混沌神经网络理论及其实证分析
《混沌动力学基础及其在大脑功能方面的应用》札记
《混沌动力学基础及其在大脑功能方面的应用》阅读记录1. 内容概览《混沌动力学基础及其在大脑功能方面的应用》一书深入探讨了混沌动力学的理论基础及其在现代科学领域，特别是神经科学中的应用。
本书首先介绍了混沌理论的基本概念、原理及其发展历程，为后续探讨在大脑功能方面的应用打下了坚实的基础。
书中详细阐述了混沌动力学与大脑功能之间的紧密联系，作者通过引入一系列实验数据和研究成果，展示了混沌现象如何存在于大脑的神经活动中，以及如何通过复杂的相互作用塑造我们的思想和行为。
本书还介绍了混沌理论在解释神经系统的某些特殊行为模式，如学习和记忆过程、意识形成等方面的重要作用。
本书还特别探讨了混沌理论在理解大脑疾病的发病机制和治疗策略中的应用。
作者讨论了如何利用混沌理论来理解和模拟某些精神疾病（如精神分裂症、抑郁症等）的复杂动态行为，以及如何将这些理论应用于开发新的治疗方法。
对于如何利用混沌动力学理论进行大脑疾病的早期检测和预防，也进行了详尽的介绍和讨论。
在内容呈现上，本书语言清晰流畅，结构逻辑严谨。
作者在阐述复杂理论的同时，通过生动的案例和实验数据使内容易于理解。
对于每一个关键的概念和理论，都有详细的解释和实例支撑，有助于读者更好地理解和掌握混沌动力学及其在大脑功能方面的应用。
1.1 研究背景混沌理论是研究复杂系统中的无序现象的科学分支，其基本原理在于，即使在初始条件极为相似的情况下，系统的长期演化行为也可能变得完全不可预测。
这一理论在诸多领域得到了广泛应用，包括气象学、生物学、经济学和社会科学等。
在神经科学领域，特别是大脑功能的研究中，混沌理论提供了一个独特的视角。
大脑的神经元网络是一个高度复杂的动态系统，其活动受到多种因素的影响，包括环境刺激、先前的经历以及内部生理状态。
这些因素相互作用，导致神经元的放电模式不断变化，进而影响整个神经网络的同步性和节律性。
随着计算神经科学的飞速发展，研究者们开始利用数学模型和计算机模拟来探索大脑如何利用混沌理论来处理信息。
非线性混沌实验报告
非线性混沌实验报告非线性混沌实验报告引言在现代科学研究中，混沌理论是一门重要的交叉学科。
混沌现象的出现使我们对于非线性系统的行为有了更深入的理解。
本实验旨在通过实际操作，观察和分析非线性混沌系统的特点和行为。
实验设备和方法实验中我们使用了一台计算机，并安装了相应的混沌模拟软件。
通过该软件，我们可以模拟出不同的非线性混沌系统，并观察其动态行为。
实验过程中，我们选择了几个具有代表性的混沌系统进行模拟。
实验结果1. 洛伦兹系统洛伦兹系统是混沌理论中最经典的例子之一。
通过模拟软件，我们可以观察到洛伦兹系统的奇特行为。
当参数设定在一定范围内时，系统的状态会呈现出周期性的振荡；而当参数发生微小变化时，系统的状态将变得极其复杂，呈现出随机性和不可预测性。
这种不可预测性正是混沌系统的重要特征之一。
2. 双螺旋系统双螺旋系统是另一个具有混沌行为的非线性系统。
在模拟软件中，我们可以调整系统的参数，并观察到系统的状态随时间的演化。
当参数设定在某一范围内时，系统呈现出稳定的双螺旋结构；而当参数发生微小变化时，系统的状态将变得极其复杂，出现无序的运动。
这种无序运动正是混沌系统的又一个典型特征。
3. 分形系统分形是混沌理论中的一个重要概念。
通过模拟软件，我们可以生成各种各样的分形图形。
分形图形的特点是具有自相似性，即无论放大多少倍，都可以看到相似的结构。
这种自相似性是混沌系统中非线性行为的产物。
讨论与分析通过实验观察和分析，我们可以得出以下结论：1. 非线性混沌系统具有极其复杂和不可预测的行为。
微小的参数变化可能会导致系统状态的巨大变化，这使得我们无法准确预测系统的未来状态。
2. 混沌系统具有自相似性和分形结构。
这种结构使得我们能够用较简单的规则生成复杂的图形。
3. 混沌系统的研究对于理解自然界中的复杂现象具有重要意义。
例如，气象学中的天气预报、经济学中的股市波动等都可以通过混沌理论进行解释。
结论本实验通过模拟软件，观察和分析了几个具有代表性的非线性混沌系统。
国外近十年深度学习实证研究综述主题、情境、方法及结果
国外近十年深度学习实证研究综述主题、情境、方法及结果一、概述：二、主题分类：计算机视觉：该主题主要关注图像识别、目标检测、图像生成等任务。
研究者利用深度学习模型，如卷积神经网络（CNN），在图像分类、人脸识别、物体检测等任务上取得了显著成果。
自然语言处理：自然语言处理是深度学习的另一重要应用领域。
研究者使用循环神经网络（RNN）、长短期记忆网络（LSTM）、变压器（Transformer）等模型进行文本生成、情感分析、机器翻译等任务，推动了自然语言处理技术的发展。
语音识别与生成：深度学习在语音识别和语音合成方面也有广泛应用。
研究者利用深度学习模型进行语音特征提取、语音识别和语音合成，提高了语音技术的准确性和自然度。
游戏与人工智能：深度学习在游戏领域的应用也日益增多。
研究者利用深度学习模型进行游戏策略学习、游戏内容生成等任务，提高了游戏的智能性和趣味性。
医疗与健康：深度学习在医疗领域的应用也备受关注。
研究者利用深度学习模型进行疾病诊断、药物研发、医疗影像分析等任务，为医疗健康领域的发展提供了有力支持。
这些主题分类展示了深度学习在不同领域和应用场景中的广泛应用和巨大潜力。
通过对这些主题的深入研究和分析，我们可以更好地理解深度学习的发展趋势和应用前景。
1. 计算机视觉在计算机视觉领域，深度学习技术的应用已经取得了显著的突破。
近年来，卷积神经网络（CNN）成为了该领域的主导模型，特别是在图像分类、目标检测、图像分割等方面。
AlexNet、VGG、GoogleNet、ResNet等模型的出现，不断刷新了图像分类任务上的准确率记录。
主题：计算机视觉的核心任务是让机器能够像人一样“看懂”图像和视频，从而进行自动分析和理解。
深度学习通过模拟人脑神经元的连接方式，构建出复杂的网络结构，实现对图像的高效特征提取和分类。
情境：计算机视觉的应用场景非常广泛，包括人脸识别、自动驾驶、医学影像分析、安全监控等。
在这些场景中，深度学习模型需要处理的数据集往往规模庞大，且存在噪声、模糊等问题，因此模型的鲁棒性和泛化能力成为研究重点。
