p N N p N p p p -----≥⇔⋅≥⇔≥--+-，又N N +∈，故61p -为整数时，61N p=-，()6E X Np =<；61p -不为整数时N 为大于61p -的最小整数，为6p的整数部分，()6E X Np =<.故()6E X <，9.2()3301f x x x '=-=⇒=±，其中1-为极大值点，1为极小值点，A 对；()10f -=，()14f =-，故()f x 有两个零点，B 错；()600f x x x ''==⇒=，()02f =-，故()0,2-为曲线()y f x =的对称中心，C 对；()0,2在对称中心()0,2-处的切线上方，故只能做一条切线，D 错.10.依题意3A =，10472h +==，2π142ω=-，解得π6ω=，显然函数3sin 76y x πϕ=+⎛⎫⎪⎝⎭+的图象过点()2,10，即πsin 13ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，又ππ22ϕ-<<，因此π6ϕ=，所以函数表达式为ππ3sin 766y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[0,24]x ∈.故A 对依题意，ππ3sin 76 2.566024x x ⎧⎛⎫++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤⎩，整理得ππ1sin 662024x x ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤⎩，即有πππ5π2π2π(Z)6666024k x k k x ⎧+≤+≤+∈⎪⎨⎪≤≤⎩，即12412(Z)024k x k k x ≤≤+∈⎧⎨≤≤⎩解得04x ≤≤或1216x ≤≤，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.故B 对.该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，19时水深为ππ3sin 1977 5.5662y ⎛⎫=⨯++=+<⎪⎝⎭，故C 错，该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x 小时后，该船符合安全条例的最小水深为0.36 2.5y x =-++函数0.36 2.5y x =-++与ππ3sin 766y x ⎛⎫⎪⎝⎭=++的图像交于点()5,7，即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，下次水深为7米时刻为11点，故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.故D 对.11.圆222:()M x a y a -+=，圆心(,0)M a ，半径a ，且1a >-，且0a ≠.()2240440a a -++=+> ，则点()2,0P -在圆M 外.由题意知MQ PQ ⊥，设(),Q x y ，则22(,)(2,)(2)20MQ PQ x a y x y x y a x a ⋅=-⋅+=++--= ①又点Q 在圆M 上，则2220x ax y -+=②，①-②得，()22a x a +=，解得22xa x=-③，由1a >-且0a ≠，解得22x -<<，且0x ≠将③代入②消a 得，22(2)2x x y x+=-，(2,0)(0,2)x ∈- 即为曲线C 的方程.设2(2)()2x x f x x +=-，[2,2)x ∈-，则222(24)()(2)x x x f x x --'=--，令()0f x '=解得1x =-，或0x =，或1x =+当21x -<<-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增.且()20f -=，()00f =，当2x →时，y →+∞.且当0y ≥时，函数()g x =与()f x 单调性相同，且()20g -=，()00g =，当2x →时，y →+∞.故()g x 的大致图象如下图，又由方程22(2)2x x y x+=-可知曲线C 关于x 轴对称，2x ≠-且0x ≠.故曲线C的大致图象为如下图，故C 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为15-，浙近线为2x =，A 、B 项正确，C 错误；D 项，当点00(,)x y 在C 上时，则2200022x y x x +=⋅-由020x -<<，或002x <<.得2004x <<，又00202x x +>-，2200000022422x x y x x x ++=⋅<⋅--，则00022x y x +<-，所以000222x y x +≤-D 正确；12.由二项式定理通项公式得222(1)332n n n n n n a C ---==⋅，则2323181818(1)1(1)3n n n n a n n n nn n -⋅===----⋅，则23233331818181818181818(1)182123131n n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=--- .13.x()e 2(31)e 10xf x x x x =+--=-+>恒成立，则曲线e 2x y x =+在直线31y x =-上方，则当M 处切线与直线31y x =-平行时MN 最小，e 2x y x =+求导得e 230x y x '=+=⇒=，此时点()0,1M 到直线距离即为最短距高，此时5MN ===∣∣.14.设点(),P x y 在该椭圆上，则其关于y x =的对称点(),P y x '代入椭圆方程有223y x yx +-=，即223x y xy +-=，则该对称点位于椭圆方程上，同理其关于y x =-的对称点(),P y x '--也位于椭圆方程上，则223x y xy +-=关于y x =±对称，将y x =代入223x y xy +-=可得23x =，可得椭圆长轴的顶点为，(，所以a ==将y x =-代入223x y xy +-=可得21x =，可得椭圆短轴的顶点为(1,1)-，(1,1)-，所以b ==，则2c ==，则e3c a ===.15.（1）π3C =（2解：（1）因为()1cos sin b C B +=，由正弦定理可得()sin 1cos sin B C C B +=.又因为()0,πB ∈，则sin 0B ≠，所以1cos C +=.整理得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为()0,πC ∈，所以ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66C -=，所以π3C =.（6分）（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，且c =则有22252()a b ab a b ab =+-=-+，又2b a -=，故48ab =.（8分）设AB 边上中线为CM ，则1()2CM CA CB =+∣，222211()[()3]3744CM a b ab a b ab =++=-+= ，故AB （13分）16.（1）24y x =；（2）过定点，定点为原点.解：（1）设动圆圆心(),x y ，当0x ≠=24y x =；当0x =时，点C 的轨迹为点()0,0，满足24y x =.综上可知，点C 的轨迹方程为24y x =.（5分）（2）设直线l 方程为：4x my =+，则22441604x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，0∆>恒成立，1212416y y m y y +=⎧⇒⎨=-⎩，设圆心为P ，则2p y m =，224p x m =+，2(24,2)P m m +，（8分）直径12MN y =-=，故圆P 的方程为222222[(24)](2)4(1)(4)2MN x m y m m m ⎛⎫-++-==++ ⎪⎝⎭，由对称性可知，若存在定点，则必在x 轴上，令0y =，则22222[(24)](2)4(1)(4)x m m m m -++=++，（12分）化简得：()22420x m x -+=对R m ∀∈恒成立，故0x =，∴存在定点()0,0，故以MN 为直径的圆过定点()0,0.（15分）17.（1）718；（2）13517216n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭；（3）1天.解：（1）设1A 表示第1天去A 餐厅，2A 表示第2天去A 餐厅，则1A 表示第1天去B 餐厅，根据题意得，12()3P A =，()113P A =，()2113P A A =，()2111122P A A =-=，所以()()()()()212112121117333218P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=.（4分）（2）设n A 表示第n 天去A 餐厅用餐，则()n n P P A =，()1n n P A P =-，根据题意得，()113n n P A A +=∣，()111122n n P A A +=-=，由全概率公式得，()()()()()()111111113262n n n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A P P +++=+=+-=-+，即11162n n P P +=-+，（7分）整理得，1313767n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又1350721P -=≠，所以37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以521为首项，16-为公比的等比数列，13517216n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（10分）（3）由题意，只需1n n P P >-，即1(1,2,,10)2n P n >= ，则1351172162n -⎛⎫+⨯-> ⎪⎝⎭，即113(1,2,,30)610n n -⎛⎫->= ⎪⎝⎭ ，显然n 必为奇数，n 为偶数时不成立，当1,3,,29n = 时，考虑111136610n n --⎛⎫⎛⎫-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解，当1n =时，3110>显然成立，当3n =时，2130610⎛⎫-< ⎪⎝⎭，不成立，由116n y -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减得，5,7,,29n = 时，也不成立，综上，该同学只有1天去A 餐厅用餐的概率大于去B 餐厅用餐概率.（15分）18.（1）()()2ln 1cos f x x x =++，()1x >-；（2）2a =；（3）证明见解析.解：（1）依题意，设()f x 图像上任意一点坐标为()00,x y ，则其关于1x =-对称的点()002,x y --在()g x 图像上，则000()(2)y f x g x ==--，则0000()(2)2ln(1)cos f x g x x x =--=++，0(1)x >-故()()2ln 1cos f x x x =++，()1x >-；（5分）（2）令()()()12ln 1cos 1h x f x ax x x ax =--=++--，()1x >-，则在()0h x ≤在)1(,x ∈-+∞恒成立，又()00h =，且()h x 在)1(,x ∈-+∞上是连续函数，则0x =为()h x 的一个极大值点，2()sin 1h x x a x '=--+，(0)202h a a '=-=⇒=，下证当2a =时，()0h x ≤在)1(,x ∈-+∞恒成立，令()ln(1)x x x ϕ=+-，1()111x x x x ϕ'=-=-++,当()1,0x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，当,()0x ∈+∞，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，故()()00x ϕϕ≤=，()ln 1x x +≤在()1,-+∞上恒成立，又cos 1x ≤，则2a =时，()()()()12ln 1cos 10h x f x ax x x x ⎡⎤=--=+-+-⎦≤⎣恒成立，综上，2a =.（11分）（3）证明：由（2）可知：()12f x x -≤，则11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122f k k⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则211111122122n k n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭∑，又由（2）可知：()ln 1x x +≤在()1,-+∞上恒成立，则ln 1x x ≤-在()0,+∞上恒成立且当且仅当1x =时取等，令(0,1)1n x n =∈+，*N n ∈，则1ln 1111n n n n n -<-=+++，即11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++，则111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n +++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=，综上，21112ln 2ln 42nk n f n =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑，即证.（17分）19.（1）0y =，双曲线：（2）证明见解析：（3）810+.解：（1）根据坐标平面xOy 内点的坐标的特征可知，坐标平面xOz 的方程为0y =，已知曲面C 的方程为2221114x y z +-=，当0y =时，xOz 平面截曲面C 所得交线上的点(),0,M x z 满足2214z x -=，从而xOz 平面截曲面C 所得交线是平面xOz 上，以原点O 为对称中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，虚轴长为4的双曲线.（4分）（2）设000(,,)P x y z 是直线l 上任意一点，由()1,0,2d = ，QP 均为直线l 的方向向量，有//QP d ，从而存在实数λ，使得//QP d λ ，即()()0001,1,21,0,2x y z λ+++=，则00011022x y z λλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得01x λ=-，01y =-，022z λ=-，所以点p 的坐标为()1,1,22λλ---，于是22222(1)(1)(22)211(21)1114λλλλλλ---+-=-++--+=，因此点P 的坐标总是满足曲面C 的方程，从而直线l 在曲面C 上.（10分）（3）直线l '在曲面C 上，且过点()1,0,0T ,设()111,,M x y z 是直线l '上任意一点，直线!的方向向量为(,,)d a b c '= ，由d ' ，TM 均为直线l '的方向向量，有//TM d ' ，从而存在实数t ，使得TM td '= ，即()()1111,,,,x y z t a b c -=，则1111x at y bt z ct -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得11x at =+，1y bt =，1z ct =，所以点M 的坐标为()1,,at bt ct +，111(,,)M x y z 在曲面C 上，222(1)()()1114at bt ct +∴+-=，整理得2222204c a b t at ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由题意，对任意的t ，有2222204c a b t at ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭恒成立，22204c a b ∴+-=，且20a =，2c b ∴=或2c b =-，不妨取1b =，2c =或2-，(0,1,2)d '∴= ，或(0,1,2)d '=- ，又直线l 的方向向量为(0,1,2)d =则异面直线l 与l '所成角的余弦值均为45d d d d '⋅==' .（17分）。

