圆周运动及向心力公式的应用

vA=vB,
ω ω
A B
=r 2
r1
=n 2 T ,A
n1 TB
r =1 n 1 =
r2 n 2
。
式中n1、n2分别表示两齿轮的齿数。两点转动方向相反。
典例1 小明同学在学习了圆周运动的知识后,设计了一个课题,名称为:快 速测量自行车的骑行速度。他的设想是:通过计算踏脚板转动的角速度,推 算自行车的骑行速度。经过骑行,他得到如下数据:
答案 (1)√ (2)✕ (3)√
自测2 (多选)电风扇的扇叶的重心如果不在转轴上,转动时会使风扇抖动, 并加速转轴磨损。调整时,可在扇叶的一区域通过固定小金属块的办法改 变其重心位置。如图所示,A、B是两调整重心的金属块(可视为质点),其质 量相等,它们到转轴O的距离的关系为rA<rB。扇叶转动后,它们的 ( )
在时间t内踏脚板转动的圈数为N,那么踏脚板转动的角速度ω=
;要推
算自行车的骑行速度,还需要测量的物理量有 ;自行车骑行速度的计算公
式v=
。
答案 2π N 牙盘的齿数m、飞轮的齿数n、自行车后轮的半径R(牙盘的半
t
径r1、飞轮的半径r2、自行车后轮的半径R)
m n
Rω
或 2m nN t R或 rr1 2Rω或 2rr12N t R
T=
2πrf
v2
(2)an= r =rω2=
ω=v
4π 2 rT 2 =
4π2f2r
3.向心力F (1)作用效果:产生向心加速度,只改变线速度的 的 大小 ,因此向心力不做功。
方向,不改变线速度
(2)大小:F=ma= m v 2
r
=
mrω2
=m4
T
2
2
r。
(3)方向:总是沿半径指向圆心,向心力是个变力。 自测1 (辨析题) (1)匀速圆周运动的速度大小保持不变。 ( ) (2)匀速圆周运动的加速度恒定。 ( ) (3)匀速圆周运动的物体所受合外力刚好提供向心力。 ( )
系:①角速度ω=2πn=2π 。N ②同轴的两轮上各点角速度相同,由链条相连
t
的两轮边缘上各点线速度相同,③线速度v=ωR。
1-1 (2015湖北六校调研,18)如图所示是磁带录音机的磁带盒的示意 图,A、B为缠绕磁带的两个轮子,其半径均为r。在放音结束时,磁带全部绕 到了B轮上,磁带的外缘半径为R,且R=3r。现在进行倒带,使磁带绕到A轮 上。倒带时A轮是主动轮,其角速度是恒定的,B轮是从动轮。经测定磁带 全部绕到A轮上需要的时间为t。则从开始倒带到A、B两轮的角速度相等 所需要的时间 ( )
典例2 [2015江苏单科,14(1)(2)]一转动装置如图所示,四根轻杆OA、 OC、AB和CB与两小球及一小环通过铰链连接,轻杆长均为l,球和环的质量 均为m,O端固定在竖直的轻质转轴上。套在转轴上的轻质弹簧连接在O与
小环之间,原长为L。装置静止时,弹簧长为 3 L。转动该装置并缓慢增大转
2
速,小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内,忽略一切摩擦和空气阻力,重 力加速度为g。求:
2.描述圆周运动的物理量
定义、意义 (1)描述做圆周运动的物体运动、⑦ 快慢的物理量(v) (2)是矢量,方向和半径垂直,和圆周相切
公式、单位
(1)v= Δ s = 2 π r Δt T
(2)单位:m/s
(1)描述物体绕圆心⑧ 转动快慢的物理量(ω) (2)中学不研究其方向
(1)周期是物体沿圆周运动⑨ 一周的时间(T) (2)转速是物体在单位时间内转过的⑩ 圈数(n),也叫频率(f)
a=ω2r与半径r成正比。
A点和B点在同轴的一个圆盘上,如图甲,圆盘转动时,它们的角速度、线速
度、周期存在以下定量关系:
v
ωA=ωB, v
A B
r
=
R
,TA=TB,并且转动方向相同。
2.当皮带不打滑时,传动皮带与和皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小
相等,而两轮的角速度ω= v 与半径r成反比,向心加速度a=v 2 与半径r成反
A.旋转舱的半径越大,转动的角速度就应越大 B.旋转舱的半径越大,转动的角速度就应越小 C.宇航员质量越大,旋转舱的角速度就应越大 D.宇航员质量越大,旋转舱的角速度就应越小
答案 B 宇航员在舱内受到的支持力与他站在地球表面时受到的支持 力大小相等,mg=mω2r,即g=ω2r,可见r越大,ω就应越小,B正确,A错误;角速度 与质量m无关,C、D错误。
典例3 (2015重庆理综,8,16分)同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方 法制作了如图所示的实验装置。图中水平放置的底板上竖直地固定有M
