双因素的方差分析
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。
该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。
双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。
使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。
2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。
3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。
4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。
5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。
双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。
2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。
3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。
4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。
双因素方差分析
y ij ij ij 2 , ij ~ N ( 0, )
假定 ij 相互独立
i 1,2,, r , j 1,2,, s
沿用有重复试验的有关记号，模型可以改写为
yij i j ij ij ~ N (0, 2 ) i 0, j 0, j i
FA B
S A B ( r 1)( s 1) S E rs( t 1)
~ F (( r 1)( s 1), rs( t 1))
表1 双因素方差分析表
来源
因子A 因子B 交互作用 误差 总和
平方和
自由度
均方
SA SA r 1 SB SB s 1
S A B S A B ( r 1)(s 1)
1 t yij yijk t k 1 1 r t y j yijk rt i 1 k 1
引入总的偏差平方和（总变差）:
ST yijk y
i 1 j 1 k 1 r s t
2
可以证明
其中
ST S E S A S B S AB
S E yijk yij
§4.2
双因素方差分析
有重复试验的方差分析
无重复试验的方差分析
一、有重复试验的双因素方差分析
设有两个因素A，B作用于试验指标。
因素A有r个水平 A1 , A2 , Ar ， 因素B有s个水平B1 , B2 ,, Bs , 现对因素A，B的每对组合 ( Ai , B j ) 都作 t (t 2)次试 验（称为等重复试验）。
表2 方差分析表
来源
因子A 因子B 误差 总和
平方和
论文—双因素试验的方差分析
X ijk ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未 知 ）， 记 X ijk i = ijk ， 即 有
ijk X ij ijk ~ N (0, 2 ), 故 X ijk ijk 可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
X ijk ij ijk， ijk ~ N（0， 2）， 各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t;
1 st
1 rt
X
j 1 k 1
r t
s
t
ijk
，i=1，2， ，r，
X
j =
X
i 1 k 1
类似地，引入记号： ， i , j , i , j , 易见
i 1
r
i 0 ，
j 1
s
j
0.
为水平 B j 的效应. 这样可以将
仍称 为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称 成
ij
j
ij
表示
= + i + j +
ij
（ i 1, , r; j 1, , s ） ，
(3)
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号： X =
1 rst
X
i 1 j 1 k 1
r
s
t
ijk
，
X
ij =
1 X ijk ，i=1，2， ，r，j=1，2， ，s， t k 1
t
X
i =
试 验 结 因 素 果 A 因 素 B
交互作用双因子方差分析
st
xijk
j1 k 1
称为水平 Ai 下的样本均值；
x• j•
1 rt
r i1
t
xijk
k 1
称为水平 B j 下的样本均值。
r s t
考虑总变差平方和 ST 2 xijk x 2 的如下分解：
i1 j1 k 1
r s t
ST 2
xijk x 2
i1 j1 k1 rst
若 H01 成立，即 1 2 r 0 ，那么，虽然 不能苛求做为诸i 的估计值之平方和的若干倍的S A2
rst
r
（ xi•• x 2 st xi•• x 2 ）恰好等于零，
i1 j1 k 1
i 1
但相对于 SE
2
来说一定不应太大，倘若
SA2 SE2
超过某个界
限值k1 ，我们就有理由拒绝H01 ，故
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
2
=
xijk xij• xi•• x x• j• x xij• xi•• x• j• x
i1 j 1 k 1
r s t
rst
rst
xijk xij• 2 xi•• x 2 x• j• x 2
i1 j1 k 1
i 1 j 1 k 1
双因素方差分析结果解读
