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2017高二上学期人大附中期中数学

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人大附中2017年高二上学期期末考试题(文科)

人大附中2017年高二上学期期末考试题(文科)

人大附中2016~2017学年度第一学期期末高二年级数学练习&选修1—1模块考核试卷 （文科） 2017年1月 11日制卷人：罗霞 于金华 审卷人：梁丽萍 成绩：说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道小题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道小题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期末成绩；考试时间120分钟；请在密封线内填写个人信息．Ⅰ卷（共17题，满分100分）第一卷一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分.请将正确答案填涂在答题卡上.）1．如果方程2212x y k+=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ） A ．(0, +∞) B ．(0, 2) C ．(2, +∞) D ．(0,1) 2.如图是导函数()y f x '=的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数( )A ．13(,)x xB ． 24(,)x xC ．46(,)x xD ．56(,)x x3．设点),(y x P ,则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线:10l x y +-=上”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是 （ ）A ．x y 62=B ．x y 122=C ．x y 122-=D ．y x 62-= 5．下列求导运算正确的是 （ ）A ． 211()x x'= B ．21()2x x x+'=C ．（()x x e e '=D ．2(cos )2sin x x x x '=-6．椭圆221123x y +=的焦点为F 1和F 2，若P 在该椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么12PF PF 是的 （ ） A ．7倍 B ． 5倍 C ．3倍 D ．2倍7. 若函数 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[)5,7 B. []5,7 C. (]5,7 D. ()5,78．如图所示，F 1，F 2是椭圆C 1：2214x y +=与双曲线C 2的公共焦点， A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 ( ) A ． 2 B ． 3 C ．32 D二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分. 请将正确答案填在答题卡上.） 9.命题“3,10x R x ∀∈+≤”的否定是 ；10.已知抛物线22(0)y px p =>的图像经过点(1,2)-，则抛物线的准线方程为 ；11.双曲线2221y x b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的右焦点坐标为____ ___；12．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PF PA + 取得最小值时点P 的坐标是 ；13.已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ；14. 一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）椭圆C 的方程为 ；（Ⅱ）设PQ 是过椭圆C 中心的弦，第14题图1第14题图23211()(1)132f x x ax a x =-+-+三、解答题（共3道小题，共30分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满10分）已知函数2)(23++=ax x x f 在2x =处切线斜率为0.求： （Ⅰ）实数a 的值；（II ）求函数)(x f 在区间]3,1[-上的最大值和最小值.16.（本小题满分10分）如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的长方体容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应是多少时，盒子容积最大？17．（本小题满分10分）已知椭圆2222T :1(0)x y a b a b +=>>焦点为12F F （-1,0），（1，0）． （Ⅰ）求椭圆T 的方程；（Ⅱ）已知直线l 过点()10，，直线l 和椭圆T 交于A B 、两个不同的点：记O 为坐标原点 ，并且有OA OB OE +=，是否存在直线l 使得四边形OAEB 为矩形，若存在求出直线，若不存在，则说明理由；Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上．） 18. 圆()2211y x +=-被直线0x y -=分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 （ ） A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．1∶5 19. 对于R 上可导的任意函数()x f ，若满足()()01/≥-x fx ，则必有 （ ）A.()()()1220f f f ≥+B.()()()1220f f f >+C.()()()1220f f f <+D.()()()1220f f f ≤+20. 设点F 1，F 2分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，则12F PF ∠的最大值为2π的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共3小题，每题6分，共18分．请将正确答案填在机读卡上．）21.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形. 平面P AB 与平面P AD 、平面P AD 与平面PDC 、平面PCD 与平面PBC 、平面P AB 与平面PCD 这四对平面中互相垂直的对数是 .22.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -= 与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号） 23.二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，且(0)0f '>，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 ．二、解答题（本大题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸上．）24. 已知点()0,1A ，,B C 是x 轴上两点，且6BC =（B 在C 的左侧）.设ABC ∆的外接圆的圆心为M .（Ⅰ）已知4AB AC ⋅=-，试求直线AB 的方程； （Ⅱ）当圆M 与直线9y =相切时，求圆M 的方程； （Ⅲ）设12,AB l AC l ==，1221l l s l l =+，试求s 的最大值.答案第一卷一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分.请将正确答案填涂在答题卡上）1．如果方程2212x y k+=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ） A ．(0, +∞) B ．(0, 2) C ．(2, +∞) D ．(0,1)2.如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数 ( ) A ．13(,)x x B ． 24(,)x xC ．46(,)x xD ．56(,)x x3．设点),(y x P ,则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线:10l x y +-=上”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是（ ）A ．x y 62=B ．x y 122=C 。

北京人大附中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

北京人大附中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞03．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B． C．﹣+D．﹣﹣﹣4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=06．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x= D．x=﹣8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．11．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= ，||PF2|= ．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= ．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0【考点】的否定．【分析】直接利用全称的否定是特称，写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以，p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =，=，可知： =+， =，==，=﹣+．故选：C．4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为0【考点】四种间的逆否关系．【分析】根据四种之间的关系，分别写出原的逆、否、逆否，再写出原的否定即可得出结论．【解答】解：原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的离心率，求出a，b的比值，然后求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即： x±y=0．故选：C6．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意得 a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，1∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出A，B的坐标，利用两点间的距离公式结合弦长公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程．【分析】根据距离相等列出方程化简求出y关于x的函数，作出图象即可得出结论．【解答】解：曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入题中的点的坐标，即可得到λ=4，将方程化成标准形式，即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．【解答】解：∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= 2.5 ，||PF2|= 1.5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，结合|PF1|﹣|PF2|=1，可得结论．【解答】解：椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，||PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．【考点】空间中的点的坐标．【分析】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =（1﹣λ，2λ，0）．有⊥，可得•=0，解得λ，即可得出．【解答】解： =（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为（1，2]∪∪，∴＜，＞=．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AC，CB，CC1两两垂直，以C为原点建立坐标系，求出，的坐标，计算其数量积为0得出AB1⊥C1B；（2）求出平面ABB1A1的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设出抛物线的方程，求出p的值，从而求出抛物线的标准方程即可；（2）通过讨论直线l的斜率，求出|AB|的表达式，求出k的值，从而求出|AB|即可．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，此时△AOB的面积为S△AOB=|OF|•|AB|=×1×4=2，不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，故△AOB的面积为S△AOB=|AB|d=2（+|k|）==4，==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，即可求出当|PA|最小时，点P的坐标；（II）由圆的方程为求得圆心C（3，0）、半径r为：1，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，利用距离公式，结合配方法，即可得出结论．．【解答】解：（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|PA|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= 3 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（I）利用重心的坐标计算公式即可得出．（II）利用重心的坐标计算公式可得M坐标，可得，，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=， =，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知： =k+2， +=1，×k=﹣1，联立解出即可得出．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取AB中点M，连结CM，DM，则∠CMD为所求二面角的平面角，计算出△CDM的边长，利用余弦定理求出∠CMD；（2）利用在余弦定理求出∠BCD，则B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD；（3）以A为原点建立空间直角坐标系，设，B到平面ACD的距离为h，求出，计算是否为0即可得出结论．【解答】解：（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．2016年10月28日。

北京高二上学期期中数学试题(解析版)