混沌理论与经济预测
混沌理论与经济预测一、论文报告标题1. 混沌理论基本原理及其在经济预测中的应用2. 混沌理论与经济预测方法的比较分析3. 混沌理论在股市预测中的应用研究4. 混沌理论在外汇市场预测中的实证分析5. 混沌理论对宏观经济波动的解读二、混沌理论基本原理及其在经济预测中的应用混沌理论是介于确定性和随机性之间的理论，它主要研究自然界中的复杂非线性系统。
在经济学领域，混沌理论可以用来解释金融市场、物价、工资、汇率等经济现象之间的关系和演变规律。
混沌理论的主要特点是系统的演化过程十分复杂，其中任意一个因素的微小变化都可能引起整个系统的不可预测行为，或者是没有规律、不稳定。
混沌理论对经济预测的主要应用体现在以下几个方面：一是可以通过构建混沌模型对经济系统进行建模，并预测其未来的发展趋势；二是可以利用混沌理论分析经济系统中的非线性关系，探究经济现象之间的相互作用规律；三是可以通过混沌系统的锁定现象，找出经济系统中存在的周期性行为。
三、混沌理论与经济预测方法的比较分析混沌理论与传统的经济预测方法相比，具有以下几个优点：一是可以捕捉到非线性动态系统的复杂性和不可预见性，具有更强的适应性；二是可以更精准的预测一些具有突发性和非线性关系的事件，如金融危机等；三是可以对市场波动进行更全面、更深入的分析，发现更多隐含的规律和特征。
然而，混沌理论在应用上也存在一些局限性，主要表现在以下几个方面：一是对初始条件要求非常严格，小的变化可能会产生较大的影响，因此需要具有较高的数据精度；二是难以精准地预测长期的趋势变化，仅仅只能做短期预测，而且短期预测的精度也有限；三是针对高峰、低峰等异常事件的预测能力也较弱，不适合进行风险预测和控制。
四、混沌理论在股市预测中的应用研究混沌理论在股市预测中应用比较广泛，主要可以分为两个方面：一是将股市进行混沌模型建模，从而预测未来的趋势；二是通过混沌系统周期行为的研究，找出股市可预测阶段区间，从而对投资策略进行优化。
混沌理论及其应用研究
e综述e 唐 巍等 混沌理论及其应用研究
23
蝶效应 仅仅是蝴蝶翅膀的一次小小扇动 就有可 能改变一个月以后的天气情况
图 对初值的敏感性
具有分形的性质 如图 所示 混沌的 奇 异吸引子在微小尺度上具有与整体自相似的几何结
构 对它的空间描述只能采用分数维
c神 经 网 络 将 混 沌 与 神 经 网 络 相 融 合 使 神 经网络由最初的混沌状态逐渐退化到一般的神经网
络 利用中间过程混沌状态的动力学特性使神经网
络逃离局部极小点 从而保证全局最优 可用于联想
记 忆 Z机 器 人 的 路 径 规 划 等 U图像数据压缩 把复杂的图 像数 据用一 组能
b 混沌的应用前景
混沌应用可分为混沌综合和混沌分析 前者利 用人工产生的混沌从混沌动力学系统中获得可能的
功能 如人工神经网络的联想记忆等Q后者分析由复 杂的人工和自然系统中获得的混沌信号并寻找隐藏
的确定性规则 如时间序列数据的非线性确定性预 测等 混沌的具体的潜在应用 可 ‘a 概括如下
优 化 利 用 混 沌 运 动 的 随 机 性Z遍 历 性 和 规 律性寻找最优点 可用于系统辨识Z最优参数设计等 众多方面
成 步 对每个固定的参量值 变量 从某一个
初值 统一用
开始迭代 舍去最初暂态
过 程的 个迭代值 再把后继 个轨道点都画
到所选参量的纵方向上 这样扫过全部的参量范围
图 为图 中小矩形区域的放大图
不断地经历倍周期分叉 最终达到混沌
称当
时由系统 产生的序列0 1为混
沌变量 混沌变量0 1的运动形式有如下特征
比例也趋于一个极限 >* 4?5435@A3@
B 混沌的识别
混沌现象研究实验报告
混沌现象研究实验报告混沌现象是一种复杂的动力学现象，它展现了一种看似随机但又有序的行为。
混沌现象在物理学、数学、生物学等多个领域都得到了广泛的研究和应用。
在本实验中，我们将使用一个简单的混沌系统模型进行研究，探究混沌现象的基本特征和产生机制。
首先，我们介绍实验所使用的混沌系统模型，这是一个基于离散映射的模型。
模型的动力学方程如下：x(n+1) = r*x(n)*(1-x(n))其中，x(n)是系统在第n个时间步的状态变量，r是一个控制参数，决定了系统的行为。
该方程描述了一个种群数量的变化规律，可以用来研究种群的动态演化。
为了观察混沌现象，我们在模型中引入了一个初始条件x0。
我们会通过调节参数r和初始条件x0的值，观察系统的演化过程。
在实验中，我们将选择不同的参数r值和初始条件x0，观察系统的行为。
例如，我们可以选择r=2.5和x0=0.5作为初始条件。
我们将通过迭代计算x(n)的值，并绘制出x(n)随时间的变化图像。
实验结果显示，当r取不同的值时，系统的行为也会发生明显的变化。
当r小于3时，系统的行为相对简单，呈现出周期性和收敛性；当r大于3时，系统的行为变得复杂，呈现出混沌现象。
我们可以通过统计混沌系统产生的时间序列数据的特征，如Lyapunov指数、分岔图、功率谱等来定量描述混沌现象。
此外，我们还可以通过系统的相图来观察混沌现象。
相图描述了系统状态变量的轨迹，可以直观地展示系统的复杂行为。
我们将绘制x(n)和x(n+1)的关系图像，以及x(n+1)和x(n+2)的关系图像，通过观察图像的形状和分布情况，可以发现混沌现象的特征。
通过实验的观察和分析，我们可以得出以下结论：1. 混沌现象具有确定性，但是在初值和参数微小变化的情况下表现出不可预测的特点；2. 混沌系统的行为对参数和初值条件非常敏感，微小的变化可以导致完全不同的演化结果；3. 混沌系统的行为可以通过一些统计特征来描述，如Lyapunov指数、分岔图、功率谱等；4. 混沌现象具有普适性，可以在不同的领域中观察到。
人工神经网络综述论文
人工神经网络的最新发展综述摘要:人工神经网络是指模拟人脑神经系统的结构和功能,运用大量的处理部件,由人工方式建立起来的网络系统。
该文首先介绍了神经网络研究动向，然后介绍了近年来几种新型神经网络的基本模型及典型应用,包括模糊神经网络、神经网络与遗传算法的结合、进化神经网络、混沌神经网络和神经网络与小波分析的结合。
最后,根据这几种新型神经网络的特点,展望了它们今后的发展前景。
关键词:模糊神经网络;神经网络与遗传算法的结合;进化神经网络;混沌神经网络；神经网络与小波分析。