双因素方差分析结果解读双因素方差分析（Two-wayANOVA）是一种分析数据的统计方法，它可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
双因素方差分析的一个重要特点是它可以检验基于不同组别、不同资源或者不同情况下同一个总体上的差异。
它可以检验在多个组别之间存在差异、或者在不同组别之间存在偏差的情况。
本文将通过介绍双因素方差分析的原理、分析方法、结果解读方法，帮助读者更好地解读双因素方差分析的结果。
首先，双因素方差分析的原理是涉及两个不同的自变量，即因变量和一个或多个自变量。
因变量是一个连续的响应变量，而自变量则分为定类的自变量和定序的自变量，根据不同的实验需求采用不同的变量。
例如，定类的自变量可以用于比较基于性别或不同药物治疗后被试者的反应，定序的自变量则可用于比较基于疗程的不同反应。
其次，双因素方差分析需要构建一个双因素的实验单元，即一个自变量和一个因变量的实验设计，它可以确定每个组别之间的比较，比如在不同性别和不同处方药物治疗下被试者的反应。
双因素方差分析可以检验两个或多个因变量是否相对独立，以及独立或不独立的因变量是否存在差异。
最后，双因素方差分析的结果解读是比较重要的一步，它可以有效地解释出双因素实验单元下的差异或偏差，帮助研究者更好地做出他们的决策。
通常，根据双因素方差分析的结果可以检测出两个或多个自变量的差异，以及基于性别、时间、处方药物治疗等不同情况下的被试者的反应等。
只有当双因素方差分析的F值超过某一显著性水平的时候（通常为0.05或0.01），双因素方差分析的结果才被认为是显著的，可以通过结果解释和决策。
综上所述，双因素方差分析是一种非常有用的统计方法，可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
其中双因素方差分析原理，分析方法，以及结果解读方法都非常重要，有助于我们在解决实际问题时更好地解读双因素方差分析的结果，识别出不同组别，或者在不同组别之间存在的差异，从而发现新的实验结果，增加研究的学术价值。
6-2双因素方差分析
• H0：m1=m2=m3=m4=m5 (地区对销售量无显著影响) • H1：mj (j =1,2,…,5) 不全相等 (有显著影响)
【例】有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌( 品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量的影响，对每显著 个品牌在各地区的销售量取得以下数据。试分析品牌和销售 地区对彩电的销售量是否有显著影响？(=0.05)
5. 误差项平方和： SSE SST SSR SSC SSRC
SST=SSR+SSC+SSRC+SSE
可重复双因素方差分析表
(基本结构)
误差来源 平方和 自由度
(SS)
(df)
均方 (MS)
F值
P值
F 临界值
行因素 列因素 交互作用
误差
SSR SSC SSRC SSE
k-1 MSR FR r-1 MSC FC (k-1)(r-1) MSRC FRC kr(m-1) MSE
replication)
3. 如果除了行因素和列因素对试验数据的单
独影响外，两个因素的搭配还会对结果产 生一种新的影响，这时的双因素方差分析
称为有交互作用的双因素方差分析或可重 复 双 因 素 方 差 分 析 (Two-factor with
replication )
双因素方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 ▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布
不同品牌的彩电在5个地区的销售量数据
品牌因素 地区1
地区因素 地区2 地区3 地区4
品牌1
365
350
343
340
品牌2
345
368
363
1273医学统计学双因素方差分析
8
F处 理
MS处 理 MS 误 差
F区 组
MS区 组 MS 误 差
如果处理（或区组）因素无作用的话，则 F 1 如果处理（或区组）因素有作用的话，则 F 1
F值越大，P值越小，越有理由认为处理（区组）因 素对实验效应（指标）产生影响。
9
案例：为研究比较甲、乙和丙3个厂家生产的某种灭蚊剂 的灭蚊效果，某市疾病预防控制中心以该市11个不同地区 的蚊群进行了室内灭蚊实验，测试了不同厂家灭蚊剂对蚊 的半数击倒时间（KT50），资料如表7.3，
问题：试分析3个厂家灭蚊剂的灭蚊效果（处理因素）， 不同蚊群（区组因素）之间有没有差别。
10
11
四、分析步骤
1. 建立假设，确定检验水准 处理间：
H0: 3个厂家灭蚊剂的灭蚊效果相同。 H1: 3个厂家灭蚊剂的灭蚊效果相同不同或不全相同。 区组间：
H0: 11个蚊群(区组)灭蚊效果相同相等 H1：11个蚊群(区组)灭蚊效果不同或不全相同。
均取a =0.05
12
2. 选方法并计算检验统计量F: 求基础数据：见原始表下部分 按公式求各部分SS、、 MS、F
13
1）总变异SS总及其ν总、处理组间变异SS处理及 其ν处理可按前述方法计算。
2）区组间变异反映了蚊群地区间的差异，也 包括随机误差。其计算方法类似于前述处理组间变 异，即各区组的均数（3.82、4.56、…、4.74）与 总均数（4.45）的离差的平方和。
v总 33 -1 32
15
k
∑ (2)SS处理 ni(X i - X )2 , i 1
处理 k - 1
SS处理 11 (4.10 4.45)2 11 (5.00 4.45)2
11 (4.26 4.45)2 5.06
双因素方差分析
这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响 在统计上称为交互作用. 各因素间是否存在交互作用是 多因素方差分析新产生的问题.
