双曲线与直线位置关系

AB 1 k 2 x1 x2 2 4 x1 x2
2 7
4 3 2 4 4 2
练习:
1.过双曲线
x2 9

y2 16
1 的左焦点
F1 作倾角为
4
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192
交于 A、B 两点，则|AB|= 7 .
的直线与双曲线
2.双曲线的两条渐进线方程为x 2 y 0 ，且截直线x y 3 0
P(1,2)是中点，则有 x1+x2=2, y1+y2=4
2
A（x1,y1）B(x2,y2)在双曲线上，则有：
x12
-
y12
=
2
2 x22 - y22 = 2
两式相减：2x12 - 2x22 - y12 + y22 = 0
由平方差公式得：2(x1 + x2 )(x1 - x2 ) = (y1 + y2 )(y1 - y2 )
由斜率计算式得： k = y1 - y2 = 2(x1 + x2 ) = 4 = 1 x1 - x2 y1 + y2 4
直线的点斜式方程：y-2=1(x-1),即y=x+1
练习：作业本P36: 4，8，15 试卷：7，8，9，10，18，19
思考：为什么？
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与圆锥曲线相离所产生的问题：
在双曲线x2-y2=4上找一点，使得它到直线 2x-y=0的距离最短，求最短距离。
＜2
2；
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ±5 ；
2
二、弦长——弦长公式
1.经过双曲线x2 y2 1的左焦点F1作倾斜角为3
的弦AB。求 AB
设l的方程为： y 3 x 2
由

y
x2
3x y2

2 1
2x2 6
2x 7 0
D 所得弦长为 8 3 ，则该双曲线的方程为（ ） 3
(A) x2 y2 1 (B) x2 y2 1 (C) x2 y2 1 (D) x2 y2 1
2
4
2
4
三、弦的中点的问题——点差法
求过点p且被p平分的双曲线的弦所在直线方程。
解：设：双曲线和直线相交于A（x1,y1）B(x2,y2),直线斜率为k.
2.3.2
直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
相交
判断方法
（1）联立直线和椭圆方程
（2）消去一个未知数得到一元二次方程
（3） ∆<0
∆=0
∆>0
1：已知直线y=x与双曲线x2-y2=4, 判断直线与双曲线的位置关系。
2：已知直线y=x+1与双曲线x2-y2=4, 判断直线与双曲线的位置关系。
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点——交点个数
二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问题——点差法
四、对称与垂直问题 五、综合问题
一、交点——交点个数
1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值
范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞
2
；5
2
(2)有两个公共点; (2) 5＜k 5 且k 1