板和N板。M板上部有一半径为R的 1 圆弧形的粗糙轨道,P为最高点,Q为最
4
低点,Q点处的切线水平,距底板高为H。N板上固定有三个圆环。将质量为 m的小球从P处静止释放,小球运动至Q飞出后无阻碍地通过各圆环中心,落 到底板上距Q水平距离为L处。不考虑空气阻力,重力加速度为g。求:
同,此时,v'2-v2=ax,v'=v+at',解得t'= 5 t,B1 正确。
2
考点二 动力学分析
1.对向心力的进一步理解 (1)定义:做圆周运动的物体所受的指向圆心的合力。 (2)作用效果:产生向心加速度,并不断改变物体的线速度方向,维持物体做 圆周运动。 (3)方向:总是沿半径指向圆心,是一个变力。 (4)大小:F=ma=mv 2 =mω2r。
(1)ω= Δ = 2 π Δt T
(2)单位:rad/s
(1)T= 2 π =r 2 ,π 单位:s v
(2)n的单位:r/s、r/min
(3)f= 1 ,单位:Hz T
(1)描述速度
方向 变化快慢的
物理量(an)
(2)方向指向圆心
(1)an=
v
2
=
ω2r
r
(2)单位:m/s2
2πr
(1)v=ωr=
A.向心力FA<FB
B.线速度大小相等
C.向心加速度相等 D.角速度大小相等
答案 AD 两金属块转动角速度ω相等,由v=ωr可知线速度大小不等。 由a=ω2r可知向心加速度不等,由F=mω2r和mA=mB可知FA<FB。综上分析可知 A、D正确,B、C错。
二、离心现象 1.定义:做匀速圆周运动的物体,在所受的合外力突然消失或不足以提供圆 周运动① 所需的向心力 的情况下,就做逐渐远离圆心的运动,即离心运动。 2.本质:做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总是有沿着② 圆周切线方向 飞 出去的倾向。 3.受力特点 当F=③ mrω2 时,物体做匀速圆周运动; 当F=0时,物体沿④ 切线方向 飞出; 当F<⑤ mrω2 时,物体逐渐远离圆心,F为实际所提供的向心力,如图所 示。
(1)距Q水平距离为 L 的圆环中心到底板的高度;
2.圆周运动中向心力的分析 (1)匀速圆周运动:物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力, 向心力大小不变,方向始终与速度方向垂直且指向圆心,这是物体做匀速圆 周运动的条件。 (2)变速圆周运动:在变速圆周运动中,合外力不仅大小随时间改变,其方向 也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向 的分力的矢量和)提供向心力,使物体产生向心加速度,改变速度的方向。 合外力沿轨道切线方向的分力,使物体产生切向加速度,改变速度的大小。
答案 B 摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用,不存在离 心力,A项错误。当摩托车所受外力的合力小于所需的向心力时,摩托车将 在切线方向与圆周之间做离心曲线运动,故B项正确,C、D项错误。
考点突破
考点一 运动学分析
在分析传动装置的各物理量时,要抓住不等量和相等量的关系,表现
为:
1.同转动轴的各点角速度ω相等,而线速度v=ωr与半径r成正比,向心加速度
r
r
比。
A点和B点分别是两个轮子边缘上的点,两个轮子用皮带连起来,并且皮带
不打滑。如图乙,轮子转动时,它们的线速度、角速度、周期存在以下定量
关系:
vA=vB, ω A = r T, A =R ,并且转动方向相同。
ω B R TB r
3.齿轮传动 A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点,两个齿轮轮齿啮合。如图,齿轮转 动时,它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系:
课标版 物理
第3讲 圆周运动及向心力公式的应用
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一、描述圆周运动的物理量 1.匀速圆周运动 (1)定义:做圆周运动的物体,若在相等的时间内通过的圆弧长① 相等 , 就是匀速圆周运动。匀速圆周运动是线速度大小② 不变 的圆周运 动。 (2)性质:加速度大小③ 不变 ,方向始终指向④ 圆心 ,是变加速运 动。 (3)条件:合外力大小⑤ 不变 、方向始终与⑥ 速度 方向垂直且指向 圆心。
r