北京高二上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．经过点，且斜率为的直线方程是（ ） (1,2)2A ． B ．C ．D ．20x y -=20x y +=210x y -+=230x y +-=【答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得. (1,2)2()221y x -=-20x y -=故选：A2．已知空间向量，，，若，则（ ） (2,3,4)a =- (4,,)b m n =- ,R m n ∈a b ∥m n -=A ．2B ．C ．14D ．2-14-【答案】C【分析】，得到，解得答案.b a λ=(4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-【详解】，则，即， a b ∥b a λ= (4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-解得，，，. 2λ=-6m =8n =-14m n -=故选：C3．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>352100x y ++=为（ ）A ．B ．22154x y +=221259x y +=C ．D ．221169x y +=2212516x y +=【答案】D【解析】直线过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为,所以椭圆中，由离心率2100x y ++=(5,0)-5a =为，则，可求出椭圆的，从而可得椭圆的方程. 353c =b 【详解】直线与轴的交点为,2100x y ++=x (5,0)-直线过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为.2100x y ++=(5,0)-所以椭圆中，由椭圆的离心率为，则.5a =353c =则，所以椭圆的方程为：.4b =2212516x y +=故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求，属于基础题.,,a b c 4．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）ABC AD BC E AD EB =A ．B ．C ．D ．3144AB AC -1344AB AC -1344AB AC +1142AB AC +【答案】A【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线， AD BC 所以，1()2AD AB AC =+因为为的中点，E AD 所以可得， 111131()()224244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=- 故选：A5．设，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） (2,1)A -(4,1)B AB A ． B ． C ． D ．22(3)4x y -+=22(3)2x y -+=22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=【答案】B【分析】由题知圆心为. ()3,0【详解】解：由题知线段中点为，AB ()3,0=所以，以线段为直径的圆的圆心为 AB ()3,022(3)2x y -+=故选：B6．设双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F P C点，且．若的面积为的周长为（ ）1260F PF ∠=12F PF △12F PF △A ．BCD ．+2+【答案】A【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得1216PF PF ⋅= 22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，由离心率可求出，同理结合12122cos PF PF F PF -⋅∠,,a b c ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅代入余弦定理可求，进而得解. 12PF PF +【详解】由题可知，求得， 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅⋅∠=△1260F PF ∠= 1216PF PF ⋅=对由余弦定理可得12F PF △22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，即，12122cos PF PF F PF -⋅∠()()221212122222cos c a PF PF PF PF F PF =+⋅-⋅∠即，因为，解得， 2416,2b b ==2222243c a e a a+===222,6a c ==又，22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=+-⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠即，解得， ()2212121212422cos c PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠12PF PF +=122F F c ==所以的周长为. 12F PF △1212PF PF F F ++=故选：A7．如图所示，在平行六面体中，，，，，ABCD A B C D -''''1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=，则的长为（ ）60BAA DAA ∠'=∠=' C A 'A ．5BCD 【答案】B【分析】由向量 得：，展开化简，再利用向量的数AC AB AD AA =+'+'()()22AC AB AD AA =+'+' 量积，便可得出答案.【详解】解：，AC AB BC CC AB AD AA '=++='+'+，()()()()()222222()AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''∴=++=+++⋅+⋅'⋅'+ ∵，，，， 1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=60BAA DAA ∠'=∠=' . ()222291232(013cos 6023cos 60)142232AC ︒︒∴=+++⨯+⨯+⨯=+='⨯，即 AC ='∴AC '故选：B.8．过直线上一点作圆的切线，切点为．则四边形的43100x y ++=P 22:20C x y x +-=,A B PACB 面积的最小值为（ ）A B C D ．【答案】C【分析】由切线性质可得，由勾股定理表示出，进而得解.122PACB S PA AC =⋅⋅PA 【详解】如图，由切线性质可知，，所以，圆的,,PA AC PB BC PAC PBC ⊥⊥△≌△122PACB S PA AC =⋅⋅标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，()2211x y -+=()1,0C 1r =C 4101455d +==最小，需使，故122PACB S PA AC =⋅⋅min PC d =()min122PACB S r =⋅=故选：C二、多选题9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则22:18y C x -=1F 2F P C 17PF =（ ）A ．的虚轴长为2B ．的值可能为5C 2PF C ．的离心率为3D ．的值可能为9C 2PF 【答案】BCD【分析】由双曲线标准式确定，可判断A ，C 是否正确，由双曲线第一定义可判断B ，D 正,,a b c 确性.【详解】由的标准式可确定：22:18y C x -=， 22231,8,9,1,3,231c a b c a b c b e a ==========故C 正确，A 错误；由双曲线第一定义可知，，解得或9，，，所以122PF PF -=17PF =25PF =2c a -=52,92≥≥BD 正确. 故选：BCD10．如图，为正方体，下面结论正确的是（ ）1111ABCD A B C D-A ．平面BD ∥11AB D B ．与平面AC 11AB D C ．平面1AC ⊥11CB D D ．异面直线与所成的角为 BD 1CB 60 【答案】ACD【分析】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可逐个证明.【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，为正方体，设边长为1，1111ABCD A B C D -则，，，，，，，， ()0,0,0D ()1,0,0A ()1,1,0B ()0,1,0C ()10,0,1D ()11,0,1A ()11,1,1B ()10,1,1C 对A ，， ，又∵平面，∵平面，∴()111,1,0BD B D ==--11BD B D ∥BD ⊄11AB D 11B D ⊂11AB D BD ∥平面，A 对；11AB D 对B ，，，，由得为平面()11,1,1AC =-- ()11,0,1AD =- ()10,1,1AB = 11110A C AD A C AB ⋅=⋅=1AC 的法向量，11AB D ，故与平面所成的角的正弦值为B 错； ()1,1,0AC =- AC 11ABD 11A C AC A C AC⋅==⋅对C ，由B 得，同理可证为平面的法向量，故平面，C 对；1AC u u u r11CB D 1AC ⊥11CB D对D ，，，∴异面直线与所成的角的余弦值为()1,1,0BD =-- ()11,0,1CB =BD 1CB ，故所成角为，D 对.1260 故选：ACD11．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（ ）22195x y +=F (0y m m =<<A B A ．为定值 B ．的周长的取值范围是 AF BF +ABF △()6,12C ．当为直角三角形 D ．当时，m =ABF △1m =ABF △【答案】AB【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由为定值以及的范围判断||||AF BF +||AB B ；求出坐标，由数量积公式得出，得出为钝角三角形判断C ；求出坐,A B ·0FA FB <ABF △,A B 标，由面积公式得出的面积判断D.ABF △【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性得， 1F 1AF 1AF BF =所以为定值，A 正确；16AF BF AF AF +=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，B 正确； ||AB (0,6)ABF△(6,12)将，，又因为， y=A ⎛ ⎝B(2,0)F 所以，，即为钝角，23(2)02FA FB ⋅=+=-<AFB ∠所以为钝角三角形，C 错误；ABF △将与椭圆方程联立，解得，所以D 错误. 1y =,A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭112ABF S == 故选：AB【点睛】12．在四棱锥中，底面S ABCD -ABCD是边长为2的正方形，底面，，，交于点，是棱上的动点，SA ⊥ABCD SA AB =AC BD O M SD 则（ ）A ．存在点，使平面 M //OM SBCB ．三棱锥体积的最大值为S ACM -23C ．点到平面的距离与点到平面的距离之和为定值2 M ABCD M SAB D ．存在点，使直线与所成的角为 M OM AB 60 【答案】ACD【分析】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，利用向量法判断A AB AD AS ，，,,x y z CD ，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断B 选项.根据线面平行的判定定理判断A. 【详解】解：根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角A AB AD AS ，，,,x y z 坐标系，如图，则, (0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0)A C B D S O 由是棱上的动点，设，M SD (0,,2),(02)M λλλ-≤≤,其中为到平面的距离，13S ACM SAC V S h -=⨯ h M SAC 因为底面为正方形，故, ABCD OD AC ⊥又底面底面 SA ⊥,ABCD OD ⊂,ABCD 所以,SA OD ⊥又,平面， SA AC A ⋂=,SA AC ⊂SAC 所以底面,OD ⊥SAC 所以当与D 重合时，三棱锥体积的最大且为，故B 错M S ACM-1142323S ACM V -=⨯⨯⨯=误；当为中点时，是的中位线，所以，又平面，M SD OM SBD //OM SB OM ⊄SBC 平面，所以平面，故A 正确；SB ⊂SBC //OM SBC 点到平面的距离， M ABCD 12d λ=-点到平面的距离,M SAB 2|||(0,,2)(0,2,0)|2||AM AD λλd λAD →→→⋅-⋅===所以，故C 正确.1222d d λλ+=-+=,,(2,0,0)AB →=(1,1,2)OM λλ→=---若存在点，使直线与所成的角为M OM AB 60︒则，化简得，解得1cos 602AB OM AB OM ⋅︒=== 2310λλ-+=λ=所以，当与所成角为，故D 正确； λ=OM AB 60︒故选：ACD三、填空题13．若，，则___________． ()53,2,a =()0,1,4b =- 2a b -=【分析】由向量坐标的线性运算及模运算计算即可.【详解】，故()()()22320,1,42,1,13,,5a b -=-⨯-= a -=14．已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为220x y -+=10x y ++=，则它邻边所在的直线方程为___________．350x y +-=【答案】390,330x y x y -+=--=【分析】先求出中心坐标为，再根据邻边所在直线与垂直设方程为，进(1,0)M -1l 34,l l 230x y d -+=而结合点即可求解. (1,0)M -【详解】解：，解得，22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩10x y =-⎧⎨=⎩∴中心坐标为，(1,0)M -点M 到直线的距离1:350l x y +-=d设与垂直两线分别为，则点， 1l 34l l 、(1,0)M -设方程为34,l l 230x y d -+=或 ， 23d =-9∴它邻边所在的直线方程为． 390,330x y x y -+=--=故答案为：390,330x y x y -+=--=15．已知圆，直线的距离等于1，则22x y a +=:=l y x l =a ___________． 【答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解. 2rd =【详解】圆的圆心为，则. 22x y a +=()0,0,r =2r d ==4a =故答案为：416．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是1111ABCD A B C D -P 1BD DC AP ⋅___________． 【答案】[]0,4【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出1BP BD λ=⋅ DC AP ⋅λ的取值范围．DC AP ⋅【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立DAx DC y 1DD z 空间直角坐标系．则，，，，．()0,0,0D ()0,2,0C ()2,0,0A ()2,2,0B ()10,0,2D ，，．∴()0,2,0DC = ()12,2,2BD =-- ()0,2,0AB =点在线段上运动，P 1BD ，且． ∴()12,2,2BP BD λλλλ=⋅=--01λ……，∴()2,22,2AP AB BP λλλ=+=--，∴44DC AP λ⋅=-∵，∴，即， 01λ……0444λ≤-≤[]0,4DC AP ⋅∈故答案为：．[]0,4四、解答题17．已知的三个顶点分别为，，．ABC ()2,4A ()1,1B ()7,3C(1)求边的垂直平分线的方程； BC (2)求的面积． ABC 【答案】(1) 3140x y +-=(2) 8【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方13BC k =BC ()4,2BC 3k =-程.（2）计算到直线的距离为，得到面积. BC =A BC d =【详解】（1），故边的垂直平分线的斜率，的中点为， 311713BC k -==-BC 3k =-BC ()4,2故垂直平分线为，即. ()342y x =--+3140x y +-=（2=所在的方程为，即， BC ()1113y x =-+320x y -+=到直线的距离为. A BC d 11822S BC d =⋅=⨯=18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线为渐近线，焦点是，的双曲线； y =()3,0-()3,0(2)离心率为，短轴长为6的椭圆． 45【答案】(1)22136x y -=(2)或221259x y +=221259y x +=【分析】（1）由题意设双曲线方程为(，)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方22221x y a b-=0a >0b >程求出，即可；a b （2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可.x y 【详解】（1）解：由题意设双曲线方程为，由焦点坐标可知，22221(0,0)x y a b a b-=>>3c =双曲线的渐近线方程为，可得 y =ba=又，解得222+=a b c a =b =所以双曲线的方程为.22136x y -=（2）解：当焦点在轴时，设椭圆方程为，x 22221x y a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259x y +=当焦点在轴时，设椭圆方程为，y 22221y x a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259y x +=所以，所求椭圆方程为或.221259x y +=221259y x +=19．如图，在正方体中，为的中点．1111ABCD A B C D -E 1BB(1)求证：平面； 1BC ⊥1ACD (2)求直线与平面所成角的余弦值． 1D C 1AD E 【答案】(1)证明见详解【分析】（1）要证平面，可证，结合正方体性质即可求证；1BC ⊥1ACD 111BC A DBC CD⊥⎧⎨⊥⎩（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z系，求出和平面的法向量，由向量的夹角公式求出与平面所成角的正弦值，结1D C1AD E 1D C 1AD E 合同角三角函数即可求解.【详解】（1）连接，因为几何体为正方体，所以，四边形为平行四边形，11,A D AC 11//D C AB 11ABC D 所以，因为，所以，11//BC AD 11AD DA ⊥11BC A D ⊥又平面，平面，所以平面，11,,,CD BC CD CC BC CC C BC ⊥⊥=⊂ 11BCC B 1CC ⊂11BCC B CD ⊥11BCC B 又平面，所以，1BC ⊂11BCC B 1BC CD ⊥平面，平面，所以平面； 1,CD A D D CD =⊂ 1ACD 1A D ⊂1ACD 1BC ⊥1ACD（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z 系，不妨设正方体边长为1，则，，()()()110,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,2A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭()10,1,1D C =-，设平面的法向量为，则，即，设()111,0,1,0,1,2AD AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 1AD E (),,n x y z = 100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x z y z +=⎧⎨+=⎩，则，，2x =1,2y z ==-()2,1,2n =-设直线与平面所成角为，则，所以1D C 1AD Eθ1sin cos D C θ==π4θ=cos θ=，故直线与平面. 1D C 1AD E20．已知圆的方程为．C 221x y +=(1)求过点且与圆相切的直线的方程；()1,2P C l (2)直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程． m (1,2)P C ,A B AOB m 【答案】(1)或 1x =3450x y -+=(2)或 10x y -+=750x y --=【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出，进而得解；k （2，进而得解. 【详解】（1）当直线斜率不存在时，显然与相切； 1x =221x y +=当直线斜率存在时，可设，由几何关系可得，解得，故():12l y k x =-+1d r =34k =，即，故过点且与圆相切的直线的方程为或()3:124l y x =-+3450x y -+=()1,2P C l 1x =；3450xy -+=（2）设，可设中点为，因为是等腰直角三角形，所以，即()1:12my k x =-+ABD AOBOD =圆心到直线距离，解得或7，故直线或，即d =11k =():12m y x =-+()712y x =-+或.10x y-+=750x y --=21．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别ABCD ABEF M N 在正方形对角线和上移动，且．AC BF (0CM BN a a ==<<(1)求证与平面平行； MN BCE(2)当的余弦值． a =A MNB --【答案】(1)证明见详解(2)13-【分析】（1）采用建系法，表示出坐标，要证与平面平行，即证平面的,M N MN BCE MN ⊥BCE 法向量；（2）分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.AMN MNB 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，所以ABCD ⊥ABEF ABCD ABEF AB =BE AB ⊥平面，，所以平面，显然三垂直，以方向为轴正BE ⊥ABCD BC AB ⊥BC ⊥ABEF ,,BA BE BC BA x 方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，BE y BC z B AEC -，因为，所以，，()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0A C B F (0CM BN a a ==<<CM = BN设，，，由，得()()111222,,,,,M x y z N x y z ()111,,1CM x y z =- ()1,0,1=- CA CM = M，，，由得，，可设平面()222,,BN x y z = ()1,1,0= BF BN = N ⎫⎪⎭1MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 的法向量为，，所以与平面平行；BCE ()1,0,0n =r 0MN n ⋅=MN BCE（2）当，，，a =1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,0,0A ()0,0,0B 1111,0,,,,02222AM AN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，， 1111,0,,,,02222BM BN ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量为，则，即，可设，故，设AMN ()1,,n x y z = 1100n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y z ==1x =()11,1,1n = 平面的法向量为，则，即，令，则，故MNB ()2333,,n x y z = 2200n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 333300x z x y +=⎧⎨+=⎩31x =331y z ==-，设二面角的平面角为，则， ()21,1,1n =-- A MN B --θ121cos cos ,3n n θ==- 故二面角的余弦值为.A MNB --13-22．已知椭圆的离心率为，且经过点．2222:1(0)xy C a b a b+=>>1231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆的方程；C (2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于y kx m =+C M N 、O OM ON 、34-，试探求的面积是否为定值，并说明理由．OMN 【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,a b ,a c 222a b c =+解；（2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长()()1122,,,M x y N x y 34-k m 公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解. MN OMN 【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭221914a b +=22214c e a ==222a b c =+，所以椭圆的方程为； 2221,3,4c b a ===C 22143x y +=（2）设，联立得，()()1122,,,M x y N x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2224384120k x kmx m +++-=，()()()()2222284341248430km k m k m ∆=-+-=+->， ()12221228434343km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩()2212121212121212OM ON k x x km x x my y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅= ()()()()()22222222222222438438434343434343m km k km m k m k m m k k k m m k --⎛⎫⋅+⋅+ ⎪--++++⎝⎭==--+，即，()()222343443m k m -==--22243m k =+d =12OMN S MN d =⋅==△所以的面积为定值.OMN。

易错汇总年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷和答案

易错汇总年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷和答案

2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣ D．﹣3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．104．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是．10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：?x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：?x∈A，2x?B．故选：C．（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，∴==，∴λ＝﹣．故选：C．3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．10【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程的虚轴长为2．故选：C．4．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，即“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，∵正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，∴PF∥AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，AE==a，DE==a，CF==，PF=，PC==，∴cos∠PFC==．∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为．故选：A．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，P在底面ABCD上的轨迹为抛物线，且B为焦点，AD所在直线为准线，当P与C重合时，满足四面体P﹣AC1B1的体积最大，如图：∴四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为V=．故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是若x≠0，则xy ≠0．【解答】解：由逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若x≠0，则xy≠0，故答案为：若x≠0，则xy≠010．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为﹣8．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=2，开口向下，∴﹣=2，解得a=﹣8．故答案为：﹣8．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．【解答】解：设双曲线C的方程为，由题意点P（1，1）在双曲线C 上可得，解得m=．故所求双曲线的方程为．故答案为：．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为11．【解答】解：=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x﹣4，﹣2，0），∵空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，∴存在实数m，n使得=m+n，∴，解得x=11．m=﹣3，n=1．故答案为：11．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为12．【解答】解：如图，由|AB|=6，可得AD=3，则|OD|=2，即A（3，2），代入曲线方程，可得，即b=12．故答案为：12．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．【解答】解：（1）设动点P（x，y），由题意可得，①当x＜﹣4时，∵|x+1|＞3，无轨迹；②当﹣4≤x≤﹣1时，化为，化为，与y轴无交点；③当x＞﹣1时，化为，化为y2=﹣2x+3，．令x=0，解得．综上①②③可知：曲线C与y轴的交点为；（2）由（1）可知：．如图所示，令y=1，则10x+15=1，或﹣2x+3=1，解得x=﹣1.4或1．①当a≤﹣ 1.4或a≥1时，|PA|+|PB|≥|AB|，∴d（a）=|AB|=；②当﹣1＜a＜1时，当直线y=1与相交时的交点P满足|PA|+|PB|取得最小值，∵此抛物线的准线为x=2，∴直线y=1与准线的交点Q（2，1），此时d（a）=|QB|=2﹣a；③当﹣1.4＜a≤﹣1时，当直线y=1与相交时的交点P 满足|PA|+|PB取得最小值，∵此抛物线的准线为x=﹣4，∴直线y=1与准线的交点Q（﹣4，1），此时d（a）=|QB|=a+4．综上可知：d（a）=三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．【解答】解：（Ⅰ）在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．∴E（a，x，0），F（a﹣x，a，0）．证明：（II）∵x=a，∴A1（a，0，a），C1（0，a，a），E（a，，0），F（，a，0），∴=（﹣a，a，0），=（﹣，，0），∴=2，∴A1C1∥EF．（III）∵=（﹣x，a，﹣a），=（a，x﹣a，﹣a），∴?=﹣ax+ax﹣a2+a2=0，∴⊥，∴A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF．∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，则AF⊥平面CBF．∵AF?平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）解：过F作FH⊥AB于H，由已知可得△AOF为边长是1的正三角形，则FH=．在Rt△BHF中，由BH=，FH=，可得BF=，在Rt△CBF中，由BF=，BC=AD=1，可得CF=2．∴直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设AD=t（t＞0），则点D的坐标为（1，0，t），则C（﹣1，0，t），A（1，0，0），B（﹣1，0，0），F（，，0）．∴=（2，0，0），=（，﹣，t）．设平面DCF的法向量为=（x，y，z），则，取z=，得=（0，2t，）．由（Ⅰ）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为==（﹣，，0），依题意与的夹角为60°，∴cos60°=，即=，解得t=．因此，当AD的长为时，平面与DFC平面FCB所成的锐二面角的大小为60°．17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=，∴c=1，e==，∴a=，∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1，∴椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程，得+y2=1．整理，得（1+2k2）x2+4kx+2=0．①，因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于△=32k2﹣8（1+2k2）＞0，解得k＜﹣或k＞．∴满足条件的k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅲ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=（x1+x2，y1+y2），由①得x1+x2=﹣．②又y1+y2=k（x1+x2）+2③因为M（，0），N（0，1），所以=（﹣，1）．所以向量+共线等价于x1+x2=﹣（y1+y2）．将②③代入上式，解得k=．所以不存在常数k，使得向量+与共线．。

