极限计算方法及例题
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
求函数极限的方法总结及例题
求函数极限的方法总结及例题一、求函数极限的方法总结。
1. 代入法。
当函数在极限点处连续时，直接将极限点代入函数求值。
例如，对于函数f(x)=x + 1，求lim_x→2(x + 1)，直接将x = 2代入，得到lim_x→2(x+1)=2 + 1=3。
2. 因式分解法。
适用于(0)/(0)型的极限。
例如，求lim_x→1frac{x^2-1}{x 1}，将分子因式分解为(x + 1)(x 1)，则原式=lim_x→1((x + 1)(x 1))/(x 1)=lim_x→1(x + 1)=2。
3. 有理化法。
对于含有根式的函数，通过有理化来消除根式。
例如，求lim_x→0(√(x+1)-1)/(x)，分子分母同时乘以√(x + 1)+1进行有理化，得到lim_x→0((√(x + 1)-1)(√(x + 1)+1))/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(x)/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(1)/(√(x + 1)+1)=(1)/(2)。
4. 等价无穷小替换法。
当x→0时，sin xsim x，tan xsim x，ln(1 + x)sim x，e^x-1sim x等。
例如，求lim_x→0(sin2x)/(x)，因为sin2xsim2x(x→0)，所以lim_x→0(sin2x)/(x)=lim_x→0(2x)/(x)=2。
5. 洛必达法则。
对于(0)/(0)型或(∞)/(∞)型的极限，可对分子分母分别求导再求极限。
例如，求lim_x→0frac{e^x-1}{x}，这是(0)/(0)型，根据洛必达法则，lim_x→0frac{e^x-1}{x}=lim_x→0frac{(e^x-1)'}{x'}=lim_x→0frac{e^x}{1}=1。
二、例题。
1. 例1。
求lim_x→3frac{x^2-9}{x 3}解析：这是(0)/(0)型极限，可先对分子因式分解，x^2-9=(x + 3)(x 3)。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学求极限的常用方法（附例题和详解）在高等数学中，求极限是一个基础而重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的方法，以及针对这些方法的例题和详细解析。
I. 无穷小量法无穷小量法是求解极限最常见的方法之一。
它的基本思想是将待求极限转化为无穷小量之间的比较。
下面通过一个例题来说明这个方法。
例题1：求极限lim(x→0) (sin x) / x解析：考虑当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 的关系。
根据三角函数的极限性质，我们知道 sin x / x 的极限为 1。
因此，原式可以看作(sin x) / x ≈ 1，即它在 x 趋近于 0 时趋近于 1。
故lim(x→0) (sin x) / x = 1.II. 夹逼法夹逼法也是常用的求解极限的方法，它适用于求解含有不等式的极限问题。
下面通过一个例题来说明夹逼法的思想。
例题2：求极限lim(x→0) x^2sin(1/x)解析：首先，我们要注意到 x^2sin(1/x) 的取值范围在 [-x^2, x^2] 之间，因为 -1 ≤sin(θ) ≤ 1 对任意θ 成立。
然后，我们可以利用夹逼法，将 x^2sin(1/x) 夹逼在 0 和 0 之间。
也就是说，对于任何 x，都有 -x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。
根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，x^2sin(1/x) 的极限为 0。
故lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0.III. 泰勒展开法泰勒展开法是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。
下面通过一个例题来说明泰勒展开法的应用。
例题3：求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x解析：考虑函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 / 2! + f'''(0)x^3 / 3! + ...其中，f'(0)表示 f(x) 在 x = 0 处的导数，依次类推。
求极限的方法总结
求极限的方法总结1．约去零因子求极限例1：求极限11lim41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】4)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题：233lim 9x x x →-- 22121lim 1x x x x →-+-2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x【注】(1) 一般分子分母同除．．．．．．．．x ．的最高次方；．．．．．．且一般．．．x ．是趋于无穷的．．．．．．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 011011习题 3232342lim 753x x x x x →∞+++-n 1+13lim 3n n n n n +→∞++（-5)（-5)nn nn n 323)1(lim++-∞→3．分子(母)有理化求极限例1：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例2：求极限30sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】x x x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键习题：lim1x x →∞+1213lim1--+→x x x4.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 22034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】5.利用无穷小与无穷大的关系求极限例题3x → 【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为0而分母为0时 就取倒数！】6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小例题sin limx x x →∞ , arctan limx xx →∞7.用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x-,()abx ax x x b~11,21~cos 12-+-；(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设 ，
