高中数学人教A版必修1分段函数问题的解答方法

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常见分段函数问题求解策略

常见分段函数问题求解策略【方法综述】分段函数：(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就常见分段函数问题解决方法举例说明．【题型展示】1．求分段函数的函数值例1. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，则[(1)]f f =解：因为()21-=f ,所以[(1)]f f ()()51222=+-=-=f .解题策略求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．2．求解分段函数的解析式例2.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y 与x 之间的函数关系式．解： (1)由题意可知当0＜x ≤100时，设函数的解：析式y ＝kx ，又因过点(100,40)，得解析式为y ＝25x ，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y ＝25×50＝20(元)．(2)当x ＞100时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由图知x ＝100时，y ＝40；x ＝200时，y ＝60.则有⎩⎪⎨⎪⎧40＝100k ＋b ，60＝200k ＋b ，解：得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15，b ＝20，所以解：析式为y ＝15x ＋20，故所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ，0＜x ≤100，15x ＋20，x ＞100.解题策略以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题的关键是正确地理解：题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点．3.求分段函数的定义域、值域、画出分段函数的图象例3.已知函数()|21|f x x =+.（Ⅰ）用分段函数的形式表示该函数；（Ⅱ）在下边所给的坐标系中画出该函数的图象；并根据图象直接写出该函数的定义域、值域（不要求证明).xyO【答案】（Ⅰ）121,2()121,2x x f x x x ⎧+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩ ；（Ⅱ）图象见解：析，定义域：R ，值域：[0,)+∞.【解析】（Ⅰ）121,2()121,2x x f x x x ⎧+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩（Ⅱ）图象如下图：观察得到定义域为R ，值域为[0,)+∞.解题策略（1）分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实．（2）分段函数的定义域是各段函数解：析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．【针对训练】1．已知函数则的值为（）A ．B ．C ．D ． 1【答案】A 【解析】由题得f(-1)=.故答案为：A2. 已知符号函数sgn= ,是R 上的增函数，，则（）A ． sgn sgnB ． sgn - sgnC ． sgn sgnD ． sgn- sgn【答案】B 【解析】当时，，由单调性：，此时，当时，，此时：，当时，，由单调性：，此时，所以.故选B.3.已知函数))((+∈N n n f 满足⎩⎨⎧<+≥-=100)],5([100,3)(n n f f n n n f ，则=)1(f （）A ．97B ．98C ．99D ．100【答案】B【解析】∵,98)101()]104([)99(,97)100(====f f f f f,98)99()]102([)97(,97)100()]103([)98(======f f f f f f f f ,97)98()]101([)96(===f f f f 依此类推，得98)1()97()99(==⋅⋅⋅==f f f ，∴选B.4．已知函数()()1,0{11,02ln x x f x x x +>=+≤，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（）A . [)32ln2,2-B . []32ln2,2-C . []1,2e -D . [)1,2e - 【答案】A 【解析】作出函数f (x )的图象如图，若m <n ,且f (m )=f (n )，则当ln (x +1)=1时，得x +1=e ，即x =e −1，则满足0<n ⩽e −1，−2<m ⩽0，则ln (n +1)=12m +1,即m =2ln (n +1)−2，则n −m =n +2−2ln (n +1)，设h (n )=n +2−2ln (n +1)，0<n ⩽e −1则()2121'1111n n h n n n n +--=-==+++ ，当h ′(x )>0得1<n ⩽e −1，当h ′(x )<0得0<n <1，即当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2−2ln2=3−2ln 2，当n =0时,h (0)=2−2ln 1=2，当n =e −1时,h (e −1)=e −1+2−2ln (e −1+1)=1+e −2=e −1<2，则3−2ln 2⩽h (n )<2，即n −m 的取值范围是[3−2ln 2,2)，本题选择A 选项.5.已知函数的图象如下图所示，则的解：析式是________________．【答案】【解析】依据函数的图象，将函数的解：析式写为分段函数的形式为：.6.已知函数，若，则实数的值为__________．【答案】5【解析】由题可得：故答案为5.7.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ＞10，f (f (x ＋6))，x ＜10，求f (5)的值．【答案】11【解析】∵5＜10，∴f (5)＝f (f (5＋6))＝f (f (11))， ∵11＞10，∴f (f (11))＝f (9)，又∵9＜10，∴f (9)＝f (f (15))＝f (13)＝11.即f (5)＝11.8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0x 2，x ＜0，作出此函数的图象．【答案】见解析.【解析】由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示．9．画出分段函数的图象，并求，，的值．【答案】，，【解析】由题意画出分段函数的图象如下图所示．由分段函数的解：析式可得：，，．10.如图，已知底角为o 45的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为cm22，当一条垂直于底边BC（垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令x BF =，（1）试写出直线l 左边部分的面积)(x f 与x 的函数．（2）已知}4)(|{<=x f x A ，}32|{+<<-=a x a x B ,若B B A =⋃，求a 的取值范围．【答案】（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+--≤<-≤<=75,10)7(2152,2220,2122x x x x x x y （2）}21|{≤≤a a【解析】（1）函数解：析式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+--≤<-≤<=75,10)7(2152,2220,2122x x x x x x y（2）}30|{,4)(<<=∴<x x A x f ，由B A ⊆，得⎩⎨⎧≤-≥+0232a a 21≤≤∴a∴a 的取值范围为}21|{≤≤a a ．。

高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时分段函数》课件

题型一分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x，＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)．综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算；当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．

考点03 分段函数的4种求法(解析版)