高二上学期期中考试数学试卷含答案

高二上学期期中考试数学试卷含答案

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ­ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)

人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)

人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。

A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。

A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。

A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。

A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。

A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。

A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。

2017_2018学年北京海淀区中国人民大学附属中学高二上学期理科期末数学试卷解析

2017_2018学年北京海淀区中国人民大学附属中学高二上学期理科期末数学试卷解析

18 2017~2018学年北京海淀区高二上学期期末理科第18题12分 共2个
已知抛物线
，直线 与抛物线 交于 ， 两点． 点
（
，
）为抛物线上一动点，直线 ， 分别与 轴交于 ， ．
（1） 若
的面积为 ，求点 的坐标．
（2） 当直线
时，求线段 的长．
（3） 若
与
面积相等，求
的面积．
．
综上所述，所求直线 的方程为 或
．
考点
解析几何 直线与方程 直线的方程
圆与方程 圆的方程
直线与圆的位置关系
16 2017~2018学年北京海淀区高二上学期期末理科第16题10分 共2个
如图，在三棱锥
中，
，
，且 点 ， 分别是 ， 的中点．
（1） 求证：
平面 ．
（2） 求证：平面
平面 ．
A.
B.
C.
D.
答案 C 解析 大致还原如下图所示，易知一个长方体切去一块小长方体形成，
∴体积
．
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 空间几何体体积和表面积的计算
三视图
5 2017~2018学年北京海淀区高二上学期期末理科第5题4分 共2个
已知平面 ， ， 直线 ， ， 下列命题中假命题是（ ）．
答案 （1）
．
（2） ．
（3） ．
解析 （1） 把 代入抛物线方程，得到
．
因为
的横坐标
，
代入抛物线方程得
．
（2） 因为
， 所以
所以
把
代入得到
所以
，
（舍）．
所以
，
．

精品解析：北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

精品解析：北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)


1
k 1 k2 1

1
k
12
k
1
2k
1
2

1
1
k 1
2
2
k
k 1
令 t k 1,t , 1
3 1,
，则
ab r 2 a2 b2
1 t
1 22
t
令 m t 2 ，则由双勾函数可知 m t
6.已知 RtABC 的斜边长为 2.则下列关于 ABC 的说法中，正确的是( )
A. 周长的最大值为 2 2 2
B. 周长的最小值为 2 2 2
C. 面积的最大值为 2
D. 面积的最小值为 1
【答案】B 【解析】 【分析】
因为 RtABC ，由勾股定理可构建关系式，由基本不等式得到两直角边乘积的最大值，和周长的最小值，
a3 a5

a1q 2 a1q 4
9 1
，得
q2

1 9
,q


1 3
，所以
a6

a5q


1 3
.
故选：C
【点睛】本题考查等比数列求项，涉及等比数列通项公式和性质的应用，属于简单题.
5.若双曲线 x2 y2 1(a 0) 的实轴长为 2，则其渐近线方程为( ) a
A. y 2x
人大附中 2019-2020 学年度第一学期中高二年级数学练习
&必修 5 模块考核试卷
Ⅰ卷（共 17 题，满分 100 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）

2017-2018年北京市人大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2017-2018年北京市人大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i 2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．35．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.58．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第象限．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为万元．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．13．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是（只写一个）．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i【解答】解：根据题意可得：复数为3+4i，所以结合共轭复数的定义可得：复数3+4i的共轭复数是3﹣4i．故选：A．2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面【解答】解：列举法是集合表示法的一种，在知识结构图中，列举法应该放在集合的表示后面，即它的下位，由此知应选B．故选：B．3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|【解答】解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设：|a|≤|b|，由此推出矛盾．故选：C．4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，不是对具有函数关系的变量进行分析，故①正确；②，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故②不正确；③，在线性回归分析中，相关系数为r满足|r|越接近1，线性相关程度越强，正确．∴正确结论的个数是2个．故选：C．5．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：C．6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得．故选：A．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.5【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D 到C，所以能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是5+4+6+5.5=20.5km．故选：B．8．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6【解答】解：∵数列{x n}满足x1=5，，∴由表得：x2=f（5）=6，x3=f（6）=3，x4=f（3）=1，x5=f（1）=4，x6=f（4）=2，x7=f（2）=5，x8=f（5）=6，∴数列{x n}是以6为周期的周期数列，∵2017=336×6+1，∴x2017=x1=5．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．【解答】解：∵复数z=1﹣i在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1），∴复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．故答案为：四．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．【解答】解：根据线性回归直线方程，计算x=2时，=0.2×2+0.3=0.7，即预测家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．故答案为：0.7．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为A．【解答】解：由乙说：我没回答对C，则乙可能答对A或B，但甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B，则乙只能是答对A，B中的任一个，再由丙说：我们三人都同时答对一个题，则由此可判断乙答对的题为A．故答案为：A．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是4．【解答】解：程序在运行过程中各变量变化的如下表示：S n 是否继续循环循环前 2 1/第一圈﹣1 2 是第二圈 3 是第三圈 2 4 否故最后输出的n值为4故答案为：413．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=76．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第9项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第9项为76，即a9+b9=76，．故答案为：76；14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C是封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是R（只写一个）．【解答】解：（1）根据题意，对于复数集，由复数的运算法则，若x，y∈C，则x+y∈C，xy∈C，则复数C是封闭的，（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则实数集R符合，则满足条件的一个F可以是R；故答案为：（1）是，（2）R．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．【解答】解：∵z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），由z1=z2•（1+i），得2+4i=（a+i）（1+i）=（a﹣1）+（a+1）i．∴，即a=3．∴|z2|=|3+i|=．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．【解答】解：（1）函数的导数为：f′（x）=3x﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．可得6﹣=0，解得a=4；（2）f（x）=x2﹣12lnx，导数为f′（x）=3x﹣=，由f′（x）＞0，可得x＞2；由f′（x）＜0，可得0＜x＜2；即f（x）的增区间为（2，+∞）．减区间为（0，2）；（3）由（2）可得函数f（x）的极小值为f（2）=6﹣12ln2，且2∈[，e]，可得f（x）的最小值为6﹣12ln2．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}与{b n}不为“好友数列”．由a n=2n，，可得集合A为正偶数集，集合B中不含1，3，虽然满足①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅但A∪B≠N*，则数列{a n}与{b n}不为“好友数列”；（2）设数列{a n}的公差为d的等差数列，由a16=36，即有a1+15d=36，由题意可得36﹣15d≥1，解得d=1或2，若d=1，则a1=21，a n=n+20，b n=n（1≤n≤20），与无穷数列{a n}与{b n}矛盾，舍去；若d=2，则a1=6，a n=2n+4，b n=，综上可得a n=2n+4，b n=，n∈N*．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【解答】解：∵，∴=i8=（i4）2=1．故选：B．19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，a n a n+1=6，∵a1=2∴a2=3，a3=2，a4=3，…，∴a n=，（k∈N*）．故选：A．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x【解答】∵f（x）=sinx+e x，∴，，，，∴f n（x）=f n（x），+4，故选：B．二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是1+．【解答】解：由题意可知，复数z的轨迹为单位圆，如图，|z﹣（1+i）|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离，由图可知，|z﹣（1+i）|的最大值为|AP|=1+．故答案为：1+．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=﹣2．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（1）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；x＞2时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，所以f（x）在x=﹣2处取得极大值，在x=2处取得极小值，x=1不为极值点，故答案为：﹣2．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=+．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为16．【解答】解：（1）∵等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得a1=1，d=，∴a n=1+（n﹣1）×=+．故答案为：+．（2）∵，∴数列{b n}的前8项和为：S8=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=1+1+1+2+2+3+3+3=16．故答案为：16．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数，导数为f′（x）=x2+2ax+b，f′（﹣1）=0，即为1﹣2a+b=0，可得b=2a﹣1；（2）a≤1时，f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x导数为f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1），当a=1时，f′（x）=（x+1）2≥0，f（x）在R上递增；当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，可得f（x）在（﹣1，1﹣2a）递减；在（﹣∞，﹣1），（1﹣2a，+∞）递增；（3）a=﹣1，f（x）=x3﹣x2﹣3x，导数为f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），f（x）在（﹣1，3）递减，在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增；可得f（x）的极小值为f（3）=﹣27，极大值为f（﹣1）=，方程f（x）=m有三个不等的实数根，可得﹣27＜m＜，即m的取值范围是（﹣27，）．。

2017人大附中高二(上)期中数学(文)

2017人大附中高二(上)期中数学(文)

2017人大附中高二（上）期中数 学(文)制卷人:杨良庆 孙福明 于金华 审卷人: 梁丽平说明:本试卷分Ⅰ卷 和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题,共100分，作为模块成绩;Ⅱ卷7道题，共50分; Ⅰ卷，Ⅱ卷共24题，合计150分,作为期中成绩;考试时间120分钟;请在密封线内填写个人信息。

Ⅰ卷(共17题,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题纸”的相应位置上.)1.在平面直角坐标系，直线x-y+3=0的倾斜角是（ ）。

A: π/6 B: π/4 C: π/3 D: 3π/42.在空间直角坐标系中，两点A(1，0，1)和B(1，1，1)的距离是A 、 1B 、 2C 、 3D 、 2 3.下列说法不正确的是（ ）A.正棱柱的侧棱长与高相等B.直棱柱的侧棱长与高相等C.斜棱柱的侧棱长大于高D.四棱柱的侧棱长与高相等4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．2/3B ． 35C ．4/3D ．352 5.设点A ，B 是直线3x+4y+2=0与圆x 2 +y 2+4y=0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A.4x-3y-2=0B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0D.3x+4y+8=06.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A. 若l⊥α，l∥m，则m⊥αB. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC. 若l∥α，m⊂α，则l∥mD. 若l∥α，m∥α，则l∥m7.如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：①D1P∥平面A1BC1；②D1P⊥BD；③平面PDB1⊥平面A1BC1；④三棱锥A1−BPC1的体积不变。

则其中所有正确的命题的序号是A.123B.234C.134D.1248.已知圆x2+y2−2x−4y+a−5=0上有且仅有两个点到直线3x−4y−15=0的距离为1,则实数a的取值范围为()A. (-6,1)B. (−6,-6)C. (2,4)D. (1,6)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分共30分请将正确答案埃在“机读答题纸”的相应位置上.)9.直线x+y-1=0截圆x2+y2=4 所得弦长为___.10.已知正四棱锥的高为4,侧棱长为32,则该棱锥的侧面积为___1.用一张4cmX8 cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则该圆柱轴截面面积是___cm2.12 若4(3.1),B(811),C(-2,m)三点共线，则实数m等于_13.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点，过点E作平面a,使得平面a//平面AB1C，则平面a在正方体表面上截得的图形的周长为____14.在平面直角坐标系x0y中，已知点A(0.3),动点M满足\MA=2\MO\,则点M的轨迹方程是____;半径为1的圆C的圆心C在直线3x-y-4=0 上，若圆C与点M的轨迹有公共点，则圆心C的横坐标的取值范围是___三、解答题15.已知平行四边形ABCD的AB边和AD边所在直线方程分别为2=0和=0,且它的对角线交点为M(2,2)(1)求点A与点C的坐标(2)求BC.CD所在的直线方程16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点。