P（x）= ,
(i) （ii）若 ，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 ；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 ，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有 的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B
求极限例题
求极限例题一、什么是极限？极限是微积分中的一个重要概念。
简单来说，一个函数在某一点的极限表示当自变量趋近于这一点时，函数的取值会趋近于某一个确定的值。
极限在解析几何、微分学和积分学中都有广泛的应用。
二、极限的定义极限的定义是通过自变量逼近某一值时函数的取值来进行的。
设函数f(x)在点a的某一空心邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，总存在另一个正数δ>0，使得当x满足0<|x-a|<δ时，对应的函数值f(x)满足|f(x)-L|<ε，就说当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
三、求极限的方法1.代入法当函数在某一点a的极限存在时，可以通过直接将自变量代入函数中计算得出。
2.近似法对于某些形式较为复杂的函数，可以通过将自变量换成一个趋近于a的值进行计算，以得到一个接近极限的结果。
3.极限法则极限法则是求极限的基本规则，包括常数的极限、函数的和差的极限、函数的积的极限、函数的商的极限等。
4.夹逼定理夹逼定理也称为挤压定理，用于求解一些较为复杂的极限。
它的核心思想是在函数f(x)和g(x)之间夹入一个函数h(x)，且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)g(x)=L，那么lim(x→a)h(x)=L。
四、极限的例题1.例题1: 求极限lim(x→3)(2x+1)。
解: 可以直接将x代入函数中进行计算，得到结果为2 * 3 + 1 = 7。
因此，极限lim(x→3)(2x+1)等于7。
2.例题2: 求极限lim(x→0)(sinx / x)。
解: 当x趋近于0时，sinx / x的极限为1。
这是因为sinx / x在x趋近于0时会趋近于1，所以lim(x→0)(sinx / x)等于1。
3.例题3: 求极限lim(x→∞)(1 / x)。
解: 当x趋近于无穷大时，1 / x的极限为0。
这是因为x越大，1 / x的值越小，所以lim(x→∞)(1 / x)等于0。
求极限经典例题解析
极限是微积分中的一个重要概念，是描述函数在某一点附近的变化趋势的重要工具。
下面是一些经典的极限例题解析：1. 【例题1】求极限lim(x→0) (1 - 2sinx) / x^3【解析】这是一个无穷小与有界函数的比值的极限，根据极限的运算法则，我们可以得到：lim(x→0) (1 - 2sinx) / x^3 = lim(x→0) (1 - 2/x^2) / x^3 = lim(x→0) (x^2 + 4/x^2) / 3x^3 = lim(x→0) (x + 4/x^2) / 3由于当x →0 时，分母x →0，所以分子x + 4/x^2 也趋向于0，所以我们可以得到极限值为0/3 = 0。
结论：对于这类极限问题，首先要判断分子和分母在趋近于极限值时的大小关系，然后根据极限的运算法则进行计算。
2. 【例题2】求极限lim(n→∞) (√n + √(n+1)) -√n【解析】这道题可以用重要极限的形式来求解。
对于n 的偶数次幂开根号可以约去，所以我们只需要考虑极限形式的上下限和是否有增减性即可。
具体地，我们需要考察式子中的每一项是否趋向于正无穷大或负无穷大。
lim(n→∞) (√n + √(n+1)) -√n = lim(n→∞) (√n + √(n+1)) - lim(n→∞) √n = (√2 - 1) + (√3 - 1) + ... + (√n - 1)由于每一项都是趋向于正无穷大的，所以我们可以得到极限值为所有项的和，即(√2 - 1) + (√3 - 1) + ... + (√n - 1) = (√n - 1)(√n + 1) / 2。
结论：对于这类极限问题，我们可以利用重要极限的形式来简化计算过程。
同时，要注意考察式子中的每一项是否趋向于正无穷大或负无穷大，以及是否有增减性。
3. 【例题3】求极限lim(x→∞) (x^2 + x^3)/x^4 - x^4/x^5 + ...【解析】这道题是一个无穷级数求和的问题，我们可以将其拆分为两个部分：一部分是无穷级数的前半部分，另一部分是无穷级数的后半部分。
经典求极限方法
精心整理求极限的常用方法典型例题1．约去零因子求极限例1：求极限11lim41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim)1)(1)(1(lim 22=++=++-x x x x x x 2例2【解】x 【注】 (2)3．分子例3【解】x 例4：求极限30sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】x x x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x xx 和ex n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim 11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例5：求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1+，最后凑指数部分。