专题二函数考点3 分段函数的4种求法【方法点拨】分段函数的4种求法1. 求函数值或解不等式：由自变量所属区间，选定相应的解析式求解.2. 求函数值域：分别求每一段的值域取并集.3. 求函数最值：分别求每一段的最值，然后比较大小.4.求参数的值(或参数范围)：分段处理，分类讨论，综合作答. 三、【高考模拟】1．已知函数()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()4f f =（）A ．-4B ．14-C ．14D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，先求()4f ，再求()2f -即可求解.【解析】由()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()42f ==-，所以()()()214224ff f -=-==. 故选：C2．已知函数(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，则(1)f =（）A ．3B ．6C ．15D ．12【答案】C 【分析】根据分段函数解析式代入计算即可；【解析】解：因为(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，所以()()()11233215f f =+=⨯+=故选：C3．已知函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则()1f -=（）A ．12B ．2C ．14D ．18【答案】C 【分析】根据函数的解析式，代入计算，即可求解. 【解析】由题意，函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，可得()()()211113224f f f ⎛⎫-=-+=== ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1f -=（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数各段的定义域求解. 【解析】因为20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，所以()()()110122f f f -====，故选：C 5．已知5,6()(4),6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f -的值为（）A ．6-B ．2-C ．2D ．3【答案】C【分析】利用解析式可有()()(1)37f f f -==，利用已有的解析式可得(1)f -的值. 【解析】由题设有()()(1)372f f f -===，故选：C.6．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()2f f =（）A ．26B ．17C ．8D ．-10【答案】B 【分析】利用分段函数的解析式，将自变量代入即可求解. 【解析】由21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2224f =-⨯=-，所以()()()()2244117ff f =-=-+=.故选：B7．已知函数()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()()0f f =（）A ．4B ．16C ．32D ．64【答案】D 【分析】直接根据分段函数解析式代入计算可得；【解析】解：因为()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，所以()0022f =+=，()()()2226022264f f f +==== 故选：D8．已知1,(1)()3,(1)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（）A ．52 B ．32C ．92D ．12-【答案】B 【分析】先根据12所在区间计算出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果，然后再根据12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭所在区间计算出12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【解析】因为112≤，所以1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又因为312>，所以133332222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.9．设函数()()2221log (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则()()0f f （）A ．0B ．3C ．1D ．2 【答案】C 【分析】将自变量代入对应的分段函数中，即可求得答案. 【解析】由题意得2(0)022f =+=，所以2((0))(2)log 21f f f ===，故选：C10．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（） A ．4a < B ．2a <C ．2a >D ．R【答案】A 【分析】首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =，分别在12a <和12a≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【解析】当1x ≤时，()2f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2ax =的二次函数， ①当12a<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图所示：即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<；综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.11．已知函数24,2()25,2x x x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（） A ．(),0-∞ B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，结合二次函数及一次函数的性质分类讨论即可得解. 【解析】当2x ≤时，2()4f x x x =-+，由二次函数的性质可得()f x 单调递增且(](),4f x ∈-∞；若要满足题意，只需使()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，当2x >时，若0a >，则()()2545,f x ax a =-=-+∞，则454a -<，解得94a <，此时904a <<；若0a =，()5f x =-，符合题意；若0a <，则()()25,45f x ax a =-=-∞-，符合题意；综上，实数a 的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，再结合一次函数、二次函数的性质即可得解.12．已知()()()23200x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，方程()()2210f x f x +-=⎡⎤⎣⎦的根x 的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】画出函数的图象，求出22[()]()10f x f x +-=的根，结合函数的图象，求解即可．【解析】232(0)()(0)x x x f x x x ⎧-=⎨<⎩的图象如图：方程22[()]()10f x f x +-=，可得()1f x =-，或1()2f x =，由函数的图象可知：()1f x =-，有2个x 的值，1()2f x =，有一个x 的值，所以方程22[()]()10f x f x +-=的根x 的个数是3．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点与方程根问题，考查分段函数的图象，解决本题的关键点是先由关于()f x 的一元二次方程解出方程根()1f x =-或1()2f x =，再画出分段函数的图象可得与1y =和12y =的交点个数，即为根x 的个数，考查学生数形结合思想和计算能力，属于中档题． 13．已知函数()1,01,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若()()2f f a =，则（）A ．1a =±B ．1a =-C ．0a ≤D ．0a <【答案】C 【分析】分0a <，0a =，0a >三种情况求解即可【解析】当0a <时，()1f a =，得()()()12f f a f ==，当0a =时，()01f =，()()()12ff a f ==，成立，当0a >时，()1f a a =+，得()()()1112ff a f a a =+=++=，得0a =，不成立；所以0a ≤. 故选：C14．已知函数()22,1,,12,2,2,x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f a =，则a =（）A ．1 BC．D ．32【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，将各段等于3，解方程即可得出结果. 【解析】当1a ≤-时，由23a +=，得1a =，舍去；当1a 2-<<时，由23a =得a =a =当2a ≥时，由23a =得32a =舍去，综上，a =故选：B.15．已知函数()232,1,1x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩若()()06f f a =，则实数a =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】由函数解析式，先计算()0f 的值，然后将其代入，由此得到关于a 的方程，求解即可. 【解析】 (0)2f =2((0))(2)226f f f a a ==+=，解得：1a =故选：A 【点睛】方法点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()ff a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.16．设f （x ）＝,012(1),1x x x x ⎧<<⎪⎨-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（）A ．14B ．54C ．14或54D ．2【答案】C 【分析】根据解析式分段讨论可求出. 【解析】解：∵(),012(1),1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a a <<⎧⎪⎨=⎪⎩或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得14a =或54a =. 故选：C ． 17．已知函()f x ={222,0,,0,x mx m x x m x -+≤+>，若()()12ff =，则实数m的值为（） A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先求()11f m =+，分1m ≤-和1m >-，两种情况求()()1f f ，再计算实数m 的值.【解析】()11f m =+，当1m ≤-时，()10f ≤，此时()()()()()221112112f f f m m m m m =+=+-++=≠，故不成立；当1m >-时，()10f >，此时()()()()1112f f f m m m =+=++=，解得：12m =，成立. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数求自变量，本题的关键是求出()11f m =+后，需分两种情况，求实数m 的值.18．已知函数222,0,()1,0,x x f x x x ⎧->=⎨+⎩，若()2f a =，则a =（）A ．2B ．1C ．2或1-D ．1或1-【答案】C 【分析】分类讨论a ，代入解析式可解得结果. 【解析】当0a >时，()222af a =-=，解得2a =；当0a 时，2()12f a a =+=，解得1a =-．综上，2a =或1a =-．故选：C19．已知()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()1f f a =，则实数a 的值是（）A ．0或2B ．4C ．1或4D ．1【答案】C 【分析】讨论()1f a ≤与()1f a >先计算()f a 的值；再讨论1a ≤与1a >计算a 值. 【解析】由()()1ff a =，当()1f a ≤时，有()21f a=，则()0f a = ；当()1f a >时，有()2log 1f a =，则()2f a = ；由()0f a =，当1a ≤时，有20a =，a 无解；当1a >时，有2log 0a =，1a =不符合；由()2f a =，当1a ≤时，有22a =，1a =；当1a >时，有2log 2a =，4a =；综上所述：1a =或4a = 故选：C20．已知函数()221,031,0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，若()()18f a f +-=，则实数a 的值是（） A ．52B ．213±或52 C．21或52D ．213-或52 【答案】D 【分析】分0a >和0a ≤两种情况求解【解析】解：当0a >时，因为()()18f a f +-=，所以2213(1)18a ++⨯--=，解得52a =，当0a ≤时，因为()()18f a f +-=，所以22313(1)18a -+⨯--=，解得21a =（舍去），或21a =-，综上52a =或213a =-，故选：D21．某数学兴趣小组从商标中抽象出一个函数图象如图，其对应的函数()f x 可能是（）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()11tan2f x xπ=-D ．()211f x x =+ 【答案】A 【分析】根据函数对称性及定义域，直接利用排除法求出结果. 【解析】选项A ：函数的图象的渐近线为 1x =或1x =-与原图象相符；选项B ：1x =-时，()111112-==--f 与原图不相符；选项C ：3x =时，函数无意义与原图不相符；选项D ：1x =时，()111112f ==+与原图不相符；故选：A22．函数图象如图，其对应的函数可能是（）A ．1()|||1|f x x =-B ．1()|1|f x x =-C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 【答案】A 【分析】根据定义域可排除BD ，根据()01f =可排除C. 【解析】由图可知()f x 的定义域为{}1x x ≠±，故BD 错误；()01f =，故C 错误.故选：A.23．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()212x f x x -=⋅ B ．()212x f x x -=⋅C ．()()1)f x x x =⋅- D ．()221x f x x =-【答案】A 【分析】利用()10f >可排除CD ，利用奇偶性可排除B ，由此得到结果. 【解析】当1x =时，()10f >，CD 中的函数()10f =，可排除CD ；由图象关于原点对称可知()f x 为奇函数，A 中()()212x f x x f x --=-⋅=-，满足奇函数定义；B中()()221122x x f x x x f x ---=⋅-=⋅=，满足偶函数定义，可排除B.故选：A.24．已知函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，则a 的取值范围为___________. 【答案】122675a <≤ 【分析】令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，得到()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，结合函数()g x 和()h x 的图象，根据()f x 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值求解. 【解析】因为函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R ，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，解得22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩，所以()()()2,()()()()()()2,()()g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，其中()g x 过点()()0,0,,0a -，()h x 过点()()1,0,1,0-，因为2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，当0a -≤，即0a ≥时，3933916,1525552525g a h ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3355h g ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取到最小值，则2233g h ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2335g h ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即425939a +>，且42169325a +≤，解得122675a <≤，当0a ->，即0a <时，242245,1393399g a h ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2233g h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值，则3355g h ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3253g h ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即931625525a ->，且9352559a -≤，即715a <-，且44135a ≥-时，无解，综上：a 的取值范围为122675a <≤.故答案为：122675a <≤ 【点睛】关键点点睛：本题关键是由函数()f x 解析式的结构特征，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，将函数转化为()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，利用二次函数22(),()1g x x ax h x x =+=-的图象和性质求解.25．已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()f x 的最小值是a ，则a 的值为__________.【答案】4- 【分析】利用指数函数的单调性，可得0x ≥时，()f x 的最小值为1a +，由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，求得对称轴，可得224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得即可；【解析】解：当0x ≥时，()2xf x a =+在定义域上单调递增，所以()()01f x f a ≥=+即0x =时，()f x 的最小值为1a +；当0x <时，()22224a a f x x ax x ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭ 由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，即有02a<，所以0a <，则224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得4a =- 故答案为：4-26．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________．【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【解析】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a ∴<≤，21112[2,3)f a a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：[2,3). 【点睛】本题考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值；（2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.27．已知函数21(),0()22,04x a x f x x x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪-+≤≤⎩的值域是[]8,1-，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[3,0)- 【分析】由二次函数的性质可得当04x 时，函数的值域刚好为[8-，1]，故只需1()2xy =-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，可得a 的不等式，结合指数函数的单调性可得．【解析】解：当04x 时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，图象为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，故函数在[0，1]单调递增，[1，4]单调递减，011()8,()122a ---当1x =时，函数取最大值1，当4x =时，函数取最小值8-，又函数()f x 的值域为[8-，1]，1()2xy ∴=-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，1()2x y =-，0a x <单调递增，∴只需0182112a⎧⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得30a -<故答案为：[3,0)-．28．设函数()()222,0,21,0.x a a x f x x x a x ⎧--+≤⎪=⎨-++->⎪⎩若()0f 是()f x 的最大值，则a 的取值范围为__________．【答案】[)2+∞，【分析】由题可得要使()0f 是()f x 的最大值，只需满足020a a ≥⎧⎨-≤⎩即可.【解析】()0=0f ，当0x ≤时，()22y x a a =--+，对称轴为x a =，开口向下，当0x >时，221y x x a =-++-对称轴为1x =，开口向下，则此时在1x =取得最大值为2a -，要使()0f 是()f x 的最大值，则020a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得2a ≥，则a 的取值范围为[)2+∞，. 故答案为：[)2+∞，. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题及其应用，其中解答题中涉及到二次函数的图象与性质的应用，以及分段函数的最值问题的求解方法，此类问题解答的关键在于正确理解分段的性质，合理列出相应的不等关系式.29．函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】54a ≤ 【分析】根据分段函数的解析式，先求出1≥x 时，函数的值域；再求出1x <时，函数的值域；根据题中条件，即可得出结果. 【解析】由题意，当1≥x 时，()2f x x =-显然单调递减，则()(]2,1f x x =-∈-∞；当1x <时，()2f x x x a =++是开口向，对称轴为12x =-的二次函数，则()1124f x f a ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，又函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，所以只需114a -≤，解得54a ≤. 故答案为：54a ≤.30．设函数31,0,()1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()1f f 的值为______．【答案】1 【分析】先计算(1)f ，再计算()()1f f 可得．【解析】由题意(1)110f =-=，所以((1))(0)1==f f f ．故答案为：1．。

