《概率论》期末考试试题A卷和答案

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概率论期末试题及答案

概率论期末试题及答案

概率论期末试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 随机事件A的概率为P(A),则其对立事件的概率为:A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2,随机抽取1名学生,该学生是男生的概率为:A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次,至少出现一次正面的概率是:A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p),若n=15,p=0.4,则P(X=7)是:A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布,λ=2,则P(Y=1)是:A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布,则P(Z ≤ 0)是:A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立,P(A)=0.6,P(B)=0.7,则P(A∩B)是:A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4),则E(X)是:A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2,则X和Y:A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布,λ=0.5,则P(X > 1)是:A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题(每题3分,共30分)11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布,且P(X=θ)=0.3,P(X=2θ)=0.4,则P(X=3θ)=________。

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 设A、B为两个事件,且P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,则P(A∪B)等于()A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案:D2. 设随机变量X的分布函数为F(x),若F(x)是严格单调增加的,则X的数学期望()A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案:A3. 设X~N(0,1),以下哪个结论是正确的()A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案:A4. 在伯努利试验中,每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p,则连续n次试验成功的概率为()A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案:A5. 设随机变量X~B(n,p),则X的二阶矩E(X^2)等于()A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 设随机变量X~N(μ,σ^2),则X的数学期望E(X) = _______。

参考答案:μ2. 若随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。

参考答案:f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立,且X~B(n,p),Y~B(m,p),则X+Y~_______。

参考答案:B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0,则X、Y的相关系数ρ = _______。

参考答案:ρ = 05. 设随机变量X~χ^2(n),则X的期望E(X) = _______,方差Var(X) = _______。

参考答案:E(X) = n,Var(X) = 2n三、计算题(每题10分,共40分)1. 设随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),求X+Y的概率密度函数f(x)。

《概率论与数理统计A》期末习题一答案

《概率论与数理统计A》期末习题一答案

《概率论与数理统计A 》期末习题一答案一、简答题(本题满分30分,共含6小题,每小题5分)1、设A ,B 为随机事件,A 与B 相互独立,2.0)(=A P ,4.0)(=B P ,求()P AB 。

解:32.04.08.0)()()(=⨯==B P A P B A P 。

(5分)2、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他 010 )(x cx x f ,求常数c 的值。

解:121)(1===⎰⎰+∞∞-c dx cx dx x f ,因此2=c 。

(5分) 3、 已知随机变量)4,1(~N X ,求}21{<<X P 。

解:()021}21221211{}21{Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=-<-<-=<<X P X P (3分) 1915.05.06915.0=-=。

(2分)4、设随机变量X 和Y 相互独立,)4,3(~N X ,)9,2(~N Y ,求变量12+-=Y X Z 的数学期望和方差。

解:()()()()51261212=+-=+-=+-=Y E X E Y X E Z E ; (2分)()()()()25916412=+=+=+-=Y D X D Y X D Z D 。

(3分) 5、 已知10个产品中有3个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求所取的3个产品中恰有2个次品的概率。

解:设X :所取得3个产品中次品的个数,则⎪⎭⎫⎝⎛103,3~B X (2分)1000189107103}2{223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C X P (3分) 6、设随机变量X 、Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则Z(同时要写出分布的参数) ?~(1)t 。

(5分)二、(本题满分10分) 编号为1,2,3的三台仪器正在工作的概率分别为0.9,0.8和0.4,从中任选一台。

(1) 求此台仪器正在工作的概率;(2) 已知选到的仪器正在工作,求它编号为2的概率。

概率论期末考试和答案

概率论期末考试和答案

概率论期末考试和答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 随机变量X服从二项分布B(3,0.5),则P(X=2)为()。

A. 0.375B. 0.5C. 0.25D. 0.125答案:A2. 已知随机变量X服从标准正态分布,P(X<0)=0.5,则P(X>1)为()。

A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案:A3. 若随机变量X服从泊松分布,其参数λ=2,则E(X)为()。

A. 2B. 4C. 0D. 1答案:A4. 已知随机变量X和Y相互独立,且P(X=1)=0.5,P(Y=1)=0.3,则P(X=1且Y=1)为()。

A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.75答案:A5. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4),则P(X<0)为()。

A. 0.0228B. 0.9772C. 0.5D. 0.1587答案:A6. 若随机变量X和Y相互独立,且P(X>1)=0.7,P(Y<2)=0.4,则P(X>1且Y<2)为()。

A. 0.28B. 0.56C. 0.7D. 0.4答案:A7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,4),则E(X)为()。

A. 2C. 0D. 1答案:A8. 若随机变量X服从指数分布,其参数λ=0.5,则P(X>3)为()。

A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.75答案:A9. 已知随机变量X服从正态分布N(0,1),则P(-1<X<1)为()。

A. 0.6827B. 0.8413C. 0.9772答案:A10. 若随机变量X和Y相互独立,且P(X=0)=0.4,P(Y=1)=0.6,则P(X=0且Y=1)为()。

A. 0.24B. 0.4C. 0.6D. 0.16答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.4),则P(X=3)=_________。

08-09概率论期末考试试卷A (1)

08-09概率论期末考试试卷A (1)

《概率论与数理统计》期末考试试卷(A1)2、下列叙述中正确的是( A ). (A) ()1X EX D DX -= (B) ~(0,1)X EXN DX- (C) 22)(EX EX = (D) 22()EX DX EX =-3、设θ是总体X 中的参数,称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间,下面说话正确的是( D ).(A) 以),(θθ估计θ的范围,不正确的概率是a -1 (B) θ 以概率a -1落入),(θθ (C) θ以概率a 落在),(θθ之外 (D) ),(θθ以概率a -1包含θ4、设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积分别为,G D S S ,则{(,)}(B )P x y D ∈=.(A)GD S S (B) ⎰⎰Ddxdy y x f ),( (C) (,)G g x y dxdy ⎰⎰ (D) G G D S S5、设总体分布为),(2σμN ,若μ未知,则要检验20:100H σ≥,应采用统计量( B ).(A)nS X /μ- (B)100)(21∑=-ni iX X(C)100)(21∑=-ni iXμ (D)22)1(σS n -6、有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2,现随机取一个箱子,再从中随机取出一个球,则取到白球的概率为( A ).(A)157 (B)4519 (C)135(D)3019 7、设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( B ). (A) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)((B) ∑⎰-=-adx x f a F 0)(21)((C) )()(a F a F =- (D) 1)(2)(-=-a F a F题目 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分一.填空题:(本大题共7小题,每小题3分,共21分)1. 已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体(3,1)N ,X 为样本均值,已知{}0.5P X λ<=,则=λ 3 。