【解】22121x xx x ⎤⎡-→例6：(1)5(1)当0→x x cos 1-(2)(3)例7【解】x →例8【解】x x x x 30tan sin lim-→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→x x x x x x x x x x 6．用罗必塔法则求极限例9：求极限220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→【说明】∞∞或00型的极限,可通过罗必塔法则来求。
【解】22)sin1ln(2coslnlimxxxx+-→xxxxxx2sin12sin2cos2sin2lim2+--=→【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例10：设函数f(x)连续，且)0(≠f，求极限.)()()(lim0⎰⎰--→xxx dttxfxdttftx【解】由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxx utxduufduufdttxf,于是→x lim =x 7例lim 例【解1】原式2cosln331limxxxex+⎛⎫⎪⎝⎭→-=22cosln3limxxx→+⎛⎫⎪⎝⎭=【解2】原式2cosln331limxxxex+⎛⎫⎪⎝⎭→-=22cosln3limxxx→+⎛⎫⎪⎝⎭=8．利用Taylor公式求极限例13求极限)0(,2lim2>-+-→axaa xxx.【解】)(ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x +++==,)(ln 2ln 1222x a x a x ax++-=-;∴a x x a x x a a x x x x 22222020ln ) (ln lim 2lim =+=-+→-→ . 例14求极限011lim (cot )x x x x →-.x →=9例1510．n n (1)(2)利用两边夹法则求极限.例16：极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成［0,1］定积分。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积分和其他数学领域中都有广泛应用。
本文将介绍一些常用的求极限的方法，并给出相应的例题和详解。
一、直接代入法直接代入法是求极限的最基本方法之一。
当函数在某一点连续时，可以直接将该点代入函数中来求极限。
例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。
解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。
因此，f(x)在x=2处的极限为4。
二、夹逼法夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。
它基于一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。
解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。
首先，我们可以注意到1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。
因此，我们可以将极限表达式两侧夹逼：lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。
根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。
三、极限的四则运算法则在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。
该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的极限也存在，并满足相应的运算法则。
例题3：求极限lim(x→0) (sinx/x)。
解：我们可以利用极限的四则运算法则来求解这个极限。
首先，观察到当x→0时，分子sinx和分母x都趋向于0，因此这个极限是一个未定式。
根据极限的四则运算法则，我们可以将lim(x→0) (sinx/x)转化为lim(x→0) sinx / lim(x→0) x。
求极限的方法及例题总结
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法例求极限3x 12limx1例1x 1(3x1)2223x 33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4解：原式=。
注：此题也能够用洛比达法例。
limn(n 2n 1)n例2分子分母同除以nn[(n 2)(n 1)]33limlimnnn2n121211解：原式=nn。
上下同除以3n(1)n 1nnlim 31(1)3nlim(2)n 1例3n2n3n 解：原式3。
3．两个重要极限lim sinx1（1）x0x1lim(1x)xelim(11)x ex（2）x0；x说明：不单要能够运用这两个重要极限自己，还应能够娴熟运用它们的变形形式，1xlim sin3x1lim(12x)2xelim(13)3e比如：x03x，x0，xx；等等。
利用两个重要极限求极限2sin 2x2sin 2x221lim2lim 1cosx3xx 26xx 0lim 12()例5x03x 2解：原式=2。
注：此题也能够用洛比达法例。
216sinx 16sinx xlim(13sinx)xlim(13sinx)3sinxxlim[(13sinx)3sinx ]e6例6x=xx0n13nn13nlim(n 2)nlim(13)3n1lim[(13)3]n1e 3例7nn1=nn1nn1。
4．等价无量小定理2无量小与有界函数的乘积仍旧是无量小（即极限是0）。
定理3当x 0时，以下函数都是无量小（即极限是0），且互相等价，即有：x ～sinx ～tanx ～arcsinx ～arctanx ～ln(1x)～e x 1。
说明：当上边每个函数中的自变量x 换成g(x)时（g(x)0），仍有上边的等价关系建立，比如：当x 0时，e3x 1～3x；ln(1x 2)～x2。