一、无交互作用的方差分析
考虑的因素记为A的第i种效应和因素B的第j 种效应分 别记作αi , βj，试验误差记作εij，其数据结构如下：
第7.3节 双因素方差分析
一、无交互作用的方差分析 二、有交互作用的方差分析 三、利用Excel进行双因素方差分析的步骤
在许多实际问题中, 往往需要同时考察几个因素对指 标的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方 差分析，就是 双因素方差分析 (double factor analysis of variance)问题.
B1
B2
B3
A1
390 380 440 420 370 350
A2
390 410 450 430 370 380
解 由Excel软件依次单击：工具-数据分析-方差分析：可重 复双因素方差分析, 如下图
单击“确定”后，得分析结果如下：
由此可见，因素B显著，而因素A和A与B交互作用都 不显著．下面着重考察因素B.
方差来源 平方和 自由度
A B 误差 总和
Q1
r-1
Q2
s-1
Q3 (r-1)(s-1)
Q
rs-1
均方 S12 S22 S32
F值 S12/S32 S22/S32
显著性
二、有交互作用的方差分析
如果因素A 和因素B 没有交互作用， 则只需要在各 个组合水平下各做一次试验就可以进行方差分析．
但是如果因素A 和因素B 有交互作用，这时必须在 各个组合水平下做重复试验方可进行方差分析．
双因素方差分析课件
双原因无反复（无交互作用）试验资料表
原因 B 原因 A
B1
A1
X11
...
...
Aa
X a1
a
T. j X ij T.1 i 1
X. j T. j a X .1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
X12 ... X1b
T1.
X 1.
... ... ... ...
➢ 有交互作用旳双原因试验旳方差分析
有检验交互作用旳效应，则两原因A，B旳不同水 平旳搭配必须作反复试验。
处理措施：把交互作用当成一种新原因来处理，
即把每种搭配AiBj看作一种总体Xij。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
原因B
总平均 旳效应
53 58 48
a
T. j Xij 197 232 183 i 1
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
双原因方差分析措施
双原因试验旳方差分析
在实际应用中，一种试验成果（试验指标）往往 受多种原因旳影响。不但这些原因会影响试验成果， 而且这些原因旳不同水平旳搭配也会影响试验成果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同步加入元素A和B时，合金性 能旳变化就尤其明显。
统计学上把多原因不同水平搭配对试验指标旳 影响称为交互作用。交互作用在多原因旳方差分析 中，把它当成一种新原因来处理。
双因素方差分析课件
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。
双因素方差分析
双因素方差分析一、无交互作用下的方差分析设A 与B 是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用。
设在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据结构如下表：表中每行的均值.i X （i=1,2,…r ）是在因素A 的各个水平上试验结果的平均数；每列的均值jX .(j=1,2,…,n)是在因素B 的各种水平上试验的平均数。
以上数据的离差平方和分解形式为：SST=SSA+SSB+SSE （6.13） 上式中：∑∑-=2)(X X SST ij(6.14)∑-=∑∑-=2.2.)()(X X n X XSSA i i (6.15)∑-=∑∑-=2.2)()(X Xr X XSSB j j（6.16）∑+-∑-=2..)(X X X X SSE ji ij(6.17)SSA 表示的是因素A 的组间方差总和，SSB 是因素B 的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE 仍是组内方差部分，由随机误差产生。
各个方差的自由度是：SST 的自由度为nr-1，SSA 的自由度为r-1，SSB 的自由度为n-1，SSE 的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。