人教A版高中数学必修第一册第2课时分段函数【课件】

• 求分段函数函数值的方法
• 先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
－2x，x＜－1，
1．已知函数 f(x)＝2，－1≤x≤1， 2x，x＞1.
(1)求 f－32，f21，f29，ff12； (2)若 f(a)＝6，求 a 的值．
题型 3 分段函数在实际问题中的应用
某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长
温度为 15～20 ℃的新品种蔬菜，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关
闭后，大棚里温度 y(℃)随时间 x(h)变化的函数图象，其中 AB 段是恒温
阶段，BC 段是双曲线 y＝kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
• (2)条件：自变量x在不同取值范围内，有着 ____________；
• (3)结论：这样的函数称为分段函数．
• 【答案】不同的对应关系
微思考
• 分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？
• 【提示】分段函数是一个函数而不是几个函数．
|课堂互动|
• (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
• (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
• 对于应用题，要在分析题意的基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求关系式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．

高中数学必修一第3章 3.1 3.1.2 第2课时分段函数

第2课时分段函数学习目标核心素养1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点) 3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)1.通过分段函数求值问题培养数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．1．下列给出的式子是分段函数的是( ) ①f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]2．函数y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0的值域是________．[答案] [0，＋∞)3．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (4))＝________.0 [∵f (4)＝－4＋3＝－1，f (－1)＝－1＋1＝0， ∴f (f (4))＝f (－1)＝0.]分段函数的求值问题【例1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．1．函数f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥10，f (f (x ＋5))，x <10，则f (7)＝________.8 [∵函数f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥10，f (f (x ＋5))，x <10，∴f (7)＝f (f (12))＝f (9)＝f (f (14))＝f (11)＝8.]分段函数的解析式【例2】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．[思路点拨] 可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．[解] 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2； (2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].图象如图所示．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0,20]．由题意得函数的解析式如下：y ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图所示：分段函数的图象及应用[探究问题]1．函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.函数f (x )的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．[思路点拨] (1)分－2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域． [解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时， f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ，∴f (x )＝⎩⎨⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．把本例条件改为“f (x )＝|x |－2”，再求本例的3个问题． [解] (1)f (x )＝|x |－2＝⎩⎨⎧x －2，x ≥0，－x －2，x <0.(2)函数的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的值域为[－2，＋∞)．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．3．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．1．思考辨析(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )[答案] (1)× (2)√2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139 D [∵f (3)＝23≤1，∴f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其解析式为________．f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2[当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，又过点(1,2)，故k＝2，∴f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.综上f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.]4．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．[解] (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．。

新人教版高中数学必修第一册分段函数ppt课件及课时作业

f(1)＝3×1＋5＝8，f
f
－52＝f
－52＋1
＝f －32＝3×－32＋5＝12.
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.
因为a2＋2≥2，所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得 a≥1 或 a≤－12，即实数 a 的取值范围是－∞，－12∪[1，＋∞).
则23cc＋＋dd＝＝46，，解得cd＝＝20，，所以f(x)＝2x，
x＋2，x<－1，
所以 f(x)＝x2，－1≤x≤2， 2x，x>2.
三
分段函数在实际问题中的应用
例3 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是 “一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)＝ 180x＋100；当产量大于50万盒时，h(x)＝x2＋60x＋3 500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完. 求 “ 冰墩墩 ” 玩具手办销售利润 y( 万元 ) 关于产量 x( 万盒 ) 的函数关系式.(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝固定成本＋生产中投入成本)
延伸探究 1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去；当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－23∈(－2,2)，符合题意；当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意. 综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－23 或2.

分段函数的几种常见题型及解法

例1
设
f
(
x)
1
2x
x, ,
x0 x0
，
则 f [ f (2)] （ C ）
A. 1 B. 1 C. 1 D. 3
4
2
2
例2 设函数 f (x)是定义在 R上的奇函
数，且
f
(
x)
log
g(
2(x x)
1)
, x0 , x0
则 g[ f (7)] （）
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
【类型二】有关奇偶性
例3
判断函数
f
(
x)
x 2 x
x 2
x
, ,
x0 x0
的奇偶性？
思考：你会选择怎样的方法来判断？
【类型三】有关单调性
例4
如果函数
f
(
x)
(2
ax
a)
x
1
, ,
x 1 x 1
在R上为增函数，那么 a 的取值范
围是 ___[_32__,__2_)__
温馨提示：函数的单调性是相对于某个区间而言的，反应在图象上，体现的是在这个区间上的一种整体趋势。
五、作业布置
设函数
f
(
x)
x2
4x
,
x4
，
log2 x , x 4
若函数 y f (x)在区间(a , a 1)
上单调递增，则实数a 的取值
范围是 ___________来自谢谢观赏再见祝同学们学习愉快！
① ②
③
三、课堂练习
已知函数
f
(x)
2x1
2
, x 1

高中数学函数分段题解题技巧

高中数学函数分段题解题技巧在高中数学中，函数是一个非常重要的概念，而函数的分段则是函数的一种特殊形式。

分段函数在解题过程中常常出现，因此掌握解题技巧是非常重要的。

本文将介绍一些常见的函数分段题解题技巧，帮助高中学生和家长更好地理解和应对这类题目。

首先，让我们来看一个例子：已知函数f(x)如下所示：\[f(x) = \begin{cases}x^2, & x \leq 0 \\2x+1, & x > 0 \\\end{cases}\]我们需要求解f(x)的定义域、值域以及图像。