2020-2021学年湖北省华大新高考联盟高三(上)质量测评数学试卷(理科)(1月份)(附答案详解)

2020-2021学年湖北省华大新高考联盟高三(上)质量测评数学试卷(理科)(1月份)(附答案详解)

2020-2021学年湖北省华大新高考联盟高三（上）质量测评数学试卷（理科）（1月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|(2x−3)(x+4)<0}，B={x|x>0}，则A∪(∁R B)=()A. {x|−4<x≤0}B. {x|x≤−4或x>0}C. {x|x>4}D. {x|x<32}2.若在复平面内，复数3−2i、1−2i、2+i所对应的点分别为A，B，C，则△ABC的面积为()A. 6B. 4C. 3D. 23.世界著名的数学杂志《美国数学月刊》于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题.题中的正六边形棋盘，用三种全等(仅朝向和颜色不同)的菱形图案全部填满(如图)，如棋盘内随机投掷3点，则至少2点落在灰色区域内的概率为()A. 1327B. 727C. 23D. 20274.已知母线长为2的圆柱O1O2的体积为2π，点M，N分别是圆O1，O2上的点，且O1M⊥O2N，则直线MN与圆柱底面所成角的正弦值为()A. √22B. √33C. √63D. √245.函数f(x)=3|x|2x+sinx的图象大致为()A.B.C.D.6.已知正六边形ABCDEF中，点G是线段DE的中点，则FG⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 13BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34CA⃗⃗⃗⃗⃗ B. 16BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23CA⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13CA⃗⃗⃗⃗⃗ D. 16BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34CA⃗⃗⃗⃗⃗7.已知矩形ABCD中，AB=8，取AB，CD的中点E，F，沿直线EF进行翻折，使得二面角A−EF−B的大小为120°，若翻折以后点A，B，C，D，E，F均在球O 的表面上，且球O的表面积为80π，则BC=()A. 6B. 2C. 4D. 38.“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中，正确的是()A. “提丢斯数列”是等比数列B. “提丢斯数列”的第99项为3⋅298+410C. “提丢斯数列”前31项和为3⋅23010+12110D. “提丢斯数列”中，不超过20的有9项9. 已知函数f(x)={3x ,0≤x ≤13−log 2x,1<x ≤32，函数F(x)=x(2x −1)，若y =F[f(x)]的图象与直线y =m 有3个交点，则实数m 的值可能为( )A. −6B. 9C. −12D. 1210. 已知直线l ：2x −y +4=0与y 轴交于点M ，抛物线C ：x 2=2py(p ∈(0,3))的准线为l′，点A 在抛物线C 上，点B 在l′上，且AB ⊥l′，∠ABM =∠AMB ，∠MAB =120°，则p =( )A. 67B. 127C. 45D. 8511. 已知函数f(x)=sin(3x −φ)(0<φ≤π2)在[0,π4]上单调递增，现有如下三个结论：①φ的最小值为π3；②当φ取得最大值时，将函数f(x)的图象向左平移π18个单位后，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则g(π3)=12； ③函数f(x)在[0,2π]上有6个零点． 则上述结论正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 分别在双曲线C 的左、右两支上，点A 在x 轴上，且M ，N ，F 1三点共线，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠F 1NF 2=∠ANF 2，则双曲线C 的离心率为( )A. √5B. √7C. 3D. √11二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x ，y 满足{3x −y −4≤0,x −y +1≥0,y +2≥0,则z =3x −5y 的最大值为______ ．14. 已知(2x 2−1)6=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋅⋅⋅+a 11x 11+a 12x 12，则a 6+a 7+a 8= ______ ．15. 已知α，β∈[0,π]，cosα+cosβ=35，cosαcosβ=−15，则sinαsinβ= ______ ． 16. 已知数列{a n }满足a 1=−12，a 2=1，数列{a n }的奇数项单调递增，偶数项单调递减，若|a n+1−a n |2n+1=1，在数列{a n }的通项公式为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知平面四边形ABCD如图所示，其中AB⊥BC，∠DAC=θ，∠ADC=60°．∠ACB=12(1)若θ=30°，BC=3，点E为线段AD的中点，求BE的值；=√3，求cos2θ的值．(2)若DCAB18.如图所示，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，线段AC与BD交于点O，E为线段CC1的中点．(1)若点F在线段A1C上，且∠FOA1=90°，求证：OF⊥A1B；(2)若3AB=4AA1，∠ABC=120°，求直线EO与平面A1CD所成角的正弦值．19.教育部官方数据显示，2020届大学毕业生达到844万，根据相关调查，位于大城市的应届毕业生毕业后，有30%会留在该城市进行就业，于是租房便成为这些毕业生的首选.为了了解应届毕业生房租支出的费用，研究人员对部分毕业生进行相关调查，所得数据如图所示．(1)求m的值以及房租支出的平均值x−；(2)为了了解应届生选择租房时考虑的主要因素，研究人员作出调查，所得数据如表所示，判断是否有99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性．(3)由频率分布直方图，可近似地认为A城市应届毕业生房租支出服从正态分布N(μ,3.22)，若2020年该市区的应急毕业生共有100万人，试根据本题信息估计毕业后留在该市且房租支出介于8.6百元到21.4百元之间的毕业生人数．．附：参考公式：K2=η(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9544，P(μ−3σ< X<μ+3σ)≈0.9973．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上运动，△AF1F2面积的最大值为√3，且当AF1⊥F1F2时，|AF1|=32．(1)求椭圆C的方程；(2)延长直线AF1与椭圆C交于点B，若|F1A|⋅|F1B|=λ|AB|，求λ的值．21.已知函数f(x)=alnx−x2−x．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a=−1，函数F(x)=f(x)+x+1，且∀m，n∈(0,+∞)，m≠n，|mF(n)−nF(m)|>λmn|m−n|，求实数λ的取值范围．22. 已知极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcosθ=4，以极点为原点，极轴所在直线为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为{x =2cos2ϕ,y =2+4sinϕcosϕ,(φ为参数)． (1)求直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α(α∈[0,π))的直线l′与直线l 交于点M ，与曲线C 交于O ，N 两点，若|ON|=λ|OM|，求实数λ的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|−|x −32|．(1)求不等式f(x)≥3x 的解集；(2)若存在x 1，x 2∈R ，使得f(x 1)+|2x 2−m|+|2x 2+1|=0，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A ={x|−4<x <32},B ={x|x >0}， ∴∁R B ={x|x ≤0}，A ∪(∁R B)={x|x <32}． 故选：D ．可求出集合A ，然后进行补集和并集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：依题意，A(3,−2)，B(1,−2)，C(2,1)， 在复平面内作出△ABC 的图形如图所示， 所以△ABC 的面积为12×2×3=3． 故选：C ．先求出复数在复平面内对应的点，然后作出△ABC ，利用面积公式求解即可． 本题考查复数的几何意义的理解和应用，考查转化思想，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：正六边形棋盘，用三种全等(仅朝向和颜色不同)的菱形图案全部填满， 一共48个菱形，黑白灰各16个，故向棋盘内随机投掷1个点，落在灰色区域内的概率为13；则至少2点落在灰色区域内的概率P =C 32⋅(13)2⋅(23)+(13)3=727， 故选：B ．一共48个菱形，黑白灰各16个．在棋盘内随机取点，基本事件总数n =48，此点取自灰色区域包含的基本事件个数m =16，进而求解结论．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：作出图形如图所示，则π⋅r 2⋅l =2π，解得r =1； 过点M 作MM′垂直于下底面，垂足为M′，则MM′=2，NM′=√2， 故直线MN 与圆柱底面的成角的正弦值sinθ=sin∠MNM′=|MM′||MN|=2√6=√63，故选：C ．作出图形如图所示，求底面半径，过点M 作MM′垂直于下底面，垂足为M′，通过求解三角形推出直线MN 与圆柱底面的成角的正弦值．本题考查空间几何体的体积、空间角的运算，考查考生数学运算、直观想象的核心素养，是中档题．5.【答案】A【解析】解：依题意，x ∈(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=3|−x|2⋅(−x)+sin(−x)=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除C ； f(π2)=3π2π+1>2，排除D ；当x 的值从x 轴的正方向接近0时，f(x)接近+∞，排除B ； 故选：A ．判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想以及函数值的符号是否对应进行判断即可． 本题考查函数的图象与性质，考查考生直观想象、逻辑推理的核心素养．利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】B【解析】解：作出图形如图所示，则FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：B ．由已知结合向量的线性表示即可直接求解．本题考查平面向量的基本定理，考查考生直观想象、逻辑推理的核心素养，是基础题．7.【答案】C【解析】解：作出图形如图所示，记△CDF 的外接圆圆心为O 1，则FO 1=DF2sin∠DCF =4，故DO =√DO 22+OO 12=√16+OO 12， 而球O 的表面积S =4π⋅DO 2=4π⋅(√16+OO 12)2=80π，故OO 1=2，则BC =4，故选：C ．画出图形，转化求解外接球的半径，然后求解表面积即可．本题考查空间几何体的结构特征、球的表面积公式，考查考生数学运算、直观想象的核心素养，是中档题．8.【答案】C【解析】解：记“提丢斯数列”为数列{a n }， 则当n ≥3时，10a n −4=6⋅2n−3，解得a n =3⋅2n−2+410，当n =2时，a 2=0.7，符合该式，当n =1时，a 1=0.55≠0.4， ∴a n ={0.4,n =13⋅2n−2+410,n ≥2，对于A ，“提丢斯数列”不是等比数列，故A 错误； 对于B ，“提丢斯数列”的第99项为a 99=3⋅297+410，故B 错误；对于C ，“提丢斯数列”前31项和为：S 31=0.4+30×410+310(20+2+22+⋯+229) =12.55+310×1−2301−2=3⋅23010+12110，故C 正确；对于D ，由a n ≤20，得a 1=0.55，成立； n ≥2时，a n =3⋅2n−2+410≤20，即2n ≤7843，解得n ≤8，a 8=3×26+410=19.6，a 9=3×27+410=38.8，∴“提丢斯数列”中，不超过20的有8项，故D 错误． 故选：C ．推导出a n ={0.4,n =13⋅2n−2+410,n ≥2，由此利用等比数列的性质能求出正确选项．本题考查数学文化、等比数列的通项公式与前n 项和公式、分组求和法，考查考生数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．9.【答案】B【解析】解：令f(x)=a ，则F(a)=m ，要使得y =F[f(x)]的图象与直线y =m 有3个交点， 则F(a)=m 存在两个实数根a 1，a 2，且1≤a 1<3，a 2=3或1≤a 1<3，−2≤a 2<1，结合函数F(x)的图象可知，1≤m ≤10， 故选：B ．令f(x)=a ，则F(a)=m ，根据题意结合图像可得F(a)=m 存在两个实数根a 1，a 2，且1≤a 1<3，a 2=3或1≤a 1<3，−2≤a 2<1，即可得出答案．本题考查分段函数的图象与性质，考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，是中档题．10.【答案】D【解析】解：依题意，M(0,4)，不妨设点A 在第一象限，|MA|=m ，∠ABM =∠AMB ，|AM|=|AB|=|AF|，∠MAB =120°，∠OMA =60°， 所以△MAF 为等边三角形，故A(√32m,m 2+p2)，代入C ：x 2=2py 中，故34m 2=2p(m2+p2)，解得m =2p ；而|MO|=4，则2p +p2=4， 解得p =85， 故选：D ．设出A 的位置，然后求解A 的坐标，代入抛物线方程，求解m =2p ，结合M 的坐标，求解p 即可．本题考查抛物线的方程与性质，考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，是中档题．11.【答案】C【解析】解：对于①：依题意，x ∈[0,π4]，故3x ∈[0,3π4]，则3x −φ∈[−φ,3π4−φ]，故{−φ≥−π23π4−φ≤π2，解得π4≤φ≤π2，故①错误；对于②：当φ取得最大值时，f(x)=sin(3x −π2)=−cos3x ， 将函数f(x)的图象向左平移π18个单位后，得到y =−cos(3x +π6)，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)=−cos(3x2+π6)，则g(π3)=12，故②正确； 对于③：在同一直角坐标系中分别作出y =sin(3x −π4)以及y =sin(3x −π2)的图象如下所示，观察可知，它们在[0,2π]上有个6个零点，故③正确； 故选：C ．直接利用三角函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换和函数的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查三角函数的图象与性质，考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：依题意，F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得F 2M//AN ，∠F 1NF 2=∠ANF 2=∠MF 2N ，故|MN|=|MF 2|，又|MF 2|=13|AN|，故|MF 1|=12|MN|，不妨设|MN|=2m ，由双曲线的定义可得，|MF 2|=m +2a ，|NF 2|=3m −2a ， 故2m =m +2a ，故m =2a ，则|MN|=|MF 2|=|NF 2|=4a ， 故△MNF 2为等边三角形，故在△NF 1F 2中，∠F 1NF 2=60°，即|NF 1|=3m =6a ，|NF 2|=4a ，|F 1F 2|=2c ， 由余弦定理，4c 2=(6a)2+(4a)2−2⋅6a ⋅4a ⋅cos60°=28a 2， 则e =√7， 故选：B ．利用双曲线的定义，结合余弦定理，推出a ，c 关系，即可得到离心率．本题考查双曲线的方程与性质，考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，是中档题．