各个方差对应的均方差是：对因素A 而言： 1-=r SSA MSA （6.18） 对因素B 而言： 1-=n SSB MSB （6.19）对随机误差项而言：1---=n r nr SSEMSE （6.20）我们得到检验因素A 与B 影响是否显著的统计量分别是：)]1)(1(,1[~---=n r r F MSE MSA F A （6.21）)]1)(1(,1[~---=n r n F MSE MSBF B （6.22）【例6-2】某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。
试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（α=0.05）。
双因素方差分析流程
双因素方差分析流程双因素方差分析呀，可有趣啦。
方差分析大家可能都有点耳闻，双因素方差分析呢，就是在有两个影响因素的情况下进行的分析哦。
比如说我们想研究不同的教学方法和不同的学习时间对学生成绩的影响，教学方法和学习时间就是这两个因素啦。
那我们开始这个分析流程吧。
一、数据收集。
这可是很重要的一步呢。
我们得先确定好要研究的两个因素，然后针对这两个因素的不同水平组合去收集数据。
就像刚刚说的教学方法和学习时间，教学方法可能有传统教学、多媒体教学、小组合作教学这几种水平，学习时间可能有每天2小时、3小时、4小时这些水平。
然后找一群学生，把他们分别分到这些不同水平组合的组里，最后记录下他们的成绩，这就收集好数据啦。
二、计算平均值。
把收集来的数据按照不同的因素水平组合进行分组，然后计算每组的平均值。
这就像是把同学们按照不同的教学方法和学习时间分好组后，算出每个组的平均成绩。
这个平均值能让我们大概了解每个组的整体情况呢。
三、计算离差平方和。
这一步有点小复杂，但是别怕哦。
我们要计算总的离差平方和、因素A的离差平方和、因素B的离差平方和以及误差的离差平方和。
总的离差平方和就是所有数据与总平均值的差的平方和，它反映了所有数据的离散程度。
因素A的离差平方和呢，是在只考虑因素A的情况下，各水平均值与总均值的差的平方和，它体现了因素A对结果的影响程度。
同理，因素B的离差平方和是考虑因素B时的情况。
误差的离差平方和就是用总的离差平方和减去因素A和因素B的离差平方和得到的，它表示除了这两个因素之外其他随机因素的影响。
四、计算自由度。
自由度这个概念也很有趣呢。
总的自由度等于数据的总数减1。
因素A的自由度等于因素A的水平数减1，因素B的自由度等于因素B的水平数减1，误差的自由度就等于总的自由度减去因素A和因素B的自由度。
自由度就像是给每个部分一个活动的空间，不同的部分有不同的自由度哦。
五、计算均方。
均方就是离差平方和除以自由度啦。
我们要计算因素A的均方、因素B的均方和误差的均方。
双因素方差分析法非常好的具体实例课件
数据预处理与筛选
02
01
03
对原始数据进行清理和筛选，处理缺失值和异常值， 确保数据质量。
对分类变量进行适当的编码和转换，使其符合分析要求。
对连续变量进行适当的变换，如对数转换或标准化处 理，以满足正态分布和方差齐性的假设。
结果解读与报告撰写
仔细解读双因素方差分析的结 果，包括F值、P值、效应大小 和方向等。
混合类型数据
对于同时包含分类和数值型变 量的数据，如何进行有效的双 因素方差分析是一个值得研究 的问题。
THANK YOU
感谢聆听
结合实际问题和专业知识，对 结果进行解释和讨论，并给出 合理的结论和建议。
按照学术规范撰写报告，注意 逻辑性和条理性，并适当使用 图表和表格来呈现结果。
04
双因素方差分析法的未来发展与展望
技术创新与改进
算法优化
随着计算能力的提升，双因素方差分析算法将进一 步优化，提高分析的准确性和效率。
自动化程度提高
特点
能够同时考虑两个因素对连续变量的影响，并比较各组之间的差异。
适用范 围
当有两个分类变量，且需要探讨它们 对一个连续变量的影响时。
适用于探索两个因素对连续变量的交 互作用和主效应。
优势与局限性
优势
能够全面分析两个因素对连续变量的 影响，并提供交互作用和主效应的估 计。
局限性
当样本量较小或数据不满足方差分析 的前提假设时，分析结果可能不准确。
未来分析过程可能更加自动化，减少人工干预，降 低错误率。
可视化呈现
数据分析结果将以更直观的方式呈现，方便用户理 解和解释。
应用领域的拓展
80%
跨学科应用
双因素方差分析法将应用于更多 学科领域，促进不同学科之间的 交叉融合。
双因素试验的方差分析
设：
X ijk ~ N ij , 2 , i 1,2,, r, j 1,2,, s, k 1,2,, t ,
各
X ijk
独立， ij , 2 均为未知参数。或写成：
2 ijk ~ N 0, , 各 ijk 独立 i 1,2,, r , j 1,2,, s, k 1,2,, t.