要求解定义域，我们需要注意到函数的定义域是指函数的自变量取值范围。

在这个例子中，我们可以看到函数f(x)在x小于等于0的时候是x的平方，在x大于0的时候是2x+1。

因此，函数的定义域可以表示为：x ≤ 0 或 x > 0。

也就是说，函数的定义域是整个实数集。

接下来，我们来求解值域。

值域是函数的因变量取值范围。

在这个例子中，我们可以看到当x小于等于0时，函数的值是x的平方，而x的平方是非负数，所以值域是[0, +∞)。

而当x大于0时，函数的值是2x+1，它的取值范围是(-∞, +∞)。

因此，整个函数的值域是(-∞, +∞)。

最后，我们来绘制函数的图像。

由于函数f(x)在x小于等于0和x大于0时的表达式不同，我们需要分别绘制这两部分的图像。

当x小于等于0时，函数的表达式是x的平方，这是一个开口向上的抛物线。

当x大于0时，函数的表达式是2x+1，这是一条斜率为2的直线。

因此，我们可以将这两部分的图像连在一起，得到整个函数的图像。

通过这个例子，我们可以总结出一些解题技巧：1. 注意函数的定义域和值域。

定义域是函数的自变量取值范围，值域是函数的因变量取值范围。

在分段函数中，不同的定义域和值域可能对应不同的表达式。

2. 绘制函数的图像时，需要根据不同的定义域和表达式来绘制不同的部分。

可以先绘制各个部分的图像，再将它们连在一起。

新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数概念与性质知识点考点汇总及解题方法规律提炼

第三章函数概念与性质3.1.1.1函数的概念 (1)3.1.1.2函数概念的应用 (6)3.1.2.1函数的表示法 (10)3.1.2.2分段函数 (14)3.2.1.1函数的单调性 (21)3.2.1.2函数的最大(小)值 (25)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (35)3.3幂函数 (37)3.4函数的应用(一) (41)3.1.1.1函数的概念要点整理1．函数的概念(1)函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．温馨提示：(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间概念(a，b为实数，且a<b)3.其他区间的表示题型一函数关系的判断【典例1】(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( )[思路导引] 在“非空数集”A中“任取x”，在对应关系“f”作用下，B中“有唯一”的“数f(x)”与之“对应”，称f：A→B为集合A到集合B的一个函数．[解析](1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A 中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．[答案](1)见解析(2)C(1)判断对应关系是否为函数的2个条件①A、B必须是非空数集．②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．(2)根据图形判断对应是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l.②在定义域内平行移动直线l.③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．题型二用区间表示数集【典例2】把下列数集用区间表示，并在数轴上表示出来．(1){x|x≥3}；(2){x|x<－5}；(3){x|－4≤x<2或3<x≤5}．[思路导引] 用区间表示数集的关键是确定开、闭区间，含“或”的数集用符号“∪”连接区间．[解](1){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如图．(2){x|x<－5}用区间表示为(－∞，－5)，用数轴表示如图．(3){x|－4≤x<2或3<x≤5}用区间表示为[－4,2)∪(3,5]，用数轴表示如图．应用区间时的3个注意点(1)区间是数集，区间的左端点小于右端点．(2)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．[针对训练]3．已知全集U＝R，A＝{x|－1<x≤5}，则∁U A用区间表示为__________________．[解析]∁U A＝{x|x≤－1或x>5}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)．[答案](－∞，－1]∪(5，＋∞)4．用区间表示不等式{x|x2－x－6≥0}的解集为______________________．[解析]不等式x2－x－6＝(x－3)(x＋2)≥0，解得x≥3或x≤－2，所以不等式的解集为{x|x≤－2或x≥3}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)．[答案](－∞，－2]∪[3，＋∞)题型三求函数的定义域【典例3】求下列函数的定义域．(1)y＝2＋3x－2；(2)y＝(x－1)0＋2x＋1；(3)y ＝3－x ·x －1； (4)y ＝(x ＋1)2x ＋1－－x 2－x ＋6.[思路导引] 函数定义域即是使自变量x 有意义的取值范围．[解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧x ＋1≠0，－x 2－x ＋6≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x 2＋x －6≤0，即⎩⎨⎧x ≠－1，(x ＋3)(x －2)≤0，解得－3≤x ≤2且x ≠－1，即函数定义域为{x |－3≤x ≤2且x ≠－1}．[变式] (1)将本例(3)中“y ＝3－x ·x －1”改为“y ＝(3－x )(x －1)”，则其定义域是什么？(2)将本例(3)中“y ＝3－x ·x －1”改为“y ＝3－xx －1”，则其定义域是什么？[解] (1)要使函数有意义，只需(3－x )(x －1)≥0，解得1≤x ≤3，即定义域为{x |1≤x ≤3}．(2)要使函数有意义，则⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1>0，解得1<x ≤3，即定义域为{x |1<x ≤3}．求函数定义域的几种类型(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．3.1.1.2函数概念的应用要点整理1．常见函数的定义域和值域2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．3．相同函数值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和对应关系相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们不是相同的函数．题型一同一函数的判断【典例1】下列各组式子是否表示同一函数？为什么？(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝x2，y＝(x)2；(3)y＝1＋x·1－x，u＝1－v2；(4)y＝(3－x)2，y＝x－3.[思路导引] 两个函数表示同一函数的关键条件是定义域相同，对应关系一致．[解](1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．(2)y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一函数．(3)y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，u＝1－v2的定义域为{v|－1≤v≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与u＝1－v2是同一函数．(4)∵y＝(3－x)2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝(3－x)2与y＝x－3不是同一函数．判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．题型二求函数值和值域【典例2】(1)已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．①求f(2)、g(2)的值；②求f[g(3)]的值．(2)求下列函数的值域：①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y ＝2x ＋1x －3； ④y ＝2x －x －1.[思路导引] (1)代入法求值；(2)结合解析式的特征选择适当的方法求值域． [解] (1)①∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. ②g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. (2)①(观察法)∵x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)． ③(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． ④(换元法)设x －1＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2＋1.∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.∵t ≥0，∴y ≥158. 故函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.(1)函数求值的方法①已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． ②求f [g (a )]的值应遵循由里往外的原则． (2)求函数值域常用的4种方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．题型三求抽象函数的定义域【典例3】已知函数f (x )的定义域为[1,3]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [思路导引] 定义域是x 的取值范围，f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1是相对应的．[解] 因为函数f (x )的定义域为[1,3]，即x ∈[1,3]，函数f (2x ＋1)中2x ＋1的范围与函数f (x )中x 的范围相同，所以2x ＋1∈[1,3]，所以x ∈[0,1]，即函数f (2x ＋1)的定义域是[0,1]．[变式] (1)若将本例条件改为“函数f (2x ＋1)的定义域为[1,3]”，求函数f (x )的定义域．(2)若将本例条件改为“函数f (1－x )的定义域为[1,3]”，其他不变，如何求解？[解] (1)因为x ∈[1,3]，所以2x ＋1∈[3,7]，即函数f (x )的定义域是[3,7]． (2)因为函数f (1－x )的定义域为[1,3]，所以x ∈[1,3]，所以1－x ∈[－2,0]，所以函数f (x )的定义域为[－2,0]．由2x ＋1∈[－2,0]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12，所以f (2x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12.两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f[g(x)]的定义域．(2)已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域：若f[g(x)]的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域．3.1.2.1函数的表示法要点整理温馨提示：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．题型一函数的表示法【典例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x 与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[思路导引] 把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画．[解]①列表法③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．理解函数的表示法的3个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．题型二函数的图象【典例2】作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[思路导引] 通过“列表→描点→连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域．[解](1)列表：画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．(2)列表：(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．描点法作函数图象的3个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．题型三函数解析式的求法【典例3】 (1)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式；(2)已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1，求f (x )的解析式； (3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式．[思路导引] 求函数解析式，就是寻找函数三要素中的对应关系，即在已知自变量和函数值的条件下求对应关系的表达式．[解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1.∴f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b . 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)解法一：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)2， ∴f (x )＝x 2.又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2(x ≥1)．解法二：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2. 由于x ≥0，所以t ≥1.代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＋1＝t 2，所以f (x )＝x 2(x ≥1)． (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①∴将x 用1x替换，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，解得f (x )＝2x －1x(x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x(x ≠0)．[变式] (1)若将本例(2)中条件“f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1”变为“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝1x2－1”，则f (x )的解析式是什么？(2)若将本例(3)中条件“2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ”变为“f (x )－2f (－x )＝9x ＋2”，则f (x )的解析式是什么？[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，所以f (x )＝x 2－2x .因为1x ≠0，所以1x＋1≠1，所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1)．(2)由条件知，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2，则⎩⎨⎧f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2，解得f (x )＝3x －2.求函数解析式的3种常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．如典例3(1)．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f [g (x )]的解析式求f (x )的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f [g (x )]中求出f (t )，从而求出f (x )．如典例3(2)．(3)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．如典例3(3)．3.1.2.2分段函数要点整理1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎨⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．题型一分段函数求值【典例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (f (－2)))的值； (2)若f (a )＝32，求a .[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值． [解] (1)∵－2<－1，∴f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f [f (－2)]＝f (－1)＝2， ∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋12＝32.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，∴a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，∴a ＝±22∈[－1,1]；当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，∴a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．题型二分段函数的图象【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象：①y ＝⎩⎨⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1；②y ＝|x ＋1|.(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动路程为x ，△ABP 的面积为y ，求：①y 与x 之间的函数关系式； ②画出y ＝f (x )的图象．[思路导引] (1)利用描点法分段作图；(2)先依据x 的变化范围求出关系式． [解] (1)①函数图象如图1所示．②y ＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧－x －1，x <－1，x ＋1，x ≥－1，其图象如图2所示．(2)①y ＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．题型三分段函数的综合问题【典例3】已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|. (1)求f (x )的值域； (2)解不等式：f (x )>0；(3)若直线y ＝a 与f (x )的图象无交点，求实数a 的取值范围． [思路导引] 去掉绝对值符号，化简f (x )，再分段求解． [解] 若x ≤－1，则x －3<0，x ＋1≤0，f (x )＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4；若－1<x ≤3，则x －3≤0，x ＋1>0，f (x )＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2；若x >3，则x －3>0，x ＋1>0，f (x )＝(x －3)－(x ＋1)＝－4.∴f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x >3.(1)－1<x ≤3时，－4≤－2x ＋2<4.∴f (x )的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]． (2)f (x )>0，即⎩⎨⎧x ≤－1，4>0，①或⎩⎨⎧－1<x ≤3，－2x ＋2>0，②或⎩⎨⎧x >3，－4>0，③解①得x ≤－1，解②得－1<x <1，解③得x ∈∅.所以f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)． (3)f (x )的图象如图：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点．[变式] 若a ∈R ，试探究方程f (x )＝a 解的个数．[解] 由例3(3)知y ＝f (x )的图象，作出直线y ＝a ，可以看出：当a ＝±4时，y ＝a 与y ＝f (x )有无数个交点；当－4<a <4时，y ＝a 与y ＝f (x )有且仅有一个交点；当a <－4或a >4时，y ＝a 与y ＝f (x )没有交点．综上可知：当a ＝±4时，方程f (x )＝a 有无数个解．当－4<a <4时，方程f (x )＝a 有一个解．当a <－4或a >4时，方程f (x )＝a 无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝k x的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？[思路导引] 利用待定系数法求出x 在每一段上的解析式，再分段研究． [解] (1)设线段AD 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，将点A (2,20)，D (0,10)代入，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝20n ＝10，解得⎩⎨⎧m ＝5n ＝10，∴线段AD 的解析式为y ＝5x ＋10(0≤x ≤2)． ∵双曲线y ＝k x经过B (12,20)， ∴20＝k 12，解得k ＝240，∴BC 段的解析式为y ＝240x(12≤x ≤24)．综上所述，y 与x 的函数解析式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10(0≤x ≤2)20(2<x <12)240x (12≤x ≤24).(2)当x ＝18时，y ＝24018＝403，由于403<15，∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长． (3)令y ＝15，当0≤x ≤2时，解5x ＋10＝15，得x ＝1，当12≤x ≤24时，解240x＝15，得x ＝16.由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．3.2.1.1函数的单调性要点整理1．函数的单调性温馨提示：定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质．(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等．(3)并非所有的函数都具有单调性，如f (x )＝ ⎩⎨⎧1，x 是偶数0，x 是奇数，它的定义域是N ，但不具有单调性．题型一函数单调性的判断与证明【典例1】证明函数f (x )＝x ＋4x在(－∞，－2)上是增函数．[思路导引] 设出∀x 1<x 2<－2，判定f (x 1)与f (x 2)的大小关系． [证明] ∀x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2.∵x 1<x 2<－2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )＝x ＋4x在(－∞，－2)上是增函数．证明或判断函数单调性的方法步骤题型二求函数的单调区间【典例2】求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝1x －1； (2)f (x )＝|x 2－3x ＋2|.[思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数y ＝x 2－3x ＋2的图象，再将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，结合图象写出f (x )的单调区间．[解] (1)函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∀x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1). 因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． (2)f (x )＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎨⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－(x 2－3x ＋2)，1<x <2.作出函数的图象，如图所示．根据图象，可知，单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.(1)求函数单调区间的2种方法①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． ②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． (2)求函数单调区间的注意点一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．题型三函数单调性的应用【典例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在[4，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．(2)已知y ＝f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．[思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系．[解] (1)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的增区间是[1－a ，＋∞)．又∵已知f (x )在[4，＋∞)上是增函数， ∴1－a ≤4，即a ≥－3.∴所求实数a 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)∵f (x )在R 上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，得a <23，∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23.[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？(2)若本例(2)中“定义域(－∞，＋∞)”改为“定义域(－1,1)”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的递增区间为[1－a ，＋∞)． ∴1－a ＝4，得a ＝－3. (2)由题意可知⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，即a <23.②由①②可知，0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.函数单调性的3个应用要点(1)二次函数的单调性由于只与对称轴及开口方向有关，因此处理起来较容易，只需结合图象即可获解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．(3)需注意若一函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．3.2.1.2函数的最大(小)值要点整理 1．最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象最高点的纵坐标． 2．最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象最低点的纵坐标．温馨提示：(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)并不是每一个函数都有最值，如函数y ＝1x，既没有最大值，也没有最小值．(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值．题型一图象法求函数的最大(小)值【典例1】(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值；(2)画出函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[思路导引] 作出函数f (x )的图象，结合图象求解． [解] (1)作出函数f (x )的图象(如图1)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1；当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.(2)f(x)的图象如图2所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.图象法求最大(小)值的步骤题型二利用单调性求函数的最大(小)值【典例2】已知函数f(x)＝x＋1 x .(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；(2)求f(x)在[2,4]上的最值．[解](1)证明：设∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x 2－1x2＝(x1－x2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－1x1x2＝(x1－x2)(x1x2－1)x1x2.∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，故(x1－x2)·(x1x2－1)x1x2<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．又f(2)＝2＋12＝52，f(4)＝4＋14＝174，∴f(x)在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.函数的最值与单调性的关系(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．题型三求二次函数的最大(小)值【典例3】(1)已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．[思路导引] 找出f(x)的对称轴，分析对称轴与给定区间的关系，结合单调性求最值．[解] (1)函数f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min ＝f(2)＝－7.(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴f (x )min＝⎩⎨⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.[变式] 本例(2)条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] 在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立，即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立，即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]．又f (x )max ＝⎩⎨⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.①当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. ②当a >3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a >3.综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图． (2)在图象上标出定义域的位置． (3)观察单调性写出最值．题型四实际应用中的最值【典例4】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为关于月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[思路导引] 先将利润表示成关于x 的函数，再利用函数的单调性求最值． [解] (1)月产量为x 台，则总成本为(20000＋100x )元，从而f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋300x －20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25000，当x ＝300时，f (x )max ＝25000；当x >400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )<60000－100×400＝20000<25000.∴当x ＝300时，f (x )max ＝25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．求解函数最大(小)值的实际问题应注意的2点(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决．3.2.2.1函数奇偶性的概念要点整理函数的奇偶性温馨提示：(1)奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质，以加深理解)．(2)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．题型一函数奇偶性的判断【典例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝x x －1；(4)f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x >0，－2x ＋1，x <0.[思路导引] 借助奇函数、偶函数的定义判断． [解] (1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法(2)图象法题型二奇函数、偶函数的图象【典例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象．(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[思路导引] 根据奇函数图象特征作出函数图象，再求解．[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．[变式] 若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．[解] 因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．题型三利用函数的奇偶性求值【典例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；。