13.【答案】12【解析】解：作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示：观察可知，当直线z =3x −5y 过点C 时，z 有最大值； 联立{3x −y −4=0y +2=0，解得{x =23y =−2，故C(23,−2)，故z =3x −5y 的最大值为12． 故答案为：12．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解最值．本题考查二元一次不等式组与平面区域、线性规划，考查考生数学运算、直观想象的核心素养，是中档题．14.【答案】80【解析】解：∵(2x 2−1)6=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋅⋅⋅+a 11x 11+a 12x 12，a 7=0，a 6=C 63⋅23⋅(−1)3=−160，a 8=C 62×24×(−1)2=240，故a 6+a 7+a 8=80，故答案为：80．由题意利用二项展开式的通项公式，求得a 6、a 7、a 8的值，可得a 6+a 7+a 8的值． 本题考查二项式定理，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养，属于中档题．15.【答案】√75【解析】解：依题意，(sinαsinβ)2=sin 2αsin 2β=(1−cos 2α)(1−cos 2β)=(1+cosαcosβ)2−(cosα+cosβ)2=725，则sinαsinβ=√75．故答案是：√75．(sinαsinβ)2=sin 2αsin 2β=(1−cos 2α)(1−cos 2β)，将其展开，代入求值． 本题考查三角恒等变换，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养．16.【答案】a n ={n,n =2k −1−n,n =2k(k ∈N +)【解析】解：根据题意，数列{a n }的奇数项单调递增，偶数项单调递减，则{a 2n−1}单调递增，故a 1<a 3<a 5<⋯；同理数列{a 2n }单调递减，故a 2>a 4>a 6>⋯， 所以…a 5>a 3>a 1>a 2>a 4>a 6>⋯； 又由|a n+1−a n |2n+1=1，即|a n+1−a n |=2n +1，则有a 2n+1−a 2n =4n +1，a 2n −a 2n−1=−4n −1， 两式相加可得：a 2n+1−a 2n−1=2；又a 1=1，所以a 2n−1=1+2(n −1)=2n −1，又由a 2n −a 2n−1=−4n −1，则a 2n =a 2n−1−(4n −2)=(2n −1)−(4n −1)=−2n ，则a 2n =−2n ，综合：所以数列{a n }的通项公式为a n ={n,n =2k −1−n,n =2k (k ∈N +). 故答案为：a n ={n,n =2k −1−n,n =2k(k ∈N +). 根据题意，由数列的单调性分析可得…a 5>a 3>a 1>a 2>a 4>a 6>⋯；又由|a n+1−a n |2n+1=1，即|a n+1−a n |=2n +1，变形分析可得a 2n+1−a 2n−1=2；由此求出a 2n−1和a 2n ，综合可得答案．本题考查数列的递推公式、数列的通项公式，涉及数列的函数特性，属于中档题．17.【答案】解：(1)依题意，∠ACB =30°，∠DAC =60°，故△ADC 为等边三角形，则AB =√3，AC =2√3，BD =√BC 2+CD 2=√21， 因为cos∠BEA +cos∠BED =0， 由余弦定理，BE 2+AE 2−AB 22BE⋅AE+BE 2+DE 2−BD 22BE⋅DE=0，解得BE =3； (2)设AB =x ，则DC =√3x ，在Rt △ABC 中，AC =xsinθ， 在△ACD 中，∠DAC =2θ， 由正弦定理，DCsin∠DAC =ACsin∠ADC ，即√3xsin2θ=xsinθsin60∘，解得cosθ=34，则cos2θ=2cos 2θ−1=18．【解析】(1)依题意可求△ADC 为等边三角形，可求AB ，AC ，BD 的值，根据cos∠BEA +cos∠BED =0，利用余弦定理即可求解．(2)设AB =x ，则DC =√3x ，在Rt △ABC 中可求AC =xsinθ，在△ACD 中有∠DAC =2θ，利用正弦定理可求cosθ的值，进而根据二倍角的余弦公式即可计算求解cos2θ的值． 本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式，考查考生数学运算、直观想象的核心素养，属于中档题．18.【答案】(1)证明：因为ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ⊥底面ABCD ，所以A 1A ⊥BD.又AC ∩A 1A =A ，AC ⊂平面A 1AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ，所以BD ⊥平面A 1AC ．因为OF ⊂平面A 1AC ，故BD ⊥OF ；又∠FOA 1=90°，即OF ⊥OA 1，而BD ∩OA 1=O ，故OF ⊥平面A 1BD ； 而A 1B ⊂平面A 1BD ，故OF ⊥A 1B ；(2)解：以O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，过点O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ， 设AB =4，AA 1=3，则A 1(−2√3,0,3)，C(2√3,0,0)，D(0,−2,0)，E(2√3,0,32)，则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√3,0,−3)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,32)， 设平面A 1CD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3x −3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +2y =0，令x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−3,4)为平面A 1CD 的一个法向量； 记直线EO 与平面A 1CD 所成角为θ，故sinθ=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=4√399133．【解析】(1)证明BD ⊥AC.A 1A ⊥BD ，推出BD ⊥平面A 1AC.得到BD ⊥OF ；结合OF ⊥OA 1，证明OF ⊥平面A 1BD ； 推出OF ⊥A 1B ；(2)以O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，过点O 作垂直于平面ABCD 的直线为z轴，建立空间直角坐标系O−xyz，设AB=4，AA1=3，求出平面A1CD的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，利用空间向量的数量积求解直线EO与平面A1CD所成角的正弦函数值．本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查考生直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养，是中档题．19.【答案】解：(1)依题意，(0.0125+0.05+m+0.0375+0.0125)×4=1，解得m= 0.1375；故x−=(0.0125×4+0.05×8+0.1375×12+0.0375×16+0.0125×20)×4=11.8；(2)在本次实验中，K2的观测值k0=1500×(500×400−300×300)2800×800×700×700≈57.876>10.828，故有99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性；(3)依题意，毕业后留在该市的应届毕业生人数为1000000×0.3=300000人，P(860<x<2140)=P(μ−σ<x<μ+3σ)=0.6827+0.99732=0.84，故所求人数为300000×0.84=252000．【解析】(1)由频率和为1列式求得m值，再由平均数公式求解房租支出的平均值x−；(2)求出K2的观测值k0，与10.828比较大小得结论；(3)先求出毕业后留在该市的应届毕业生人数，再由已知求得P(860<x<2140)，即可求得毕业后留在该市且房租支出介于8.6百元到21.4百元之间的毕业生人数．本题考查样本的数字特征、频率分布直方图、独立性检验、正态分布，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养，是基础题．20.【答案】解：(1)依题意，bc=√3①，b2a =32②；由①可得，b2c2=3，即b2(a2−b2)=3③；由②可得，b2=32a④，将④代入③中，整理可得，2a3−3a2−4=0，即2a3−4a2+a2−4=0，即(a−2)(2a2+a+2)=0；因为2a2+a+2>0，故a=2，则b2=3，故椭圆C的方程为x24+y23=1；(2)由(1)得F1(−1,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，若直线AB的斜率为零，易知，λ=|F1A|⋅|F1B||AB|=34；若直线AB 的斜率不为零，可设AB 的方程为x =my −1，联立得方程组{x =my −1x 24+y 23=1，消去x 并整理得(3m 2+4)y 2−6my −9=0，△=36m 2+36(3m 2+4)=144(m 2+1)>0，y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，|AB|=√1+m 2⋅|y 1−y 2|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√144(m 2+1)3m 2+4=12(m 2+1)3m 2+4．F 1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=my 1⋅my 2+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2=−9(m 2+1)3m 2+4． ∴F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|=−912=−34，则λ=|F 1A|⋅|F 1B||AB|=34，综上所述，λ=34．【解析】(1)通过三角形的面积，椭圆的定义，列出方程求解a ，b ，得到椭圆方程． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，若直线AB 的斜率为零，推出λ=|F 1A|⋅|F 1B||AB|=34；若直线AB 的斜率不为零，可设AB 的方程为x =my −1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，结合向量的数量积，转化求解即可．本题考查椭圆的方程、直线与椭圆综合性问题，考查考生直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养，是中档题．21.【答案】解：(1)依题意，x ∈(0,+∞)，f′(x)=a x −2x −1=−2x 2−x+ax，则△=1+8a ， 若△=1+8a ≤0，即a ≤−18时，f′(x)≤0，若△=1+8a >0，即a >−18时， 令f′(x)=0，即−2x 2−x +a =0，故x =−1+√1+8a4(x =−1−√1+8a4舍去)，当−1+√1+8a4<0时，即−18<a ≤0时，f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)单调递减， 当−1+√1+8a4>0时，即a >0时，当x ∈(0,−1+√1+8a4)时，f′(x)>0，当x ∈(−1+√1+8a4,+∞)时，f′(x)<0， 故函数f(x)在(0,−1+√1+8a4)上单调递增，在(−1+√1+8a4,+∞)上单调递减；综上所述，当a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减， 当a >0时，f(x)在(0,−1+√1+8a4)上单调递增，在(−1+√1+8a4,+∞)上单调递减；(2)依题意，F(x)=−lnx −x 2+1不妨设0<m <n ，则|mF(n)−nF(m)|>λmn|m −n|等价于|F(n)n−F(m)m|>λ|m −n|，考察函数g(x)=F(x)x，得g′(x)=lnx−x 2−2x 2，令ℎ(x)=lnx−x 2−2x 2，ℎ′(x)=5−2lnxx 3，则x ∈(0,e 52)时，ℎ′(x)>0，x ∈(e 52,+∞)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在区间(0,e 52)上是单调递增函数，在区间(e 52,+∞)上是单调递减函数， 故g′(x)≤g′(e 52)=12e 5−1<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，从而g(m)>g(n)，即F(n)n<F(m)m，故F(m)m−F(n)n>λ(n −m)，所以F(m)m+λm >F(n)n+λn ，即g(m)+λm >g(n)+λn 恒成立，设φ(x)=g(x)+λx ，则φ(x)在(0,+∞)上恒为单调递减函数，从而φ′(x)=g′(x)+λ≤0恒成立，故φ′(x)=g′(x)+λ≤12e 5−1+λ≤0， 故λ≤1−12e 5，即实数λ的取值范围为(−∞,1−12e 5)．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)代入a 的值，问题等价于|F(n)n−F(m)m|>λ|m −n|，考察函数g(x)=F(x)x，得到g(x)在(0,+∞)上单调递减，求出F(m)m−F(n)n>λ(n −m)，得到g(m)+λm >g(n)+λn 恒成立，设φ(x)=g(x)+λx ，根据函数的单调性求出实数λ的取值范围即可． 本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养．22.【答案】解：(1)依题意，直线l 的直角坐标方程为x =4，因为曲线C ：{x =2cos2ϕ,y =2+2sin2ϕ,故x 2+(y −2)2=4，故曲线C 的普通方程为x 2+y 2−4y =0， 则曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ； (2)依题意，直线l′的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)联立{θ=α,ρcosθ=4,故|OM|=|ρM |=4|cosα|，由{θ=α,ρ=4sinθ,故|ON|=|ρN |=4|sinα|， 故λ=|ON||OM|=4|sinα|⋅|cosα|4=12|sin2α|，所以当α=π4或3π4时，λ有最大值12．【解析】(1)直接根据极坐标方程、参数方程、直角坐标方程、普通方程之间的相互转化求解即可，第21页，共21页 (2)分别求出|OM|以及|ON|，结合三角函数的有关知识即可求解结论．本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程、普通方程的转化以及极坐标方程的应用，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养，属于中档题目．23.【答案】解：(1)依题意，|x +1|−|x −32|≥3x ，当x <−1时，−x −1+x −32≥3x ，解得x ≤−56，故x <−1；当−1≤x ≤32时，x +1+x −32≥3x ，解得x ≤−12，故−1≤x ≤−12；当x >32时，x +1−x +32≥3x ，解得x ≤56，故无解；综上所述，不等式f(x)≥3x 的解集为{x|x ≤−12}．(2)依题意，||x +1|−|x −32||≤|x +1−x +32|=52，故−52≤|x +1|−|x −32|≤52；而|2x −m|+|2x +1|≥|2x −m −2x −1|=|m +1|，故−|m +1|≥−52，即|m +1|≤52，则−72≤m ≤32，故实数m 的取值范围为[−72,32]．【解析】(1)利用零点分段法去绝对值分类讨论即可；(2)先利用绝对值三角不等式求出f(x)的值域进而求出f(x 1)的取值范围，结合题意即可得|2x 2−m|+|2x 2+1|的取值集合与−f(x 1)的取值集合有交集进而得到m 的取值范围． 本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的性质，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养．。

湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期新起点考试数学试题及答案

湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期新起点考试数学试题及答案

2021年湖北省新高考联考协作体高三起点考试数学试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.命题“00x ∃≥，020xx a +-≤”的否定是（ ）A.0x ∀≤，20x x a +-≤B.0x ∀≥，20x x a +->C.10x ∃≤，020xx a +->D.00x ∃≥，020xx a +->2.设集合2{|60}M x x ax =++=，3,{)2,1N =---，若M N ⊆，则a 的取值范围是（ ）A.{5aa =∣或7)a = B.{5aa =∣或a -<<C.{aa -<<∣D.{7aa =∣或a -<< 3.已知0a >，0b >且1a b +=，若不等式11m a b+>恒成立，m N ∈+.则m 的最大值为（ ） A.3B.4C.5D.64.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足f （22()()1(00)xx f x g x a a a a -+=-+>≠且，则()1f =（ ）A.1-B.0C.1D.25.已知sin 32a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，7433a ππ-<<-，则7cos 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.4-B.4 C.4-D.46.若()232a =，233b =，1223c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，231()3d =，则a ，b ，c ，a 的大小关系是（ ）A.a b c d >>>B.b a d c >>>C.b a c d >>>D.a b d c >>>7.已知在三棱锥S ABC -中，2SA SB SC AB ====，AC BC ⊥，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A.27B.9C.323πD.163π8.已知21()22f x x ax =-，2()3ln g x a x b --其中0a >.设两曲伐()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点的切线相同，则（ ） A.曲线()y f x =，()y g x =有两条这样的公共切线 B.2233ln 2a b a a =+ C .当3a e=时，b 取最小值D.b 的最小值为216e-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的5分，部分选对得2分，有选错的得0分 9.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前4项的和为114a +，且2a ，21a -，4a 成等差数列，则q 的值可能为（ ） A.12B.1C.2D.310.已知()3,1a -，在()1,2b -，则下列说法正确的有（ ）A.a 在bB.与a 同向的单位向量是⎝⎭ C.,4a b π=D.a 与b 平行11.已知函数()sin(2)()22f x x ππϕϕ=+-<<的图象关于点(,0)12π对称，则（ ）A.()f x 的最小正周㗅是πB.函数()f x 在[,]32ππ上单调递增 C .函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数，则a 的最小值旺512πD.若1x ，23,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12x x ≠时，()()12f x f x =成立，则12x x -的最大值为3π12.设釆数11()1ln (0)f x x x m m mx ⎛⎫=+-+≠ ⎪⎝⎭，则（ ） A.当0m <时，()1f x <-B.当0m <时，()f x 有两个极值点 C .当01m <<时，()f x 任(1,)+∞上不单调D.当1m >时，存在唯一实数m 使得函数()()2g x f x =+恰有两个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.13.设i 是虚数单位，著复数2()2i aa R -∈-是纯虚数，则a =__________. 14.已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 21sin 2αα=-__________.15.已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ，若121n n S S +=+，则7a =__________. 16.函数2()(3)xf x x e =-，关于x 的方程2()()1f x mf x -+=0恰有四个不同实数根，则实数m 的取值范围为__________.四、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 设函数()sin f x x =，x R ∈. （1）已知3[0,)2πθ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数221124y fx f x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，2,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域. 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，共公差不为0，35a =，2a 是1a 与5a 的等比中项. （1）求{}n a 通项公式， （2）记2221n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项之和n T .19.（本小题满分12分）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin B A cb c a b-=-+. （1）求角A 的大小； （2）当3a =时，求2b c+的取值范围. 20.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，且2AB BP ==，1AD AE ==，AE AB ⊥，且//.AE BP（1）设点M 为棱PD 中点，求证EM //平面ABCD ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 2105？若存在，试求出线段PN 的长度；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）北京时间2021年7月23日19：00东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交5a +元（58a ≤≤）的税收，预计当每件产品的售价为x 元（1317x ≤≤）时，一年的销售量为2(18)x -件. （1）求该商店一年的利润L （万元）与每件品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该商店一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a . 22.（本小题满分12分）已知函数()(1)xf x x e mx =++，()3cos 3g x n x =+(),m n R ∈ （1）讨论函数()f x 的导数()f x '的单调性（2）当1n =-时，不等式1()()14f xg x mx +≥+对0x ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 2021年湖北省新高考联考协作体高三起点考试高三数学试卷参考答案一、选择题1－8：BBAC ，DCAD 二、选择题 9AC 10ABC 11AC12ACD三、填空题 四、解答题17.解：（1）由()sin f x x =，得()sin()f x x θθ+=+， ∵()f x θ+为偶函数， ∴()2k k Z πθπ=+∈，∵30,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴2πθ= （2）221124y fx f x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22sin sin 1124x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 21cos 262122x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+- 11(cos 2cos sin 2sin sin 2)1266x x x ππ=----3sin 224x x =)6x π=-∵2[,]123x ππ∈， ∴1sin(2)[,1]62x π-∈-∴)[6y x π=-∈ ∴函数221124y fx f x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的值域为：⎡⎢⎣⎦. 18.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知得：2215312a a a a a d ⎧=⋅⎨=+⎩即()()21111425a d a a d a d ⎧+=⋅+⎪⎨+=⎪⎩ ∴121d a =⎧⎨=⎩或15d a =⎧⎨=⎩（舍） ∴21n a n =- （2）∵1111(41)(43)44143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴123n n T b b b b =++++11111114377114143n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭ 111114343121612n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 129nn =+19.解：（1）由sin sin sin B A Cb c a b-=-+及正弦定理得：()()()b a b a b c c -+=-， 所以222a b c bc =+-，所以，2221cos 22b c a A bc +-==， 所以，由(0,)A π∈，可得：3A π=.（2）a =3A π=，所以：2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，所以：2(sin sin )sin sin 233b c B C B B B ππ+⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为：ABC 为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴cos 3B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围是,12⎛⎤⎥ ⎝⎦，∴322b c +⎛∈ ⎝ 20.解：证明：（I ）∵平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD ⋂平面ABEP AB =，BP AB ⊥，∴BP ⊥平面ABCD ，又AB BC ⊥， ∴直线BA ， BP ，BC 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,2,0)P ，(0,0,0)B ，(2,0,1)D ，(2,1,0)E ，(0,0,1)C ，∴11,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴11,0,2EM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,2,0)BP = ∵BP ⊥平面ABCD ，∴BP 为平面ABCD 的一个法向量， ∵1(1)002002EM BP ⋅=-⨯+⨯+⨯= ∴EM BP ⊥，又EM ⊂/平面ABCD ， ∴//EM 平面ABCD（Ⅱ）解：∵(2,2,1)PD =-，(2,0,0)CD =设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴20220x x y z =⎧⎨-+=⎩，令1y =，得(0,1,2)n =假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α. 设(2,2,)(01)PN PD λλλλλ==-≤≤， ∴(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-∴cos ,||||59BN n BN n BN n ⋅〈〉===⋅∴259803λλ-+=，13λ=或59λ=.∴线段PD 上存在两个点N 使当1PN =或53时， 直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于210535.21.解：（I ）商店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(10)(18)L x a x =---]，[13,17]x ∈.（无定义域扣1分）（II ）2(10)(18)L x a x =---()(18)(3823)L x x a x '=-+-令0L '=得3823ax +=或18x =. ∵58a ≤≤，∴38216183a+≤≤.所以（1）当38216173a+≤<，即5 6.5a ≤<时，当38213,3a x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0L x '≥，()L x 递增 当382,173a x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0L x '≤，()L x 递减3max 382a 4(82)327L L +⎛⎫==- ⎪⎝⎭. （2）当38217183a+≤≤即6.58a ≤≤时()0L x '≥，()L x 在[13,17]递增ax (17)7m L L a ==-.所以34(8)5 6.5()277,6.58,a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩答：若5 6.5a ≤<，则当每件售价为3823a+元时，商店一年的利润L 最大，最大值34()(8)27Q a a =-（万元）；若6.58a ≤≤，则当每件售价为17元时，商店一年的利润L 最大，最大值()7Q a a =-（万元）.22.解：（1）()(1)3x f x x e mx =+++，()(2)x f x x e m '=++，令()(2)xg x x e m =++， 由()(3)xg x x e '=+，当3x <-时，()0 g x '<；当3x >-时，()0g x '>， 所以()f x '在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增； （2）当1n =-时，不等式1()()(1)3cos 314x f x g x x e mx x mx +=++-+≥+对0x ≥恒成立，等价于4(1)312cos 80xx e mx x ++-+≥对0x ≥恒成立，令()4(1)312cos 8xq x x e mx x =++-+，0x ≥，则()4(2)312sin xq x x e m x '=+++，(0)0q =，(0)83q m '=+，令()()4(2)312sin x h x q x x e m x '==+++，0x ≥则()()4(3)12cos 412cos 0x x x h x x e x xe e x '=++=++>对0x ≥恒成立， 从而有()q x '在[0,)+∞上单增， ①当83m ≥-时，()(0)0q x q ''≥≥，()q x 在[0,)+∞上单增， ()(0)0q x q ≥=，即4(1)312cos 80x x e mx x ++-+≥对0x ≥恒成立，②当83m <-时，(0)830q m '=+<， 3143333143312sin 1123312sin 14444m q m m e m m m m m -'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++->-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭31212sin 104m ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭030,14x m ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00q x '=，当00x x <<时，()0q x '<，()q x 在()00,x 上递减，当00x x <≤时，()()00q x q <=，故4(1)312cos 80xx e mx x ++-+≥不成立，综上，m 的取值范围是83m ≥-.。

2024-2025学年湖北省新高考联考协作体高三上学期11月期中数学检测试题(含解析)

2024-2025学年湖北省新高考联考协作体高三上学期11月期中数学检测试题(含解析)

