第七章 学案39 数学归纳法

学案39 数学归纳法

导学目标： 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

自主梳理 1．归纳法

由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法．

2．数学归纳法

设{P n }是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题________(或________)成立；(2)在假设______成立的前提下，推出________也成立，那么可以断定{P n }对一切正整数成立．

3．数学归纳法证题的步骤

(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值__________时命题成立．

(2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．

自我检测

1．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋

1＝1－a n ＋2

1－a

(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端

计算所得的项为( )

A ．1

B ．1＋a

C ．1＋a ＋a 2

D ．1＋a ＋a 2＋a 3

2．如果命题P (n )对于n ＝k (k ∈N *)时成立，则它对n ＝k ＋2也成立，又若P (n )对于n ＝2时成立，则下列结论正确的是( )

A ．P (n )对所有正整数n 成立

B ．P (n )对所有正偶数n 成立

C ．P (n )对所有正奇数n 成立

D ．P (n )对所有大于1的正整数n 成立

3．(2011·台州月考)证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋1

2

n 1)，当n ＝2时，中间式子等

于( )

A ．1

B ．1＋1

2

C ．1＋12＋13

D ．1＋12＋13＋1

4

4．用数学归纳法证明“2n >n 2

＋1对于n >n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3

＋(n ＋2)3 (n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )

A ．(k ＋3)3

B ．(k ＋2)3

C ．(k ＋1)3

D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3

探究点一 用数学归纳法证明等式

例1 对于n ∈N *，用数学归纳法证明：

1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝1

6

n (n ＋1)(n ＋2)．

变式迁移1 (2011·金华月考)用数学归纳法证明：

对任意的n ∈N *,1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋1

2n .

探究点二 用数学归纳法证明不等式

例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝⎛⎭

⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12

均成立．

变式迁移2 已知m 为正整数，用数学归纳法证明：当x >－1时，(1＋x )m ≥1＋mx .

探究点三 用数学归纳法证明整除问题

例3 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －

1能被a 2＋a ＋1整除．

变式迁移3 用数学归纳法证明：当n 为正整数时，f (n )＝32n ＋

2－8n －9能被64整除．

从特殊到一般的思想

例 (14分)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2、a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，

数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－1

2

b n .

(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；

(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1

b n

与S n ＋1的大小，并说明理由．

【答题模板】

解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋a 5＝12

a 2a 5

＝27，又∵{a n }的公差大于0，

∴a 5>a 2，∴a 2＝3，a 5＝9.∴d ＝a 5－a 23＝9－3

3

＝2，a 1＝1，

∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.[2分]

∵T n ＝1－12b n ，∴b 1＝23，当n ≥2时，T n －1＝1－1

2

b n －1，

∴b n ＝T n －T n －1＝1－1

2

b n －⎝⎛⎭⎫1－12b n －1， 化简，得b n ＝1

3b n －1，[4分]

∴{b n }是首项为23，公比为1

3

的等比数列，

即b n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝2

3

n ，

∴a n ＝2n －1，b n ＝2

3

n .[6分]

(2)∵S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，∴S n ＋1＝(n ＋1)2

，1b n ＝3n 2.

以下比较1

b n

与S n ＋1的大小：

当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，∴1b 1

b 2

当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，∴1b 3

b 4

>S 5.

猜想：n ≥4时，1

b n

>S n ＋1.[9分]

下面用数学归纳法证明：