双因素试验的方差分析
影响试验结果的因素不止一个，要用双因素
或 多因素的方差分析；
确定哪些因素是主要的，它们对试验结果的
影响是否显著； 它们之间是否有交互作用。
（一）双因素等重复试验（有交互作用）的方差分析设有两个因
素A，B作用于试验的指标。 因素A有r个水平
因素B有s个水平
A1 , A2 ,, Ar
X . j.
1 r t X ijk , j 1,2,, s. rt i 1 k 1
总偏差平方和（称为总变差）
ST X ijk X .
2 i 1 j 1 k 1 r s t
ST写成：
S T X ijk X
i 1 j 1 k 1 s t r
1 1319 .82 2 2 2 S A B 110.8 91.9 90.1 2 24 S A S B 1768 .69250 , S E ST S A S B S A B 236.95000 .
得方差分析表如下：
表9.11 例1的方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值
A1 A2
X 121 , X 122, , X 12t
…
X 211 , X 212, X 221 , X 222, , X 21t , X 22t
双因素方差分析
1)(m
1))
在H0B 成立时, 检验统计量
FB
SSMB (m 1) SSE (l 1)(m 1)
H0B真
~ F(m
1,(l
1)(m
1))
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设：
H0A：1 = 2 = … = l = 0, H1A：1, 2, …,l 不全为零
lm
➢ 误差平方和： SSE
( xij xi. x. j x )2
i1 j1
lm
➢ 总离差平方和： SST
( xij x )2
i1 j1
➢ 可以证明： SST = SSMA + SSMB + SSE
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 可以证明： 构造检验统计量
ij~N(0, 2), 且相互独立, 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m,
l
ai 0,
i 1
m
j 0
j1
其中表示平均的效应, i和j分别表示因素A的第i个水 平和因素B的第j个水平的附加效应, ij为随机误差,假定ij
相互独立并且服从等方差的正态分布．
概率论与数理统计
❖1. 无交互作用的双因素方差分析
SSMA SSMB SSE
SSMA / (l – 1) MSA / MSE PA SSMB / (m – 1) MSB / MSE PB SSE / (l – 1)(m – 1)
全部
lm – 1
SSMA + SSMB +SSE
其中MSA = SSMA/(l – 1), MSB = SSMB/(m – 1),
双因素方差分析
三、双因素方差分析
在上述误差平方和的基础上计算均方，也就是将各平方和除 以相应的自由度。与各误差平方和相对应的自由度分别为：
SST的自由度为kr－1，SSR的自由度为k－1，SSC的自由度 为r－1，SSE的自由度为(k－1)(r－1)。
为构造检验统计量，需要计算下列各均方： ①行因素的均方，记为MSR。 ②列因素的均方，记为MSC。 ③随机误差的均方，记为MSE。
三、双因素方差分析
二、 无交互作用的双因素方差分析
1. 数据结构
在无交互作用的双因素方差分析中，由于有两个 因素，因而在获取数据时，需要将一个因素安排在“ 行”的位置，称为行因素；另一个因素安排在“列” 的位置，称为列因素。设行因素有k个水平，列因素 有r个水平，行因素和列因素的每一个水平都可以搭配 成一组，观察它们对试验指标的影响，共抽取kr个观 察数据，其数据结构见表7-8。
三、双因素方差分析
“全因子”单选按钮为系统默认项，用 来建立全模型。全模型中包括因素之间的交 互作用。如果选择分析两个因素的交互作用 ，则必须在每种水平组合下取得两个以上的 试验数据，才能实现两个因素的交互作用的 分析。如果不考虑因素间的交互作用，则应 当选择自定义模型。
三、双因素方差分析
“设定”单选按钮用来自定义模型，本例选择此项并激活下面的各项操 作，如图7-12所示。
三、双因素方差分析
2. 分析步骤
与单因素方差分析类似，双因素方差分析也包括提出假设、构造检验 统计量和决策分析等步骤。
（1）提出假设。
为了检验两个因素的影响，需要对两个因素分别提出如下假设：
①对行因素提出假设。
H0∶μ1=μ2=…=μk=μ
行因素（自变量）对因变量没有显著影响
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双因素的多重比较方法生物工程 10212575 陈晓穗摘要：本文首先扼要地介绍了多重比较的方法种类，其次引用了一个实例具体地展示了无交叉相互作用的双因素的多重比较方法。
关键词：最小显著差数法 最小显著极差法 双因素 多重比较1.前言用方差分析检验样本的差异是否显著后，获得了显著或极显著的结论。
此时人们便想进一步的了解具体到哪些平均数间有显著差异，哪些不显著。