注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上２０２４－２０２５学年湖北省新高考联考协作体高三上学期１１月期中数学检测试题.1. 已知集合{}2340A x x x =--<，{}1,B xx x =>∈Z ，则A B = （ ）A. {}1,2,3-B. {}2,3C. {}3,2-- D. {}3,2,0--【答案】B 【解析】【分析】由一元二次不等式求出集合A ，再由绝对值不等式求出集合B ，最后求交集即可；【详解】由2340x x --<可得14x -<<，所以{}14A x x =-<<，由1x >可得1x >或1x <-，且Z x ∈，所以{}2,3A B ⋂=，故选：B.2. 若1i z =+，则i 3z z +=（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数i 3z z +，再利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为1i z =+，则()()i 3i 1i 31i 1i 33i 24i z z +=+++=-+++=+，因此i 3z z +==.故选：C.3. 已知x ，y 是任意实数，则:4p x y +≥是:1q x ≥且3y ≥的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可.【详解】若:4p x y +≥，则不能推出:1q x ≥且3y ≥，例如：0,5x y ==；若:1q x ≥且3y ≥，则4x y +≥，即命题p 成立，所以命题:4p x y +≥是:1q x ≥且3y ≥的必要不充分条件.故选：B4. 设,a b均为非零向量，且()a ab ⊥- ，2b a = ，则a 与b 的夹角为（ ）A.6πB.4πC.3πD.23π【答案】C 【解析】【分析】由向量垂直可求得2a b a ⋅= ，利用向量夹角公式可求得结果.【详解】由()a a b ⊥- 得：()20a a b a a b ⋅-=-⋅= ，2a b a ∴⋅= ，21cos ,22a a b a b a a a b ⋅∴<>===⋅⋅ ，又[],0,a b π<>∈，,3a b π∴<>= .故选：C.5. 若35log 2a =，0.115b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.125c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A. a c b << B. a b c << C. c a b << D. c b a<<【答案】A 【解析】【分析】由函数3log y x =、5x y =和0.1y x =的单调性可依次得01a <<、1b >和b c >，进而得解.【详解】因为3log y x =是()0,∞+上的增函数，所以33350log 1log log 312=<<=，即01a <<，又因为5x y =是增函数，所以0.10.1015515b -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，又0.1y x =是[)0,+∞上的增函数，所以0.10.10.10.11255515522--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=>= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1b c >>，综上所述，a ，b ，c 的大小关系为a c b <<.故选：A.6. 已知等比数列{}n a 的前3项和为28，0n a >且5256a a -=，则6a =（ ）A. 28 B. 56C. 64D. 128【答案】D 【解析】【分析】通过前3项和以及5256a a -=，求解2,a q ，由通项公式可计算结果.【详解】因为0n a >，所以10,0a q >>，{}n a 的前3项和为28，即12321128a a a a q q ⎛⎫++=++=⎪⎝⎭， ①()5223561a a a q ==--， ②②式比①式可得：31211q qq-=++，即220q q --=，解得：1q =-（舍）或2q =，代入②式得28a =，则462816128a a q ==⨯=.故选：D7. 已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ⋅=，则sin sin αβ=（ ）A.15 B.25C.12D.【答案】B 【解析】【分析】由题设可得sin sin 2cos cos αβαβ=、()3cos 5αβ-=，再由余弦差角公式即可得结果.【详解】由sin sin tan tan 2cos cos αβαβαβ⋅==，即sin sin 2cos cos αβαβ=，由π02βα<<<，即π02αβ<-<，而()4sin 5αβ-=，则()3cos 5αβ-=，所以33cos cos sin sin sin sin 25αβαβαβ+==，可得2sin sin 5αβ=.故选：B8. 英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 的初始近似值，过点(x 0,f (x 0))作曲线y =f (x )的切线()()()000:l y f x f x x x '-=-，则l 与x 轴的交点的横坐标10x x =-()()()()0000f x f x f x ''≠，称1x 是r 的第一次近似值；过点(x 1,f (x 1))作曲线y =f (x )的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的第二次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中()()()()10n n n n n f x x x f x f x +''=-≠，称1n x +是r 的1n +次近似值，这种求方程()0f x =近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程23x =的近似解，则下列正确的是（ ）A. 若取初始近似值为1，则过点(1,f (1))作曲线y =f (x )的切线23y x =-B. 若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为75C. ()()()()()()01230012f x f x f x x x f x f x f x =--'''+D. ()()()()()()()()01210012n n n f x f x f x f x x x f x f x f x f x +=---'--'''【答案】D 【解析】【分析】根据条件介绍的牛顿迭代法求近似解即可.【详解】解：构造函数()23f x x =-，则()2f x x '=，取初始近似值01x =，()02f x =-，()02f x '=，则()()221y x --=-，即24y x =-，则A 错误；()()001001311221f x x x x f x -=⇒=-=-='⨯，()()12114372224f x x x f x -=-=-='⨯，B 错误；根据题意，可知()()()()()()()()0121021321012,,,,n n n n f x f x f x f x x x x x x x x x f x f x f x f x +=-=-=-=-'''' ，上述式子相加，得()()()()()()()()01210012n n n f x f x f x f x x x f x f x f x f x +=-----'''' ，所以()()()()()()01230012f x f x f x x x f x f x f x =--'''-，C 不正确，则D 正确.故选：D .【点睛】关键点睛《解答本题的关键是理解牛顿迭代法的含义，并根据其含义去解决问题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，10a >，670a a +>，670a a ⋅<，下列结论正确的是( ).A. 60a <，70a >B. 0d < C. 130S < D. 当7n =时，n S 最大【答案】BC 【解析】【分析】由等差数列的性质和已知条件可知A 和B 选项；利用等差数列求和判断C 选项；根据60a >，70a <判断D 选项.【详解】因为670a a +>，670a a ⋅<，所以6a 和7a 异号，且67a a >，又因为10a >，所以60a >，70a <，所以0d <，故A 错误，B 正确；()113137131302a a S a +==<，故C 正确；因为60a >，70a <，所以当6n =时，n S 最大，故D 错误.故选：BC.10. 已知实数,a b 满足()lg lg lg 4a b a b +=+，则下列结论正确的是（ ）A. a b +的最小值为9B.1ab的最大值为14C.D. lg lg a b +的最小值为4lg 2【答案】ACD 【解析】【分析】根据对数的性质及运算法则得到4ab a b =+，再利用基本不等式即可验证各选项是否正确.【详解】由对数的性质及运算法则可知：0,0a b >>，且lg lg lg()lg(4)a b ab a b +==+，所以：4ab a b =+.对于选项A ：由4ab a b =+，得：411a b+=，所以414()()()4159b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=，当4b aa b=，即6,3a b ==时，取“=”，所以选项A 正确；对于选项B ：411a b +=≥=1116ab ≤，当41a b=，即8,2a b ==时取“=”，所以1ab 的最大值为116，所以选项B 错误；对于选项C ：因为2411a b =++=+，由选项B 的解题中可知：1116ab ≤，所以212≤+=，≤C 正确；对于选项D ：因为 4ab a b =+≥=，即16ab ≥当4a b =，即8,2a b ==时，取“=”，所以lg lg lg()lg164lg 2a b ab +=≥=，故选项D 正确.故选A,C,D.11. 函数()12xf x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交，则下列结论正确的是（ ）A. 2a =B. ()()21f f ->C. 若120x x <<，则()()1212122x x f f x f x +⎛⎫⎡⎤>+ ⎪⎣⎦⎝⎭D. 方程()()2102fx f x -=有3个实数根【答案】BCD 【解析】【分析】利用指数函数的图象性质可求出参数，再由函数的奇偶性和单调性来分析求解，不等式的证明可利用作差法思想及均值不等式思想来判断.【详解】由函数()12x f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，可知：()01002f a b a b ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由函数()12xf x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象无限接近直线2y =但又不与该直线相交，可知：2b =，所以有2a =-，故A 错误；由函数()1222x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可知()()11222222xxf x f x -⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1222xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数，当0x ≥时，由指数函数的性质可知()111122222222x x x f x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是增函数，所以有()()()221f f f -=>，故B 正确；当120x x <<时，有()()12121112121211111222222222x x x x x x f f x f x +---⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+=---+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1212121122111102222x x x x x x ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++≥-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于12x x ≠，所以上式等号不成立，即有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫⎡⎤>+⎪⎣⎦⎝⎭，故C 正确；由方程()()2102fx f x -=可得：()0f x =或()12f x =，而当0x ≥时，由指数函数的性质可知()1122x f x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭是增函数，所以()()110202f x f -⎛⎫≥=-= ⎪⎝⎭，则根据()f x 是偶函数，可知()0f x =在R 上只有唯一解，当0x ≥时，由()12f x =得：()11212211131232log 32log 322222x x x f x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⇒=⇒=⇒-=⇒=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再根据()f x 是偶函数，可知()12f x =有两个解.所以方程()()2102fx f x -=有3个实数根，故D 正确；故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数y =f (x )，x ∈R ，且()03f =，()()0.520f f =，()()120.5f f =， ，()()()0.520.51f n f n =-，*n ∈N ，则()3f =______.【答案】192【解析】【分析】由题意累乘即可得解.【详解】由题意知，()()()()()60.51(3)03219200.5(2.5)f f f f f f f ⋅⋅=⨯=，所以(3)192f =.故答案为：19213.如图，函数()()()0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，已知点A ，D 为()f x 的零点，点B ，C 为()f x 的极值点，212AB DC AB ⋅=-，则ϕ=______.【答案】5π6##5π6【解析】【分析】结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得ω，再由函数零点可得ϕ，即可得解析式.【详解】由图可得1,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2πT ω=，则1π,03A ω⎛⎫- ⎪⎝⎭，1π32B ω⎛-⎝，1π,32C ω⎛+ ⎝，则π2AB ω⎛= ⎝，π,2DC ω⎛= ⎝ ，则2222π1π33424AB DC ωω⎛⎫⋅=-=-+ ⎪⎝⎭，化简得223π3082ω-=，又0ω>，则π2=ω，则有()π1π2π23k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得()5π2π6k k ϕ=+∈Z ，又0πϕ<<，则5π6ϕ=.故答案为：5π6.14. 若1n a n =-，*n ∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2250n nS S +的最小值为______.【答案】2333【解析】【分析】由题意得(1)2n n n S -=，令(1)t n n =-，则2,N t t ≥∈，可得222505004n n t S S t+=+，令2500()4t f t t=+，求导分析单调性结合,t n 的范围即可求解.