《概率论与数理统计》期末考试试题(A)及解答

《概率论与数理统计》期末考试试题(A)及解答
X
0 1
1 4
0
1 2
1 4
1 2 1 2
0
1 4
0
1 4
1 2
………….4 分 (2) 因为 所以
P X 0 , Y 0 0 P X 0 P Y 0 1 2 1 2 1 4
X
与 Y 不相互独立 …………8 分
七、 8 (
分)
1 2
解: (1) P ( 0 X 1, 0 Y 2 ) dx 12 e ( 3 x 4 y ) dy

(B) P ( A ) P ( A1 ) P ( A 2 ) 1 (D) P ( A ) P ( A1 ) P ( A 2 ) 1
(C ) N ( 0 , 4 6 );
(5)设 X 1, X 2 , , X n 为正态总体 N ( , 2 ) 的一个简单随机样本,其中 2 ,
0 . 7 0 . 7 0 . 6 0 . 28
…………6 分
四、 6 分) (
解:用 X 表示时刻 T 运行的电梯数, 则 X ~ b ( 4 , 0 . 7 ) 所求概率
P X 1 1 P X 0
1 C 4 ( 0 . 7 ) (1 0 . 7 )
《概率论与数理统计》期末考试试题(A)
专业、班级: 题 号 得 分 一、单项选择题(每题 3 分 共 18 分)
(1)
若 事 件 A 、B 适 合 P ( A B ) 0 , 则 以 下 说 法 正 确 的 是 ( (A ) (B ) (C ) (D ) A 与 B 互 斥 ( 互 不 相 容 ); P ( A) 0 或 P (B ) 0 ; A 与 B 同时出现是不可能事件 ; P ( A) 0 , 则 P ( B A ) 0. ).