f(x),g(x),f 1(x),g 1(x)xx 0f(x)定理4假如函数都是时的无量小，且～f 1(x)f(x)f 1(x)lim lim lim f 1(x)g(x)g 1(x)xx 0g 1(x)xx 0g(x)f(x)xx 0g 1(x)，～，则当存在时，也存在且等于，f(x)f 1(x)limlim即xx 0g(x)=xx 0g1(x)。
求极限lim的典型例题求极限的常用方法典型例题
求极限lim的典型例题求极限的常用方法典型例题求极限的常用方法典型例题掌握求简单极限的常用方法。
求极限的常用方法有(1) 利用极限的四则运算法则；(2) 利用两个重要极限；(3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）；(4) 利用连续函数的定义。
例求下列极限：（1）limx 09 s in3x 3x1（2）limx 1sin(x 1)x21（3）lim(1 2x)xx 0（4）limxx2c os2x 12(x s inx)（5）lim(xex 0x1x 1)解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即limx 09 s in3x 3x=limx 0(9 s in3x 3)(x(9 s in3x 3)9 s in3x 3)19 s in3x 3=limx 0sin3xxlimx 0=31612（2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即limx 1sin(x 1)x21limx 1sin(x 1)(x 1)(x 1)limx 1sin(x 1)x 111 1limx 11x 1112（3）利用第二重要极限计算，即11lim(1 2x)x＝lim[(1 2x) 2x]x 0x 0e2。
（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即limxx2c os2x 121limxcos22(x s inx)(1xsinxx1x2lim[1xcos2x 12)2lim(1xxsinxx]= 1)2注：其中当x 时，1xsinx，cos2x 12x(cos2x 1)都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。
（5）利用函数的连续性计算，即lim(xex 0x1x 1)＝0 e10 1百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆。
高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）⾼等数学求极限的14种⽅法⼀、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。
常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→?=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当⼆．解决极限的⽅法如下：1.等价⽆穷⼩代换。
只能在乘除．．时候使⽤。
例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）它的使⽤有严格的使⽤前提。
⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。
另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学是高等教育中的重要课程之一，其涵盖的内容非常广泛，包括微积分、数理方程和变换等方面。
其中求极限是微积分中的核心内容之一，也是数学建模和应用中常用的方法之一。
本文将介绍求极限的常用方法，并提供相应的例题和详解。
一、用夹逼定理求极限夹逼定理是求极限中常用的方法之一，其思路是通过一个比较大小的框架，来判断所求极限的范围和趋势。
具体而言，假设存在两个函数 f(x) 和 g(x)，满足以下条件：1. 对于 x 属于某个区间 [a, b]，有 f(x) <= g(x)。
2. 在区间 [a, b] 内，f(x) 和 g(x) 的极限均存在，即 lim[f(x)] = A，lim[g(x)] = A。
3. 在区间 [a, b] 内，除有限个点外，f(x) = g(x)。
则可以得到 lim[f(x)] = lim[g(x)] = A。
下面是一个例子：例1：求极限 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)]。
解法：可以将原式改写成 (x - 1)(x - 3) / (x - 3)，即 (x - 1)。
则对于x ∈ (3,∞)，有 0 <= x - 1 <= x - 3，因此：0 <= (x^2 - 4x + 3) / (x - 3) - (x - 1) <= x - 3，而 lim[x - 3] = ∞，因此可用夹逼定理得到所求极限为 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)] = lim[(x - 1)] = 2。
二、用洛必达法则求极限洛必达法则是求导数时的常用方法，在求极限时也可以用到。
具体而言，假设有一个形如 lim[f(x) / g(x)] 的无穷小量，若这个无穷小量的分子和分母都存在极限，并且它们的极限都等于 0 或者±∞，则可以用洛必达法则来求出极限的值。
其中，洛必达法则的形式如下：若 lim[f(x)] = 0，lim[g(x)] = 0，且g'(x) ≠ 0，则 lim[f(x) / g(x)] = lim[f'(x) / g'(x)]。
求极限方法汇总（含例题及考研真题）