The review of the latest developments in artificial neuralnetworksAbstract:Artificial neural network is the system that simulates the human brain’s structure and function, and uses a large number of processing elements, and is manually established by the network system. This paper firstly introduces the research trends of the neural network, and then introduces several new basic models of neural networks and typical applications in recent years, including of fuzzy neural network, the combine of neural network and genetic algorithm, evolutionary neural networks, chaotic neural networks and the combine of neural networks and wavelet analysis. Finally, their future prospects are predicted based on the characteristics of these new neural networks in the paper.Key words: Fuzzy neural network; Neural network and genetic algorithm; Evolutionary neural networks; Chaotic neural networks; Neural networks and wavelet analysis1 引言人工神经网络的研究始于20世纪40年代初。
(完整版)混沌系统介绍及例子
专业学术讲座报告班级：信计12-2学号：************ 姓名：**二零一五年六月二十二日目录1.混沌系统概念2.典型混沌系统介绍3.混沌金融系统的线性与非线性反馈同步4.混沌研究的发展方向及意义一、混沌系统概念混沌（chaos ）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。
又称浑沌。
英语词Chaos 源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。
作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。
动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。
虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。
运动的可预测性是一个物理概念。
一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。
牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。
20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。
混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。
共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。
混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。
混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。
二、典型混沌系统介绍Lorenz 系统混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。
他提出了著名的Lorenz 方程组：。
这是一个三阶常微分方程组。
它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。
式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。
混沌系统实验报告
混沌系统实验报告混沌系统实验报告引言：混沌系统是一种具有极其复杂行为的动力学系统，其特征是对初始条件极其敏感，微小的初始差异会导致系统的巨大变化。
混沌系统的研究对于理解自然界中的复杂现象和应用于实际问题具有重要意义。
本实验旨在通过构建一个简单的混沌系统模型，观察和分析其行为，并对其进行定性和定量的描述。
实验设计：在本实验中，我们选择了一个经典的混沌系统模型——Logistic映射模型。
该模型的迭代公式为：Xn+1 = r*Xn*(1-Xn)，其中Xn为第n次迭代的值，r为系统的参数，取值范围为0到4。
我们将通过改变参数r的值，观察系统的演化过程，并分析其混沌特性。
实验过程与结果：1. 参数r在0到1之间时，系统呈现简单的周期行为。
当初始条件在一定范围内变化时，系统会收敛到一个稳定的周期轨道上，如图1所示。
2. 当参数r在1到3之间时，系统开始表现出混沌行为。
初始条件的微小变化会导致系统轨迹的巨大差异，如图2所示。
此时系统的演化呈现出无规律的、看似随机的行为。
3. 参数r在3到3.57之间时，系统出现周期倍增的现象。
初始条件微小变化会导致系统周期的倍增，如图3所示。
这种倍增现象最终导致系统进入混沌状态。
4. 当参数r超过3.57时，系统进一步加剧了混沌行为。
此时系统的轨迹呈现出分形结构，即自相似的形态重复出现，如图4所示。
分形结构的出现是混沌系统的典型特征之一。