分段函数常见题型解法-含答案

【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.1、求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩，不要写成1122()()()()n n ny f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，21)23(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x .（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.（2） )()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数，且以2为周期.方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分，即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在R 上的函数()()22f x x =-.（Ⅰ）若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设()g x =，求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．【例2】已知函数()()22log 3,2{21,2x x x f x x ---<=-≥ ，若()21f a -= ，则()f a = （）A. 2-B. 0C. 2D. 9【解析】当22a -< 即0a >时， ()()211log 3211,22a a a ---=⇒+==- （舍）；当22a -≥ 即0a ≤时， ()2222111log 42a a f a ---=⇒=-⇒=-=- ，故选A.【点评】（1）要计算(2)f a -的值，就要看自变量2a -在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就2222a a -<-≥和分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0a >时，解得12a =-，要舍去.【例3】【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫=⎪⎝⎭（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【点评】（1）要化简()()1f a f a =+，必须要讨论a 的范围，要分1a ≥和01a <<讨论.当1a≥时，可以解方程2(1)2(11)a a -=+-，得方程没有解.也可以直接由2(1)y x =-单调性得到()()1f a f a ≠+.【检测2】已知函数210()0xx f x x -⎧-≤⎪=>,若0[()]1f f x =，则0x = ．【例3】已知函数则的解集为（）A.B.C.D.【点评】（1）本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当20x -<<时，计算()f x -要注意确定x -的范围，02x <-<，所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________．【检测4】【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【例4】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.设0,x <2()f x x x =+,则0x ->，222()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=- 设0,x >2()f x x x =-+则0x -<，222()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=- 所以函数()f x 是奇函数.【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.【检测5】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时22)(+=x xx f . （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性（不必证明）；（3）若对任意的t R ∈，不等式0)2()3(22≤++-t t f t k f 恒成立，求k 的取值范围.【例5】若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(01)a a >≠且的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 .【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3）对于对数函数log a y x =，如果没有说明a 与1的大小关系，一般要分类讨论.【检测6】设()()2,014,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+++⎪⎩，＞若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ) A. []2,3- B. []2,0- C. []1,3 D. []0,3【检测7】已知函数()()222log 23,1{1,1x ax a x f x x x -+≥=-<的值域为R ，则常数a 的取值范围是（ )A. ][()1123-，，B. ][()12-∞+∞，，C. ()[)1123-，，D. (,0]-∞{}[)123，【例6】若()()3,1{log ,1a a x a x f x x x --<=> 是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（）.A. ()1,+∞B. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (),3-∞D. ()1,3【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.【检测8】已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是（）A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞【例7】已知函数()21,0,{log ,0,x x f x x x +≤=>则函数()()1y ff x =+的所有零点构成的集合为__________．【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数()()1y f f x =+的图像不方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数()()1y f f x =+中，由于没有确定x 的取值范围，所以要分类讨论.【例8()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是________.【解析】函数()()22,1{91,1x xf x x x x >=-≤ ，若函数()()g x f x k =- 仅有一个零点，即()f x k = ，只有一个解，在平面直角坐标系中画出， ()y f x =的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ )4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【点评】（1）直接画()()g x f x k =-的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数得到()f x k =，再画图数形结合分析. 学.科.网【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是（）A. B.C. D.【解析】【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.【检测9】已知函数()()1114{(1)x x f x lnx x +≤=>，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（）（注： e 为自然对数的底数）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：分段函数中常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）11t -<<（Ⅱ）()222,011,112,1m m m m m m m m ϕ⎧-+<≤⎪⎪=<≤+⎨⎪->⎪⎩方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .即等价于对一切恒成立，即恒成立，得恒成立，当时，，，因此，实数t 的取值范围是11t -<<．【反馈检测2答案】或1【反馈检测2详细解析】当时，，则，即；当时，，则，即。