求极限⽅法汇总（含例题及考研真题）1、常⽤等价⽆穷⼩：当0x →时， sin x x :，tan x x :，arcsin x x :， 211cos 2x x -:，ln(1+x)~x ，ex-1~x ，(1+x)a-1~ax ，ax-1~xlna ） 2、泰勒公式（麦克劳林公式） n n x n f x f x f f x f !)0( !2)0()0()0()()(2++''+'+≈ n x x n x x e !1 !2112++++≈)()!12()1(!51!31sin 212153x R x m x x x x m m m +--+++-=-- 3、洛必达法则定理1 （洛必达法则Ⅰ）若函数)(),(x g x f 满⾜条件： (1) ;0)(lim ,0)(lim ==x g x f(2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='')()(lim(或∞) 则 A x g x f x g x f =='')()(lim )()(lim(或∞). 定理2 （洛必达法则Ⅱ）若函数)(),(x g x f 满⾜条件： (1) ;)(lim ,)(lim ∞=∞=x g x f (2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='')()(lim(或∞) 则 A x g x f x g x f =='')()(lim )()(lim(或∞). 4、定积分定义定积分是⽤极限来定义的∑?=→?=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ5、两个重要极限1sin lim 0=→x x x ，e xx x =+∞→)11(lim1（2010数学⼀）2013(1) 设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是( )(A) ⽐x ⾼阶的⽆穷⼩ (B) ⽐x 低阶的⽆穷⼩ (C) 与x 同阶但不等价的⽆穷⼩ (D) 与x 等价的⽆穷⼩【答案】(C)【解析】cos 1sin ()x x x α-=?Q ，（已知条件）21cos 1~2x x --21sin ()~2x x x α∴?- 1sin ()~2x x α∴-⼜sin ()~()x x ααQ （sin x x :） 1()~2x x α∴-∴()x α与x 同阶但不等价的⽆穷⼩. 所以选（C ）.3（2010数学三）若1])1(1[lim =--→x o x e a x x 则a =A0 B1 C2 D3 答案：C6（2010数学三）求极限xx x x ln 11)1(lim -+∞→答案：1ln 11ln 2ln ln )1(lim 1ln ln 1lim ln 1ln lim ln )1ln(lim,0ln ,,ln 11lim ln )1ln(limln ln -+∞→+∞→+∞→+∞→∞→∞→=-∴-=-=-?=-→+∞→-?-=-e x x xx x xx e x e xxx x x e xe x e xxx x xx x x x x xx xx 故⽽当Θe^x-1~x9（2011数学⼀）求极限110ln(1)lim xex x x -→+??【答案】12e-【考点分析】：本题考查极限的计算，属于1∞形式的极限。
求极限的方法及例题总结
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以 。
3．两个重要极限（1） 1sin lim0=→x xx（2） e x xx =+→10)1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
利用两个重要极限求极限例5 203cos 1lim x xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim220220=⋅=→→x xx x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6xx x 20)sin 31(lim -→=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅-→=-=-e x x xx xx xxx x例7 nn n n )12(lim +-∞→=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n nn n n nn n 。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
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极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。
下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an bn 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；⎩⎨⎧≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q nn ；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B BAx g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限（1）1sin lim0=→xxx（2）e x xx =+→1)1(lim ； e x xx =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：133sin lim0=→xxx ，e x xx =--→210)21(lim ，e x x x =+∞→3)31(lim ；等等。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时，13-xe ～ x 3 ；)1ln(2x- ～ 2x -。
定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当)()(lim 110x g x f xx →存在时，)()(lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim110x g x f x x →，即)()(lim 0x g x f x x →=)()(lim 110x g x f x x →。
5．洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大；（2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）)()(limx g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限)()(limx g x f 也一定存在，且等于)()(lim x g x f ''，即)()(lim x g x f =)()(lim x g x f '' 。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。