【详解】1110a =-=，则(1)2n n n S -=，所以()()222125050041n n n n S S n n -+=+-，令(1)t n n =-，则2,N t t ≥∈，所以222505004n n t S S t+=+，令2500()4t f t t=+，则3225001000()22t t f t t t-'=-=，所以当10t <时，()0f t '<，此时()f t 单调递减，当10t >时，()0f t '>，此时()f t 单调递增，因为(1)t n n =-，且*n ∈N ，当4312t =⨯=时，22250125002334123nn S S +=+=，当326t =⨯=时，222506500277463nn S S +=+=，所以2250nn S S +的最小值为2125001252333641233+=+=.故答案为：2333.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()21cos sin 2f x x x x =+-.（1）求()f x 的单调减区间；（2）将函数y =f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐的标不变），得到函数y =g (x )的图象.若对任意1x ，2π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12g x g x a -≤求实数a 的最小值.【答案】（1）()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）32【解析】【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可得πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用复合函数单调性求出单调递减区间即可.（2）根据函数平移及伸缩求出()g x 解析式，求解()()max min a g x g x ≥-即可.【小问1详解】()211πcos sin 2cos 2sin 2226f x x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭.由()ππ3π2π22π262k x k k +≤-≤+∈Z ，解得()π5πππ36k x k k +≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；【小问2详解】将函数()y f x =图象向左平移π6个单位长度，可得到函数πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，即()πsin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π366x ≤+≤，则1πsin 126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则()112g x -≤≤，对任意的1x 、2π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12g x g x a -≤，则()()max min 13122a g x g x ⎛⎫≥-=--= ⎪⎝⎭，的的故实数a 的最小值为32.16. 已知函数()323f x ax bx x =+-在点()()1,1f --处的切线方程为2y =（1）求函数()f x 的解析式；（2）若2m ≠-，且过点()1,m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()33f x x x =-（2）()3,2--.【解析】【分析】（1）由导数的几何意义和切点在曲线上建立方程组，解出即可；（2）先将问题转化为在切点处的切线方程有三个不同的实数根，再构造函数()g x ，求导分析单调性和极值即可；【小问1详解】由题意得()()()212323,10f f x ax bx f ''⎧-=⎪=+-⎨-=⎪⎩，故()3321332300a b a f x x x a b b -++==⎧⎧⇒⇒=-⎨⎨--==⎩⎩，【小问2详解】过点()1,A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，()20033k f x x '==-，则切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--，将()1,A m 代入上式，整理得32002330x x m -++=.过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，∴方程322330x x m -++=有三个不同实数根.记()32233g x x x m =-++，()()26661g x x x x x '=-=-，令()0g x '=，得0x =或1，则x ，()g x '，()g x 的变化情况如下表：x(),0-∞0()0,11()1,+∞()g x '+0-0+()g x极大极小当0x =，()g x 有极大值3m +；1x =，()g x 有极小值2m +，由题意有，当且仅当()()00,10,g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩即30,20,m m +>⎧⎨+<⎩解得32m -<<-时函数()g x 有三个不同零点.此时过点A可作曲线()y f x =的三条不同切线.故m 的取值范围是()3,2--.17. 在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2A Cb Cc +=（1）求角B 的大小；（2）设D 是边AC 上一点，BD 为角平分线且3AD DC =，求cos A 的值.【答案】（1）π3B =（2）cos A =【解析】【分析】（1）由正弦定理和诱导公式化简已知式可得2sincos cos 222B B B =，分类讨论cos 02B≠和cos02B=即可得出答案；（2）由角平分线定理可得3c a =5sin 2A A =，结合同角三角函数的基本关系可求出cos A 的值.【小问1详解】因为sin sin 2A Cb Cc +=，在ABC V 中，πA C B +=-，所以πsin sin cos 22B Bb Cc c -==在ABC V 中，由正弦定理得：sin sin sin cos2BB C C =又0πC <<，sin 0C ≠，所以sin cos 2B B =，即2sin cos cos 222B B B=，又0πB <<，所以π022B <<，所以cos 02B ≠，所以1sin22B =，因为π022B <<，所以π26B =，即π3B =.【小问2详解】因为3AD DA =，BD 是角平分线，即sin sin ABD CBD ∠=∠，因为11sin 22311sin 22ABDCBDAD h AB BD ABDS AB S CB CD h CB BD CBD ⋅⋅∠====⋅⋅∠△△，所以3c a =，由正弦定理可知sin sin a cA C =，所以32πsin sin 3a aA A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，1sin 3sin 2A A A +=5sin 2A A =，即sin A A =，又因为22sin cos 1A A +=，且cos 0A >，即223cos cos 125A A +=，解得cos A =.18. 已知函数()()212ln 2f x x ax x a =-+-∈R .（1）若3a =，求()f x 极值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，求证：()()12293ln 2f x f x +>-.【答案】（1）极大值为()242ln 2f =-，极小值为()512f = （2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）3a =代入函数解析式，利用导数求函数极值；（2）利用导数，对a 分类讨论，求函数单调区间；（3）1x ，2x 是方程()0g x =的两个根，有2112ax x =+，2222ax x =+，122x x =，12x x a +=，()()122f x f x +化简得2222224116ln 62x x x +-+，令()4116ln 62h t t t t=+-+，利用导数求()h t 的单调性，可证明结论.【小问1详解】当3a =时，()2132ln 2f x x x x =-+-，函数定义域为()0,∞+，()22323x x f x x x x-+-'=-+-=，当12x <<，()0f x '>，()f x 在()1,2上单调递增，01x <<或2x >，()0f x '<，()f x 在()0,1和()2,+∞上单调递减，()f x \的极大值为()242ln 2f =-，()f x 的极小值为()512f =.【小问2详解】由()()212ln 02f x x ax x x =-+->，得()222x ax f x x a x x-+'=-+-=-. 令()22g x x ax =-+，则()()g x f x x'=-，0x >，当280a ∆=-≤，即a -≤≤时，()0g x ≥恒成立，则()0f x '≤，所以()f x 在()0,∞+上是减函数.当280a ∆=->，即a <-或a >（i ）当a <-时，()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >>恒成立，从而()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+上是减函数.（ii ）当a >()g x 有两个零点：1x =，2x =，列表如下：x ()10,x 1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '-+-()f x 减函数极小值增函数极大值减函数综上，当a ≤()f x 的减区间是()0,∞+，无增区间；当a >，()f x 的增区间是，减区间是⎛ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭.【小问3详解】由（2）知，当a >()f x 有两个极值点1x ，2x ，12x x <，则1x ，2x 是方程()0g x =的两个根，从而2112ax x =+，2222ax x =+，由韦达定理，得122x x =，12x x a +=.所以120x x <<<，()()221211122211222ln 2ln 22f x f x x ax x x ax x ⎛⎫⎛⎫+=-+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111222124ln 2ln 2x ax x x ax x =-+--+-()()22221112221224ln 22ln 2x x x x x x =-++--++-2242212122222214116ln 6ln 622x x x x x x x =+-⋅+=+-+.令()222t x t =>，()4116ln 62h t t t t=+-+，2t >，则()()()224241122t t h t t t t+-'=-++=，当2t >时，()0h t '>，则()h t 在()2,+∞上是增函数，从而()()293ln 2h t h >=-，故()()12293ln 2f x f x +>-【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 把满足任意x ，y ∈R 总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=的函数称为“类余弦型”函数.（1）已知()f x 为“类余弦型”函数()0f x >，()1728f =，求f (1)的值；（2）在（1）的条件下，定义数列：()()()*21n a f n f n n =+-∈N，求10012222log log log 333a a a++⋅⋅⋅+的值；（3）若()g x 为“类余弦型”函数，且()g 00>，对任意非零实数t ，总有()g 1t >.设有理数1x ，2x 满足21x x >，判断()2g x 与()1g x 大小关系，并给出证明.【答案】（1）54（2）4950（3）()()21g x g x >，证明见解析【解析】【分析】（1）利用特殊值法：令0x y ==，得()01f =，令1x =，1y =，和()10f >，求得f (1)值；（2）由题设令,1x n y ==，n +∈N ，可得()()()()21221f n f n f n f n ⎡⎤+-=--⎣⎦，易知{}n a 以2为公比，3为首项的等比数列，进而可得2log 3na 的通项，利用对数的运算性质即可求值；（3）先证()g x 为偶函数，再证若a ，b ，N 都是自然数且a b <，如有1a x N =，2bx N=，设g n n C N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，只需证g nN⎛⎫⎪⎝⎭是增函数，利用函数单调性的性质即可证明.【小问1详解】令0x y ==则，()()()20020f f f+=，又()0f x >，故()01f =，令1x =，1y =，则()()()()20211f f f f +=，则()225116f =，又()10f >，故()514f =；【小问2详解】令,1x n y ==，n +∈N ，则()()()()()511212f n f n f n f f n ++-==，即()()()()21221f n f n f n f n ⎡⎤+-=--⎣⎦，又()()()*21n a f n f n n =+-∈N，则12nn aa -=，又13a =，所以数列{}n a 以2为公比，3为首项的等比数列，的的即132n n a -=⨯，则2log 13na n =-，则10012222099log log log 0129910049503332a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⨯=；【小问3详解】由题意得：函数()g x 定义域为R ，定义域关于原点对称，令0x y ==，有()()()2g 0g 02g0+=，又g (0)>0，故()g 01=.令0x =，y 为任意实数，则()()()()g g 2g 0g y y y +-=，即()()g g y y =-，故()g x 是偶函数，因为()()()()g g 2g g x y x y x y ++-=，又因为当0x ≠时，g (x )>1，所以当0x ≠时，有2g (x )g (y )>2g (y )，所以g (x +y )+g (x−y )>2g (y )，又2x ，1x 为有理数，不妨设111p x q =，222p x q =，令N 为2x ，1x 分母的最小公倍数，且1ax N=，2bx N=，a ，b 均为自然数，且a b <，设g ,n n C x N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，()1g 01g N ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，则01C C <，令n x N =，1y N=，则+>即112n n n C C C +-+>，则11n n n n C C C C +-->-，即可得120111120n n n n n n C C C C C C C C C C +---->-->>>->-> ，故可得g n N⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则g (|x 2|)>g (|x 1|)，又()g x 是偶函数，所以有g (x 2)>g (x 1).【点睛】关键点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，而第三问：根据有理数的性质：令1a x N =，2b x N =，将问题转化为判断g n n C N ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(0,+∞)上为增函数.。