概率论期末试卷A及答案

概率论期末试卷A及答案

学院 系 班级 学号 姓名---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------扬州大学试题纸( 2009-2010学年第 一 学期 )物 理 学院 微电、电科、光科09级 课程 概率论与数理统计(A )卷题目 一 二 三 总分 得分一、填空题(共22分,2分/空)1. 设随机事件A ,B 互不相容,且3.0)(=A P ,6.0)(=B P ,则=)(A B P .2.已知连续型随机变量的分布函数为30,1()(1),111,x F x a x x x <-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥1⎩,则常数a = ,概率密度函数()f x = .3. 设随机变量X 在(0,4)上服从均匀分布,则=)(X E ,()D X = .4.设随机变量X 的概率密度函数为/1e ,0(),0,x x f x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它 则()E X = ,()D X = .5.设随机变量,X Y 相互独立,且~(10,0.5)X b ,~(1,4)Y N ,记2Z X Y =-,则()E Z = ,()D Z = .6.设()E X μ=,2()(0)D X σ=>,则利用切比雪夫不等式估计()≤≥-σμ5||X P .7.设总体()~0,1X N ,()1021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本,则()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()1210,,f x x x = .概率论与数理统计A 卷 第1页 共6页二、单项选择题 (共24分,3分/题)1. 设C B A ,,是3个随机事件,则C B A 表示 .A . CB A ,,都发生 B .C B A ,,都不发生 C . C B A ,,至少有一个发生D . C B A ,,不多于一个发生 2. 三人独立地猜一谜语,已知各人能猜出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4. 则三人中至少有一人能猜出此谜语的概率是 .A . 3/5B . 2/5C . 1/60D . 59/603. 设Y X ,是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为),)(y F x F YX (、则),max(Y X Z =的分布函数为 .A . {}()max (),()Z X Y F z F z F z =B . {}()max (),()Z X Y F z F z F z =C . ()()()Z X Y F z F z F z =D . ()()()Z X Y F z F z F z =4.设随机变量()2,1~-N X ,()2,1~N Y ,令2U X Y =+,2V X Y =-,则Cov(,)U V = ..A 0 .B 2 .C 3 D .65.设总体X ~N (2,σμ),X 1,X 2,…,X 10为来自该总体的样本,X 为样本均值,则X ~ .A . 2(10)N μσ,B .2()N μσ, C. 2()10N σμ, D .2()10N σμ,6. 设总体X ~N (0, 1),X 1,X 2,…,X n 为来自该总体的样本,则统计量12ni i X =∑~ . .A ()2n χ .B ()21n χ- .C ()t n .D ()1t n -概率论与数理统计A 卷 第2页 共6页7. 设总体X 与Y 相互独立,且都服从正态分布()10,N .()91X X ,, 是从总体X 中抽取的一个样本,()91Y Y ,, 是从总体Y 中抽取的一个样本,则统计量192219X X U Y Y++=+~ ..A ()92χ .B ()82χ .C ()9t .D ()8t8. 设总体()20~σ,N X ,()n X X X ,,, 21是从该总体中抽取的一个简单随机样本,则下列表达式可以作为2σ的无偏估计量的是_________..A ∑=-=n i i X n 12211ˆσ .B 2211ˆn i i X n σ==∑ .C 2211ˆ1n i i X n σ==+∑ .D ()∑=+=ni iXn n 12221ˆσ三.计算题(共54分,9分/题)1.将两信息分别编码为A 和B 发送出去,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为04.0;而B 被误收作A 的概率为07.0,信息A 与信息B 传送频繁程度为2:3.若已知接收到的信息是A ,求原发信息也是A 的概率.概率论与数理统计A 卷 第3页 共6页---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------2. 盒子中有5个球,编号分别为5,1.从中随机取出3个球,引入,2,3,4随机变量X,表示取出的3个球中的最大号码.(1) 求随机变量X的分布律;(2) 求随机变量X的分布函数.3.设随机变量()1~NX,21,0=+,试求随机变量Y的概率密度函数.Y X概率论与数理统计A卷第4页共6页4.设(,)X Y 的联合概率密度函数为()2221140x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩,其它,(1)求{}P Y X ≤;(2)求(,)X Y 的边缘概率密度函数(),()X Y f x f y ; (3)判断随机变量X 与Y 是否相互独立.5.某运输公司有500辆汽车参加保险,在一年内每辆汽车出事故的概率为0.006,每辆参加保险的汽车每年交保险费800元,若一辆车出事故保险公司最多赔偿50000元.试利用中心极限定理计算,保险公司一年赚钱不小于200000元的概率.附:标准正态分布分布函数()x Φ表:x0.56 0.57 0.58 0.59 ()x Φ0.71230.71570.71900.7224概率论与数理统计A 卷 第5页 共6页---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------6.设总体X 的概率密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0063θθθx x xx f ,其中0>θ是未知参数,()n X X ,, 1是从该总体中抽取的一个样本.(1) 求未知参数θ的矩估计量θˆ; (2) 求()θˆD .概率论与数理统计A 卷 第6页 共6页09级概率论与数理统计(A)卷 参考答案及评分标准一、填空题(共22分,2分/空).1. 4/7 2. 1/2, 23,11(),20,x x f x ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它3. 2, 4/34.,θ 2θ 5. 3, 18.5 6. 0.04 7.()10212512ii x eπ=-∑二、单项选择题(共24分,3分/题).1.C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A 7.C 8.B 三、计算题(共54分,9分/题).1. 解: 设{}A A 原发信息是=,{}B B 原发信息是=. {}A A 接收信息是=',{}B B 接收信息是='. 则由题设,()53=A P ,()52=B P ,()04.0='A B P ,()07.0='B A P . (3分) (1) 根据全概率公式,()()()()()320.960.070.60455P A P A P A A P B P A B '''=+=⨯+⨯= (3分)根据Bayes 公式,得()()()()()()()9536.007.05296.05396.053=⨯+⨯⨯='+''='B A P B P A A P A P A A P A P A B P (3分) 2.解: ⑴ X 的可能取值为5,4,3.且{}1011335===C X P ,{}10343523===C C X P ,{}10653524===C C X P所以,随机变量X 的分布律为:X 3 4 5P101 103 106 ( 6分)⑵随机变量X 的分布函数为:()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=51541044310130x x x x x F .( 3分) 3解: 随机变量X 的概率密度函数为()2221x ex f -=π()+∞<<∞-x (2分)设随机变量Y 的分布函数为()y F Y ,则有 (){}{}{}1122-≤=≤+=≤=y XP y X P y Y P y F Y (2分)①. 如果01≤-y ,即1≤y ,则有()0=y F Y ;(1分)②. 如果1>y ,则有(){}{}1112-≤≤--=-≤=y X y P y X P y F Y⎰⎰------==12112222221y x y y x dx edx eππ即()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰--122122y y dxey F y x Y π(2分)()()1221122100y Y Y e y f y F y y y π--⎧⋅>⎪'∴==-⎨⎪≤⎩即 ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--00112121y y e y y f y Y π(2分)4. 解:(1)()(,)xP Y X dx f x y dy ∞-∞-∞≤=⎰⎰=2112460021213()4820xx dx x ydy x x dx =-=⎰⎰⎰(3分) ⑵ 当11≤≤-x 时,()()()421218214212x x ydy x dy y x f x f x X -===⎰⎰+∞∞-, 所以,随机变量X 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它011182142x x x x f X ;(2分)当10≤≤y 时,()()250322727421y yx ydx x dx y x f x f yyyY ====⎰⎰-+∞∞-, 所以,随机变量X 的边缘密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==其它102725y yy f Y (2分) ⑶()()(),X Y f x y f x f y ≠,∴X 与Y 不独立.(2分)5. 解: 设{}某辆汽车出事故=A ,则()006.0=A P .(1分)设X :运输公司一年内出事故的车数.则()~5000.006X b , .(3分)保险公司一年内共收保费400000500800=⨯,若按每辆汽车保险公司赔偿50000元计算,则保险公司一年赚钱不小于200000元,则在这一年中出事故的车辆数不能超过4辆.因此所求概率为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=≤994.0006.0500006.05004994.0006.0500006.05004X P X P⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯⨯-=58.0994.0006.0500006.0500X P ()7190.058.0=Φ≈(5分)6. 解: ⑴. ()()()26032θθθθ=-==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E ,(3分)所以,()X E 2=θ ,将()X E 用样本均值∑==ni i X n X 11来替换,得未知参数θ的矩估计为X 2ˆ=θ(2分) ⑵. ()()()()X D nX D X D D 442ˆ===θ,(1分) 而 ()()()[]22X E X E X D -=()()20462223322θθθθθθ=--=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x (2分)所以,()()nn X D n D 52044ˆ22θθθ=⨯== . (1分)第9页---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------第10页。

概率论期末考试试卷试题A卷包括答案

概率论期末考试试卷试题A卷包括答案

07 级?概率论?期末考试试题 A 卷及答案一、填空题〔总分值 15 分〕:1.一部五卷的文集,按任意次序放到书架上,那么“第一卷及第五卷出现在旁边〞的概率为1。

1023!1解答: p15!102.设 P( A) p, P( B)q, P( A B)r , 那么 P( AB )r q。

解答: P( AB )P( A B)P[( A B) B)] P( A B) P(B)r q3.设随机变量的分布列为P( X k )a k, k0,1,2,...3则a =2. 3解答: 1a a113 a a2k 03k12334. 设随机变量为与, D=25,D=36,,0.4 ,那么 D( -)= 37.解答:D ()D D 2 cov(, ),cov(,) D DD () D D 2 D D,25 36 2 5 6 0.4 375. 设随机变量服从几何分布 P(k )q k 1 p,k 1,2,... 。