实验分析：通过实验观察和结果分析，我们可以得出以下结论：1. 混沌系统的行为对初始条件极其敏感，微小的差异会导致系统的巨大变化。
这种敏感性使得混沌系统的行为难以预测和控制。
2. 混沌系统的行为具有一定的规律性，如周期倍增和分形结构等。
这些规律性的出现使得我们可以对混沌系统进行定性和定量的描述。
3. 混沌系统的研究对于理解自然界中的复杂现象具有重要意义。
例如，气象学中的天气预测、经济学中的市场波动等都可以通过混沌系统的理论和方法进行分析和预测。
混沌系统介绍及例子
混沌系统介绍及例子混沌系统（Chaos system）是指具有混沌行为特征的非线性动力学系统。
混沌行为表现为系统的状态在一定的参数范围内非周期性地演化，表现出高度敏感的初始条件和小幅的参数变化所引起的状态的剧烈变化。
混沌系统的研究不仅在理论物理领域有重要意义，也在生物学、经济学、工程学和社会科学等领域有广泛应用。
混沌系统的行为是非周期的，无法以简单的数学公式进行预测。
混沌系统有三个关键属性：灵敏度依赖于初始条件、确定性演化以及混沌的周期特征。
混沌系统可以用混沌图、Lyapunov指数、诺依曼熵等方式进行分析和描述。
下面是两个著名的混沌系统的例子：1. 洛伦兹系统（Lorenz system）：洛伦兹系统是由麻省理工学院的气象学家Edward Lorenz于1963年提出的模型，用于描述大气中气流的运动。
这个三维非线性微分方程组由以下三个方程组成：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x,y,z是系统状态变量，σ,ρ,β是系统参数。
当参数取特定值的时候，洛伦兹系统展现出复杂的混沌行为，形成漂亮的吸引子，称为洛伦兹吸引子。
2. 常微分方程混沌系统（Ordinary differential equation chaos system）：该系统是一个由非线性常微分方程描述的混沌系统，最经典的例子是由Mackey-Glass方程提出的混沌系统。
Mackey-Glass方程用于描述生物学和医学领域中的物理现象，其表达式为：dx/dt = β * x(t - τ)/(1+x(t - τ)^n) - γx(t)其中，x是系统状态变量，β, τ, γ, n是系统参数。
当参数取一定的范围时，Mackey-Glass方程会显示出混沌行为，从而产生混沌状态。
混沌系统的研究对于理解复杂系统的行为具有重要意义。
混沌系统的特点使得其具有很大的应用潜力，例如，混沌系统已经被应用于随机数生成、数据加密、通信系统、生物学系统和金融市场等领域。
混沌数学原理
混沌数学原理
混沌数学原理是一种研究非线性动力系统的数学理论。
它的核心思想是通过计算和分析系统的微小变化，揭示了复杂系统中的混沌行为。
混沌现象特指对初值的微小变化极其敏感，使得系统的演化变得不可预测，即使系统的运动规律是确定的。
混沌数学原理的应用十分广泛，涵盖了物理学、生物学、经济学等学科领域。
例如，混沌数学被用于模拟和解释气象学中的天气变化、描述化学反应动力学中的复杂反应过程和探索神经网络中的行为等。
此外，混沌数学还在密码学、通信系统和随机数生成等领域有重要的应用。
混沌数学的研究方法主要包括分岔图、相空间、李雅普诺夫指数等。
其中，分岔图是一种展示系统状态随参数变化而发生的相变的图形，相空间则是用来描述系统状态的集合，李雅普诺夫指数衡量了系统对初值微小扰动的敏感性。
混沌数学原理的发展始于20世纪60年代末的三体问题研究，当时的科学家通过计算机模拟发现，三体问题中的天体运动具有混沌性质。
此后，混沌数学理论得到了持续的发展，成为了现代非线性动力学的一部分。
总之，混沌数学原理揭示了非线性动力系统中的混沌行为，对于解释和模拟复杂现象有着重要的作用。
通过深入研究混沌数学，我们可以更好地理解和掌握自然界中的非线性现象。
logistic-tent 混沌映射原理
logistic-tent 混沌映射原理logistic-tent混沌映射原理混沌理论是一种描述复杂系统行为的数学工具，它揭示了系统的非线性特性和灵敏依赖于初始条件的性质。
在混沌理论中，logistic-tent混沌映射是一种常见的混沌映射模型，它具有简单的结构和复杂的动力学行为，被广泛应用于各个领域。
logistic-tent混沌映射模型由比萨诺大学的数学家May等人于1976年提出，其形式为：Xn+1 = r * Xn * (1 - Xn)其中，Xn表示第n次迭代后的状态，r为控制参数，取值范围为0到1之间。
通过不同的初始条件和参数设置，logistic-tent混沌映射可以呈现出丰富的动力学行为，包括周期轨道、混沌轨道和分岔现象等。
logistic-tent混沌映射模型的动力学行为丰富多样，其中最为常见的是周期轨道。
当参数r取值在0到1之间时，系统的状态会收敛到一个周期轨道上，该轨道周期为2的n次幂。
通过改变参数r 的值，我们可以观察到周期轨道的数量和长度发生变化，系统呈现出不同的稳定性和周期性。
logistic-tent混沌映射模型还可以呈现出混沌轨道。
当参数r取值在1到3之间时，系统的状态表现出非周期性的、混沌的行为。
这意味着系统的状态在长时间内呈现出无规律的变化，对初始条件的微小改变也会导致系统演化出完全不同的轨道。
混沌轨道的出现使得logistic-tent混沌映射模型具有了灵敏依赖于初始条件的特性，这也是混沌系统的一个重要特征。
logistic-tent混沌映射模型还可以呈现出分岔现象。
当参数r取值在3到4之间时，系统的状态会发生分岔现象，即系统从一个稳定的轨道突然分裂出多个周期轨道。
随着参数r的增大，分岔现象会越来越频繁，最终系统进入混沌状态。
logistic-tent混沌映射模型的应用广泛，特别是在密码学、通信和图像处理等领域。
在密码学中，混沌序列可以用于生成随机密钥，提高密码系统的安全性。
非线性动力学与混沌理论
非线性动力学与混沌理论非线性动力学与混沌理论是现代科学中一个极具挑战性和引人入胜的领域。
它们的研究不仅深刻影响着物理学、数学等学科的发展，也在生物学、经济学等领域展现出了巨大的应用潜力。
本文将介绍非线性动力学与混沌理论的基本概念、历史渊源以及相关应用，带领读者一窥这一神秘而迷人的学科世界。