2023-2024学年人大附中高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年人大附中高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年人大附中高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11第I 卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1．已知平面//α平面β，直线a α⊂，直线b β⊂，则a 与b 的位置关系是（）A ．平行B ．平行或异面C ．异面D ．异面或相交2．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（）.A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-3．一个水平放置的平面图形OAB 用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角O A B '''△，其中A B ''=，则平面图形OAB 的面积为（）A ．B ．C ．D ．4．已知1cos ,3a b 〈〉=-，则下列说法错误的是（）A ．若,a b分别是直线12,l l 的方向向量，则12,l l所成角余弦值是13B ．若,a b分别是直线l 的方向向量与平面α的法向量，则l 与α所成角正弦值是13C ．若,a b分别是平面ABC 、平面BCD 的法向量，则二面角A BC D --的余弦值是13D ．若,a b分别是直线l 的方向向量与平面α的法向量，则l 与α所成角余弦值是223.5．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是A ．B ．C ．D ．6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是矩形，其中2AB =，4=AD ，13AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为（）A ．9B C D ．7．如图，已知大小为60︒的二面角l αβ--棱上有两点A ，B ，,AC AC l α⊂⊥，,BD BD l β⊂⊥，若3,3,7AC BD CD ===，则AB 的长度（）A ．22B ．40C ．D 8．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为A ．41πB ．42πC ．43πD ．44π9．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，//BC QH ，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是A ．．C ．．10．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面11A B CD 截正方体可得两个壍堵，再沿平面11B C D 截壍堵可得一个阳马（四棱锥1111D A B C D -），一个鳖臑（三个棱锥11D B C C -），若P 为线段CD 上一动点，平面α过点P ，CD ⊥平面α，设正方体棱长为1，PD x =，α与图中鳖臑截面面积为S ，则点P 从点D 移动到点C 的过程中，S 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11．已知正方形ABCD 的边长为2，则AB AC =+ .12．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥的表面积为.13．平面与平面垂直的判定定理符号语言为：.14．在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在n 维空间中，正交的定义是两个n 维向量()()1212,,,,,,,n n a x x x b y y y =⋯=⋯满足11220n n x y x y x y ++⋯+=.已知某通信方式中用户的信号是4维非平向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为22(0,0,0,1),(0,0,1,0),,,0,022⎫⎪⎪⎝⎭.写出一个满足条件的第四个用户的信号向量.15．一个三棱锥的三个侧面中有一个是边长为2的正三角形，另两个是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积可能为.三、解答题（本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16．已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：(1,1,1),(1,2,3),(4,5,6),(7,8,)A B C D x .(1)求||AC ；(2)若AB CD ⊥ ，求x 的值；(3)若D 点在平面ABC 上，直接写出x 的值.17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.(1)求证：BC AD ∥；(2)求证：CE 平面PAB ；(3)若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN 平面PAB ？说明理由.18．如图所标，已知四棱锥E ABCD -中，ABCD 是直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，平面EAB ⊥平面ABCD ，63AB BC BE AD AE =====,,(1)证明：BE ⊥平面ABCD ；(2)求B 到平面ADE 的距离；(3)求二面角A DE C --的余弦值.第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）19．关于空间中的角，下列说法中正确的个数是（）①空间中两条直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦②空间中直线与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦③空间中二面角的平面角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦④空间中平面与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．1B ．2C ．3D ．420．.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC ，AD 的中点.将ABF △沿BF 所在直线进行翻折，将CDE 沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是（）A ．点A 与点C 在某一位置可能重合B ．点A 与点C 3ABC ．直线AB 与直线DE 可能垂直D ．直线AF 与直线CE 可能垂直21．在正方体ABCD A B C D -''''中，P 为棱AA '上一动点，Q 为底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点,P Q 都运动时，点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A ．棱柱B ．棱台C ．棱锥D ．球的一部分22．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A C 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．存在点Q ，使得//PQ BDB ．存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC ．三棱锥Q APD -的体积是定值D ．存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题纸上的相应位置.）23．如图，在边长为2正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足11B P D E ⊥，则点1B 和满足条件的所有点P 构成的图形的周长是.24．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有侧棱长及底面边长都为2，D 是1CC 的中点，则直线AD 与平面1A BD所成角的正弦值为．25．点O 是正四面体1234A A A A 的中心，()11,2,3,4i OA i ==.若11223344OP OA OA OA OA λλλλ=+++ ，其中()011,2,3,4i i λ≤≤=，则动点P 扫过的区域的体积为.三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）26．已知自然数集()*{1,2,3,,}N A n n =∈ ，非空集合{}()*12,,,N m E e e e A m =⊆∈ .若集合E 满足：对任意a A ∈，存在,(1)i j e e E i j m ∈≤≤≤，使得,,{1,0,1}i j a xe ye x y =+∈-，称集合E 为集合A 的一组m 元基底.(1)分别判断下列集合E 是否为集合A 的一组二元基底，并说明理由：①{1,2},{1,2,3,4,5}E A ==；②{2,3},{1,2,3,4,5,6}E A ==.(2)若集合E 是集合A 的一组m 元基底，证明：(1)n m m ≤+；(3)若集合E 为集合{1,2,3,,19}A = 的一组m 元基底，求m 的最小值.1．B【分析】利用直线与平面的位置关系判断即可.【详解】因为平面//α平面β，直线a α⊂，直线b β⊂，所以a 与b 没有交点，即a 与b 可能平行，也可能异面．故选：B.2．B【分析】根据空间向量的坐标表示可得.【详解】由空间向量的坐标表示可知，AB OB OA =-，所以()()()2,5,33,1,05,4,3OB AB OA =+=-+-=-，所以点B 的坐标为()5,4,3-.故选：B 3．B【分析】先求得原图形三角形的底与高的值，进而求得原图形的面积【详解】因为在直观图中，O A A B ''''=O B ''==，，高为2⨯=故原图形的面积为12=.故选：B4．C【分析】根据向量法逐一判断即可.【详解】对于A ：因为直线与直线所成角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以12,l l 所成角余弦值为1cos ,3a b 〈〉= ，故A 正确；对于B ：因为直线与平面所成角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以l 与α所成角正弦值3s n 1cos ,i a b θ〈=〉= ，l 与α所成223=，故BD 正确；对于C ：因为二面角的平面角所成角范围为[)0,p，所以二面角A BC D --的余弦值可能为负值，故C 错误；故选：C 5．B【分析】设三棱锥S ABC -的各棱长均相等，由,SC SH 确定的平面，得到截面SCD ∆，再由正四面体的性质和图象的对称性加以分析，同时对照选项，即可求解.【详解】如图所示，设三棱锥S ABC -的各棱长均相等，球O 是它的内切球，设H 为底面ABC ∆的中心，根据对称性可得内切球的球心O 在三棱锥的高SH 上，由,SC SH 确定的平面交AB 于D ，连接,AD CD ，得到截面SCD ∆，截面SCD 就是经过侧棱SC 与AB 中点的截面，平面SCD 与内切球相交，截得的球大圆如图所示，因为SCD ∆中，圆O 分别与,AD CE 相切于点,E H ，且SD CD =，圆O 与SC 相离，所对照各个选项，可得只有B 项的截面符合题意，故选B.【点睛】本题主要考查了正四面体的内切球的截面问题，其中解答中正确理解组合体的结构特征是解答的关键，着重考查了正四面体的性质，球的性质的应用，属于中档试题.6．C【分析】由11AC AC CC =+ ，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出2211,,2AC AC CC CC ⋅ 的值，进而可得答案【详解】由11AC AC CC =+ ，2222211111()2AC AC AC CC AC AC CC CC ==+=+⋅+ .因为底面ABCD 是矩形，2AB =，4=AD ，13AA =，所以2241620=AC AC =+= ，219CC = ，因为1160A AB A AD ∠=∠=，所以1123cos 603,43cos 606AB CC BC CC ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=所以()1111822()2()=23+6=1AC CC AB BC CC AB CC BC CC ⋅=+⋅=⋅+⋅，2112018947,47AC AC =++==故选：C.7．C【分析】过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，易得60CAE ︒∠=，通过线面垂直的判定定理可得ED ⊥平面AEC ，继而得到ED EC ⊥，由勾股定理即可求出答案.【详解】解：过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，则四边形ABDE 是平行四边形，因为BD AB ⊥，所以平行四边形ABDE 是矩形，因为BD l ⊥，即AE l ⊥，而AC l ⊥，则CAE ∠是二面角l αβ--的平面角，即60CAE ︒∠=，因为3BD AE AC ===，即ACE △为正三角形，所以3CE =，因为,ED AE l AC ⊥⊥，即ED AC ⊥，,,AE AC A AE AC ⋂=⊂平面AEC ，所以ED ⊥平面AEC ，因为EC ⊂平面AEC ，所以ED EC ⊥，所以在Rt EDC中，ED =AB ED ==故选：C8．A【解析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，即为14122=，∴该球形容器体积的最小值为：42π⨯=41π.故选：A.【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.9．C【分析】首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.【详解】设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O ，则O 是底面QRH的中心.设OR HQ G ⋂=，则EAB PGO ∠=∠，又因为4323RG RO OG ===，3PO ==，所以22sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=选C.【点睛】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.属中档题.10．B【分析】分析得出11PMN CB C △△，可得出1PNxCC =，求出PMN S △关于x 的函数关系式，由此可得出合适的选项.【详解】设M 、N 分别为截面与1DB 、1DC 的交点，DP x =，01x ≤≤，CD ⊥ 平面PMN ，CD ⊥平面11B CC ，所以，平面//PMN 平面11B CC ，因为平面1DCC 平面PMN PN =，平面1DCC 平面111B CC CC =，所以，1//PN CC ，同理可得11//MN B C ，1//PM B C ，所以，111111PN DN MN DM PM DP x CC DC B C DB B C DC ======，所以，11PMN CB C △△，易知111111122CB C S B C CC =⋅=△，因此，112212PMN CB C S x S x ==△△.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的辨别，解题的关键就是充分分析图形的几何特征，以此求出函数解析式，结合解析式进行判断.11．【分析】根据向量数量积以及模长公式即可求解.【详解】由题意可知π2,,4AB AC AB AC ===，24,2AB AC ∴=⋅=⨯故AB AC +===故答案为：12．3π【分析】由轴截面可确定圆锥底面半径和母线长，代入圆锥表面积公式即可.【详解】 圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，∴圆锥底面半径1r =，圆锥母线长2l =，∴圆锥的表面积2ππ2ππ3πS rl r =+=+=.故答案为：3π.13．,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥（答案不唯一）【分析】根据“平面与平面垂直的判定定理”写出正确答案.【详解】平面与平面垂直的判定定理：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥.故答案为：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥（答案不唯一）14．()1,1,0,0（答案不唯一）【分析】根据“正交”的定义列方程，从而求得正确答案.【详解】设满足条件的第四个用户的信号向量是(),,,x y z u ，则()()()(0,0,0,1),,,0(0,0,1,0),,,0,,,,022x y z u x y z u x y z u ⎧⎪⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⎛⎫⎪-⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，则00022u z x y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，则0,u z x y ===，故一个满足条件的信号向量是()1,1,0,0.故答案为：()1,1,0,0（答案不唯一）15．（或3或，答案不唯一）【分析】根据已知条件进行分类讨论，结合三棱锥的体积公式求得正确答案.【详解】（1）BCD △是等边三角形，且,AB AC AD AC ⊥⊥，如下图所示，由于,,AB AD A AB AD =⊂ 平面ABD ，所以AC ⊥平面ABD，2,BC BD CD AB AD AC ======222,AB AD BD AB AD +=⊥，则1132A BCD V -=⨯.（2）BCD △是等边三角形，且,AB BD AB BC ⊥⊥，如下图所示，由于,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面BCD ，所以AB ⊥平面BCD ，2BC BD CD AB ====，所以112322sin 602323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯︒⨯=.（3）BCD △是等边三角形，且,AB BD CD AC ⊥⊥，如下图所示，取AD 的中点O ，连接,OB OC ，则2BC BD CD AB ====，22AD =122OB OC AD ===222,OB OC BC OB OC +=⊥，,,,,AD OB AD OC OB OC O OB OC ⊥⊥⋂=⊂平面OBC ，所以AD ⊥平面OBC .所以112222232A BCD V -⎛=⨯⨯ ⎝.故答案为：23（或23或23，答案不唯一）.16．(1)92x =(3)9x =【分析】（1）根据空间向量的模求得正确答案.（2）根据向量垂直列方程，化简求得x 的值.（3）根据向量共面列方程，从而求得x 的值.【详解】（1）()3,4,5,AC AC ===（2）()()0,1,2,3,3,6AB CD x ==-，由于AB CD ⊥ ，所以3212290AB CD x x ⋅=+-=-= ，解得92x =.（3）()()0,1,2,3,4,5AB AC ==，设AD aAB bAC =+ ，即()()()()6,7,10,,23,4,53,4,25x a a b b b b a b a b -=+=++，所以6374125ba b x a b =⎧⎪=+⎨⎪-=+⎩，解得1,2,9a b x =-==.17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）由中位线、线面平行的性质可得四边形BCEF 为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明；（3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以BC AD ∥；（2）如下图，取F 为AP 中点，连接,EF BF ，由E 是PD 的中点，所以EF AD ∥且12EF AD =，由（1）知BC AD ∥，又12BC AD =，所以EF BC ∥且EF BC =，所以四边形BCEF 为平行四边形，故CE BF ∥，而CE ⊂平面PAB ，BF ⊄平面PAB ，则CE 平面PAB .（3）取AD 中点N ，连接CN ，EN ，因为E ，N 分别为PD ，AD 的中点，所以EN PA ∥，因为EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以EN 平面PAB ，线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB ，理由如下：由（2）知：CE 平面PAB ，又CE EN E = ，CE ⊂平面CEN ，EN ⊂平面CEN ，所以平面CEN 平面PAB ，又M 是CE 上的动点，MN ⊂平面CEN ，所以MN 平面PAB ，所以线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB .18．(1)证明详见解析(2)3222-【分析】（1）通过证明BE AB ⊥，结合面面垂直的性质定理证得BE ⊥平面ABCD.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得B 到平面ADE 的距离.（3）利用向量法求得二面角A DE C --的余弦值.【详解】（1）由于222AB BE AE +=，所以BE AB ⊥，由于平面EAB ⊥平面ABCD ，且交线为AB ，BE ⊂平面EAB ，所以BE ⊥平面ABCD .（2）由于BC ⊂平面ABCD ，所以BE BC ⊥，所以,,BC AB BE 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()6,0,0,0,6,0,0,0,6,3,6,0C A E D，故()()3,0,0,0,6,6AD AE==-，设平面ADE的法向量为(),,m x y z=，则30660m AD xm AE y z⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，故可设()0,1,1m=，又()0,6,0BA=，所以B到平面ADE的距离为m BAm⋅==.（3）由（2）得平面ADE的法向量为()0,1,1 m=.而()()3,6,0,3,6,6CD ED=-=-，设平面CDE的法向量为(),,n a b c=，则3603660n CD a bn ED a b c⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，故可设()2,1,2n=，由图可知二面角A DE C--为钝角，设为θ，则cos2m nm nθ⋅=-==-⋅.19．C【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角范围判断即可.【详解】对于①：由空间中两条直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦，可知①正确；对于②：由空间中直线与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可知②正确；对于③：空间中二面角的平面角的取值范围是[]0,π，可知③错误；对于④：空间中平面与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦，可知④正确；故选：C20．D【分析】将ABF△沿BF所在直线进行翻折，将CDE沿DE所在直线进行翻折，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是圆，AB，AF是以BF为旋转轴的圆锥侧面；CE，CD是以DE为旋转轴的圆锥侧面；【详解】由题意，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以点A与点C不可能重合，故选项A错误；点A与点C的最大距离为正方形的对角线AC=，故选项B错误；由题易知直线BF与直线DE平行，所以直线AB与直线DE所成角和直线AB与直线BF所成角相等，显然直线AB与直线BF不垂直，故选项C错误；由题在正方形中直线AF 与直线CE 平行，设翻折后点A 为1A ，由题易知初始位置ππ,42AFB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，当ABF △沿BF 所在直线翻折到与平面BEDF 重合时，1π2,π2A FA AFB ⎛⎫∠=∠∈ ⎪⎝⎭所以在此连续变化过程中必存在1π2A FA ∠=，即1A F AF ⊥，所以1A F CE ⊥,所以翻折过程中，直线AF 与直线CE 可能垂直，故选项D 正确.故选：D.21．A【分析】先讨论P 点与A 点重合，M 点的轨迹，再分析把P 点从A 点向上沿1AA 移动，在移动的过程中M 点的轨迹，从而可得出结论.【详解】解：若P 点与A 点重合，设,AB AD 的中点分别为,E F ，移动Q 点，则此时M 点的轨迹为以,AE AF 邻边的正方形，再将P 点从A 点向上沿1AA 移动，在移动的过程中可得M 点的轨迹是将以,AE AF 邻边的正方形沿1AA 向上移动，最后当点P 与1A 重合时，得到最后一个正方形，故所得的几何体为棱柱.故选：A.22．B【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D ，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD 不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =--，若它们夹角为θ，则2222(1)|1|cos 2(1)1(2)233a a a a θ=⨯-++-⋅-+令1[1,1]t a =-∈-，则cos θ==，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，cos θ∈；当0=t 则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t ∞∈--，2cos (0,]2θ∈；所以πcos 6=不在上述范围内，错.故选：B23．【分析】以点D 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，由坐标法证明11,D E MN D E AM ⊥⊥，从而得出满足条件的所有点P 构成的图形，进而得出周长.【详解】以点D 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，如图，取1,CC CD 的中点分别为,N M ，连接11,,,AM MN B N AB ，由于1AB MN ∥，所以1,,,A B N M 四点共面，且四边形1AB NM 为梯形，()()()()()12,0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,2,1,2,0A M N D E ，()()()12,1,0,0,1,1,1,2,2AM MN D E =-==- ，因为11220,220AM D E MN D E ⋅=-+=⋅=-= 所以11,D E MN D E AM ⊥⊥，所以由线面垂直的判定可知1D E ⊥平面1AB NM ，即满足条件的所有点P 构成的图形为1AB NM ，由于11NM AB AM B N ===，则满足条件的所有点P构成的图形的周长为.故答案为：3225+24．10【分析】以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得向量(0,2,1)AD = 和平面1A BD 的一个法向量为(3,1,2)n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图所示，以A 为原点，过点A 垂直于AC 的直线为x 轴，以AC 和1AA 所在的直线分别为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，因为正四棱柱111ABC A B C -的所有侧棱长及底面边长都为2，可得1(0,0,0),(0,0,2),(3,1,0),(0,2,1)A A B D ，则11(0,2,1),(3,1,2),(0,2,1)AD A B A D ==-=- ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z = ，则1132020n A B y z n A D y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，可得3,2x z ==，所以(3,1,2)n =，设直线AD 与平面1A BD 所成的角为θ，可得410sin cos ,5522AD n AD n AD n θ⋅====⨯ ，所以直线AD 与平面1A BD 所成的角的正弦值为105.故答案为：105.25．16391639【分析】将正四面体1234A A A A 放入正方体中，得到正方体的体对角线是12OA ，从而得到该正方体的边长，再根据条件得到P 扫过的区域的体积即可.【详解】图，作出正四面体1234A A A A ，将正四面体1234A A A A 放入正方体中，如下图所示：则O 是该正方体的中心，设该正方体的棱长为a ，则22212a a a ++=⨯，解得：233a =，又11223344OP OA OA OA OA λλλλ=+++ ，()011,2,3,4i i λ≤≤=，则知P 扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，其中两个面如下图所示：可得动点P 扫过的区域的体积为该正方体体积的2倍，即动点P 扫过的区域的体积3233239V ⎛=⨯= ⎝⎭.故答案为：163.26．(1)①不是；②是(2)证明见解析(3)5【分析】（1）根据题干信息，利用二元基底的定义加以验证即可；（2）首先设12m e e e <<⋅⋅⋅<，计算出i j a xe ye =+的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意可得：22C C m m m m n +++≥，即可得证：()1n m m ≤+；（3）由（2）可知()119m m +≥，所以4m ≥，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”，再讨论当4m =时，集合E 的所有情况均不可能是A 的4元基底，而当5m =时，A 的一个基底{}1,3,5,9,16E =，由此可得m 的最小值为5.【详解】（1）{}1,2E =不是{}1,2,3,4,5A =的一个二元基底理由是{}()412,1,0,1x y x y ≠⋅+⋅∈-{}2,3E =是{}1,2,3,4,5,6A =的一个二元基底理由是11213=-⨯+⨯；21203=⨯+⨯；30213=⨯+⨯；41212=⨯+⨯，51213=⨯+⨯，61313=⨯+⨯.（2）不妨设12m e e e <<⋅⋅⋅<，则形如()101i j e e i j m ⋅+⋅≤<≤的正整数共有m 个；形如()111i i e e i m ⋅+⋅≤≤的正整数共有m 个；形如()111i j e e i j m ⋅+⋅≤<≤的正整数至多有2C m 个；形如()()111i j e e i j m -+⋅≤<≤的正整数至多有2C m 个；又集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅含有n 个不同的正整数，E 为集合A 的一个m 元基底.故22C C m m m m n +++≥，即()1m m n +≥.（3）由（2）可知()119m m +≥，所以4m ≥.当4m =时，()1191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.假设{}1234,,,E e e e e =为{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的一个4元基底，不妨设1234e e e e <<<，则410e ≥.当410e =时，有39e =，这时28e =或27e =.如果28e =，则1109=-，198=-，1899=+，18108=+，重复元素超出一个，不符合条件；如果27e =，则16e =或15e =，易知{}6,7,9,10E =和{}5,7,9,10E =都不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当411e =时，有38e =，这时27e =，16e =，易知{}6,7,8,11E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当412e =时，有37e =，这时26e =，15e =，易知{}5,6,7,12E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当413e =时，有36e =，这时25e =，14e =，易知{}4,5,6,13E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当414e =时，有35e =，这时24e =，13e =，易知{}3,4,5,14E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当415e =时，有34e =，这时23e =，12=e ，易知{}2,3,4,15E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当416e =时，有33e =，这时22e =，11e =，易知{}1,2,3,16E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当417e ≥时，E 均不可能是A 的4元基底.当5m =时，易验证A 的一个基底{}1,3,5,9,16E =，理由：11101=⨯+⨯；21111=⨯+⨯；31301=⨯+⨯；41113=⨯+⨯；51501=⨯+⨯；61313=⨯+⨯；719116=-⨯+⨯；81315=⨯+⨯；91901=⨯+⨯；101515=⨯+⨯；1115116=-⨯+⨯；121319=⨯+⨯；1313116=-⨯+⨯；141519=⨯+⨯；1511116=-⨯+⨯；1611601=⨯+⨯；1711611=⨯+⨯；181919=⨯+⨯；1911613=⨯+⨯.综上所述，m 的最小值为5.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，照章办事，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