那么的特征函数f (t )。

解 : f t E(e it)e itk q k1 p pe it qe it itk 1pe it .k1k 11qe二、单项选择题〔总分值15 分〕:1.设 .A 、 B、 C 为三个事件 , 用 A、 B、 C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生〞为(④).① A B C .②AB C A BC AB C③ABC .④ A BC ABC ABC A BC2. 以下函数中, ()可以作为连续型随机变量的分布函数.①. F x e xx0②G xe x x01x01x0③ x0x0④ H x0x01e x x0 1 e x x03. 下面是几个随机变量的概率分布,其中期望不存在的为〔②〕。

① P(k )n p k (1p) n k ,0 p 1, k 0,1,..., n .k② P((1) k 3k)1, k 1,2,... .k3kk③ P(k )e,0, k0,1,2.. .k!④ . P(k )(1p)k 1 p, 0p 1, k1,2,...4. 设( ,) 服从二维正态分布 N ( a1 , a2 ; 1 2 ,22 ; r ) ,r0是,独立的〔③ 〕。

《概率论》期末考试试题A卷和答案

《概率论》期末考试试题A卷和答案

07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案一、 填空题(满分15分):1.一部五卷的文集,按任意次序放到书架上,则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为101。

解答:101!5!321=⨯=p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =⋃==则=)(B A P q r - 。

解答:q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-⋃=-⋃=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3)(===k ak X P k则a =32. 解答:32233111310=⇒=-⋅==∑∞=a a a a kk 4.设随机变量为ξ与η,已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答:374.065236252)(),cov(),cov(2)(,,=⨯⨯⨯-+=-+=-=-+=-ηξηξρηξηξηξηξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1===-k p qk P k ξ。

则ξ的特征函数=)(t f ξ 。

()().1)(:1111it it k k it itk k itk it qepe qe pep qe e E tf -====∑∑∞=--∞=ξξ解 二、 单项选择题(满分15分):1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ).① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.下列函数中,( )可以作为连续型随机变量的分布函数.①.()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=010x x e x F x②()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-010x x e x G x③()⎩⎨⎧≥-<=Φ0100x e x x x④()⎩⎨⎧≥+<=-0100x e x x H x3.下面是几个随机变量的概率分布,其中期望不存在的为(② )。

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……2 分
……………………2 分
解法二: 设三大部件中第 i 个部件需要调整的事件为 Ai(i=1,2,3),则………1 分
P ( X = 0) = P ( A1 A2 A3 ) = 0.9 × 0.8 × 0.7 = 0.504. ………………1 分
3
P ( X = 1) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 0.1× 0.8 × 0.7 + 0.9 × 0.2 × 0.7 + 0.9 × 0.8 × 0.3 = 0.398. P( X = 2) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 0.1× 0.2 × 0.7 + 0.1× 0.8 × 0.3 + 0.9 × 0.2 × 0.3 = 0.092.
………………1 分
………………1 分
P ( X = 3) = P( A1 A2 A3 ) = 0.1× 0.2 × 0.3 = 0.006. ………………………1 分
所以
E ( X ) = 0 × 0.504 + 1× 0.398 + 2 × 0.092 + 3 × 0.006 = 0.6. ………2 分
六、简答题(10 分)
解:(1) P{ X < 200} =

200
0
x 1 − 1 − 600 e dx = 1 − e 3 。……………………………4 分 600
− 1
(2) 设 Y 为 3 个元件在最初 200 小时损坏的个数,则 Y ~ B (3, 1 − e 3 ) ,……3 分

概率论试题(A卷)答案

概率论试题(A卷)答案

《概率论》A 卷参考答案一、填空题(15分,每小题3分) 1、已知11()()(),()(),()0,46P A P B P C P AB P BC P AC ====== 则事件,,A B C 全不发生的概率为________。

2、设11()(),(|)26P A P B P A B ===,则(|)P A B =________。

3、设随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N m s s >,且二次方程240y y X ++=无实根的概率为12,则m = ________。

4、随机变量X 在[1,4]上服从均匀分布,则概率2{3}P X ≤=________。

5、设随机变量X 和Y 的数学期望相同,方差分别为1和4,X 与Y 的相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式,有{||6}P X Y -≥≤ 。

1、712; 2、16; 3、4; 4、13; 5、112。

二、选择题(15分,每小题3分)1、设每次试验成功的概率为)10(<<p p ,重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .(A) r n r r n p p C ----)1(11; (B) rn r r n p p C --)1(; (C) 1111)1(+-----r n r r n p p C ; (D) rn r p p --)1(. 2、设随机变量X 与Y 相互独立且同分布,1{1}{1}2P X P Y =-==-=,1{1}{1}2P X P Y ====,则下列各式成立的是( )。

(A )1{1}4P XY ==。

(B ){}1P X Y ==;(C )1{0}4P X Y +==; (D )1{}2P X Y ==;3、设随机变量X 的密度函数为()x ϕ,且()()x x ϕϕ=-,()F x 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有( )。

(A )()2()1F a F a -=-; (B )()()F a F a -=;(C )01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰; (D )0()1()a F a x dx ϕ-=-⎰。

2020-2021大学《概率论》期末课程考试试卷A1(含答案)

2020-2021大学《概率论》期末课程考试试卷A1(含答案)