这就有必要进行两两地比较平均数，以判断这两组数据的显著差异性。
统计学把多个平均数两两间互相比较称为多重比较。
多重比较常有的方法有：最小显著差数法和最小显著极差法。
2．多重比较法 2.1 多重比较法的种类 2.1.1 最小显著差数法最小显著差数法，简称LSD 。
它其实只是t 检验的一个简单变形,并未对检验水准做出任何校正,只是在标准误的计算上充分利用了样本信息, 为所有组的均数统一估计出了一个更为稳健的标准误,其中MS 误差是方差分析中计算得来的组内均方,它一般用于计划好的多重比较。
由于单次比较的检验水准仍为α,因此可认为LSD 法是最灵敏的。
此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x -与其比较。
若..j i x x -＞LSDa 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由..)(j i e x x df a a S t LSD -=计算。
式中)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由n MS S e x x j i /2..=-算得。
其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t 和)(01.0e df t ，代入式得：....)(01.001.0)(05.005.0ji e ji e x x df x x df S t LSD S t LSD --==2.1.2 最小显著极差法最小显著极差法，简称LSR 。
该法特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包含的处理数(称为秩次距)k 的不同而采用不同的检验尺度，以克服LSD 法的不足。
这些在显著水平α上依秩次距k 的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极差。
该法常用的有q 检验法和新复极差法两种。
2.1.2.1 q 检验法q 检验法(q test)此法是以统计量q 的概率分布为基础的。
q 值由下式求得：x S q /ω=。
式中，ω为极差，n MS S e x /=为标准误，q 分布依赖于误差自由度df e 及秩次距k 。
利用q 检验法进行多重比较时，为了简便起见，不是将由x S q /ω=式算出的q 值与临界q 值),(k df a e q 比较，而是将极差与x k df a S q e ),(比较，从而作出统计推断。
x k df a S q e ),(即为α水平上的最小显著极差。
当显著水平α=0.05和0.01时，从q 值表中根据自由度e df 及秩次距k 查出),(05.0k df e q 和),(01.0k df e q 代入x k df a a S q LSR e),(=式得xk df k x k df k S q LSR S q LSR e e ),(01.0,01.0),(05.0,05.0==2.1.2.1新复极差法新复极差法与q 检验法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查SSR 表而不是查q 值表。
最小显著极差计算公式为x k df a ka S SSR LSR e ),(,=其中式中),(k df e SSR α是根据显著水平α、误差自由度e df 、秩次距k ，由SSR 表查得的临界SSR 值，n MS S e x /=。
α=0.05和α=0.01水平下的最小显著极差为：x k df k x k df k S SSR LSR S SSR LSR e e ),(01.0,01.0),(05.0,05.0==3 双因素的多重比较在单因素中，只需要两两均值地比较即刻得出具体哪些组具有显著性差异。
但在双因素中，则需要更复杂的计算过程，其中需要用到以上介绍到的各种多重比较方法。
分别比较A 因素与观测值和B 因素与观测值的显著性差异。
以下引用网上的一个实例作出具体的步骤说明。
【例】 为研究IBA 激素对银杏生长发育的影响，现有4个不同品系银杏根系，各种3株，随机分别施用不同剂量的激素，然后在相同条件下试验，并测得它们根系的生长量，见下表。
各品系银杏不同剂量激素的根系生长量(cm) 品系(A )IBA 激素剂量(mg/100g)(B )合计x i..平均.i xB 1(0.2)B 2(0.4) B 3(0.8) A 1 106 116 145 367 122.3 A 2 42 68 115 225 75.0 A 3 70 111 133 314 104.7 A 4 42 63 87 192 64.0 合计x .j 260 358 480 1098 平均j x .65.089.5120.0获得以上的数据，首先需要进行双因素的方差分析。