### 一、非线性动力学的基本概念非线性动力学是研究非线性系统行为的学科，它关注的是系统中各种因素之间的相互作用和反馈效应。
与线性系统不同，非线性系统的行为往往更加复杂多样，难以通过简单的数学模型来描述。
在非线性动力学中，系统的演化往往呈现出奇妙的规律性和混沌现象，这也是该领域备受关注的重要原因之一。
在非线性动力学中，常用的数学工具包括微分方程、离散映射、分岔理论等。
通过这些工具，研究人员可以揭示系统中的稳定性、周期性、混沌性等特征，从而更好地理解系统的行为规律。
非线性动力学的研究不仅有助于揭示自然界中复杂系统的内在机制，还为人类认识世界提供了新的视角和思路。
### 二、混沌理论的发展历程混沌理论作为非线性动力学的一个重要分支，起源于上世纪60年代。
当时，美国数学家洛伦兹在研究大气对流运动时偶然发现了“洛伦兹吸引子”，这一发现被认为是混沌理论的开端。
洛伦兹吸引子展现了一个简单非线性系统可能呈现出的复杂行为，引起了学术界的广泛兴趣。
随后，混沌理论迅速发展，吸引了众多科学家的关注和研究。
1980年代初，混沌理论逐渐成为一个独立的学科领域，并在物理学、化学、生物学等多个学科中得到了广泛应用。
混沌理论的兴起不仅推动了非线性动力学的发展，也为人类认识复杂系统提供了新的思路和方法。
### 三、混沌现象的特征与描述混沌现象是非线性系统中一种典型的动力学行为，其特征主要包括确定性、非周期性和灵敏依赖初值。
确定性指的是混沌系统的演化是可预测的，即系统的未来状态可以通过当前状态唯一确定。
非周期性则表明混沌系统的演化不会呈现出明显的周期性规律，而是呈现出错综复杂的轨迹。
混沌理论的概念
混沌理论的概念混沌理论是一种非线性动力学理论，研究的是复杂系统的行为。
它起源于20世纪60年代末70年代初，由美国的数学家和物理学家发展而成。
混沌理论对于我们理解自然界和社会系统中的复杂现象具有重要意义。
混沌理论的核心概念是“混沌”，它指的是一种似乎没有规律可循、具有极高灵敏度的运动状态。
一个混沌系统具有以下几个特征：首先，它是非线性的，即其演化方程不是线性的。
其次，它具有灵敏依赖初值的特性，即微小的初值差别会导致系统在演化过程中产生巨大不同的结果。
最后，它具有迭代运算的性质，即某一时刻系统的状态可以通过迭代运算得到下一时刻的状态。
混沌系统的典型例子是天气系统。
天气系统是一个非线性的系统，它的演化方程非常复杂，受到许多因素的影响。
由于初始条件的微小差别，同一天气模型在不同起点的模拟结果会有很大的不同，这就是天气系统的灵敏依赖初值的特点。
天气系统的演化也具有迭代运算的性质，即通过多次迭代可以得到未来时刻的天气预报。
混沌理论的发展使我们认识到，即使在一些简单的非线性系统中，也可能出现复杂的、看似随机的行为。
混沌理论不仅仅改变了我们对于系统演化的认识，也在一些实际应用中发挥着重要的作用。
在科学研究领域，混沌理论帮助我们更好地理解和解释复杂系统的行为。
例如，在生物学中，混沌理论被用来研究生物振荡、神经网络等问题，有助于揭示生物系统内部的复杂动力学机制。
在天文学中，混沌理论被用来研究行星运动、恒星动力学等问题，深化我们对宇宙的认识。
在工程应用中，混沌理论也具有重要价值。
例如，混沌现象被应用于数据加密，如混沌加密算法可以保护敏感信息的安全。
此外，混沌现象还可以用于优化算法，如混沌搜索算法可以应用于解决复杂优化问题，提高计算效率。
此外，混沌理论还对社会科学领域的研究有着一定的启示作用。
社会系统是一个非线性、复杂的系统，混沌理论的应用可以帮助我们理解社会系统的演化规律、预测社会现象的发展趋势。
例如，混沌理论被用来研究经济系统中的波动，以及人群行为中的复杂模式。
认知心理学的联结主义理论研究
认知心理学的联结主义理论研究一、概述认知心理学作为心理学的一个重要分支，主要研究人类的思维过程、知识表征、问题解决、记忆、学习以及语言理解等认知活动。
在过去的几十年中，认知心理学经历了从信息加工理论到联结主义理论的转变。
本文旨在探讨认知心理学的联结主义理论研究，分析其在理解人类认知过程中的应用与发展。
联结主义理论，又称为神经网络理论，是一种强调神经元之间复杂交互作用的理论。
它认为，认知过程是由大量简单的处理单元（神经元）通过复杂的联结方式相互作用而形成的。
这些处理单元通过不断的学习和调整，逐渐形成稳定的网络结构，从而实现各种认知功能。
联结主义理论在认知心理学中的应用，为我们提供了一种新的视角来理解和解释人类的认知过程。
它突破了传统信息加工理论的局限性，强调了认知过程中神经元之间的动态交互和并行处理，更加符合人类认知活动的实际情况。
同时，联结主义理论也为认知心理学的实证研究提供了有力的工具，帮助我们更深入地探索认知过程的内部机制。
本文将首先介绍联结主义理论的基本概念和发展历程，然后分析其在认知心理学中的应用和研究成果，最后探讨联结主义理论未来的发展方向和挑战。
通过对联结主义理论的研究，我们有望更加深入地理解人类的认知过程，为认知心理学的发展做出更大的贡献。
1. 简述认知心理学的发展历程及重要理论。
认知心理学，作为心理学的一个重要分支，其发展历程可追溯至20世纪。
它的起源可以追溯到美国心理学家乔治米勒的早期研究，他主要关注数字和文字的认知过程。
随着研究的深入，认知心理学的范围逐渐扩大，涵盖了感知、注意、学习和记忆等多个领域。
在20世纪50年代后期，随着计算机科学的飞速发展，认知心理学的研究方法得到了新的启示。
研究者开始借鉴计算机的思维方式，探讨人类大脑如何处理信息。
这种跨学科的交流为认知心理学提供了强大的科学支持，推动了其研究向更深的层次发展。
20世纪60年代，理性主义者和情感主义者之间的争论为认知心理学带来了重大的发展。
非线性混沌系统的理论与应用
非线性混沌系统的理论与应用混沌理论是20世纪60年代初期起步的一个新兴领域，其研究对象是动态系统的非线性行为。
非线性动态系统存在着所谓的混沌现象，这种现象表现为系统从无序状态突然转为有序状态，随后又突然变为无序状态，出现了一种规律性的、互不重复的无序状态，这种状态被称为“混沌”。
非线性动态系统的混沌现象，是一种介于确定性和随机性之间的物理规律。
一、非线性混沌系统的定义混沌理论将复杂有机体、经济市场、天气预报、流体运动等问题，抽象成数学模型，建立了数学模型之间的混沌性，从而为对自然世界的理解和掌握提供了一种新的思路。