2020-2021大学《概率论》期末课程考试试卷A1适用专业:考试日期:考试时间:120分钟考试方式:闭卷总分100分一、填空题. (每空2分,共22分)1、设为三个事件,用它们表示下列事件(1)发生而不发生可表示为(2)三个事件中至少有一个发生可表示为(3)三个事件中最多有两个发生可表示为2、,则3、设X与Y的联合分布律为YX 1 2 31 1/6 1/9 1/182 1/3 a b若x与y相互独立,则a= ,b=4、设随机变量服从参数为0.5的指数分布,则;5、若服从A上的均匀分布,A由X轴,Y轴及直线所围,则6、设随机变量则7、设每次射击中靶的概率是0.7,某人射击10次,最可能命中炮二、选择题(7小题,每小题2分,共14分)1、袋子中有3个白球,1个黑球,从中不放回的取球,则第3次取到黑球的概率为()A、B、C、D、2、P(A)=0.5 , P(B)=0.6 , P(B/A)=0.8 则P(A∪B)的值是()A、0.6B、0.7C、0.8D、0.93、若X则的密度函数为()A、B、C、D、4、若X~B(n , p )且Ex=8 ,Dx=4.8 , 则n= ( )A、10B、15C、20D、255、若x的数学期望Ex存在,则E[E(Ex)]= ( )A、ExB、xC、0D、6、下列函数是某随机变量的分布函数的是()A、B、C、D、7、设二维随机变量的概率密度函数为,则常数C()A、0.25B、0.5C、2D、4三、解答题(第1,5题12分,2,3,4,6,7每题8分)1、设随机变量的分布列为:已知,试求(1),,(2)(3) X的分布函数X -1 0 1P2、x 的分布函数为求x 的概率密度及P(x<2),P(0<x≤3).3、的密度函数为求4、若,求的密度函数5、设随机变量X 的概率密度函数为,试求:(1)常数C (2)6、设等可能在区间上取值,求方程有实根的概率7、设联合概率密度函数为,求的分布函数及密度函数2020-2021大学《概率论》期末课程考试试卷A1答案适用专业: 考试日期:考试时间:120分钟 考试方式:闭卷 总分100分一、填空题. (每空2分,共22分)1 (1)C AB (2)(3)2 0.33、a= 2/9 ,b= 1/94、, 5 165、6、0.57、7二、选择题(5小题,每小题3分,共15分)1、 C2、 B3、 C4、 C5、A6、 D7、 A三、解答题 1 解: 1)++=1 -+ =0.1+=0.9 解得 (6)分2), ……9分3) ………12分2 解:………………4分……………………………8分3 解:…4分…8分4 解:…………2分………4分对求导………8分5解 ⑴,得到(6分)(2)………(8分) ,所以(12分)-----------------------------------------------------装-------------------------------------------订-----------------------------------------线-----------------------------------------院系 专业班级 姓名 学号6.解:方程有实根等价于,得 (4)又服从上的均匀分布,故所求概率为7.解:………….6分所以……………..8分。

概率论期末试卷(含答案)

概率论期末试卷(含答案)

概率论期末试卷一、填空题1. 设 A , B 是两个事件,且 P (A ) = P (B ) = 0.4, P (A|B̅) = 0.5 ,则 P (B − A ) + P (A − B ) = 。

2. 设随机变量 X ~ B (1, 0.5) ,Y ~ E (1) ,且 X ,Y 相互独立, Z = X +Y ,则 P {Z > 0} = 。

3. 设随机变量 X 和Y 独立同分布, P {X =k }=k+13,k =0.1 则P {X = Y }= 。

4. 设随机变量 X ~ N (1, 4) ,则 E [(X + 3)2]= 。

5. 设随机变量 X ~ P (5) ,由切比雪夫不等式得 P {1 < X < 9} ≥ 。

二、选择题1. 设(X 1,X 2,X 3)是取自总体 X ~ E (1θ)的简单随机样本,以下θ 的点估计中,方差最小的无偏估计是( )A.12X 1+ 13X 2+ 16X 3 A.15X 1+ 25X 2+ 25X 3 A.12X 1+ 12X 2+ 14X 3A.12X 1+ 14X 2+ 14X 32.设随机变量 X 的分布律为P {X =i }=k2i ,i =1,2,…,则X 取奇数的概率为( )A.23B.34C.12D.143.设随机变量 X 和Y 相互独立,下列结论错误的是( )A.若 X ~ B (1, p ),Y ~ B (1,q ) ,则 X +Y ~ B (1, p + q )B.若 X ~ P (λ1),Y ~ P (λ2) ,则 X +Y ~ P (λ1+λ2)C.若 X ~ N (μ1,σ12),Y ~ N (μ2,σ22) ,则 X +Y ~ N (μ1+μ2,σ12+σ22)D.若 X ~ χ 2(m ),Y ~ χ 2(n ) ,则 X +Y ~ χ 2(m + n )4.设 (X 1,X 2,…,X n ) 为来自正态总体 N (μ,σ2) 的简单随机样本.如果μ已知,则σ2的置信度为1−α的置信区间为( )A.((n−1)S 2χα22(n),(n−1)S 2χ1−α22(n)) B.((n−1)S 2χα22(n−1),(n−1)S 2χ1−α22(n−1))C.(∑(X i −μ)2n i=1χα22(n),∑(X i−μ)2n i=1χ1−α22(n))D.(∑(X i −μ)2n i=1χα22(n−1),∑(X i−μ)2n i=1χ1−α22(n−1))5. 在假设检验中,下列说法正确的是( ).A.一定会犯第一类错误B.一定会犯第二类错误C.可能同时犯两类错误D.不可能同时犯两类错误三、设有两个盒子内装有同型号的电子元件.已知甲盒中有 5 个正品和 3 个次品;乙盒中有 4 个正品和 3 个次品.现从甲盒中任取 3 个元件放入乙盒中,然后再从乙盒中任取一个元件.(1)求从乙盒中所取出的一个元件是正品的概率;(2)已知从乙盒中所取出的元件是正品,求最先从甲盒中取出的 3 个元件都是正品的概率。

概率论期末试题答案

概率论期末试题答案

概率论期末试题答案1. (a) 解:根据题意,已知事件A和事件B相互独立,可以得到以下关系式:P(A | B) = P(A) (由事件A和事件B相互独立可得)P(B | A) = P(B) (由事件A和事件B相互独立可得)又根据贝叶斯定理,可以得到以下关系式:P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)将以上两个关系式结合在一起,即可得到答案:P(A) = P(B | A) * P(A) / P(B)(b) 解:根据题意,已知事件A和事件B相互依赖,可以得到以下关系式:P(A | B) ≠ P(A) (由事件A和事件B相互依赖可得)P(B | A) ≠ P(B) (由事件A和事件B相互依赖可得)又根据贝叶斯定理,可以得到以下关系式:P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)将以上两个关系式结合在一起,即可得到答案:P(A) ≠ P(B | A) * P(A) / P(B)2. 此题为条件概率的计算。