特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“∞∞”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。
另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内的一点，则有)()(lim00x f x f x x =→ 。
7．极限存在准则定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理8（准则2） 已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足：（1）),3,2,1(, =≤≤n z x y n n n（2）a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim则极限∞→n n x lim一定存在，且极限值也是a ，即a x n n =∞→lim 。
二、求极限方法举例1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn nn n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以 。
2． 利用函数的连续性（定理6）求极限例4xx ex 122lim →解：因为20=x 是函数xex x f 12)(=的一个连续点，所以 原式=e e 42212= 。
3． 利用两个重要极限求极限例5 203cos 1limx xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim22022=⋅=→→x xx x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6xx x 20)sin 31(lim -→解：原式=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅-→=-=-e x x xx xx xxx x 。
例7nn n n )12(lim +-∞→ 解：原式=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n nn n n nn n 。
4． 利用定理2求极限例8xx x 1sinlim 20→ 解：原式=0 （定理2的结果）。
5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9 )arctan()31ln(lim 20x x x x +→解：)31ln(0x x +→时，～x 3，)arctan(2x ～2x ， ∴ 原式=33lim2=⋅→xxx x 。
例10 xx e e xx x sin lim sin 0--→解：原式=1sin )sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→xx x x e x x e e x x x x x x 。
注：下面的解法是错误的：原式=1sin sin lim sin )1()1(lim0sin 0=--=----→→xx x x x x e e x x x x 。
正如下面例题解法错误一样： 0lim sin tan lim 3030=-=-→→xxx x x x x x 。
例11xx x x sin )1sin tan(lim20→解：等价与是无穷小，时，当xx x x x x x 1sin )1sin tan(1sin0222∴→ ， 所以， 原式=01sin lim 1sinlim 020==→→xx x x x x x 。
（最后一步用到定理2）6． 利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。
同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12203cos 1limx xx -→（例4）解：原式=616sin lim 0=→x x x 。
（最后一步用到了重要极限）例1312coslim1-→x xx π 解：原式=212sin2lim1πππ-=-→xx 。
例14 3sin limx x x x -→ 解：原式=203cos 1limxx x -→=616sin lim 0=→x x x 。
（连续用洛比达法则，最后用重要极限） 例15 xx x x x x sin cos sin lim 20-→解：313sin lim 3)sin (cos cos limcos sin lim202020==--=⋅-=→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 原式例18])1ln(11[lim 0x x x +-→ 解：错误解法：原式=0]11[lim0=-→xx x 。
正确解法：。
原式21)1(2lim 2111lim )1ln(lim)1ln()1ln(lim0000=+=-+=⋅-+=+-+=→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19xx xx x cos 3sin 2lim+-∞→解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：x x x sin 3cos 21lim --∞→，此极限 不存在，而原来极限却是存在的。
正确做法如下：原式=xxxxx cos 3sin 21lim +-∞→ （分子、分母同时除以x ）=31（利用定理1和定理2） 7． 利用极限存在准则求极限例20 已知),2,1(,2,211=+==+n x x x n n ，求n n x ∞→lim解：易证：数列}{n x 单调递增，且有界（0<n x <2），由准则1极限n n x ∞→lim 存在，设 a x n n =∞→lim 。
对已知的递推公式 nn x x +=+21两边求极限，得：aa +=2，解得：2=a或1-=a （不合题意，舍去）所以2lim =∞→n n x 。
例21 )12111(lim 222nn n n n ++++++∞→解： 易见：11211122222+<++++++<+n n nn n n nn n因为1lim2=+∞→nn n n ，11lim2=+∞→n n n所以由准则2得：1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n 。
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