高中数学人教A版必修第一册3.1.2.2分段函数课件

关键能力探究
探究点一分段函数的定义域、值域
【典例1】(1)已知函数f(x)= |x| ,则其定义域为 ( )
x
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
－x2＋1，0 x 1，
(2)函数f(x)= 0, x＝0，
的定义域为________,值域为________.
x2－1,－1 x 0
2
22
2
2
f ( 3) 1 ( 3)2 13.
2
24
所以 f (f (1)) 13.
24
答案: 13
4
x 1，x 0,
2.已知函数f(x)=
|
1 x
，x＜0， |
若f(x)=2,则x=________.
【解析】若x≥0,由x+1=2,得x=1;
若x<0,由 1 =2,得x=± ,1由于 >01,舍x= , 1
提示:有函数关系.
②函数的解析式是什么?
提示:y=
2，0 x 5， 3，5 x 10.
③x与y之间有何特点?
提示:x在不同区间内取值时,与y对应的关系不同.
【知识生成】分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的_不__同__取__值__区__间__,有着_不__同__的__对__应__关__系__,这样的函数通常叫做分段函数.
|x|
2
2
2
所以x= 1.故x=1或 .1
2
2
答案:1或 1
2
【补偿训练】
对a,b∈R,记max(a,b)=
a,a b， b, a＜b,
函数f(x)=max(|x+1|,-x2+1)的值域是

新教材高中数学第三章分段函数第2课时教案新人教A版必修第一册

新教材高中数学新人教B 版选择性必修第二册：3.1.2 分段函数（第二课时）【教学目标】1．知识与技能（1）掌握分段函数的定义（2）会求分段函数的解析式，会求分段函数的定义域和函数值（3）会运用分段函数的知识解决实际问题2．过程与方法（1）初步掌握解决分段函数问题的基本方法。

（2）通过教师引导，学生讨论，培养学生自学、分析和解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观培养理解和掌握分类讨论的数学思想方法；培养学生养成探究式学习、自主式学习、合作式学习等优秀的学习品质。

【教学重点、难点】（1）重点：分段函数的概念；运用分段函数的知识解决实际问题（2）难点：建立实际问题的分段函数关系【教学方法】讲、议结合，通过实际例子引出分段函数的定义，创设情境，激发兴趣。

通过学生的主动参与，加深学生对分段函数的认识，同时寻找解决分段函数基本问题的基本方法。

【课时安排】 1课时【教学过程】一、复习函数的定义及表示方法1、函数的定义2、函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法二、基础知识分段函数：如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，这样的函数为分段函数.思考：分段函数对于自变量x 的不同取值对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？（注意:分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要用相应的解析式来表示.）三、基础自测1.函数()f x = ） A.[1,1)(1,)-⋃+∞ B.(1,)+∞C.(1,)-+∞D.(1,1)(1,)-⋃+∞[解析]:由函数解析式得1010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-，且1x ≠. 故函数的定义域为[1,1)(1,)-⋃+∞，选A.2.若2(0)()(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则[(2)]f f -=（）A.2B.3C.4D.5[解析]:∵20-<，∴(2)(2)2f -=--=，又20>，∴2[(2)](2)24f f f -===，选C.3.函数||y x =的图象是（）[解析]:因为,(0)||,(0)x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，所以B 选项正确. 4.（2020▪江苏徐州高一期中测试）已知函数4(0)()4(0)x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，则[(3)]f f -的值为 . [解析]:∵4(0)()4(0)x x f x x x +<⎧=⎨->⎩， ∴(3)1f -=，∴[(3)](1)3f f f -==-.【题型探究】题型一分段函数的求值问题例1 已知函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）求(4),(3),[(2)]f f f f --；（2）若()10f a =，求a 的值.[分析]:分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的值.[解析]:（1）(4)422f -=-+=-，(3)236,(2)220f f =⨯=-=-+=，2[(2)](0)00f f f -===；（2）当1a ≤-时，210a +=，可得8a =，不符合题意；当12a -<<时，210a =，可得a =当2a ≥时，210a =，可得5a =，符合题意；综上可知，5a =.[归纳提升]：求分段函数函数值的方法（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间.（2）然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现0[()]f f x 的形式时，应从内到外依次求值.【对点练习】①已知3(10)()[(5)](10)x x f x f f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值是（） A.24 B.21C.18D.16[解析]: (5)[(10)],(10)[(15)](18)21,(5)(21)24f f f f f f f f f ======.故选A.题型二分段函数的图象及应用例2 已知函数||()1(22)2x x f x x -=+-<≤. （1）用分段函数的形式表示函数()f x ；（2）画出函数()f x 的图象；（3）写出函数()f x 的值域.[分析]: 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象.[解析]:（1）当02x ≤≤时，()112x x f x -=+=；当20x -<<时，()112x x f x x --=+=-. 所以1(02)()1(20)x f x x x ≤≤⎧=⎨--<<⎩；（2）函数()f x 的图象如图所示：（3）由（2）知，()f x 在(2,2]-上的值域为[1,3).[归纳提升]：1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤（1）定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.（2）设函数式：设出函数的解析式.（3）列方程（组）：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.（4）下结论：最后用“{”表示出各段的解析式，注意自变量的取值范围.2.作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.【对点练习】② 已知函数221(1)()2(1)x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩.（1）画出函数的图象；（2）若()1f x =，求x 的值.[解析]:（1）函数图象如图所示：（2）由()1f x =和函数图象综合判断可知，当(,1)x ∈-∞时，得()211f x x =-+=，解得0x =；当[1,)x ∈+∞时，得2()21f x x x =-=，解得12x =+或12x =-（舍去）.综上可知x 的值为0或12+.题型三分段函数的应用问题例3 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点B （起点）向点A （终点）运动，设点P 运动的路程为x ，APB ∆的面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =：（2）画出()y f x =的图象；（3）若APB ∆的面积不小于2，求x 的取值范围.[分析]:（1）点P 位置不同ABP ∆的形状一样吗？（2）注意该函数的定义域.[解析]:（1）2(04)8(48)2(12)(812)x x y x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-<≤⎩；（2）()y f x =的图象如图所示：（3）即()2f x ≥，当04x ≤≤时，22x ≥，∴1x ≥，当812x <≤时，2(12)2x -≥，∴11x ≤，∴x 的取值范围是111x ≤≤.[归纳提升]：利用分段函数求解实际应用题的策略（1）首要条件：把文字语言转换为数学语言．（2）解题关键：建立恰当的分段函数模型．（3）思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．【对点练习】③某市有,A B 两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B 俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．（1）设在A 俱乐部租一块场地开展活动x 小时的收费为()f x 元123()0x ≤≤，在B 俱乐部租一块场地开展活动x 小时的收费为()g x 元123()0x ≤≤，试求()f x 与()g x 的解析式；（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？[解析]:（1）由题()6,[12,30]f x x x =∈，90,[12,20]()250,(20,30]x g x x x ∈⎧=⎨+∈⎩；（2）1220x ≤≤时，690x =，解得：15x =，即当1215x ≤<时，()()f x g x <，当15x =时，()()f x g x =，当1520x <≤时，()()f x g x >．当2030x <≤时，()()f x g x >，故当1215x ≤<时，选A 家俱乐部合算．当15x =时，两家俱乐部一样合算，当1530x <≤时，选B 家俱乐部合算．【误区警示】分段函数概念的理解错误例4 求函数21(0)()(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩的定义域． [错解]:∵0x ≥时，2()1f x x =-，0x <时，()f x x =，∴当0x ≥时，()f x 的定义域为[0,)+∞，当0x <时，()f x 的定义域为(,0)-∞．[错因分析]:错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数21(0)()(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是两个函数．[正解]：函数()f x 的定义域为(,0)[0,)-∞⋃+∞，即(,)-∞+∞，∴函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞．【学科素养】建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．例5 某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数()h x ，其中21400,0400()280000,400x x x h x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪>⎩，x 是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．（1）试将自行车厂的利润y 表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？[分析]总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为20000元，可变成本为100x 元．[解析]:（1）依题设，总成本为20000100x +，则2130020000,0400,260000100,400,x x x x N y x x x N⎧-+-<≤∈⎪=⎨⎪->∈⎩且且；（2）当0400x <≤时，21(300)250002y x =--+，则当300x =时，max 25000y =.当400x >时，60000100y x =-是减函数，则6000010040020000y <-⨯=. 综上可知，当月产量300x =件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25000元．[归纳提升]：求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值．。