2017_2018学年10月北京海淀区中国人民大学附属中学高二上学期理科月考数学试卷(详解)

2017_2018学年10月北京海淀区中国人民大学附属中学高二上学期理科月考数学试卷(详解)

，
∵
，
，
，
∴
，
即
，解出
，
∴存在符合要求的 点，且
.
四、附加题 五、选择题（每小题5分，共计20分）
18. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）．
A.
B.
【答案】 D 【解析】 如图所示，
正 主 视图 侧 左 视图
俯视图
C.
D.
该三棱锥
可由边长为 的正方体
中点，所以三棱锥的体积为：
．
截得，其中 为
2017~2018学年10月北京海淀区中国人民大学附属中学 高二上学期理科月考数学试卷(详解)
一、选择题（每小题5分，共计40分）
1. 下面四个命题中，真命题的个数为（ ）．
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
（2）两条直线可以确定一个平面
（3）若
，
，
，则
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内
A.
B.
与 异面 C.
截面
D.
【答案】 A
【解析】 错误．由题意可知， 和 也可能不相等；
正确．
，而 与 相交，显然 与 异面；
正确．由题意
，
平面
，
平面
，则
平面
；
正确．在正方形
中，
且
，则
平面
，
∵，
平面
，则
，同理可得
，则
．
综上， 项错误．
故选 ． 6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（ ）．
2. 已知三条直线 ， ， 和三个平面 ， ， ，下面四个命题中正确的是( )．
A.

2017-2018学年北京市人大附中高二(下)期中数学试卷(文科)

2017-2018学年北京市人大附中高二(下)期中数学试卷(文科)