根据题意,已知P(A) = 0.4,P(B) = 0.6,P(A | B) = 0.5,求P(A ∪ B)。

解:根据概率公式,可以得知:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A | B)将已知的数值代入上述公式,即可求解:P(A ∪ B) = 0.4 + 0.6 - 0.5 = 0.5所以,P(A ∪ B) = 0.5。

3. 解:根据题意,已知事件A和事件B相互独立,且P(A) = 0.2,P(B) = 0.3,求P(A' ∪ B')。

首先,我们可以得到以下关系式:P(A' ∪ B') = 1 - P((A' ∪ B')') (根据全概率公式)= 1 - P((A ∩ B)') (德摩根定律)= 1 - (1 - P(A ∩ B)) (补集的概率为1减去该集合的概率)= P(A ∩ B)由于事件A和事件B相互独立,可以得到以下关系式:P(A ∩ B) = P(A) * P(B)将已知的数值代入上述关系式,即可求解:P(A' ∪ B') = P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0.2 * 0.3 = 0.06所以,P(A' ∪ B') = 0.06。

概率论期末考试题及答案

概率论期末考试题及答案

概率论期末考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 以下哪个事件是必然事件?A. 抛一枚硬币,正面朝上B. 抛一枚硬币,反面朝上C. 抛一枚硬币,正面或反面朝上D. 抛一枚硬币,硬币立起来答案:C2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2),则以下哪个选项是正确的?A. μ是X的中位数B. μ是X的众数C. μ是X的期望值D. μ是X的方差答案:C3. 假设随机变量X和Y独立,以下哪个选项是正确的?A. P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)B. P(X=x, Y=y) = P(X=x) + P(Y=y)C. P(X=x, Y=y) = P(X=x) - P(Y=y)D. P(X=x, Y=y) = P(X=x) / P(Y=y)答案:A4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p),以下哪个选项是正确的?A. E(X) = npB. E(X) = n/2C. Var(X) = np(1-p)D. Var(X) = np答案:A5. 假设随机变量X服从泊松分布P(λ),以下哪个选项是正确的?A. E(X) = λB. E(X) = λ^2C. Var(X) = λ^2D. Var(X) = λ答案:A二、填空题(每题5分,共20分)6. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b),则其概率密度函数为:f(x) = ________,其中x∈(a, b)。

答案:1/(b-a)7. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2),其标准正态分布的累积分布函数记为Φ(z),则P(X ≤ x) = Φ((x - μ) / σ)。

答案:Φ((x - μ) / σ)8. 假设随机变量X服从指数分布Exp(λ),其概率密度函数为:f(x) = ________,其中x≥0。

答案:λe^(-λx)9. 假设随机变量X服从几何分布Geo(p),其概率质量函数为:P(X = k) = ________,其中k = 1, 2, 3, ...答案:(1-p)^(k-1)p三、计算题(每题15分,共30分)10. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1),求P(-1 ≤ X ≤ 1)。

概率论期末试题(带答案)

概率论期末试题(带答案)

草纸:
试卷纸
共4页
第1页
试题要求:1、试题后标注本题得分;2、试卷应附有评卷用标准答案,并有每题每步得分标准;3、试卷必须装订,拆散无效;4、试卷必须
用碳素笔楷书,以便誉印;5、考试前到指定地点领取试卷。
学号:
姓名:
班级:
..........................................................密.......................................................封..........................................................线..........................................................
..
27

19
8
设每次试验成功的概率为 p, 由题意知至少成功一次的概率是 ,那么一次都没有成功的概率是
. 即 (1 − p)3 =
8
,故
p=1.
27
27
27
3
4. 设随机变量 X, Y 的相关系数为 0.5 , E(X ) = E(Y ) = 0, E= (X 2) E= (Y 2) 2 , 则 E[( X + Y )2 ] =(空 4)
8. 设 zα , χα2 (n), tα (n) , Fα (n1, n2 ) 分别是标准正态分布 N(0,1)、χ 2 (n)分布、t 分布和 F 分布的上α 分位点, 在
下列结论中错误的是(
).
(A) zα = −z1−α .
(B)
χ
2 α
(n)=-
χ2 1−α

概率论期末考试试题和答案

概率论期末考试试题和答案

概率论期末考试试题和答案### 概率论期末考试试题#### 第一部分:选择题(每题2分,共20分)1. 事件A和事件B是互斥的,如果P(A)=0.3,P(B)=0.4,那么P(A∪B)的值是:A. 0.1B. 0.3C. 0.7D. 0.52. 若随机变量X服从参数为λ的泊松分布,那么P(X=k)的表达式是:A. \( e^{-\lambda}\lambda^k / k! \)B. \( \lambda^k / e^{\lambda} \)C. \( e^{-k}\lambda^k / k! \)D. \( k! / \lambda^k e^{\lambda} \)3. 以下哪个不是随机变量的期望值的性质?A. 线性B. 非负性C. 可加性D. 可分解性4. 两个事件A和B独立,如果P(A)=0.6,P(B)=0.5,那么P(A∩B)的值是:A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.35. 随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)表示的是:A. X和Y的平均值B. X和Y的方差C. X和Y的线性相关性D. X和Y的独立性6. 如果随机变量X服从标准正态分布,那么P(X<0)的值是:A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.257. 以下哪个是大数定律的表述?A. 随机变量的期望值等于其观察值的平均值B. 随机变量的方差随着观察次数的增加而减小C. 随机变量的观察值的平均值随着观察次数的增加而趋于稳定D. 随机变量的观察值的方差随着观察次数的增加而趋于稳定8. 以下哪个是中心极限定理的结论?A. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布B. 独立同分布的随机变量之差的分布趋近于正态分布C. 独立同分布的随机变量之积的分布趋近于正态分布D. 独立同分布的随机变量之比的分布趋近于正态分布9. 以下哪个是马尔可夫链的性质?A. 状态转移概率只依赖于当前状态B. 状态转移概率只依赖于初始状态C. 状态转移概率只依赖于最终状态D. 状态转移概率依赖于所有历史状态10. 以下哪个是贝叶斯定理的应用?A. 根据先验概率和似然函数计算后验概率B. 根据后验概率和先验概率计算似然函数C. 根据似然函数和后验概率计算先验概率D. 根据先验概率和后验概率计算似然函数#### 第二部分:简答题(每题10分,共30分)1. 解释什么是条件概率,并给出一个实际的例子。