非线性混沌系统是一种特殊的非线性动态系统。
非线性系统是指在系统内部不存在任何线性关系，非线性系统中任何物理变量之间的关系都不能用简单的线性方程表示。
非线性系统中存在着许多别具特点的动态行为，如分岔、突跃、混沌等。
混沌现象是一种介于稳定和随机之间的动态行为，直接体现非线性混沌系统的特点。
二、非线性混沌系统的经典模型1. 鱼群模型鱼的群体行为是一种典型的非线性系统。
研究表明，鱼的群体行为是有一定规律的，且具有自组织的性质。
鱼的群体行为的规律性与混沌现象密切相关，鱼群模型被广泛应用于海洋生物学、水产养殖等领域。
2. 自激振荡系统自激振荡系统是一种典型的非线性系统。
该系统中的任何两个部分之间的关系都不能用线性模型来表示。
自激振荡系统的研究主要集中在微波振荡器、交流机和振动电路等领域，同时也被应用于信号处理、图像处理和噪声过滤等方面。
3. 三体问题三体问题是一个经典的非线性系统。
该问题可以通过描述太阳、地球和月亮之间的引力相互作用来演示。
在这个问题中，三个天体之间的动力学关系非常复杂，非线性质因素很强，甚至无法用简单的数学公式来精确计算其轨道。
三体问题在宇宙物理、动力学等领域中得到广泛应用。
三、非线性混沌系统的应用1. 模拟电路建立基于非线性混沌系统的电路已被广泛采用。
非线性混沌电路能够用于噪声点、低位数和通信中的随机化生成和随机滤波器等领域。
基于微分方程混沌系统分析与控制研究
基于微分方程混沌系统分析与控制研究混沌理论是研究非线性动力学系统的理论，近些年来逐渐受到研究者们的关注。
混沌系统在地球物理学、天文学、生物学等领域得到广泛应用。
混沌系统的行为特征是复杂性、不可预知性和相似性。
微分方程是混沌系统最常用的数学模型，混沌系统的数学描述大多基于微分方程，而微分方程的数值求解是混沌系统控制研究的重中之重。
一、混沌系统的特征混沌系统是非线性动力学系统的一种特殊形式。
混沌系统具有三个主要特征：复杂性、不可预知性和相似性。
1. 复杂性：混沌系统的复杂性源于其具有多变的轨迹、分形结构、不可重复的时间演化等特征。
混沌系统可以产生非常复杂的轨迹，即使起始条件只相差微小，也会有巨大的差异。
2. 不可预知性：混沌系统未来的状态是不可预知的，即使初始状态是已知的，也不能预测未来状态的精确值。
混沌系统在很小的时间尺度内产生的变化可能对系统长时间尺度内产生很大的影响。
3. 相似性：混沌系统中存在某些轨迹，它们在不同的时间范围内、不同的时间尺度空间中具有相似性。
这种相似性称为自相似性，它是混沌系统的一个有趣的特征。
二、微分方程与混沌系统混沌系统的数学描述基本上依赖于微分方程。
一个微分方程可以描述混沌系统的演化过程，最常见的就是洛伦兹方程。
洛伦兹方程被广泛用于描述大气环流、电磁场、非线性振动等复杂现象。
在微分方程研究中，常用的方法是计算数值解。
数值方法可以得到数值解，但是当微分方程具有一些特定的性质时，它们可能会表现出不稳定性。
在计算混沌系统的数值解时，不稳定性是一个重要的问题。
当数值解存在误差时，误差至少是指数级的增长，这使得混沌系统的数值模拟变得更加困难。
三、混沌系统的控制混沌系统的控制方法是研究混沌系统在一定条件下被稳定控制的方法。
混沌系统的控制可以分为两大类：外部控制和内部控制。
1. 外部控制：外部控制是利用一个外部反馈控制系统来控制混沌系统的演化。
外部控制方法主要包括时间驱动控制、混合控制、自适应控制和滑动模态控制等。
《基于神经网络方法的财务风险识别》
基于神经网络方法的财务风险识别喻胜华摘要：本文利用上市公司披露的信息数据库为平台，将神经网络方法应用于财务风险识别。
实证结论表明：我们不仅把模型的仿真度提高到100%，而且显著提高了财务状况特征识别的准确率。
从而克服了国内以往的数据挖掘研究极大忠诚于外国文献、重理论轻实践的缺点，生动、形象地展现了基于神经网络方法的知识发现过程。
关键词：上市公司、财务风险识别、神经网络一、引言在我国的证券市场上，监督上市公司的一个重要的手段就是信息披露，通过信息披露我们可以知道上市公司的财务状况、经营情况、现金流量以及经营决策等有利于外界了解公司、分析公司的信息。
投资者通过这些信息决定是否投资，债权人通过这些信息评估债务人的信用，税收部门通过这些信息保证国家税收收入，政府监管部门通过这些信息维护健康的市场环境。
所有这些，都需要利用公司的财务报告数据来评价公司的业绩和财务状况，有关这方面的研究已有久远的历史。
Fitzpartrick（1932）进行了一项单变量的破产预测研究，他以19对破产和非破产公司作为样本，运用单个财务比率将样本划分为破产和非破产两组，发现判别能力最高的是净利润/股东权益与股东权益/负债这两个比率。
但一直到1966年才有人沿着他的这条思路继续研究财务危机的预测问题。
Beaver（1966）提出了单变量判定模型，他首先使用5个财务比率作为变量，分别对79家经营失败和79家经营成功的公司进行了一元判定预测，发现现金流量/负债总额能够最好地判定公司的财务状况（误判率最低），其次是资产负债率，并且离经营失败日越近，误判率越低，预见性越强。
1968年，美国学者Altman博士首次利用多元判别分析对财务危机预测进行了研究，他对美国的破产和非破产的生产企业进行观察，采用了22个财务比率，经过数理统计筛选建立了著名的5变量Z值模型，根据判别分析确定的临界值对研究对象进行财务危机判别。
Altman的研究成果克服了单变量模型出现的对于同一公司不同比率预测出不同结果的现象。
混沌理论实践心得体会
随着科学技术的不断发展，混沌理论作为一种新兴的跨学科理论，逐渐受到了广泛关注。
混沌理论起源于对复杂系统的研究，主要研究系统在非线性作用下的复杂行为。
通过实践混沌理论，我深刻体会到了其独特的魅力和广泛的应用前景。
以下是我对混沌理论实践的心得体会。
一、混沌理论的定义与特点混沌理论是研究复杂系统的一种理论，它揭示了系统在非线性作用下的复杂行为。
混沌现象具有以下几个特点：1. 敏感依赖初始条件：在混沌系统中，初始条件的微小差异会导致系统状态的巨大差异，这种现象被称为“蝴蝶效应”。
2. 非周期性：混沌系统不具有确定的周期性，其行为呈现出随机性和不可预测性。
3. 自相似性：混沌系统具有自相似结构，即系统在不同尺度上具有相似的结构和特征。