2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）试题数：24.满分：1501.（单选题.5分）复数3+4i的共轭复数是（）A.3-4iB.3+4iC.-3+4iD.-3-4i2.（单选题.5分）如图是《集合》的知识结构图.如果要加入“列举法”.则应该接在（）A.“集合的概念”的后面B.“集合的表示”的后面C.“基本关系”的后面D.“基本运算”的后面3.（单选题.5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0.那么|a|＞|b|”时.假设的内容应是（）A.|a|=|b|B.|a|＜|b|C.|a|≤|b|D.|a|＞|b|且|a|=|b|4.（单选题.5分）下列结论正确的个数是（）① 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；② 为了研究吸烟与患肺病是否有关.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中.x2的观测值为x2=7.469大于6.635.故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系.那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③ 在线性回归分析中.相关系数为r.|r|≤1.并且|r|越接近1.线性相关程度越强．A.0B.1C.2D.35.（单选题.5分）函数f（x）的定义域为开区间（a.b）.导函数f′（x）在（a.b）内的图象如图所示.则函数f（x）在开区间（a.b）内极值点（包括极大值点和极小值点）有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.（单选题.5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB.AC互相垂直.则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 所在平面两两互相垂直.其三个侧面面积分别为S1.S2.S3.则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A. S2=S12+S22+S32B. S22=S12+S32+S2C. S12=S2+S22+S32D. S32=S12+S22+S27.（单选题.5分）为解决四个村庄用电问题.政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A.19.5B.20.5C.21.5D.25.58.（单选题.5分）设函数f（x）定义如表.数列{x n}满足x1=5. x n+1=f(x n)(n∈N∗) .则x2017的值为（）x 1 2 3 4 5 6 f（x） 4 5 1 2 6 3A.1B.3C.5D.69.（填空题.5分）复数z=1-i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第___ 象限．10.（填空题.5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系.并得到y关于x的线性回归直线方程：ŷ=0.2x+0.3 .由回归直线方程预测.家庭年收入为2万元时.年饮食支出大约为___ 万元．11.（填空题.5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A.B.C三个问题.甲说：我回答对的问题比乙多.但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为___ ．12.（填空题.5分）阅读图所示的程序框图.运行相应的程序.输出的结果是___ ．13.（填空题.5分）a+b=1.a2+b2=3.a3+b3=4.a4+b4=7.a5+b5=11.…则a9+b9=___ ．14.（填空题.5分）若集合M满足：∀x.y∈M.都有x+y∈M.xy∈M.则称集合M是封闭的．显然.整数集Z.有理数集Q.都是封闭的．在上述定义下.（1）复数集C___ 封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C.集合F是封闭.则满足条件的一个F可以是___ （只写一个）．15.（问答题.8分）已知复数z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）.z1=z2•（1+i）.求|z2|．x2−3alnx(a∈R) .且曲线y=f（x）在点（2.f（2））处16.（问答题.12分）设函数f(x)=32的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间[1，e](e=2.718…)上的最小值．e17.（问答题.10分）对于无穷数列{a n }与{b n }.记集合 A ={x|x =a n ，n ∈N ∗} .集合 B ={x|x =b n ，n ∈N ∗} .若同时满足条件： ① 数列{a n }.{b n }均单调递增； ② A∩B=∅且A∪B=N *.则称数列{a n }与{b n }是“好友数列”．（1）若a n =2n. b n =4n +1(n ∈N ∗) .判断数列{a n }与{b n }是否为“好友数列”.并说明理由；（2）若数列{a n }与{b n }是“好友数列”.{a n }为等差数列且a 16=36.求数列{a n }与{b n }的通项公式．18.（单选题.6分） (1+i 1−i )8 =（ ） A.-1B.1C.iD.-i19.（单选题.6分）类比等比数列的定义.定义等积数列为：若数列 {a n }(n ∈N ∗) 从第二项起.每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数.则称数列 {a n }(n ∈N ∗) 为等积数列.这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2.公积为6.则数列的通项公式为（ ）A. a n ={2(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗) B. a n ={3(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗) C. a n ={6(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗) D. a n ={6(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗) 20.（单选题.6分）已知函数f （x ）=sinx+e x .今f 1（x ）=f′（x ）.f 2（x ）=f′1（x ）.f 3（x ）=f′2（x ）.….f n+1（x ）=f′n （x ）.（n∈N *）则f 2017（x ）=（ ）A.sinx+e xB.cosx+e xC.-sinx+e xD.-cosx+e x21.（填空题.6分）设z∈C .|z|=1.则|z-（1+i ）|的最大值是___ ．22.（填空题.6分）设函数f （x ）在R 上可导.其导函数为f'（x ）.且函数y=（1-x ）f'（x ）的图象如图所示.则函数f （x ）的极大值点为x=___ ．23.（填空题.6分）等差数列{a n}(n∈N∗)中.a3+a4=4.a5+a7=6．（1）数列{a n}(n∈N∗)的通项公式为a n=___ ．（2）设b n=[a n](n∈N∗) .其中[x]表示不超过x的最大整数.如[0.9]=0.[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为___ ．x3+ax2+bx .且f′（-1）=0．24.（问答题.14分）已知函数f(x)=13（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时.求函数f（x）的单调区间；（3）令a=-1.并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根.求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：24.满分：1501.（单选题.5分）复数3+4i的共轭复数是（）A.3-4iB.3+4iC.-3+4iD.-3-4i【正确答案】：A【解析】：共轭复数的定义为：若复数为a+bi.则其共轭复数为a-bi．所以根据可得答案．【解答】：解：根据题意可得：复数为3+4i.所以结合共轭复数的定义可得：复数3+4i的共轭复数是3-4i．故选：A．【点评】：解决此类问题的关键是熟练掌握有关定义即共轭副数的定义．2.（单选题.5分）如图是《集合》的知识结构图.如果要加入“列举法”.则应该接在（）A.“集合的概念”的后面B.“集合的表示”的后面C.“基本关系”的后面D.“基本运算”的后面【正确答案】：B【解析】：知识结构图的作用是用图形直观地再现出知识之间的关联.由列举法是集合表示法的一种.由此知正确的选项．【解答】：解：列举法是集合表示法的一种.在知识结构图中.列举法应该放在集合的表示后面.即它的下位.由此知应选B．故选：B．【点评】：本题考查了知识结构图的应用问题.是基础题．3.（单选题.5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0.那么|a|＞|b|”时.假设的内容应是（）A.|a|=|b|B.|a|＜|b|C.|a|≤|b|D.|a|＞|b|且|a|=|b|【正确答案】：C【解析】：结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|.由此得出结论．【解答】：解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|.用反证法证明命题时.要首先假设结论的否定成立.故应假设：|a|≤|b|.由此推出矛盾．故选：C．【点评】：本题主要考查用反证法证明数学命题.把要证的结论进行否定.得到要证的结论的反面.从而得到所求.属于基础题．4.（单选题.5分）下列结论正确的个数是（）① 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；② 为了研究吸烟与患肺病是否有关.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中.x2的观测值为x2=7.469大于6.635.故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系.那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③ 在线性回归分析中.相关系数为r.|r|≤1.并且|r|越接近1.线性相关程度越强．A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：① 根据回归分析的定义去判断；② 由独立性检验的概率意义判断；③ 由相关系数的大小与线性相关程度的关系判断．【解答】：解：① .回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法.不是对具有函数关系的变量进行分析.故① 正确；② .x2的观测值为x2=7.469大于6.635.故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系.但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病.故② 不正确；③ .在线性回归分析中.相关系数为r满足|r|越接近1.线性相关程度越强.正确．∴正确结论的个数是2个．故选：C．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查独立性检验及线性相关关系的基本概念.是基础题．5.（单选题.5分）函数f（x）的定义域为开区间（a.b）.导函数f′（x）在（a.b）内的图象如图所示.则函数f（x）在开区间（a.b）内极值点（包括极大值点和极小值点）有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增.f'（x）＜0时f（x）单调递减.可从f′（x）的图象可知f（x）在（a.b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减.然后得到答案．【解答】：解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a.b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减.根据极值点的定义可知.导函数在某点处值为0.左右两侧异号的点为极值点.由图可知.在（a.b）内只有3个极值点．故选：C．【点评】：本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．6.（单选题.5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB.AC互相垂直.则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直.其三个侧面面积分别为S1.S2.S3.则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A. S2=S12+S22+S32B. S22=S12+S32+S2C. S12=S2+S22+S32D. S32=S12+S22+S2【正确答案】：A【解析】：斜边的平方等于两个直角边的平方和.可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和.边对应着面．【解答】：解：由边对应着面.边长对应着面积.由类比可得S2=S12+S22+S32．故选：A．【点评】：本题考查从平面类比到空间.属于基本类比推理.考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力.是基础题．7.（单选题.5分）为解决四个村庄用电问题.政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A.19.5B.20.5C.21.5D.25.5【正确答案】：B【解析】：选择数据较小的路线.确定到达4个村庄的最短路线即可【解答】：解：如图.最短总长度应该是：电厂到A.再从A到B、D.然后从D到C.所以能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是5+4+6+5.5=20.5km．故选：B．【点评】：本题考查合情推理.考查学生的计算能力.找到最短路线是解决本题的关键．8.（单选题.5分）设函数f（x）定义如表.数列{x n}满足x1=5. x n+1=f(x n)(n∈N∗) .则x2017的值为（）x 1 2 3 4 5 6 f（x） 4 5 1 2 6 3A.1B.3C.5D.6【正确答案】：C【解析】：推导出数列{x n}是以6为周期的周期数列.从而x2017=x1=5．【解答】：解：∵数列{x n}满足x1=5. x n+1=f(x n)(n∈N∗) .∴由表得：x2=f（5）=6.x3=f（6）=3.x4=f（3）=1.x5=f（1）=4.x6=f（4）=2.x7=f（2）=5.x8=f（5）=6.∴数列{x n}是以6为周期的周期数列.∵2017=336×6+1.∴x2017=x1=5．故选：C．【点评】：本题考查函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．9.（填空题.5分）复数z=1-i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第___ 象限．【正确答案】：[1]四【解析】：直接由复数得到复数z=1-i在复平面上对应的点的坐标.则答案可求．【解答】：解：∵复数z=1-i在复平面上对应的点的坐标为（1.-1）.∴复数z=1-i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．故答案为：四．【点评】：本题考查复数的代数表示法及其几何意义.是基础题．10.（填空题.5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系.并得到y关于x的线性回归直线方程：ŷ=0.2x+0.3 .由回归直线方程预测.家庭年收入为2万元时.年饮食支出大约为___ 万元．【正确答案】：[1]0.7【解析】：利用线性回归直线方程计算x=2时ŷ的值即可．【解答】：解：根据线性回归直线方程ŷ=0.2x+0.3 .计算x=2时. ŷ =0.2×2+0.3=0.7.即预测家庭年收入为2万元时.年饮食支出大约为0.7万元．故答案为：0.7．【点评】：本题考查了线性回归方程的应用问题.是基础题．11.（填空题.5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A.B.C三个问题.甲说：我回答对的问题比乙多.但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为___ ．【正确答案】：[1]A【解析】：可先由乙推出.可能答案对A或B.再由甲推出只能是A.B中的一个.再由丙即可推出结论．【解答】：解：由乙说：我没回答对C.则乙可能答对A或B.但甲说：我回答对的问题比乙多.但没有回答对B.则乙只能是答对A.B中的任一个.再由丙说：我们三人都同时答对一个题.则由此可判断乙答对的题为A．故答案为：A．【点评】：本题考查乙答对的题的判断.考查简单的合情推等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．12.（填空题.5分）阅读图所示的程序框图.运行相应的程序.输出的结果是___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：分析程序中各变量、各语句的作用.再根据流程图所示的顺序.可知：该程序的作用的周期.我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况.不难是利用循环求函数S= 11−S给出答案．【解答】：解：程序在运行过程中各变量变化的如下表示：S n 是否继续循环循环前 2 1/第一圈-1 2 是3 是第二圈12第三圈 2 4 否故最后输出的n值为4故答案为：4【点评】：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果.是算法这一模块最重要的题型.其处理方法是：① 分析流程图（或伪代码）.从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型.又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多.也可使用表格对数据进行分析管理）⇒② 建立数学模型.根据第一步分析的结果.选择恰当的数学模型③ 解模．13.（填空题.5分）a+b=1.a2+b2=3.a3+b3=4.a4+b4=7.a5+b5=11.…则a9+b9=___ ．【正确答案】：[1]76【解析】：观察可得各式的值构成数列1.3.4.7.11.….然后根据归纳推理即可得到结论．【解答】：解：观察可得各式的值构成数列1.3.4.7.11.….其规律为从第三项起.每项等于其前相邻两项的和.所求值为数列中的第9项．继续写出此数列为1.3.4.7.11.18.29.47.76.123.….第9项为76.即a9+b9=76.．故答案为：76；【点评】：本题主要考查归纳推理的应用.根据已知条件得到数列取值的规律性是解决本题的关键．考查学生的观察能力．14.（填空题.5分）若集合M满足：∀x.y∈M.都有x+y∈M.xy∈M.则称集合M是封闭的．显然.整数集Z.有理数集Q.都是封闭的．在上述定义下.（1）复数集C___ 封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C.集合F是封闭.则满足条件的一个F可以是___ （只写一个）．【正确答案】：[1]是; [2]R【解析】：（1）根据题意.由复数的运算法则.分析可得其符合集合封闭的定义.即可得答案；（2）根据题意.分析可得R符合题意的要求.即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.对于复数集.由复数的运算法则.若x.y∈C.则x+y∈C.xy∈C.则复数C是封闭的.（2）若Q⊊F⊆C.集合F是封闭.则实数集R符合.则满足条件的一个F可以是R；故答案为：（1）是.（2）R．【点评】：本题考查集合的关系.关键是掌握集合封闭的定义.属于基础题．15.（问答题.8分）已知复数z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）.z1=z2•（1+i）.求|z2|．【正确答案】：【解析】：把z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）代入z1=z2•（1+i）.整理后利用复数相等的条件列式求得a.再由复数模的计算公式求解．【解答】：解：∵z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）.由z1=z2•（1+i）.得2+4i=（a+i）（1+i）=（a-1）+（a+1）i．.即a=3．∴ {a−1=2a+1=4∴|z2|=|3+i|= √10．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数相等的条件.训练了复数模的求法.是基础题．x2−3alnx(a∈R) .且曲线y=f（x）在点（2.f（2））处16.（问答题.12分）设函数f(x)=32的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；，e](e=2.718…)上的最小值．（3）求函数f（x）在区间[1e【正确答案】：【解析】：（1）求得f （x ）的导数.可得切线的斜率.解方程可得a 的值； （2）由导数大于0.可得增区间；导数小于0.可得减区间； （3）由（2）可得f （x ）的极小值.且为最小值．【解答】：解：（1）函数 f (x )=32x 2−3alnx (a ∈R ) 的导数为： f′（x ）=3x- 3a x.曲线y=f （x ）在点（2.f （2））处的切线的斜率为0． 可得6- 3a 2=0.解得a=4； （2）f （x ）= 32x 2-12lnx. 导数为f′（x ）=3x- 12x =3(x−2)(x+2)x. 由f′（x ）＞0.可得x ＞2；由f′（x ）＜0.可得0＜x ＜2； 即f （x ）的增区间为（2.+∞）．减区间为（0.2）； （3）由（2）可得函数f （x ）的极小值为f （2）=6-12ln2. 且2∈[ 1e .e].可得f （x ）的最小值为6-12ln2．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值.同时考查不等式的解法.属于基础题．17.（问答题.10分）对于无穷数列{a n }与{b n }.记集合 A ={x|x =a n ，n ∈N ∗} .集合 B ={x|x =b n ，n ∈N ∗} .若同时满足条件： ① 数列{a n }.{b n }均单调递增； ② A∩B=∅且A∪B=N *.则称数列{a n }与{b n }是“好友数列”．（1）若a n =2n. b n =4n +1(n ∈N ∗) .判断数列{a n }与{b n }是否为“好友数列”.并说明理由； （2）若数列{a n }与{b n }是“好友数列”.{a n }为等差数列且a 16=36.求数列{a n }与{b n }的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）由于集合B 中不含1.3等元素.不满足新定义.即可判断；（2）设数列{a n }的公差为d 的等差数列.运用等差数列的通项公式.结合条件和新定义.求得d=1.2.分别讨论可得所求数列的通项公式．【解答】：解：（1）数列{a n }与{b n }不为“好友数列”． 由a n =2n. b n =4n +1(n ∈N ∗) .可得集合A 为正偶数集.集合B 中不含1.3. 虽然满足 ① 数列{a n }.{b n }均单调递增； ② A∩B=∅但A∪B≠N *.则数列{a n }与{b n }不为“好友数列”； （2）设数列{a n }的公差为d 的等差数列. 由a 16=36.即有a 1+15d=36.由题意可得36-15d≥1.解得d=1或2. 若d=1.则a 1=21.a n =n+20.b n =n （1≤n≤20）. 与无穷数列{a n }与{b n }矛盾.舍去； 若d=2.则a 1=6.a n =2n+4.b n = {n (1≤n ≤5)2n −5(n ≥6).综上可得a n =2n+4.b n = {n (1≤n ≤5)2n −5(n ≥6) .n∈N*．【点评】：本题考查新定义的理解和运用.考查等差数列的通项公式的运用和方程思想、分类讨论思想方法.考查运算能力.属于中档题． 18.（单选题.6分） (1+i 1−i )8=（）A.-1B.1C.iD.-i【正确答案】：B【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简 1+i1−i .再由虚数单位i 的性质得答案．【解答】：解：∵1+i1−i=(1+i )2(1−i )(1+i )=i .∴ (1+i 1−i )8=i 8=（i 4）2=1． 故选：B ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查虚数单位i 的性质.是基础题．19.（单选题.6分）类比等比数列的定义.定义等积数列为：若数列 {a n }(n ∈N ∗) 从第二项起.每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数.则称数列 {a n }(n ∈N ∗) 为等积数列.这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2.公积为6.则数列的通项公式为（ ） A. a n ={2(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗) B. a n ={3(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗) C. a n ={6(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗)D. a n ={6(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗)【正确答案】：A【解析】：由题意可得.a n a n+1=6.由递推公式可求解数列的通项公式．【解答】：解：由题意可得.a n a n+1=6. ∵a 1=2∴a 2=3.a 3=2.a 4=3.….∴a n = {2，(n =2k −1)3，(n =2k ) .（k∈N *）．故选：A ．【点评】：此题的思想方法要抓住给出的信息.观察数列的规律.总结出项数与项之间的关系.求出通项公式时需要分类讨论.一定清楚奇数项数与偶数项数.否则容易出错．20.（单选题.6分）已知函数f （x ）=sinx+e x .今f 1（x ）=f′（x ）.f 2（x ）=f′1（x ）.f 3（x ）=f′2（x ）.….f n+1（x ）=f′n （x ）.（n∈N *）则f 2017（x ）=（ ） A.sinx+e x B.cosx+e x C.-sinx+e x D.-cosx+e x 【正确答案】：B【解析】：分别求出f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）、f 4（x ）.结合f （x ）.可得到f n+4（x ）=f n （x ）.于是可得到f 2017（x ）=f 1（x ）.从而可得出答案．【解答】：∵f （x ）=sinx+e x .∴ f 1(x )=f′(x )=cosx +e x . f 2(x )=f 1′(x )=−sinx +e x . f 3(x )=f 2′(x )=−cosx +e x . f 4(x )=f 3′(x )=sinx +e x .∴f n+4（x ）=f n （x ）.f2017(x)=f4×504+1(x)=f1(x)=cosx+e x .故选：B．【点评】：本题考查导数的运算.找出导数的周期性是解本题的关键.属于基础题．21.（填空题.6分）设z∈C.|z|=1.则|z-（1+i）|的最大值是___ ．【正确答案】：[1]1+ √2【解析】：由复数模的几何意义.数形结合即可求得|z-（1+i）|的最大值．【解答】：解：由题意可知.复数z的轨迹为单位圆.如图.|z-（1+i）|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离.由图可知.|z-（1+i）|的最大值为|AP|=1+ √2．故答案为：1+ √2．【点评】：本题考查复数模的求法.考查复数模的几何意义.是基础题．22.（填空题.6分）设函数f（x）在R上可导.其导函数为f'（x）.且函数y=（1-x）f'（x）的图象如图所示.则函数f（x）的极大值点为x=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：利用函数的图象.判断导函数值为0时.左右两侧的导数的符号.即可判断极值．【解答】：解：由函数的图象可知.f′（-2）=0.f′（1）=0.f′（2）=0. 并且当x ＜-2时.f′（x ）＞0；当-2＜x ＜1.f′（x ）＜0； 当1＜x ＜2时.f′（x ）＜0；x ＞2时.f′（x ）＞0.即f （x ）在（-∞.-2）上单调递增.在（-2.1）上单调递减. 在（1.2）递减.在（2.+∞）递增.所以f （x ）在x=-2处取得极大值.在x=2处取得极小值.x=1不为极值点. 故答案为：-2．【点评】：本题考查函数与导数的应用.考查分析问题解决问题的能力.函数的图象的应用． 23.（填空题.6分）等差数列 {a n }(n ∈N ∗) 中.a 3+a 4=4.a 5+a 7=6． （1）数列 {a n }(n ∈N ∗) 的通项公式为a n =___ ．（2）设 b n =[a n ](n ∈N ∗) .其中[x]表示不超过x 的最大整数.如[0.9]=0.[2.6]=2．则数列{b n }的前8项和为___ ．【正确答案】：[1] 25n + 35 ; [2]16【解析】：（1）利用等差数列通项公式列出方程组.由此能求出a 1=1.d= 25.从而能求出数列 {a n }(n ∈N ∗) 的通项公式．（2）由 b n =[a n ](n ∈N ∗) .能求出数列{b n }的前8项和．【解答】：解：（1）∵等差数列 {a n }(n ∈N ∗) 中.a 3+a 4=4.a 5+a 7=6． ∴ {a 1+2d +a 1+3d =4a 1+4d +a 1+6d =6 . 解得a 1=1.d= 25 .∴a n =1+（n-1）× 25= 25n + 35． 故答案为： 25n + 35 ． （2）∵ b n =[a n ](n ∈N ∗) . ∴数列{b n }的前8项和为：S 8=[ 25+35]+[ 45+35]+[ 65+35]+[ 85+35]+[ 105+35]+[ 125+35]+[ 145+35]+[ 165+35]=1+1+1+2+2+3+3+3=16． 故答案为：16．【点评】：本题考查等差数列的通项公式的求法.考查数列的前8项和的求法.考查等差数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．24.（问答题.14分）已知函数f(x)=1x3+ax2+bx .且f′（-1）=0．3（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时.求函数f（x）的单调区间；（3）令a=-1.并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得f（x）的导数.由f′（-1）=0.可得所求关系式；（2）求得f（x）的导数.讨论a=1.a＜1.结合二次不等式的解法.可得所求单调区间；（3）由（2）可得f（x）的单调性.求得极值.由题意可得m介于极小值和极大值之间．x3+ax2+bx .【解答】：解：（1）函数f(x)=13导数为f′（x）=x2+2ax+b.f′（-1）=0.即为1-2a+b=0.可得b=2a-1；x3+ax2+（2a-1）x（2）a≤1时.f（x）= 13导数为f′（x）=x2+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）.当a=1时.f′（x）=（x+1）2≥0.f（x）在R上递增；当a＜1时.1-2a＞-1.可得f（x）在（-1.1-2a）递减；在（-∞.-1）.（1-2a.+∞）递增；x3-x2-3x.（3）a=-1.f（x）= 13导数为f′（x）=x2-2x-3=（x-3）（x+1）.f（x）在（-1.3）递减.在（-∞.-1）.（3.+∞）递增；.可得f（x）的极小值为f（3）=-9.极大值为f（-1）= 53方程f（x）=m有三个不等的实数根..可得-9＜m＜53）．即m的取值范围是（-9. 53【点评】：本题考查导数的运用：求单调性和极值.考查方程思想和运算能力.属于基础题．。

