复变函数的幂级数展开

数学物理方法

双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为 为级数的前n项部分和.
f
k 1

k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数 若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数 若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开

补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定 理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
f
( 2 m)
( z) (1) sin z, f
m
( 2 m)
(0) 0;
f ( 2m1) ( z) (1)m cos z, f ( 2m1) (0) (1)m ; (k ) m f (0) k (1) 2 m 1 f ( z ) sin z z z k! k 0 m 0 ( 2m 1)!
f
k 1

k
( z )一般收敛于
假设对应于点z∈ D，级数收敛于f(z)，即
f ( z) f k ( z)
k 1

那么f(z)称为级数的和函数。
数学物理方法

幂级数的定义
k 0
k a ( z z ) 形如 k 的级数称为以z0为中心的幂级数， 0
常数a0,a1,a2,…an，称为该幂级数的系数。
k 0

k
（ⅰ）解析性 （ⅱ）可导性，求导后收敛半径不变
f ( z ) ak k ( z z 0 ) k 1
k 0
（ⅲ）可积性，积分后收敛半径不变
f ( z)dz a ( z z
l k 0 k l

0
) dz
数学物理方法
k
k z 例3.4 分别求出幂级数 k z k 1 和 在 k 1 k k 1 收敛圆内的和函数。

数学物理方法
§3.2泰勒级数展开

Taylor定理
设函数 f(z)以z0的领域U(z0,R)中解析，那么f(z)在该 领域中可展开为如下幂级数：
f ( z ) ak ( z z 0 )
k 0

k
CR z R' R
f ( ) 其中 ak d k 1 2 i CR ' ( z0 ) 1 1 (k ) f ( z0 ) k!

(1)m 2 m1 arctan z a0 z (其中a0 arctan 0 0) m 0 2m 1
数学物理方法
举例
函数 f(z)=ez 在z=0点的Taylor级数展开
2 k k z z z z e 1 z ... ... 2! k! k 0 k!

f ( z)
2 i
C k 0
1

f ( )(z z0 ) k d k 1 ( z0 )
1 f ( ) k d ( z z ) 0 k 1 2 i ( z ) k 0 0 C f ( k ) ( z0 ) k ( z z ) 0 k ! k 0
1 f ( z ) , f (0) 1; 1 z (k ) k 1 ( k 1)! (k ) k 1 f ( z ) (1) f (0) (1) (k 1)! k (1 z ) (k ) k 1 f (0) k (1) k f ( z) z z k! k k 0 k 0
z0
CR
'
数学物理方法
1 f ( ) 证明：f ( z ) d 2 i C z
z z0 1 z0
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 ( z z0 ) /( z0 ) ( z z0 ) k k 1 ( z ) k 0 0
数学物理方法
例3.5 将 f(z)=sin z在z=0点的Taylor级数展开
解：f ( z ) sin z, f (0) 0;
f ( z ) cos z, f (0) 1; f ( z ) sin z, f (0) 0; f ( z ) cos z, f (0) 1;
数学物理方法
收敛半径与收敛圆
根据阿贝尔定理，对于任意幂级数
a (z z )
k 1 k 0

k
总是存在一个圆周 z z0 R (0 R ) ， 使得幂级数在此圆域内处处收敛，在此圆域外则处处发 散。 圆域 z z0 R 称为幂级数的收敛圆，
R称为幂级数的收敛半径。
k 1
z
1 (1 z ) 2
( z 1)
k z z z z 1 z 2 k dz 1 dz z dz z dz ... z 0 1 z 0 0 0 0 dz.... k 1 k
z zk 1 f 2 ( z) dz -ln(1- z) ( z 1) 0 (1 z ) k 1 k
n n a ( z z ) n 0
n 1
n a ( z z ) 被称为双边幂级数的负幂部分 n 0
n 0
n 被称为双边幂级数的正幂部分 a ( z z ) n 0

数学物理方法

收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R2；而负幂部分在变
换ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R1 ，则其在
第一篇 复变函数论 第三章 复变函数的幂级数展开
§3.1 复变函数项级数及其收敛性 §3.2 泰勒级数展开 §3.3 洛朗级数展开