4. 非线性：混沌现象的产生与系统的非线性相互作用密切相关。
二、混沌理论的应用领域混沌理论在多个领域具有广泛的应用，以下列举几个典型应用：1. 天气预报：混沌理论揭示了天气系统在非线性作用下的复杂行为，有助于提高天气预报的准确性。
2. 金融市场：混沌理论应用于金融市场分析，可以帮助投资者捕捉市场中的非线性波动，提高投资收益。
3. 生物学：混沌理论在生物学领域的应用，如神经网络、生物钟等，有助于揭示生物体内复杂系统的运行规律。
4. 物理学：混沌理论在物理学领域的应用，如激光、流体力学等，有助于研究复杂系统的动力学行为。
三、混沌理论实践心得1. 混沌理论的实践过程在实践中，我首先了解了混沌理论的基本概念和原理，然后通过编程实现了一些简单的混沌系统，如洛伦兹系统、龙卷风系统等。
在实现过程中，我深刻体会到了混沌现象的复杂性和不确定性。
2. 混沌理论的实践感悟（1）混沌现象无处不在：通过实践，我发现混沌现象不仅存在于自然界，还存在于人类社会的各个方面。
这使我认识到，混沌理论具有广泛的应用前景。
（2）混沌理论的非线性思维：混沌理论要求我们从非线性角度思考问题，这有助于我们更好地理解复杂系统。
混沌理论及其在人工智能中的应用
混沌理论及其在人工智能中的应用混沌理论指的是一类看似随机、无法预测的动态系统的理论研究。
混沌理论被普遍应用在许多领域，包括天气预报、生态系统、股票市场、流体力学等方面。
近年来，混沌理论在人工智能领域中的应用也备受瞩目。
在传统的计算机科学中，大部分的应用都是基于确定性逻辑的，即事前已经为系统指定好输入和输出。
但是，当系统面临不确定变量时，确定性逻辑就失去了效用。
换言之，当面对某些完全是随机变量时，计算机无法学习和预测。
混沌理论在这时起到了重要的作用。
它是随机性和确定性的融合，是一种旨在对高度不规则的动态过程建立结构性模型的方法。
混沌系统的行为是无规则的，但是它们有固定的规律和特征。
这种特殊的规律就是系统的“混沌行为”。
在人工智能中，混沌理论可以应用于很多方面，包括模式识别、数据挖掘、神经网络、遗传算法等。
其中，神经网络和遗传算法的应用最为广泛。
对于神经网络来说，混沌理论可以被用来生成更好的权重和偏置，来提高网络的性能。
一般而言，利用随机方式初始化权重和偏置，会导致网络在训练过程中陷入“局部最优解”的问题。
利用混沌序列等随机数，可以改善这个问题，从而达到更好的训练效果。
遗传算法也可以利用混沌理论来提高效率，特别是在寻找最优解的时候。
通常情况下，遗传算法的选择、交叉和变异的过程是基于概率的，所以会存在搜索效率低下的问题。
使用混沌序列和混沌映射，可以提高选择和变异的随机性，从而达到更好的搜索效果。
除此之外，混沌理论还可以应用在非线性动力学建模、信息隐藏等方面，这些应用最近也得到了研究人员的关注。
总的来说，混沌理论是一种广泛应用的理论，能够为人工智能领域的发展带来很多新的思路和方法。
虽然混沌系统看起来很难掌握，但是只要理解了混沌思想，就能在实际应用中发挥出重要的作用。
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又根据 Packard 和 Takens 理论，可以找到一个合适的嵌入维数，在这个嵌入维空间里就
可以把有规律的轨迹恢复出来。所研究的时间序列为 x(t) ，t =0，1，2，…，N，可以得到 m
维延迟矢量：Y (t) = {x(t), x(t + r),⋅⋅⋅, x[t + (m −1)τ ]} ……（1）
时间 预测值 实际值
表 1 预测值与实际值结果对照
2002
2003
2004
56.23%
60.39%
61.69%
53.61%
59.28%
60.98%
2005 62.85% 61.11%
由上表可知，预测值与实际值接近，平均相对误差为 1.045%，精度高，表明基于混沌 时间序列的神经网络模型具有良好的预测效果。
明混沌神经网络模型克服了以往 BP 网络存在的学习速度慢、容易陷入局部极小的缺陷，具 有全局性、快速性和并行性的特点，在实际应用中是可行的。
关键词：混沌时间序列；最大 Lyapunov 指数；BP 人工神经网络
中图分类号：N949
文章标识：A
在各类神经网络模型中，BP（Back－Propagation 误差后向传播）神经网络模型是最常 用的也是最成熟的模型之一。对 BP 神经网络模型，一般选用三层非循环网络。实践中，BP 网络可能遇到如下问题：局部极小点问题；迭代收敛性及收敛速度引起低效率问题。此外还 有，模型的逼近性质差；模型的学习误差大，记忆能力不强；与线性时序模型一样，模型网 络结构及节点作用函数不易确定；难以解决应用问题的实例规模与网络规模之间的矛盾等 [1]。为克服这样的一些问题，同时为了更好地面向实际问题的特殊性，出现了各种基于神经 网络模型或与之结合的模型创新方法，包括小波神经理论、模糊神经网络、进化神经网络、 细胞神经网络、混沌神经网络应用而生。
∑ Zlk
样本，对第 k 个样本有：
=
f
⎡ ⎢⎣
n i =1
ωil
xik
−
θh
⎤ ⎥⎦
，l=1,2,…，q;k=1,2,…，p
∑⎡ m
⎤
Zlk = f ⎢ ω jl x jk −θh ⎥
⎣ j=1
⎦ ,j=1,2,…m;k=1,2,…，p
式中：ω 指相邻两层之间的联结权；
θ 指隐层和输出层单元的阈值；
论，最大 Lyapunov 指数 λ1 的倒数Tm 表示混沌系统确定性预测的数据上届，即最长预报时间。
2. BP 人工神经网络
1989 年 Kolmogoro 证明了具有一个隐层的三层 BP 网络可以有效地逼近任意连续函数， 这个三层 BP 网络包括输入层、隐层和输出层，此三层的神经网络结构如下：
x1
间序列是否混沌和计算可预测时间的长度。 (2)用嵌入维数 m 作为神经网络的输人个数，选择适当的隐含层神经元，构建神经网络。 (3)训练网络，即构造映射。根据第一步所得的向量，采用前面介绍的学习算法，训练
网络。 (4)根据训练结束后的网络，进行预测。
4. 实证分析
就业率已经成为一个城市经济发展水平的一个重要指标。如何预测就业率对调整城市就 业结构已变得至关重要。以某地区 1992-2001 年间 120 组数据作为原始数据。根据 Matlab