北京市人大附中2018-2019学年高二数学上学期期中考试(含精品解析)

北京市人大附中2018-2019学年高二数学上学期期中考试(含精品解析)

������2 ������2
+
������2
������2=1（x≥0）与半椭圆
������2
C2：������2
+
������2
������2=1（x＜0）其中
a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）组
成，设点 F0，F1，F2 是相应椭圆的焦点，A1，A2 和 B1，B2 是轴截面与 x，y 轴交
32������
2018-2019 学年北京市人大附中高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 64.0 分）
1. 在等差数列{an}中，已知 a1+a2+a3+a4+a5=20，那么 a3=（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
2. 命题“∃x0∈R，10������0≤0”的否定是（ ）
A. 不存在������0 ∈ ������，10 ������0 > 0
17.
������2
过椭圆 4
+
������2
3 =1
的焦点且垂直于
x
轴的直线
l
被椭圆截得的弦长是______．
18. 已知数列{an}，{bn}满足 bn=an+1-an（其中 n=1，2，3…），a1=1，若 bn+1bn1=bn（n≥2），且 b1=1，b2=2． （1）则 b2018=______； （2）记 cn=a6n-1（n≥1），则数列{cn}的通项公式为______．
（Ⅱ）证明：“a1，a2，…，an 成等差数列”的充要条件是“S（A）= 2 ”；
（Ⅲ）若 S（A）=2017，求当 n 取最小值时 an 的最大值．

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考练习学试题(含答案)

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考练习学试题(含答案)