湖北省高中名校联盟2024-2025学年高三上学期8月第一次联合测评数学试题

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湖北省高中名校联盟2024-2025学年高三上学期8月第一次联合测评数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．4B ．5．若 π4sin 125a æö+=ç÷èø，则 cos 2a æ-çèA ．1225-B ．725-二、多选题A．点 ()2,0在曲线 C上B．曲线 C的方程为( (2x y+C．曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为A ．若 π3AOB Ð=，球的半径为B ．存在球面三角形ABC，C ．若π3AOB Ð=，球的半径为8π3(1)若 AC与BD交于点O，且(2)求四边形 ABCD周长的最大值．16．已知椭圆Γ22221 x ya b+=经(1)求椭圆Γ的方程；(1)证明：MN∥平面A'BE；(2)当三棱锥A BEN¢-的体积为33，且二面角A BE C¢--为锐平面BEDC夹角的正切值．18．为抽查车辆文明驾驶情况，在某路口设有高清摄像头，对(1)若给定01x =，求r 的二阶(2)设 1(),()(n n xg x h x x +==-+①试探求函数h (x )的最小值 ②证明：3e 4m <-.由已知，10,2Fæöç÷èø，设P(x由22x y=，即212y x=，则y¢所以过点P抛物线C的切线的由BD AC^可知, 2ABDSAOBD=V所以2215 4BO AB AO=-=（2）因为90BCDÐ=°,所以【分析】（1）利用中位线定理在平面A BE ¢中找到和直线MN 平行的直线BH ，利用直线和平面平行的判定定理即可证明.（2）建立空间直角坐标系，根据已知条件利用等体积法，进而求出各个点的坐标，再利用平面的法向量计算平面的夹角的正切值.【详解】（1）取A B ¢的中点H ，BC 的中点O ，由题意知，2CD ED BC BE ====，直角梯形ACDE 中//,BC ED BC CD ^，\四边形BEDC 为正方形，Q N 为A C ¢的中点，////,NH BO EM NH BO EM \==，\四边形EMNH 为平行四边形，//EH NM \，EH ÌQ 平面A BE ¢，NM 不在面A BE ¢内，//MN \平面A BE ¢.（2）连接A O ¢，则AO BC ¢^，以OC 为x 轴，OM 为y 轴，OA ¢为z 轴建立空间直角坐标系，,BE A B BE BC ¢^^Q ，,A B BC ¢Ì面A BN ¢，BE \^平面A BN ¢，BA BC ¢=，12A BC S BC ¢\=´´V 3sin 2A BC ¢Ð=，A BC ¢\V 为等则(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3),BC A ¢-设ur 为平面NBM 的法。

湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高一下学期期末考试数学答案

湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高一下学期期末考试数学答案

2021年湖北省新高考联考协作体高一下学期考试高一数学试卷参考答案一、 单选题 二、多择题：三、填空题13. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛556-,553-556,553或 14. π75 15. 3117- 16. 1543 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】C 考查一元二次不等式，对数不等式的解法，集合的运算。

2. 【答案】A 考查复数的运算，共轭复数以及复数虚部的概念。

3. 【答案】D 考查幂函数，指数函数，对数函数的性质。

4. 【答案】C 考查向量夹角与三角形内角关系，数量积运算。

5. 【答案】B 考查空间中线线，线面垂直的性质，判定。

6. 【答案】A 考查三角函数的周期性，最值，平移变换。

7. 【答案】D 考查基本不等式求最值。

8. 【答案】B 考查平面向量基本定理，数量积运算，向量共线。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 【答案】AD 考查基本概念，逻辑知识。

10. 【答案】ACD 考查函数的奇偶性，周期性，对称性，单调性。

11. 【答案】ABD 考查众数，中位数，平均数，方差。

12. 【答案】BC 考查空间几何体相关知识。

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛556-,553-556,553或.考查向量的运算。

14.【答案】π75.考查圆锥的体积，表面积。

15.【答案】3117-. 考查三角函数的定义，二倍角公式，和角公式。

16.【答案】4. 考查三角函数公式，余弦定理。

【解析】tan tan tan tan()1tan tan ACD BCD ACB ACD BCD ACD BCD ∠+∠∠=∠+∠==-∠∠所以1cos 4ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以4S =.故答案为：4 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.【答案】（1）2a =；（2）()2,4考查复数的相关概念，复数与复平面内点的对应关系，一元二次不等式组的解法。

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“大课改 大数据 大测评”2021 届高三联合测评
数学试卷
2020.12.28 本试题卷共 4 页,22 题。

全卷满分 150 分。

考试用时120 分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时,选出每 小题答案后 ,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。

如需改动, 用橡皮擦干净后 ,再选涂其他 答案标号。

回答非选择题 时,用签字笔或钢笔将 答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本 题共8 小题,每小题5 分,共40 分。

在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是 符合题目要求的。

1.设集合2{|20},{|||1}A x x x B x x =--<=≤,则 A ∩B =
A. {x | -1<x <l}
B. {x |-1 < x ≤l }
C. {x |-1≤x < l }
D. {x |-1≤x ≤l } 2. -1 +3i 1-i
= A.1 + 2i B. 2-i C. -2 + i D.1-2i
3. 已知向量a , b 满足|a - b | = 3, | a + 2b | =6, | a | =2,则| b | =
A. 5
B. 6 C . 2 2 D. 2 3
4. 某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律,因而一年中的第n 月的从事旅游
服务工作的人数f (n ) 可以近似用函数f (n ) = 3000cos(n π6+2π3
)+ 4000 来刻画(其中正整数 n 表示一年中的月份)．当该地区事从旅游服务工作人数在 5500 或 5500以上时,该地区也进人了一年中的旅游“旺季”,那么一年中是“旺季”的月份总数有
A. 4 个
B. 5 个
C. 6 个
D. 7 个
5. 已知等差数列{a n }对任意正整数n 都有a n -2a n +1 +3a n +2 =6n +8, 则 a 2 =
A. 1
B. 8
C. 5
D. 4
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个数学问题:“现
有刍甍,下宽3 丈,长4 丈；上长 2 丈,无宽,高1 丈.问:有体积多少？”本题中刍甍
是如图所示的几何体 EF-ABCD , 底面 ABCD 是矩形,AB //EF ,AB = 4,AD =3, EF =
2, 直线EF 到底面ABCD 的距离h = l, 则该儿何体EF -ABCD 的体积是
A. 5
B. 10
C.15
D.52
7. 党的十八大要求全面实施素质教育,培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人,劳动教育受到全社会广泛关注．某学校的某班级将5名同学分配到甲、乙、丙三个村参加劳动锻炼,每个村至少分 配一 位同学,则甲村恰好分配 2 位同学的概率为
A.35
B.25
C.15
D.45 8. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左 右顶点分别为A , B ,过x 轴上点M (-4,0) 作一直线 PQ 与椭圆交于 P ,Q 两点(异于A ,B ) ,若直线 AP 和 BQ 的交点为 N ,记直线 MN 和AP 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1 : k 2 =
A.13
B. 3
C.12
D.2 二 、选择题：本题 共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分。

在每小题给出的选 项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得3 分。

9. 设a >0, b >0, 则下面不等式中恒成立的是
A.a 2 + b 2 + 1 > a + b
B.||a b a b --≥
C.2
11ab a b
+≤ D.114a b a b
++≤ 10. 某一池塘里浮萍面积 y (单位:m 2 )与时间t (单位:月)的关系为 y = 2t , 列说法中正确的说法是
A. 浮萍每月增长率为1
B. 第 5 个月时 ,浮萍面积就会超过30m 2
C. 浮萍每月增加的面积都相等
D. 若浮萍投延到 2m 2 , 3 m 2 , 6 m 2 所经过时间分别为 t 1,t 2 ,t 3,则t 1+t 2=t 3
11. 下列函数是奇函数,且在[ -1, l ] 上单调递增的是
A.f (x ) =sin x
B.f (x )=-|x +1|
C.e e ()2x x
f x --= D. f (x ) =ππsin()cos()63
x x ++ 12. 如图,已知平行四边形 ABCD 中,∠BAD = 60°, AB = 2AD , E 为边AB 的中点 ,将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1 DE . 若M 为线段A 1C 的中点,则在△ADE 翻折的过程中,下列命题正确的有
A.异面直线 DE 与A 1C 所成的角可以为90°
B.二面角 D -A 1E -C 可以为 90°
C.直线MB 与平面A 1DE 所成的角为定值
D. 线段BM 的长为定值
三、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13. 函数f (x ) =22x x -+在点(0,f (0) )处的切线方程为 ．
14. 已知直线 MN : y =13x + 2 和双曲线 C :22
194
x y -=相交于 M , N 两点,O 为原点 ,则△OMN 面积 为 .
15. 如图,已知 M (0 , 2) , N (1+32,2)为圆 P : (x -1)2+( y -2)2 =1上两点,又 A (-1, 0) , B (2 ,0 )为 x 轴上两个定点,则由 线段AM ,AB ,BN , 劣弧
MN 所围成的阴影部分的面积 ．
16. 若 x ∈(0,1e
)时 ,关于x 不等式3e 2ln 0ax ax x +≤恒成立,则实数a 的最大值是 .
四、解答题：本 题共 6 小题,共70 分。

解 答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤。

17. (本题满分10 分)
在△ABC 中 ,角 A , B , C 的对边分别 为a , b , c , 且B =2A ,c =94
a , . 在①a =2, ②
b =13,③△ABC 的面积为93916
．这三个条件中任选一个,补 在上面条件中,若问题中三角形存在 ,求△ABC 的周长；若问题中三角形不存在,说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
18. ( 本题满分 12 分)
设数列{a n }的前 n 项和为S n , 且S n = 3a n -2, ( n ∈ N *)
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 不等式S n >31 , ( n ∈ N *) ,求 n 的最小值.
19. ( 本题满分 12 分)
为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,某药物研究所科研人员随机选取200只小白鼠,并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图(以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率)：．
(1 ) 根据频率分布直方图 ,估计 200 只小白鼠该项医学指标平均值 x (同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
( 2) 若认为小白 鼠的该项医学指标值 X 服从正态分 布N (2,μσ),且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于 14. 77 时,则认定其体内已经产生抗体 ；进一步研究还发现,对第一次注射疫苗的 200 只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗 , 约有16只小白鼠又产生了抗体．这里µ 近似为小白鼠医学指标平均值x ,2σ近似为样本方差 s 2.经计算得s 2 = 6.92,假设两次注射疫苗相互独立,求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率 p ( 精确到 0. 01) .
附:参考数据与公式
6.92≈2. 63. 若 X ~ N (2,μσ),则
P (|X －μ|≤σ)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)=0.6827.
P (|X －μ|≤2σ)＝P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)=0.9545.
P (|X －μ|≤3σ)＝P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)=0.9973.
20. (本题满分 12 分)
如图 ,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面正△ABC 的边长为 2, 侧棱
AA 1 =3, D , E 分别为CC 1, CB 的中点,设平面A 1DE 与AB 交于F 点．
(1) 求平面A 1DE 与底面A 1BC 1所成二面角的余弦值；
(2) 求线段AF 的长．
21. (本题满分 12 分)
已知抛物线 C : y 2 =2px (p >0) 的焦点 F , 若平面上一点 A ( 2, 3)到焦点 F 与到准线 l : x =-p 2的距离之和等于 7.
(1) 求抛物线C 的方程；
(2)又已知点 P 为抛物线C 上任一点,直线 PA 交抛物线C 于另一点M , 过M 作斜率为 k =43
的直线MN 交抛物线C 于另一点 N ,连接 PN .问直线 PN 否过定点 ,如果经过定点 ,则求出该定点,否则说明理由．
22.(本题满分 12 分)
(1) 求函数 f (x )=1ln x x
-的单调区间; (2) 证明：在x >12且x ≠1时,不等式1ln x x -<234
x +恒成立. '｀。

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