(5)向心力来源:
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是各力的合力或某力 的分力,总之,只要能达到维持物体做圆周运动效果的力,就是向心力。向 心力是按力的作用效果来命名的。对各种情况下向心力的来源应明确,如 水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体(图甲)和水平地面上匀速转弯的 汽车,所受摩擦力提供向心力;圆锥摆(图乙)和以规定速率转弯的火车,向心 力是重力与弹力的合力。
5L
解答圆周运动的动力学问题的基本步骤如下: (1)确定研究对象:确定轨道平面和圆心位置,从而确定向心力的方向;(2)受 力分析(不要把向心力作为某一性质的力进行分析);(3)由牛顿第二定律列 方程;(4)求解并说明结果的物理意义。
2-1 (2015天津理综,4,6分)未来的星际航行中,宇航员长期处于零重力状 态,为缓解这种状态带来的不适,有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱 形“旋转舱”,如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时,宇航员站在旋转 舱内圆柱形侧壁上,可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为 达到上述目的,下列说法正确的是 ( )
A. t
B. 5 t1 C. 6t 1 D. t 7 1
2
2
2
2
答案 B 因为A轮角速度一定,A轮磁带外缘半径随时间均匀增加,线速 度v=ωr半径,故线速度大小随时间t均匀增加,可将磁带的运动等效为匀变速 直线运动模型处理。整个过程中,设A轮外缘初速度为v,则末速度为3v,运 动时间为t,加速度为a,位移即磁带总长度为x,由匀变速直线运动规律:(3v)2v2=2ax,3v=v+at,当磁带有一半绕到A轮上时,两轮半径相等、两轮角速度相
自测3 如图是摩托车比赛转弯时的情形,转弯处路面常是外高内低,摩托 车转弯有一个最大安全速度,若超过此速度,摩托车将发生滑动。对于摩托 车滑动的问题,下列论述正确的是 ( )
A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用 B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力 C.摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去 D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析 角速度ω= = 2 =2 。2 N
Tt t
设牙盘的齿数为m,半径为r1,N飞轮的齿数为n,半径为r2,后轮的半径为R,则自
行车的速度v=ω后R,对牙盘和飞轮有ω后r2=ωr1或ω后n=ωm,得v= =2m πR ω R m N
n
nt
= r 1 Rω=2π r 1 N。R
r2
r2t
解答传动问题的关键是确定各量关系,本题分析需要注意以下几个关
(1)弹簧的劲度系数k;
(2)AB杆中弹力为零时,装置转动的角速度ω0。
答案
4m g
(1) L (2)
8g 5L
解析 (1)装置静止时,设OA、AB杆中的弹力分别为F1、T1,OA杆与转轴
的夹角为θ1。
小环受到弹簧的弹力F弹1=k·L
2
小环受力平衡,F弹1=mg+2T1 cos θ1
小球受力平衡,F1 cos θ1+T1 cos θ1=mg,F1 sin θ1=T1 sin θ1
考点三 平抛与圆周的综合
对于平抛运动与圆周运动的综合问题,要注意以下几点: 1.从运动时间上建立平抛运动与圆周运动的关系,此时要特别注意圆周运 动的周期性带来的可能情况; 2.从运动空间上建立平抛运动与圆周运动的关系,此时要注意平抛运动两 个分位移与圆周运动平面以及圆周运动半径的关系; 3.通过速度建立平抛运动与圆周运动的关系,主要是两种形式:其一平抛运 动末速度是圆周运动的初速度;其二,圆周运动的末速度是平抛运动的初速 度。
解得k= 4 m g
L
(2)设OA、AB杆中的弹力分别为F2、T2,OA杆与转轴的夹角为θ2,弹簧长度
为x。
小环受到弹簧的弹力F弹2=k(x-L)
小环受力平衡,F弹2=mg,得x= 5 L
4
对小球,F2 cos θ2=mg,F2 sin θ2=m lωsi02 n θ2
且cos θ2= x
2l
解得ω0= 8 g