混沌神经网络理论及其实证分析
崔宁
辽宁工程技术大学机械学院，辽宁阜新（123000）
E-mail：seaning618@
摘 要：传统的预测方法预测精度不高，并且神经网络在构建网络模型时具有一定的主观性。
本文将混沌时间序列引入神经网络模型中，为构建神经网络模型提供理论依据。通过实例证
-2-
f
指非线性转移函数，一般采用 Sigmoid 函数，即
f
(x)
=
1
1 + e−
x
采用平方型误差函数
计算单个样本误差 Ep 和系统平均误差 E：
∑ Ep
=
1 2
m
(t pj
j =1
−
2
ypj )
出值。
∑ E
=
1 kkBiblioteka Epp =1式中：ypj 指第 p
个样本在输出层节点 j 的网络输
3. 基于混沌时间序列的神经网络的预测步骤
BP 网络混沌时间序列的预测步骤如下：
(1)根据时间序列 x(t)(t = 0,1, 2 ⋅⋅⋅ N ) 重构相空间，得到嵌人维数 m、时间延迟τ 和 N − (m −1)τ 个 m 维向量，计算最大 Lyapunov 指数，并根据最大 Lyapunov 指数，判断时
由于混沌系统具有遍历性，对初始值及其敏感性以及搜索过程中的最优解保留策略，使 得基于混沌学习算法的网络具有全局最优化性能。克服了在 BP 算法中有时由于初始值选取 不合适而陷入局部极小的缺点。
1. 混沌时间序列理论
1.1 重构相空间
所谓的重构相空间也叫动力系统，即通过一维的时间序列反向构造原系统的相空间结构 [2]。它是混沌时间序列预测的基础，是非线性时间序列分析的重要步骤，混沌时间序列可 看成某一时间变量得到的动力系统方程:
-4-
-3-
参考文献
[1] 郭嗣宗，陈刚.信息科学中的软计算方法[M].沈阳：东北大学出版社，2001. [2] 吕金虎.混沌时间序列分析及其应用[M].武汉：武汉大学出版社，2002. [3] 陈奉苏.混沌学及其应用[M].北京：中国电力出版社，1998.
x2
xn
……
……
输
隐
输
入
层
出
层
层
图 1 BP 网络图
输入向量 X k = ( X1k , X 2k ,⋅⋅⋅, X nk ) ；输出向量 Yk = (Y1k ,Y2k ,⋅⋅⋅,Ymk ) ，期望输出向量
tk = (t1k , t2k ,⋅⋅⋅, tmk ) ；中间隐层单元的输出向量 Zk = (Z1k , Z2k ,⋅⋅⋅, Zqk ) 。设 BP 网络有 p 个
其中， m 称为嵌入维数（相点），τ 称为时间延迟量。
1.2 最大 Lyapunov 指数的计算
Lyapunov 指数是研究混沌的一个重要参数。混沌运动的基本特点就是运动对初始条件 极为敏感，两个极靠近的初始值所产生的轨道，随时间推移按指数（Lyapunov 指数）速度 分离，如果最大 Lyapunov 指数人于 0，就可判定该系统为混沌[3]。Wolf 给出在一维数据中 提取 Lyapunov 指数的方法:
The traditional method of prediction accuracy is not high, and neural networks has certain subjectivity when structuring a network model. This article will introduce chaotic time series into providing the theory basis to structuring nerve network model in nerve network model. Through examples prove chaotic neural network model to overcome the past BP network which exists learning slow and defects local minimum easily, has the overall situation , fleetness sex and concurrence nature characteristic , is feasible in actual application. Keywords：Chaotic time series；maximal Lyapunov exponent；BP Neural network
5. 结论
采用 Lyapunov 指数和 BP 网络构造预测模式进行就业率时间序列的预测，克服了传统 数序统计预测方法中建立复杂的数学模型，预测准确性低的特点，利用混沌系统对初始值及 其敏感和一定范围内遍历的特点，通过混沌搜索实现全局最优化，有较强的学习能力和更广 泛的适应性。当然，在预测时间上还存在不足，有待进一步的提高。
Chaos Neural Network Theory and Empirical Analysis
Cui Ning
School of Mechanical Engineering of Liaoning Technical University，Fuxin，Liaoning（123000） Abstract
计算，时间间隔τ =3，嵌入维数 m=5，最大 Lyapunov 指数 λ =0.236，因 λ 大于 0，就业率 1
的时间序列具有混沌特征。最大可预测时间精度Tm = λ =4 年。因为嵌入维数 m=5，则构造
神经网络模型结构为输入层节点为 5 个，隐含节点为 18 个，输出层节点为 1 个。将样本进 行神经网络训练、迭代，获得网络权值和阈值。最后预测值与实际值对照见表 1.
（1）用时间序列选取延滞时间τ ，根据观测数据样本总数 N 构造 m 维空间的新序列，
-1-
相点数为 n ， n = N − (m −1)γ 。
（2）以初始相点 Y (t0 ) 为基点，在点集 {Y (t)} 的其余相点中选取与 Y (t0 ) 最近的点
Y (t j ) 为断点，构成一初始向量，Y (t0 ) − Y (t j ) 间欧式距离可记为 L(t) 。
（3）时间步长为 k ， t1 = t0 + k ，初始向量沿轨线向量演化得到一新向量，其相应基点
λ = 1 ln L(t1) 与断点间欧式距离可记为 L(t1) ，在相应时段内系统线度指数增长率记为： k L(t0 )