概率论期末考试题及答案

概率论期末考试题及答案

概率论期末考试题及答案概率论是一门研究随机现象及其规律性的数学分支。

以下是一套概率论期末考试题及答案,供参考。

一、选择题(每题2分,共20分)1. 事件A和事件B是互斥的,P(A)=0.3,P(B)=0.4,那么P(A∪B)等于多少?A. 0.1B. 0.7C. 0.35D. 0.6答案:B2. 抛一枚均匀的硬币两次,求正面朝上的次数为1的概率。

A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案:B3. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布,求P(X=1)。

A. λB. λe^(-λ)C. e^(-λ)D. 1/λ答案:B4. 某工厂有5台机器,每台机器正常工作的概率都是0.9,求至少有3台机器正常工作的概率。

A. 0.999B. 0.99C. 0.95D. 0.9答案:C5. 一个骰子连续抛掷两次,求点数之和为7的概率。

A. 1/6B. 1/3C. 5/36D. 2/9答案:C二、填空题(每题2分,共10分)6. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²),其密度函数的峰值出现在X=______。

答案:μ7. 假设事件A和B相互独立,P(A)=0.6,P(B)=0.5,则P(A∩B)=______。

答案:0.38. 某随机试验中,事件A发生的概率为0.2,事件B发生的概率为0.3,且P(A∪B)=0.4,则P(A∩B)=______。

答案:0.19. 连续型随机变量X的分布函数F(x)=1-e^(-λx),其中λ>0,当x≥0时,X服从______分布。

答案:指数10. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p),求其期望E(X)=______。

答案:np三、简答题(每题10分,共30分)11. 简述什么是条件概率,并给出条件概率的公式。

答案:条件概率是指在某个事件已经发生的条件下,另一个事件发生的概率。

条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B),其中 P(A|B) 表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率,P(A∩B) 是事件A和B 同时发生的概率,P(B) 是事件B发生的概率。

概率论考试试题及答案(含ABC三套)

概率论考试试题及答案(含ABC三套)
2
1 ,则恰有 3 个水龙头同时 10
三、计算题 (65 分) 1、一个袋内有 5 个红球,3 个白球,2 个黑球,计算任取 3 个球恰为一红、一白、一黑的概 率。 (10 分)
2、朋自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分为 0.3,0.2,0.1,0.4,如果他乘 火车、轮船、汽车的话,迟到的概率分别为 (1)求他迟到的概率。 (2)如果它迟到了,求他乘火车来的概率。
1 1 1 , , ,而乘飞机则不会迟到。 (12 分) 4 3 12
第 2 页 共 12 页
3、设有一大批电子元件,一级品率为 0.2,现从中随机抽查 20 个,试求: (1)一级品小于 2 个的概率。 (2)至少有一个一级品的概率。 (10 分)
4、 随机变量 X 概率密度为:
P( x )=

k 1 (k=0,2,5),则 P{X﹥1}=_________________。 10
三、计算题 (65 分) 1、 一袋子中装有 10 个大小相同的球, 其中 3 个黑球, 7 个白球。 从袋中任取两球, 求:率。 (10 分)
5、随机地掷一枚均匀的骰子两次,则这两次出现的点数之和为 8 的概率为__________。 a、
3 36 5 c、 36
b、
4 36 2 d、 36
第 5 页 共 12 页
二、 填空题(每小题 2 分,共 10 分) 1、事件 A 与 B 恰有一个发生表示为_________________。 2、100 件产品中有 5 件次品,任取 10 件,恰有 2 件为次品的概率为_________________。 6、 事件 A,B 互不相容,且 P(A)=0.4,P(B)=0.3,则 P( AB )=_________________。 4、已知事件 A、B 相互独立,且 P(A+B)=a,P(A)=b,则 P(B)= _________________。 5、某随机变量 X 的分布律为 P{X=k}=

概率论期末考试题及答案pdf

概率论期末考试题及答案pdf

概率论期末考试题及答案pdf一、单项选择题(每题3分,共30分)1. 随机变量X服从标准正态分布,则P(X<0)的值为()。

A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案:A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p),则E(X)的值为()。

A. npB. n(1-p)C. pD. 1答案:A3. 两个随机变量X和Y相互独立,则P(X>1, Y>1)等于()。

A. P(X>1)P(Y>1)B. P(X>1) + P(Y>1)C. P(X>1) - P(Y>1)D. P(X>1) / P(Y>1)答案:A4. 随机变量X服从泊松分布,其参数为λ,则P(X=k)的值为()。

A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k * e^(-λ) * k!C. λ^k * e^(-λ) / (k-1)!D. λ^k * e^(-λ) * (k-1)!答案:A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b),则其期望E(X)的值为()。

A. (a+b)/2B. a+bC. 2a-bD. 2b-a答案:A6. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2),则其方差Var(X)的值为()。

A. μB. σ^2C. 1/σ^2D. 1/μ答案:B7. 随机变量X服从指数分布,其参数为λ,则其期望E(X)的值为()。

A. 1/λB. λC. 1D. 0答案:A8. 随机变量X和Y相互独立,且都服从标准正态分布,则P(X+Y<0)的值为()。

A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.9答案:A9. 随机变量X服从二项分布B(n, p),则其方差Var(X)的值为()。

A. npB. np(1-p)C. pD. 1-p答案:B10. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2),若P(X<μ)=0.5,则μ的值为()。

A. 0B. 1C. μD. σ^2答案:C二、填空题(每题4分,共20分)11. 随机变量X服从标准正态分布,若P(X<1.96)=0.975,则P(X>1.96)=________。

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07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案
一、 填空题(满分15分):
1.一部五卷的文集,按任意次序放到书架上,则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为
10
1。

解答:10
1
!5!321=⨯=
p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =⋃==则=)(B A P q r - 。

解答:q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-⋃=-⋃=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3)(===k a
k X P k
则a =
3
2
. 解答:32233
1113
10
=⇒=-⋅==