数学物理方法
§3.1复变函数项级数及其收敛性

补充：复数项级数

形如 w1 w2 wn wn 的表达式被称为 n 1 复数项级数，其中wn是复数。
解：设 z t
(1)
k 0

k
2 z
k
2k
(1) 2 t
k k k 0

k
2 k a ( 1 ) 2 其系数 k
对于t而言，收敛半径 R klim k
1 对于z而言，收敛半径R 2
1
1 2 ak
数学物理方法
z 的收敛半径R。 例3.2 求 k 0 k!
f
k 1

k
( z)
f
k 1 k

k
( z ) 在 z0
f k ( z ) 收敛，则称级数 若 k 1 对收敛。


f
k 1

( z ) 在z0处绝
点收敛
数学物理方法
若级数
f
k 1

k
( z ) 在区域D中所有点收敛，则称级数在
区域D中收敛。
区域收敛
对应于区域D中不同的点，级数 不同的值。
|z-z0|>R1外收敛。 如果R1<R2，那么双边幂级数就在环状域 R1<|z-z0|<R2 内收敛，所以 R1<|z-z0|<R2给出了双 边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。
如果R1>R2，那么双边幂级数处处发散。
数学物理方法
正幂部分
an ( z z 0 )
n 0

n
n a ( z z ) 负幂部分 n 0 n 1

1 2 k k 1 z z ... z ... z (收敛圆域为z 1) 解： 1 z k 0

1 ( ) 1 2 z ...kz k 1 ... z k 1 ( z 1) 1 z k 1
k 1
f1 ( z ) k z
1 3 1 5 1 7 (1) 2 m 1 z z z z ... z ... 3! 5! 7! ( 2m 1 )! 数学物理方法
m
例3.6 将 f(z)=ln(1+ z)在z=0点的Taylor级数展开
1 z), f (0) ln1 0; 解： f ( z ) ln(
若 wn 的前n项和 Sn w j有极限，则称该级数
收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称
n 1

n
j 1
为发散。
数学物理方法
收敛的充分必要条件
分必要条件是 皆为实数。
wn 收敛的充 设 wn un ivn (n 1,2,，则级数 )

u
n 1
n
和
v 都收敛，其中un和 vn
n 1 n

n 1
绝对收敛与条件收敛
如果
如果
| ,称级数 w 是绝对收敛的 | w 是收敛的


| w
n 1 n 1
n 1
n
n
|是发散的，而
w 是收敛的
n 1 n

n 1
n
称级数
w 是条件收敛的，
n
数学物理方法

复变函数项级数的定义
是区域D中的复变函数,如
设 f k ( z) (k 1,2,3,...) 下表达式
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0

1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0

(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
阿贝尔定理
k a ( z z ) 若 k 0 在某点z1处收敛，则该幂级数在满足 k 0
z z 0 z1 z0 的圆域内将处处绝对收敛；
若
k 在某点z1处发散，则该幂级数在满足 a ( z z ) k 0 k 0
z z 0 z1 z0 的圆域外处处发散。


1 z z0
R2
z0
R1
z0
|z-z0|<R2
R1<|z-z0|
R2
R1
z0
收敛环 R1<|z-z0|<R2
数学物理方法

Laurent定理
设函数 f(z) 在以z0为中心的圆环区域 R1<|z-z0|<R2 内解析，则f(z)可在该环域内展开为如下双边级数：
f ( z)
n

k
ak (k 1)! 解： R lim lim k a k k! k 1
k k k z 例3.3 求 的收敛半径R。 k 0
解：R klim
1
k
1 lim 0 ak k k
数学物理方法
幂级数在收敛圆内的性质 f ( z ) ak ( z z0 )
数学物理方法
收敛半径的求法
D'Alembert公 式
k a ( z z ) k 0 k 1

ak R lim k a k 1
R lim 1 ak
k k
Cauchy 公式
数学物理方法
例3.1
求
2
k k 2k ( 1 ) 2 z k 0

的收敛半径R。