高中数学人教A版必修1教案-分段

3、2 （3）分段函数【教学目标】1、知道分段函数的含义；会根据所给问题建立分段函数解析式；2、会画简单分段函数的图象。

3、培养学生阅读和理解题意的能力；全面分析问题的能力，解决问题的能力；作图能力。

4、培养学生重要数学思想方法----分类思想方法、数形结合思想【教学重点】分段函数解析式的建立及分段函数的图象【教学难点】分段函数解析式的建立【教学关键】用分类的思想方法把定义域全域划分成若干个小区域，再在每一小区域上逐一解决问题。

【教学过程】（一）复习引入：复习建立函数解析式的一般步骤（二）新课讲解：〖例1〗向一个底面积为s 高为b 的圆柱形杯子不断地以每分钟a 厘米的速度匀速注水，则水面高度h 关于时间t 的函数关系式的大致图象为下列各图中的？ 1、图象法2、能否建立函数h=f(t)的函数关系式（解析法）？⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=a b t b a b t at h ,0,〖概念〗当一个函数在不同的区间段上的对应法则不同时，各段要分段表示。

这样的函数称为分段函数。

〖探讨〗建立分段函数的步骤（现实生活中实例的列举）D C〖例2〗体积等于3a 立方米的游泳池内设有进水管与出水管各一根。

进水的速度与出水的速度均为每小时a 立方米。

若开始时游泳池内无水，先开进水管2小时，再将进水官与出水管同时开放1小时，然后关闭进水管1小时，最后出水管也关闭。

设水池的体积为y ，则下列各图中能表示y 关于t 的函数关系的是（）(B)（1）写出题中y 关于t 的函数解析式（2）何时游泳池中有水a 立方米？（3）上题中，若进水的速度为每小时a 立方米，出水管的速度为每小时b 立方米，且a>b ，试写出相应的y 关于t 的函数解析式，并画出所得函数的大致图象〖例3〗动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动，沿正方形ABCD 的运动路程为自变量，（1）写出P 点与A 点距离与的函数关系式（2）p 运动到何处时，AP 长为45？（两解）〖练习〗学生完成以下两个问题：1、在矩形ABCD 中，AB ＝4m ，BC ＝6m ，动点P 以每秒1m 的速度，从A 点出发，沿着矩形的边按A →D →C →B 的顺序运动到B ，设点P 从点A 处出发经过秒后，所构成的△ABP 面积为m 2，求函数的解析式。

分段函数题型与解题思路

分段函数题型与解题思路一、分段函数求值问题根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解，同时也要注意函数的奇偶性、周期性等的应用。

1.函数)(x f 满足))(()4(R x x f x f ∈=+，且在区间]2,2(-上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos )(x x x x x f π，则))15((f f 的值为_______________解：因为函数)(x f 满足))(()4(R x x f x f ∈=+，所以函数)(x f 的周期为4，则)441()15(⨯+-=f f 21211)1(=+-=-=f ，因此224cos )21())15((===πf f f 2.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,log 0,)21()(21x x x x f x ，则)21()61(log 2f f +的值为______．解：因为061log 2<且由对数的性质有6log 61log 212=，所以21log )21()21()61(log 216log 221+=+f f 716=+=3.若函数⎩⎨⎧<+≥+=)0)(2()0(1)(x x f x x x f ，则______)3(=-f 解：211)1()21()1()23()3(=+==+-=-=+-=-f f f f f4.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x ，则)3log 2(2+f 的值为______．解：因为43log 22<+，所以3log 32222)21()3log 3()13log 2()3log 2(+=+=++=+f f f2413181)21()21(3log 32=⨯=⨯= 二、求参数或自变量的值1.已知函数⎩⎨⎧≥-<--=-2,122),3(log )(22x x x x f x ，若1)2(=-a f ，则______)(=a f解：当22<-a 即0>a 时，由1)2(=-a f 得1)]2(3[log 2=---a ，则21-=a ，不符合要求；当22≥-a 即0≤a 时，由1)2(=-a f 得1122)2(=---a ，则1-=a ，所以2)]1(3[log )(2-=---=a f 2.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则_______=a 解：当0≤a 时，022)(2>++=a a a f ，则0))((<a f f 显然不成立，当0>a 时，0)(2<-=a a f ，则由2))((=a f f 有22)(2)(222=+-+-a a ，所以2=a3.设函数⎩⎨⎧≥-<<=1),1(210,)(x x x x x f ，若)1()(+=a f a f ，则=)1(a f （） A .2 B .4 C .6 D .8解：函数)(x f 在)1,0(和),1(+∞上都单调递增，且1+<a a ，所以，由)1()(+=a f a f 知，a 和1+a 不同在)1,0(或),1(+∞上取值，则有⎪⎩⎪⎨⎧-+=>+<<]1)1[(21110a a a a ，所以41=a ，则6)4()1(==f a f 4.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10,621100,lg )(x x x x x f ，若a ，b ，c 互不相等且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（）A .)10,1(B .)6,5(C .)12,10(D .)24,20( 解：作出函数图象如图所示不妨设c b a <<，作图象知)()(b f a f =即b a lg lg =-，所以0lg lg =+b a ，则0lg =ab ，所以1=ab ，显然1210<<c ，所以1210<<abc ，选C5.设函数⎩⎨⎧>-≤=-0,220,0)(x x x f x x ，则满足不等式)()2(2x f x f >-的x 的取值范围是（） A .),2()1,(+∞--∞ B .),2()2,(+∞--∞ C .),2()2,(+∞--∞ D .),2()1,(+∞--∞ 破题思路：解决分段函数的关键，需要对法则施加的对象的取值进行讨论，以确定对应解析式。

f(f(x)分段函数解题技巧

f(x)分段函数解题技巧随着数学教育的深入，分段函数的应用也越来越广泛。

分段函数是指在定义域的不同区间内，函数有不同的定义式。

在解题时，我们需要根据函数定义式的不同来进行分类讨论，这就需要我们掌握一定的解题技巧。

本文将从几个方面详细介绍f(x)分段函数解题技巧，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、理解分段函数的定义在了解解题技巧之前，首先要对分段函数有一个清晰的认识。

分段函数是由若干个不同的函数组成，这些函数在一定的定义域范围内分别成立。

通常分段函数的定义式为f(x)={f1(x), x≤a; f2(x), x>a}。

这表示在x≤a的时候，函数采用f1(x)的定义式；在x>a的时候，函数采用f2(x)的定义式。

解题时需要根据不同的定义域范围来进行分类讨论。

二、分类讨论的方法1.确定各个定义域的范围在解题时首先需要明确各个定义域的范围，通常可以根据定义式中的不等号来确定。

例如对于一个分段函数f(x)={2x, x≤0; x+1, x>0}，在定义域的范围内应该确定x≤0和x>0两个区间。

2.分类讨论具体步骤在确定了各个定义域的范围之后，就可以进行分类讨论了。

通常可以按以下步骤进行：（1）针对每个定义域范围，分别列出对应的函数定义式；（2）根据具体问题进行分别讨论，并列出相应的方程式；（3）通过解方程来求解问题。

三、应用实例以下通过几个具体的应用实例来说明f(x)分段函数解题技巧的应用。

例1：已知分段函数f(x)={2x, x≤0; x+1, x>0}，求f(x)的零点。

解：首先确定函数的定义域范围分别为x≤0和x>0。

接着分别列出对应的函数定义式，分别为2x和x+1。

然后对两个定义域的范围进行分类讨论：（1）当x≤0时，f(x)=2x，所以f(x)的零点为x=0；（2）当x>0时，f(x)=x+1，所以f(x)的零点为x=-1。

例2：已知分段函数f(x)={3x-1, x<2; x^2, x≥2}，求f(x)的极值点。

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优质资料---欢迎下载分段函数问题的解答方法所谓分段函数是指函数的定义域分为几段，且每一段的解析式又不一样的函数。

归结起来分段函数问题主要包括：①分段函数解析式的求法；②求分段函数值的基本方法；③分段函数值域与最值的求法；④分段函数单调性的判断（或证明）；⑤分段函数奇偶性的判断（或证明）等几种类型。

各种类型问题的结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。

那么在实际解答分段函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。

【典例1】解答下列问题：1、某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远处的B 地，在B 地停留1 12小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行走的路程S 表示成时间t 的函数；【解析】【知识点】①行驶问题的结构特征；②行驶问题中涉及的基本量及其关系；③解答行驶问题的基本思路与方法；④求函数解析式的基本方法。

