华理复变答案1-2次作业答案

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华东理工大学

复变函数与积分变换作业(第1册)

班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________

第一次作业

教学内容:1.1复数及其运算 1.2平面点集的一般概念

1.填空题:

(1)3

5arctan 2,234,2523,25,23-+-πk i (2)3arctan 2,10,31,3,1-+-πk i

(3))31(2

1i +- (4) 13,1=-=y x 。

2.将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 (1)31i +; 解:32)3sin 3(cos 2)2321(231π

ππi e i i i =+=+=+ (2))0(sin cos 1πϕϕϕ≤≤+-i 解:)22(2sin 2)]22sin()22[cos(2sin 2sin cos 1ϕ

πϕϕπϕπϕϕϕ-=-+-=+-i e i i

(3)32

)

3sin 3(cos )5sin 5(cos φφφφi i -+. 解:φφφφφφφφφ199********)/()()3sin 3(cos )5sin 5(cos i i i i i e e

e e e i i ===-+-- φε19sin 19cos i +

3.求复数1

1+-z z 的实部与虚部 解:2|

1|)1)(1()1)(1()1)(1(11++-=+++-=+-=z z z z z z z z z w 2

22|1|Im 2|1|1|1|)1(+++-=+--+=z z i z z z z z z z z 所以,2|1|1Re +-=

z z z w ,2|1|Im 2Im +=z z w 4. 求方程083=+z 的所有的根. 解:.2,1,0,2)8()21(331

==-=+k e z k i π

即原方程有如下三个解:

31,2,31i i --+

5. 若321z z z ==且0321=++z z z ,证明:以321,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证明:记a z =||1,则

23

2232223221|||(|2||z z z z z z z --+=+= 得22323||a z z =-221|)||(|z z -=,同样,

22212123||a z z z z =-=- 所以.||||212321z z z z z z -=-=-

6. 设2,1z z 是两个复数,试证明.

212z z ++221z z -22122()z z =+.

并说明此等式的几何意义.

证明:左式=(21z z +)(21z z +)+(21z z +)(21z z -)

=(21

z z +)(21z z +)+(21z z +)(21z z -) =2121221121212211z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅-⋅-⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ =2(2221z z z z ⋅+⋅)=2(2

221z z +)

7.求下列各式的值: (1)5)3(i -; 解:5)3(i -=65565

32)2()223(2ππ

i i e e i

--==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡- =i i 16316)65sin()65cos(32--=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-+-ππ

(2)31

)1(i -;

解:31)1(i -.2,1,0,2)2()221(23)

24(63

14

31===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+--k e e i k i i ππ

π 可知31

)1(i -的3个值分别是

)12sin 12(cos 22626π

π

π

i e i -=-;

)127sin 127(cos 226276π

π

π

i e i +=

)45sin 45(cos 226456π

π

π

i e i +=

(3)求61-

解:61-=.5,4,3,2,1,0,)(6/)21(61

2-=++k e e k i k i πππ可知61-的6个值分别是

223,1,2236526

i ei e i e i i i +-==+=πππ 2

23,,2234112367i e i e i e i i i -=-=--=πππ

(4) ()(

)()()100100100100505051

1+i +1-i =cos +isin +cos -isin 4444 =2cos 25+isin 25+2cos 25-isin 25 =-2ππππππππ⎤⎤⎫⎫⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦

8.化简2)

1()1(--+n n

i i 解:原式1222211)1(+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=n i n n i ie i i i π

9. 设bi a iy

x +=-+iy x ,其中y x b a ,,,均为实数,证明: 122=+b a

解:先求出b a ,的y x ,表达式,因为

bi a y

x ixy y x iy x iy x +=++-=+-+=-+222222iy x iy x iy x ))(()( 比较系数得

b y

x xy a y x y x =+=+-2222222, 于是1)2()(2222222

22

2=+++-=+y x xy y x y x b a 10. 设ω是1的n 次根,且1≠ω,证明:ω满足方程:

0112=++++-n z z z

解:因1=n ω,即01=—n

ω故 01)(1-(12=++++-)n ωωωω

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