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考练习学试题2024年11月6日说明:本试卷共五道大题，共8页，满分150分，考试时间120分钟;第I 卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1.空间直角坐标系中，，则（ ）A. B. C. D.2.已知直线m ，n ，l ，平面，下列正确的是（ ）A.若，则与异面B.若，则C.若，则D.若，则3.在四面体中，点是AB 靠近的三等分点，记，则（ ）A. B.C. D.4.若圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积时，圆锥轴截面顶角的度数为（ ）A. B. C. D.5.已知直线m ，n ，平面，那么“”是“”的（ ）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.在空间直角坐标系中，直线的方向向量，点在直线上，点到直线的距离是（ ）D.7.一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（ ）(1,2,3),(3,0,1)A B --AB = (2,2,4)--(4,2,2)-(2,2,4)-(4,2,2)--,αβ,l P n αα⋂=⊂l n //,m n n α⊂//m α,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂l α⊥,,m n αβαβ⊥⊥⊥m n⊥P ABC -Q B ,,PA a PB b PC c === CQ = 2133c a b -+ 1233c a b -- 2133a b c +- 1233a b c +- π3π2π2π3,//,m n m αα⊂///n α//m αl (1,0,2)m =(0,1,0)A l (1,2,3)B -l 710A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥8.正三棱锥中，为棱PA的中点，点M，N分别在棱PB，PC上，三角形QMN周长的最小值为（）9.歇山顶是中国古代建筑传统屋顶之一，它有一条正脊、四条垂脊和四条戗脊，将歇山顶近似看成如图中的多面体，其上部为直三棱柱，，四边形为矩形，平面平面，且平面，平面，则正脊末端与戗脊末端两点间距离为（）A.4C.10.如图，正四面体的棱长2，过棱AB上任意一点做与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图像大致为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11.已知，则_______________.P ABC-π,2,6APB PA Q∠==111,4ABC A B C AB AC BC-===118AA=11EFF E 11//EFF E11BCC B1E E⊂11ABB A1F F⊂11,ACC A BE CF== 1111,C F B E=120,6EE EF==A EA BCD-P(02)AP x x=<<()V x()y V x=(0,2,3),(1,4,6),(2,2,5),(0,,),//A B C D m n AB CDm n+=12.已知平面，直线，给出三个语句:①，②，③.从这三个语句中选取两个做条件，剩下一个做结论，构成一个真命题，该命题是：若_____________，则_____________.（只需填写序号）13.如图，在四棱锥中，底面ABCD 为菱形，，平面ABCD ，Q 点在四棱锥表面上，且，则PC 与底面ABCD 的夹角为_____________；点所形成的轨迹长度是_____________.14.如图，在正方体内，正方形EFGH 中心与正方体中心重合，从前面观察如图所示，若棱长，则正棱台的侧棱长为_____________.15.如图，是正方形ABCD 内一动点（不包括边界），平面ABCD 于，，给出下列四个结论:①四棱锥的体积是定值;②设平面PAD 与平面PBC 交于，则;③四棱锥的表面积既有最小值又有最大值;④存在点，使得四棱锥的四个侧面两两垂直.其中所有正确结论的序号是_____________.三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16.（本小题10分）已知空间四点.,αβn αβ⊥n α⊥//n βP ABCD -2PA AB ==60,DAB PA ︒∠=⊥P ABCD -DQ AC ⊥Q 1111ABCD A B C D-AB =11EFGH BCC B -O PO ⊥,2O AB =1,PO PA PD ==P ABCD -l //l BC P ABCD -O P ABCD -(0,2,3),(1,4,6),(1,2,5),(0,,),A B C D m n AC BD ⊥（I ）求和的值;（II ）若点在平面ABC 内，请直接写出的值.17.（本小题12分）如图，在直四棱柱中，底面ABCD 为梯形，，其中是BC 的中点，是的中点.（I ）求证:平面;（II ）求平面与平面ABCD 所成角的余弦.18.（本小题13分）如图，四棱锥P-ABCD 中，平面.（I ）若，求证：平面平面PCD ；（II ）若AD =DC ，PB 中点为，试问在棱CD 上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由；（III ）若与平面PBC 成角大小，求DC 边长.第II 卷（共10道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）||AB AC - n D m 1111ABCD A B C D -//,AB CD CD AD ⊥12,4, 1.AD CD DD AB E ====F 1AA //AE 1CB F 1CB F PA⊥,,ABCD AB AC PD AB AC ⊥===AD DC =PAD ⊥E Q PQ AE ⊥Q 2,PA PD =30︒19.如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（ ）A. B. C. D.20.如图，正方体的棱长为1，其中P ，Q ，R 分别是棱的中点，则到平面PQR 的距离是（ ）21.如图1，在矩形ABCD中，，点在AB 边上，且.如图2，将沿直线DE 向上折起至位置，连结.记二面角的大小为，当时，下面四个结论中错误的是（ ）A.存在某个位置，使B.存在某个位置，使平面平面C.存在某个位置，直线BE 与平面所成角为111ABC A B C -1π,2BAC AB AC AA ∠===1A B 1AC π6π4π3π21111ABCD A B C D -111,,C D AA BC B AD =E CE DE ⊥1AE =ADE V 1A 1AC 1A DE A --θ(0,π)θ∈1DA CE⊥1A DE ⊥1A EC1A DE 60︒D.存在某个位置，使平面与平面的交线与平面DEC 平行22.光导纤维作为光的传输工具，在现代通讯中有着及其重要的作用，光纤由内部纤芯和外部包层组成（如图1），在一定的条件下，光在纤芯中传输，传输原理是“光的全反射”，即“入射角等于反射角”（如图2），在图3中近似地展示了一束光线在一段较长的圆柱形光纤中的传输路径，其中圆面是与光纤轴垂直的纤芯截面，若与圆所在平面成角的大小为，则光线路径在垂直于光纤轴的截面上的投影可能（ ）A. B. C. D.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题纸上的相应位置.）23.直二面角，则______________;三棱锥外接球的体积是_____________.24.已知正方体的棱长为为侧面内一动点（包括边界），为棱上一动点（包括端点），则的最小值是_____________.25.如图，某一个自行车停放时，车体由尺寸相同的前后轮和脚撑来支撑，前后轮的轴中心分别为M ，N ，与地面接触点分别为A ，B ，脚撑一端固定在后轮轴中心处，另一端与地面接触于点，若A ，B 两点1A DE 1A BCαβ123,,O O O 12A A 2O 123π3,cos 44A A A ∠=-,2,1P AB Q PA PB AB AQ BQ --=====PQ =P ABQ -1111ABCD A BCD -P 11BB C C Q 11B C 1||AP AD PQ ⋅+ N C间距离为110厘米，车轮外径（直径）为66厘米，脚撑长度等于车轮半径，，则后车轮所在平面与地面的夹角（即二面角）的余弦值为_____________.26.将半径为1的半圆弧等分，从半径的一个端点出发依次连接各个分点至半径的另一个端点，得到折线，将折线绕半径MN 所在直线旋转，得到旋转体时，如图所示），设所得旋转体的表面积为，给出下列四个结论:①;②;③最大值为；④.其中所有正确结论的序号是___________.27.已知正方体的棱长分别为中点，从开始沿射线DF 运动，做平面，垂足为，给出下列四个结论：5π,12ABC ∠=π,12BAC ∠=NB AB ⊥N AB C --()*2,n n n ≥∈N M N 121n MA A A N - (5n =n S 2S =1n n S S +<n S 4ππ4πcos 2n S n=1111ABCD A B C D -,E F 11,D C BC M D 1B N ⊥1A ME N①平面与平面ABCD 夹角先增大后减小;②B 1N 最大值为4，并且先增大后减小;③存在N 使得；④存在唯一的使得.其中所有正确结论的序号是_____________.28.蜜蜂分泌蜂蜡筑巢，蜂巢由许多中空的柱状体连接而成，其中柱状体的一端为正六边形开口，另一端由三个全等的菱形拼成类似锥形的底部（如图1），蜜蜂这样筑巢能够使得蜂巢空间不变的条件下，所用蜂蜡最少，为了揭开蜜蜂筑巢的数学秘密，研学小组利用正六棱柱去研究中空的柱状体.设正六棱柱底面边长为4，底面中心分别为（如图2），现将延长至，平面PFB ，PBD ，PDF 分别与棱交于M ，N ，T ，得到中空的柱状体（如图3）.（1）比大小：所得中空的柱状体的体积____________原正六棱柱体积；（填“>”，“<”或“=”）（2）当中空的柱状体表面积最小时，PO 的取值是___________.1A ME AN CN =N BN DN ⊥111111ABCDEF A B C D E F -1,O O 1O O P 111,,AA CC EE人大附中20242025学年度第一学期高二年级数学期中练习数学参考答案I 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）（1）C （2）D （3）D （4）D （5）C （6）B （7）A （8）A （9）D （10）D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.-311.②③,①13.（前空3分，后空2分）15.①、②（全选对得5分，对一个得3分，错选得0分）三、解答题（本大题共3小题，共35分.）16.（本题10分）【解】:（1）………………………………………………….……1分且…………………………………………………………………………1分………………………………………………………2分 (2)分………………………………………………..……………1分即………………………………………………………………1分（2）……………………………………………………………………………………2分17.（本题12分）【解】:（1）平面，证明如下:…………………………………………………1分连结，设，由四棱柱，知四边形为平行四边形，所以为中点，又是BC 的中点，π;26+||||,AB AC BC -= (0,2,1)BC =-- ||BC ∴== (1,0,2),(1,4,6)AC BD m n ==--- 0,AC BD AC BD ⊥∴⋅= 1312(6)02n n -+-=∴=9m =//AE 1CB F 1C B 11C B CB O ⋂=11BCC B O 1CB E所以，所以四边形AEOF 为平行四边形，所以…………………………………………………2分又平面平面，所以平面………………………………………2分（2）因为直四棱柱，所以平面ADC ，又，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系…………………………………………………………………………………………………1分因为，所以设平面法向量，则，即………………………2分令则，所以………………………………………………………………1分又平面ACD 法向量………………………………………………………………………………1分设平面与平面ABC 成角为，则分18.（本题13分）【详解】：（1）因为平面平面ABCD ，111//,,//,2OE BB OE BB OE AF OE AF =∴=//AE OF AE ⊂/1,CB F OF ⊂1CB F //AE 1CB F 1DD ⊥CD AD ⊥1,,DA DC DD 12,4,1AD CD DD AB ====1(0,0,2),(2,2,0),(2,4,1)C F B 1(2,2,2),(0,2,1)CF FB =-=1CB F (,,)m x y z = 100m CF m FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222020x y z y z +-=⎧⎨+=⎩2z =1,3y x =-=(3,1,2),m =- (0,1,0)n =1CB F θcos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=== PA ⊥,,ABCD AD CD ⊂所以，………1分又，所以…………………………………1分平面PAD所以平面PAD ，………………………………………………………………………………1分又平面PCD ，所以平面平面PCD ……………………………………………………1分（2）因为平面，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系…1分设，则则设，………………………………………………………………………………………………2分假设存在满足，因为等价于，解得，所以不存在……………………………………………………………………………1分（3）因为，所以，，设，其中，则， (1)分,PA AD PACD ⊥⊥PD =,,PD AD CD PD AC==== 222,,,ACAC CD AD AD CD∴==∴=+∴⊥,,,,AD CD PA CD PA AD APA AD ⊥⊥⋂=⊂ CD ⊥CD ⊂PAD ⊥PA ⊥,ABCD AB AC ⊥1PA =1,AD CD AC AB ====1(0,0,1),,2B C P D E ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,[0,1]DQ DC λλ=∈11),1PQ PD DC λλλλ⎛⎫⎫⎫∴=+=-+=-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭12AE ⎫=⎪⎪⎭ P PQ AE ⊥PQ AE ⊥0PQ AE ⋅= 2[0,1]λ=∉2PA =2,AD AC AB ===(0,0,2),P B C 2),2)PB PC =-=- (,,0)D a b 0,0a b <>2224AD a b =∴+= (,,2)PD a b =-设平面PBC 法向量，依题意即令则，所以，…………………………………………………………2分因为PD 与平面PBC 成角大小，所以或…………………………………………………………1分此方程组无解综上……………………………………………………………………………………………………1分第II 卷（共10道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分）19.C 20.D 21.D 22.D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）（前空3分后空2分）24.26.①②④（全选对得5分，对一个得3分，错选得0分）27.①②（全选对得5分，对一个得3分，错选得0分）28.（1）相等（2（前空3分后空2分）(,,)m x y z = 00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020z z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩z =1x y ==m =30︒sin 30|cos ,|||||PD m PD m PD m ︒⋅=〈〉= 102a b ∴+=a b +=220||24a b a DC DC a b b ⎧⎧+==⎪⎪∴=∴=⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩224a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩2DC =4π312。

2018-2019学年北京市人大附中高二上学期期中考试：数学

2018-2019学年北京市人大附中高二上学期期中考试：数学

【解析】本题主要考查双曲线的几何性质、双曲线及其标准方程以及直线的交点坐标与距离公式。
因为双曲线 的方程为
，
所以
，
，所以
，
所以
；
双曲线 ：
的渐近线方程为
，即
，
设点 到其渐近线的距离距离为 ，
由点到直线距离公式可得
，
即点 到其渐近线的距离是 。
故本题正确答案为 ； 。
16. 【答案】
；
【解析】本题主要考查等差数列的通项公式和数列的求和。
，
经验证可知
或 均满足，
所以
或。
故本题正确答案为C。
上的一点，
12. 【答案】B
【解析】本题主要考查椭圆及其标准方程、椭圆的几何性质以及空间几何体的表面积与体积。
由半椭圆 的方程和图象可知
，
由半椭圆 的方程和图象可知
，
因为
，所以
，
，所以椭圆 的焦点在 轴上，
所以 是半椭圆 的焦点， 、 是半椭圆 的焦点；
A个
B个
C个
D个
填空题 13. 不等式
的解集为_____ 。
14. 设等比数列 的各项均为正数，若
，
。则 _____ 。
15. 已知双曲线 ：
，则双曲线 的离心率为_____ ；点 到其渐近线的距离是_____ 。
16. 已知数列 ，
，
。
（1） 的通项公式为_____ ；
（2）数列
的前 项和为 ，则 _____ 。
与
，
作差得
，
因为
，所以
，即
，
即
，即
；
综上可得
。
故本题正确答案为B。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

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人大附中2017～2018学年度第一学期期中高二年级数学练习 ＆必修2模块考核试卷（理科） 2017年11月8日
制卷人：杨良庆 孙福明 于金华 审卷人：梁丽平
说明：本试卷分I 卷和II 卷，I 卷17道题，共100分，作为模块成绩；II 卷7道题，共50分；I 卷、II 卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在密封线内填写个人信息 . I 卷（共17题，满分100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. ）
1. 在平面直角坐标系xOy
中，直线0x y -+=的倾斜角等于（ ） A.
6π B. 4π C. 3
π
D. 34π
2. 在空间直角坐标系Oxyz 中，两点(1,0,1)A ，(1,1,1)B 间的距离等于（ ） A. 1
2 3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 平行六面体的对角线互相平分
B. 直棱柱的侧棱长与高相等
C. 斜棱柱的侧棱长大于高
D. 直平行六面体的底面是矩形 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A. 23
43
5. 设A 、B 是直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）
A. 4320x y --=
B. 4360x y --=
C. 3460x y ++=
D. 3480x y ++=
6. 已知平面α和两条不同的直线m 、n ，下列说法一定正确的是（ ）
A. 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
B. 若l α⊥，l m ∥，则m α⊥
C. 若l α∥，m α∥，则l m ∥
D. 若l α∥，m α⊂，则l m ∥
7. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列
四个说法：
① 1D P ∥平面11A BC ； ②1D P BD ⊥； ③平面1PDB ⊥平面11A BC ； ④ 三棱锥11A BPC -的体积不变 .
则其中所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
8. 已知圆222450x y x y a +--+-=上有且只有两个点到直线34100x y --=的
距离等于1，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (6,1)-
B. (6,6)-
C. (2,4)
D. (1,6) 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
9. 直线10x y +-=截圆22
4x y +=所得弦长为________ .
10. 已知正四棱锥的高为4，侧棱长为________ . 11. 用一张4cm ⨯8cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则该圆柱轴截面积是________ cm ² .
12. 若(3,1)A ，(8,11)B ，(2,)C m -三点共线，则实数m 等于_______ .
A
13. 棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，过点E 作平面α，
使得平面α∥平面1AB C ，则平面α在正方体表面上截得的图形的周长为_____ . 14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，动点M 满足2MA MO =，则点
M 的轨迹方程是_______________ ；半径为1的圆C 的圆心C 在直线340
x y --=上，若圆C 与点M 的轨迹有公共点，则圆心C 的横坐标的取值范围是________ . 三、解答题（本大题共3小题，共30分.） 15. （本题满分10分）
已知平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 所在的直线方程分别为20x y -=，
30x y +-=，对角线AC ，BD 的交点E 的坐标为(2,2).
（I ）求点A ，点C 的坐标；
（II ）求两边BC ，CD 所在的直线方程 .
16. （本题满分10分）
如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱AC 的中点 .
（I ） 求证：BD ⊥平面11ACC A ； （II ）求证：直线1AB ∥平面1BC D .
17. （本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为221x y +=，直线1l 过点(3,0)A 且
与圆O 相切.
（I ）求直线1l 的方程；
（II ）设圆O 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的动点，过点A 且与
x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点P '，直线QM 交直线2l 于点Q ' .
求证：以P Q ''为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标 .
II 卷（附加题）（共7道，满分50分）
四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18. 已知点(3,4)P 不在直线:40l kx y k --+=上，则点(3,4)P 到直线l 距离的取值范围是（ ）
A. (0,1)
B. (0,2)
C. (0,2]
D. [0,2]
19. 三棱锥V ABC -中，侧面VBC ⊥底面ABC ，45ABC ∠=︒，VC VB =，
AC AB =，则（ ）
A. VA BC ⊥
B. VB AC ⊥
C. VC AB ⊥
D. AC BC ⊥
20. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底
面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 上的点，且
1
3
AM CN MB NB ==，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的
值有（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
21. 若集合22{(,)9,0}M x y x y y =+=≥，{(,)}N x y y x b ==+，且M N ≠∅，
则b 的取值范围为___________ .
22. 三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为________ .
23. 过点(2,0)P 作圆O ：221x y +=的切线，切点为A ，B ，将坐标平面沿x 轴翻
折，使平面POA ⊥平面POB ，
（I ） 则翻折后线段AB 的长度为_______ ；
（II ）则翻折后点B 所在半圆上的点到切线PA 距离的最大值为________ .
六、解答题（本大题共1小题，满分14分） 24. 已知，圆22:16O x y += .
（I ） 若圆222:F x y r +=为圆O 的内接正ABC ∆的内切圆，其中A 为圆O 与x 轴的左交点，求圆F 的半径r ；
（II ）若圆222:(2)G x y R -+=内含于圆22:16O x y +=，过点(0,4)M 作圆
G 的两条切线交圆22:16O x y +=于D 、E 两点 ，求证：直线DE 的斜率为定
值 .。

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