理论力学-动能定理

⑴ 刚体平动 BA 常矢量 d(BA) 0
∴ 内力元功之和等于零
⑵ 刚体作一般运动（含平面运动）
d(BA) BA 即 F，W F d(BA) 0
∴ 内力元功之和等于零
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只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于 零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。 六．理想约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1．光滑固定面约束
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与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。
14-1 力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量。 一．常力的功
W (N ) N dr 0 (Ndr )
2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
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3．刚体沿固定面作纯滚动 4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）
W (N) N dr N 'dr
N dr N dr 0 5．柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
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§14-2 动能
T
1 2
IP 2
（P为速度瞬心）
I P IC Md 2
T
1 2
IC 2
1 2
M
(d 2 2 )
1 2
M
vC2
1 2
IC 2
平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能与绕质心的
转动动能之和。
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§14-3 动能定理
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强 弱的又一种度量。
一．质点的动能
T 1 mv2 2
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位
也是J。
二．质点系的动能
质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质点
系的动能。即：
T
1
2
mi vi 2
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⒈ 柯尼希定理
对于任一质点系：（ vi '为第i个质点相对质心的速度）
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3．万有引力的功
W
Gmm0
(
1 r2
1) r1
万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。
4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功
设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 F，计算刚体转过
一角度 时力F 所作的功。M点轨迹已知。F F Fn Fb
W F dsF rd mz (F )d 2 ( 2 1) W mz (F )d 作用于转动刚体上力的功等1 于力矩的功。
如果作用力偶，m , ຫໍສະໝຸດ Baidu力 偶的作用面垂直转轴
2
W md
1
若m = 常量, 则 W m(2 1)
注意：功的符号的确定。
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5．摩擦力的功
⑴ 动滑动摩擦力的功
W
M1M2F
ds
M1M
2
f
'Nds
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。
⑵ 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功
正压力 N ，摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
1
本章重点、难点
⒈重点
力力的的功功和和物物体体动动能能的的计计算算。。 质质点点系系的的动动能能定定理理和和机机械械能能守守恒恒定定律律的的应应用用。。
⒉难点
动动力力学学普普遍遍定定理理的的综综合合应应用用。。
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第十四章 动能定理 §14–1 力的功 §14–2 动能 §14–3 动能定理 §14–4 功率 ·功率方程 §14–5 势力场 ·势能 ·机械能守恒定理 §14–6 动力学普遍定理的综合应用
M2
W Rdr (F1 F2 Fn )dr
M1
M1
M2
M2
M2
F1dr F2 dr Fn dr W1 W2 Wn
M1
M1
M1
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即
W Wi
在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
四．常见力的功
1．重力的功
质点：重力在三轴上的投影：
X 0, Y 0, Z mg
z2
W mgdz mg(z1 z2 )
W FS cos
F S
力的功是代数量。
2
时,正功；
2
时,功为零；
2
时,负功。
单位：焦耳（Ｊ）； 1J1N1m
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二．变力的功
⒈ 力的元功
W Fcosds
F ds F dr
Xdx Ydy Zdz
(F Xi Yj Zk , dr dxi dyj dzk
F dr Xdx Ydy Zdz)
⒉ 力 F 在曲线路程 M1M2 中作功
M2
M2
W F cosds F ds （自然形式表达式）
M1
M1
5
M2
F dr
M1
（矢量式）
M2
Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式）
M1
三．合力的功
质点M 受n个力 F1,F2 ,,Fn 作用合力为 R Fi 则合力 R
的功
M2
z1
质点系： W Wi mi g(zi1 zi2 )Mg(zC1 zC2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重
心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
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2．弹性力的功
弹簧原长 l0 ，在弹性极限内 F k(rl0 )r0
k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位
变形时所需的力。N/m , N/cm。。r0 r /r
M2
m2
W F dr k(rl0 )r0 dr
M1
M1
r0
dr
r r
dr
1 2r
d
(r
r
)
1 2r
d
(r
2
)dr
r2
r2
W k(rl0 )dr
r1
r1
k 2
d (rl0 )2
k 2
[(
r1
l0
)
2
(r2
l0
)
2
]
令1 r1 l0 , 2 r2 l0
即
W
k 2
(
2 1
2 2
)
弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 变形有关，而与质点运动的路径无关。
T
1 2
M
vC2
1 2
mi
vi '2
—
柯尼希定理
质点系的动能等于随同质心平动的动能与相对于质心运
动的动能之和。
⒉ 刚体的动能
⑴ 平动刚体的动能
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
mi
)v
2
1 2
Mv2
1 2
MvC2
⑵ 定轴转动刚体的动能
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
1 2
Iz 2
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⑶ 平面运动刚体的动能
dr vCdt0 W F dr F vCdt0
⑶ 滚动摩擦阻力偶m的功
若m = 常量则 W m m s
R
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五．质点系内力的功
W F drA F 'drB F drA F drB
F d (rA rB ) F d (BA) ⒈ 可变质点系
d(BA) 0 ∴ 内力元功之和不等于零
⒉ 不变质点系