①、对品系A 提出的假设为▪ H 0A : μA1 =μA2 =μA 3 =μA 4 ▪ H 1A : μA1、μA2、μA 3、μA 4不全相等②、对剂量B 提出的假设为▪ H 0B : μB1 =μB2 =μB 3▪ H 1B : μB1、μB2、μB 3、不全相等 计算各项平方和与自由度：0000.100467)34/(1098/..22=⨯==ab x C0000.60740000.1004670000.1065410000.100467)480358260(4116667.64570000.1004676667.1069240000.100467)192314225367(3110000.130750000.1004671135420000.100467)8763116106(2222.22222.22222=-=-++=-==-=-+++=-==-=-++++=-=∑∑∑∑C x a SSB C x b SSA C x SST ji ij62311,21313141,1113413333.54360700006667.64570000.13075=--=--==-=-==-=-==-⨯=-==--=--=B A T e B A T df df df df b df a df ab df SSB SSA SST SSE 列出方差分析表，进行F 检验：资料的方差分析表变异来源 平方和 自由度 均方 F 值 A 因素(品系) 6457.6667 3 2152.5556 23.77** B 因素(剂量)6074.0000 2 3037.0000 33.54**误差 543.3333 6 90.5556总变异 13075.000011根据df 1=df A =3,df 2=df e =6查临界F 值，F 0.01(3,6)=9.78；根据df 1=df B =2，df 2=df e =6查临界F 值，F 0.01(2,6)=10.92。
因为A 品系的F 值23.77＞F 0.01(3,6)，P ＜0.01，差异极显著，拒绝H 0A ，接受H 1A ；B 剂量的F 值33.54＞F 0.01(2,6)，P ＜0.01，差异极显著拒绝H 0B ，接受H 1B 。
说明不同品系和不同IBA 激素剂量对银杏根系的发育均有极显著影响，有必要进一步对A 、B 两因素不同水平的平均测定结果进行多重比较。
多重比较：（1）不同品系的根系平均生长量比较 各品系平均数多重比较表见表6-23。
表1 各品系根系平均生长量多重比较（q 法）品系 平均数.i x .i x -64.0.i x -75.0.i x -104.7A 1 122.3 58.3** 47.3** 17.6 A 3 104.7 40.7** 29.7**A 2 75.0 11.0A 4 64.0在两因素单独观测值试验情况下，因为A 品系每一水平的重复数恰为B 剂量的水平数b ，故A 品系的标准误b MS S e x i /.=，此例b =3,MS e =90.5556，故4941.53/5556.90/.===b MS S e x i根据df e =6，秩次距k =2,3,4，q 值表中查出α=0.05和α=0.01的临界q 值，与标准误4941.5.=i x S 相乘，计算出最小显著极差LSR ，结果见表6-24。
表2 q 值及LSR 值df e秩次距kq 0.05 q 0.01 LSR 0.05 LSR 0.01 623.46 5.24 19.01 28.79 34.34 6.33 23.84 34.78 44.907.0326.9238.62将表1中各差数与表2中相应最小显著极差比较，作出推断。
检验结果已标记在表6-23中。
结果表明，A 1、A 3品系与A 2、A 4品系的根系平均生长量均有极显著的差异；但A 1与A 3及A 2与A 4品系间差异不显著。
(2)不同IBA 激素剂量的根系平均生长比较 B 剂量各剂量水平平均数比较表见表6-25。
表3 不同IBA 激素剂量的根系平均生长量多重比较(q 法)IBA 激素剂量平均数j x . j x .-65.0 j x .-89.5B 3(0.8) 120.0 55.0** 30.5**B 2(0.4) 89.5 24.5*B 1(0.2) 65.0在两因素单独观测值试验情况下，B 剂量每一水平的重复数恰为A 品系的水平数a ，故B 因素的标准误a MS S e x j /.=，此例a =4，MS e =90.5556。
故7580.44/5556.90/.===a MS S e x j根据df e =6，秩次距k =2,3查临界q 值并与j x S .相乘，求得最小显著极差LSR ，见表6-26。
表4 q 值与LSR 值df e秩次距 q 0.05 q 0.01 LSR 0.05 LSR 0.01 623.465.2416.4624.9334.346.3320.6530.12将表3各差数与表4相应最小显著极差比较，作出推断。
结果表明，施用IBA 激素剂量为0.8 mg的根系生长量极显著大于剂量为0.4 mg和0.2mg的根系生长量，而后两种剂量的根系生长量间也有显著差异。
这里介绍的双因素多重比较的方法只适用于两个因素无相互交叉作用的情况。
参考文献：[1]薛茜,刘万里,尔西丁,马金凤,曹明芹. 常用多重比较方法. 中国医院统计. 2008年3月第15卷第1:29-31[2] 惠凤莲.论多重比较的几种方法. 统计与信息论坛. 1997 年第4 期:29-33[3]百度文库/view/4c4b891655270722192ef755.html。