=a a a a k
k 4.设随机变量为ξ与η,已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答:
37
4.065236252)(),cov()
,cov(2)(,,=⨯⨯⨯-+=-+=-=
-+=-ηξηξρηξηξηξη
ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D
5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1
===-k p q
k P k ξ。

则ξ的特征函数
=)(t f ξ 。

()()
.1)(:1
1
1
1
it it k k it it
k k itk it qe
pe qe pe
p q
e e E t
f -====∑∑∞
=--∞

ξ解 二、 单项选择题(满分15分):
1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ).
① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++
③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.下列函数中,( )可以作为连续型随机变量的分布函数.
①.()⎪⎩
⎪⎨⎧≥<=010
x x e x F x
②()⎪⎩
⎪⎨⎧≥<=-010
x x e x G x
③()⎩
⎨⎧≥-<=Φ0100
x e x x x
④()⎩
⎨⎧≥+<=-0100
x e x x H x
3.下面是几个随机变量的概率分布,其中期望不存在的为(② )。

①n k p p p k n k P k
n k ,...,1,0,10,)1()(=<<-⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-ξ . ②,...2,1,3
1
)3)1((==-=k k P k k k
ξ. ③..2,1,0,0,!
)(=>=
=-k e k k P k
λλξλ .
④. ,...2,1,10 ,)1()(1
=<<-==-k p p p k P k ξ
4.设),(ηξ服从二维正态分布);,;,(2
22
121r a a N σσ,0=r 是ηξ,独立的( ③ )。

①充分但不必要条件 . ②必要但不充分条件.
③充分且必要条件 . ④.既不充分也不必要条件.
5. 设随机变量21ξξ、为相互独立的随机变量,下面给出的分布中不具有再生性的为( ③ )。

① 二项分布 ②. 泊松分布 ③均匀分布. ④ 正态分布
三、(满分20分)
(1)把长度为a 的线段,任意折成三折,求此三线段能构成三角形的概率。

解:设y x 、分别表示其中二条线段的长度,第三条线段的长度为)(y x a +-,则
{}a y x a y a x y x ≤+<≤≤≤≤=Ω0,0,0),(,
又设
A =“三条线段能构成一个三角形”
={}
x y x a y y y x a x y x a y x y x >+-+>+-++->+)(,)(),(),( =()⎭
⎬⎫

⎨⎧<<>
+2,2
,2,a y a x a y x y x ,
A 的面积为8
)2(212
2a a =
⋅,则 41
2
81)(22
==Ω=a
a
A A P 的面积的面积。

(2)炮战中,在距目标250米,200米,150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,现在已知目标被击毁,求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。

解:设A 表示“目标被击中”,1B 表示“炮弹距目标250米射出”,2B 表示“炮弹距目标200米射出”,3B 表示“炮弹距目标150米射出”,
23
1
2.02.01.07.005.01.005.01.0)
()()
()()(3
1
111=
⨯+⨯+⨯⨯=
=
∑=i i
i
B A P B P B A P B P A B P =0.043 四、(满分16分)设ηξ,的密度函数为
()其他
1
00
8,<<<⎩⎨
⎧=y x xy
y x p
求:(1)求ηξ,的边际密度函数;(2)ηξ,是否相互独立?为什么?(3)()
y x p ;(4)ηE 。

解:(1)
()
.
100
4)(,
100141
00
8),()(3
2
1
其他
同理其他其他
<<⎩⎨
⎧=<<⎩
⎨⎧-=<<⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰∞
+∞
-y y y p x x x x ydy
x dy y x p x p x
ηξ
(2).)()(),(不独立与,故因为ηξηξy p x p y x p = (3)当10<<y 时,
()其它
其它y
x y
x
y x y xy y x p <<⎪⎩⎪⎨⎧=<<⎪⎩⎪
⎨⎧=00
200482
3
(4)5
45
44)(10
51
4=
=
==
⎰⎰
+∞

-y dy y dy y yp E ηη 五、(满分8分)若ξ服从指数分布,其密度为
⎩⎨
⎧≤>=-0
00
)(x x e x p x
λλ
求η=
)(y F η。

解:
2
2
2
2000()
())0
00()0
000
100
0y y x y
y P y F y P y y y p x dx
y y y e dx e y y ηλλξλ-->⎧<=<=⎨
≤⎩⎧>⎪=⎨≤⎪⎩⎧⎧>>-⎪⎪==⎨⎨≤≤⎪⎪⎩⎩
⎰⎰
六、(满分18分)
(1)若随机事件A 与B 互斥,且0)(>B P ,证明:
)
()
(1)(B P A P B A P -
= 证明:由A 与B 互斥,从而0)(=AB P
()1()()()()
()1()()()
P AB P A P B P AB P A P A B P B P B P B --+=
==-
(2).设{
}k ξ是独立随机变量序列,且 {}
,...2,1,2
1
3==
±=k k P k ξ 证明{
}k ξ服从大数定律. 证明:
{}).
(01
111)(1,,
2
1)(21)(,021)(213
132********
232
2312312
313
1∞→→=⋅⋅≤===⋅-+===-+⋅=∑∑∑===n n n n n k n D n D n k k k E D k k E n k n k k n
k k k k k k ξξξξξξ独立时当 故{
}k ξ满足马尔可夫条件,从而{}k ξ服从大数定律. 七、(满分8分)设随机变量n ξξξ,...,,21相互独立、同分布,且
n i D E i i ,...,2,1,,2=+∞<==σξμξ,

1
1n
n k k n ζξ==∑,
求:(1),n n E D ζζ;(2)i ξ与ζ的相关系数r 。

(3)用特征函数法证明2221
1n P
k k n ξσμ=−−
→+∑ 解:(1)
n
D E 2σζμζ=
=
(2)k
i k i k i =≠⎩⎨
⎧=2
),cov(σ
ξξ
n n n n k k i n
k k i i 2
1
1),cov(1),cov(1),cov(σξξξξζξ===∑∑==
n
n
n
D D r i i 1),cov(2
=

=
=
σ
σσζ
ξζξ。

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