【解题思路】问题是行驶问题，行驶问题的基本量包括行驶速度，行驶时间和行驶路程，这三个基本量的关系为，行驶路程=行驶速度⨯行驶时间；根据题意，问题中包含三个行驶过程：①从A 地出发到达B 地；②在B 地停留；③从B 地返回A 地，根据行驶路程=行驶速度⨯行驶时间分别求出三个过程行驶路程与时间的关系式就可得出结果。

【详细解答】问题中包含三个行驶过程： 52t ， 0<t ≤5，①从A 地出发到达B 地，S=52t ；②在B 地 ∴ S= 260， 5<t ≤132，停留,S=260；③从B 地返回A 地,S=65(t-612)； 65（t-132）, 132<t ≤212， 2、已知f(x)=2x-1， g(x)= 2x ，（x ≥0），-1 ， (x ＜0)。

①求f 〔g(x)〕， ②求g 〔f(x)〕；【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法。

【解题思路】f 〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)又是一个分段函数，从而得到f 〔g(x)〕也是一个分段函数，且自变量的分段与g(x)的分段一致，从而得到函数f 〔g(x)〕的解析式； g 〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由g(x)是分段函数，需先确定2x-1≥0和2x-1＜0中x 的取值范围，从而得到函数 g 〔f(x)〕的解析式；【详细解答】 f(x)=2x-1， ∴f 〔g(x)〕= 22x -1，（x ≥0），g 〔f(x)〕= 2(21)x -，x ≥12， g(x)= 2x ，（x ≥0）， -3， (x ＜0)， -1， x ＜12； -1 ， (x ＜0），3、已知f(x)= ln(x+1)，（x ＞-1）， g(x)=-x+2。

11()2x -，（x ≤-1），① 求f 〔g(x)〕， ②求g 〔f(x)〕。

【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法。

【解题思路】f 〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)的函数值需满足-x+2＞-1或-x+2≤-1，且自变量的分段为x ＜3或x ≥3，从而得到函数 f 〔g(x)〕的解析式；g 〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由f(x)是分段函数，得到g 〔f(x)〕也是一个分段函数，自变量的分段与f(x)的分段一致，从而得到函数 g 〔f(x)〕的解析式。

【详细解答】 g(x)=-x+2，f(x)= ln(x+1)，（x ＞-1），∴f 〔g(x)〕= ，（x ＜3），-ln(x+1)+2，（x ＞-1）， 11()2x -，（x ≤-1）， 11()2x -+，（x ≥3）； g 〔f(x)〕=- 11()2x -+2，（x ≤-1）；『思考问题1』（1）【典例1】是求分段函数解析式的问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，掌握分段函数的性质和求函数解析式的基本方法；（2）【典例1】中1题是应用问题，解答时只需分辨清楚应用问题的类型，结合该类应用问题解答的基本方法就可求出结果；（3）【典例1】中2，3两题是求复合函数f(g(x))（或g 〔f(x)〕）解析式的问题，这类问题的特点是：①已知两个函数的解析式，其中一个函数是分段函数；② 求复合函数的解析式，涉及到确定自变量属于哪一段的问题；解答的基本思路是整体代入，由分段函数各段的定义域确定出分段函数中自变量x 的取值范围，再求复合函数的解析式。

〔练习1〕解答下列问题：1、函数f(x)=〔x 〕的函数值表示不超过x 的最大整数，例如〔-3.5〕=-4，,〔2.1〕=2，当x ∈（-2.5,3〕时，写出函数f(x)的解析式，并画出函数的图像；2、已知f(x)=3x-6， 2x +x （x ≥0）g(x)=1 (x ＜0)①求f 〔g(x)〕， ②求g 〔f(x)〕；3、已知f(x)= 2x-1，g(x)= 2x -3x+2，求f 〔g(x)〕。

【典例2】解答下列问题：1、设函数f(x)= 2x +1，x ≤1，则f(f(3))=（）A 15 2x ，x ＞1，B 3C 23D 139【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。

【解题思路】根据自变量3，确定求函数值的解析式，并求出f(3)的函数值，把求出的结果作为自变量，确定求函数值的解析式，运用求函数值的基本方法就可求出结果。

【详细解答】3>1，∴ f(3)= 23，23≤1，∴ f(23)=49+1=139，⇒ f(f(3))= 139，⇒ D 正确，∴选D 。

2、设函数f(x)= 3x-1，x ＜1，则满足f(f(a))= ()2f a ，的a 的取值范围是（）2x ，x ≥1，A ［23，1］B ［0，1］C ［23，+∞） D ［1，+∞）【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③指数函数的定义与性质；④参数分类讨论的原则与方法。

【解题思路】运用分段函数的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件，应该从a ≥1和a<1两种情况考虑去解答问题。

【详细解答】①当a ≥1时，f(a)= 2a >1，∴f(f(a))= 22a=()2f a ；②当a<1时，f(a)=3a-1，∴若3a-1≥1，即a ≥23时，f(f(a))= 312a -=()2f a ，若3a-1<1，即a<23时，f(f(a))=3（3a-1）-1=9a-4≠312a -≠()2f a ；∴当f(f(a))= ()2f a 时，实数a 的取值范围是[23，+∞）。

3、已知函数f(x)= f(x+1) ，x ＜4，求f(2+2log 3)的值；1()2x ，x ≥4，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③对数的定义与性质。

【解题思路】根据对数的性质可知，3<2+2log 3<4，确定求函数值的解析式，并求出f(2+2log 3)的函数值，把求出的结果作为自变量，由4<3+2log 3<5，确定求函数值的解析式，运用求函数值的基本方法就可求出结果。

【详细解答】3<,2+2log 3<4，∴ f(2+2log 3)= f(2+2log 3+1)= f(3+2log 3)，4<3+2log 3<5，∴ f(3+2log 3)= 23log 312+（）= 2log 242-= 12log 242-= 124，∴ f(2+2log 3)=f(3+2log 3)=124。

4、已知函数f(x)= 2x +1，x ≥0，若f(x)=10，则x= ；-2x ，x ＜0，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。

【解题思路】这里是已知f(x)的函数值，求自变量的问题，现在是自变量未知，需要从x<0和x ≥0两种情况分别考虑去解答问题。

【详细解答】①当x<0时， f(x)= -2x=10，∴ x=-5；②当x ≥0时， f(x)= 2x +1=10， ∴ x=3；∴当f(x)=10时，x=-5或x=3。

5、已知实数a ≠0，函数f(x)= 2x+a ，x ＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a 的值为； -x-2a ，x ≥1，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③参数分类讨论的基本原则和基本方法；【解题思路】运用分段函数的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件，根据a ≠0，应该从a>0和a<0两种情况考虑去解答问题。

【详细解答】①当a>0时，1-a<1，1+a>1，∴ f(1-a)=2（1-a ）+a=2-a ，f(1+a)=-（1+a ）-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，∴2-a=-3a-1，⇒a=-32<0，⇒此时无解；②当a<0时，1-a>1，1+a<1，∴ f(1-a)=-（1-a ）-2a=-1-a ，f(1+a)=2（1+a ）+a=3a+2， f(1-a)=f(1+a)，∴-1-a=-3a+2，⇒a=- 34<0，∴当a ≠0，f(1-a)=f(1+a)时，a=- 34。

6、某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时期段进行分别计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量高峰电价低谷月用电量低谷电价（单位：千瓦时）（单位：元/千瓦时）（单位：千瓦时）（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）【解析】【知识点】①求函数解析式的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求函数值的基本方法。

【解题思路】设该家庭高峰时间段的用电量为1x 千瓦时，应付电费为1y ，低谷时间段的用电量为2x 千瓦时，应付电费为2y ，该家庭本月应付的电费为y 元，运用求函数解析式的基本方法，结合问题条件分别求出1y ，2y 的解析式，利用求函数值的基本方法求出1y ，2y 的值，从而求出y 的值。

【详细解答】设该家庭高峰时间段的用电量为1x 千瓦时，应付电费为1y ，低谷时间段的用电量为2x 千瓦时，应付电费为2y ，该家庭本月应付的电费为y 元，由题意可得： 0.5681x ， 0＜1x ≤50， 0.2882x ， 0＜2x ≤50， 1y = 28.40+0.598（1x -50），50＜1x ≤250， 2y = 14.40+0.318（2x -50），50＜2x ≤250， 148.00+0.668（1x -250），1x ＞250， 78.00+0.3888（2x -250），2x ＞250，∴y=1y +2y =28.40+0.598⨯150+14.40+0.318⨯50=148.40（元）；『思考问题2』（1）【典例2】是分段函数求值的问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，注意分段函数的结构特征，掌握分段函数求值的基本方法；（2）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果。