弧长和扇形面积(1)
24.4弧长及扇形面积(第1课时)课件
r
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘 米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14） 解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
nr 2 60 3.14 10 2 S ≈52.33(平方厘米)； 360 360
扇形的周长为
l nr 60 3.14 10 2r 20 180 180
90 图 23.3.2 360
图 23.3.2
45 360 n 360
图 23.3.2
n r 2 360
图 23.3.2
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半径 是r，那么扇形面积计算公式为
Q l n° r O
扇形面 积S
n 2 s r 360 nr r 1
180
lr 2 2
D
有水部分的面积 = S扇+ S△
A
E
B
0
0.24 0.09 3
C
4、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心， 以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之 和为 个平方单位．
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 1 2 s r 或s lr 360 2
n nr 50 l 2r = 3 cm 360 180
50 答：此圆弧的长度为 cm 3
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(单 位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB
180
的长
L 100 900 500 1570（mm）
3
2
3
cm
弧长与扇形面积知识点总结
弧长与扇形面积知识点总结圆是数学中常见的几何图形之一，而与圆相关的知识点也是我们学习数学不可或缺的一部分。
其中，弧长和扇形面积是圆的两个重要概念。
本文将对弧长和扇形面积这两个知识点进行总结，并介绍其计算公式和应用。
一、弧长弧长是指圆周的一部分长度，它与圆的半径和圆心角有关。
圆心角是以圆心为顶点的角，其对应的弧称为弧度。
下面是计算弧长的公式：弧长 = 弧度 ×半径其中，弧度是以弧长与圆心角所对应的弧度数。
要计算弧度，可以使用以下公式：弧度 = 圆心角/360° × 2π在计算弧长时，需要注意圆心角的单位应与弧度的单位一致，如都是弧度或都是角度。
二、扇形面积扇形是圆中的一部分，由圆心角和两条半径所围成。
扇形的面积是扇形所占的圆的面积。
为了方便计算扇形面积，我们需要了解如下公式：扇形面积 = 扇形的圆心角/360° × πr²其中，r是扇形的半径，π是一个近似值，约等于3.14。
计算扇形面积时，需要将圆心角的单位与面积的单位保持一致。
三、应用案例1. 弧长应用假设一辆车以10m/s的速度绕一个半径为20m的圆形跑道做匀速圆周运动，问车在15秒内行驶的弧长是多少？解：首先，我们需要计算圆心角：圆周长= 2πr = 2π × 20 = 40π m车在15秒内行驶的弧长 = 10m/s × 15s = 150m2. 扇形面积应用一块土地位于一个半径为10m的花圃内，其夹角为60°，问这块土地的面积是多少？解：首先，计算扇形的面积：扇形面积= 60°/360° × π×10² = 1/6 × π × 100 ≈ 52.36m²四、总结弧长和扇形面积是圆的重要概念，它们的计算可以帮助我们解决各种实际问题。
在计算弧长时，需要了解弧度的概念，并注意圆心角的单位。
弧长公式、扇形面积公式
弧长公式、扇形面积公式
一、弧长公式弧长公式是指用来计算圆弧长度的数学公式，它可以将一个圆弧分割成多个小段，然后将每段的长度相加，最终得出总的圆弧长度。
弧长公式的表达形式有很多种，最常用的是根据圆心角的大小来计算弧长的公式：L=2πRθ，其中L代表圆弧的长度，R代表圆的半径，θ代表圆心角的大小，单位一般采用弧度。
举例如下：一个半径为4cm的圆，若要计算它的圆心角为60°时的圆弧长度，则可以使用弧长公式，得到
L=2πRθ=2π×4×(60°÷360°)=4π，即圆弧长度为
4πcm。
二、扇形面积公式扇形面积公式是指计算扇形面积的数学公式，它是根据圆心角和圆的半径来计算扇形面积的。
扇形面积公式的表达形式为S=1/2R^2θ，其中S代表扇形的面积，R代表圆的半径，θ代表圆心角的大小，单位一般采用弧度。
举例如下：一个半径为3cm的圆，若要计算它的圆心角为60°时的扇形面积，则可以使用扇形面积公式，得到
S=1/2R^2θ=1/2×3^2×(60°÷360°)=9π÷4，即扇形面积为9π÷4 cm^2.
弧长公式和扇形面积公式都是将一个圆分割成多个小段，然后根据每段的长度或者面积来计算整个圆的长度或者面积的。
这种方法可以使计算精确而简单，被广泛的应用于数学和物理领域。
弧长与扇形面积的计算
弧长与扇形面积的计算扇形是圆的一部分，而弧长是扇形边界上的弧的长度。
在几何学中，我们可以使用特定的公式来计算弧长和扇形面积。
本文将介绍如何计算弧长和扇形面积，并提供详细的计算方法和示例。
弧长的计算对于一个圆的弧，我们可以使用以下公式来计算其长度：L = rθ其中，L表示弧长，r表示圆的半径，θ表示圆心角的度数。
上述公式基于圆周长的概念，其中弧长与圆的周长成比例。
举例来说，如果我们需要计算一个圆的半径为5单位，圆心角为60度的弧长，我们可以将上述值代入公式中进行计算：L = 5 × 60 = 300因此，该圆的弧长为300单位。
扇形面积的计算扇形面积是指由一个半径和对应的圆心角所确定的扇形的面积。
我们可以使用以下公式来计算扇形的面积：A = 0.5r²θ其中，A表示扇形的面积，r表示圆的半径，θ表示圆心角的度数。
上述公式可以看作是将整个圆的面积除以360度，然后乘以圆心角的度数。
举例来说，如果我们需要计算一个圆的半径为5单位，圆心角为60度的扇形面积，我们可以将上述值代入公式中进行计算：A = 0.5 × 5² × 60 = 75因此，该扇形的面积为75单位平方。
在实际问题中，弧长和扇形面积的计算经常用于测量和设计。
例如，在建筑设计中，计算弧长和扇形面积可以帮助确定门窗的尺寸和位置。
在工程测量中，这些计算也被广泛应用于土木工程和建筑结构的设计。
除了计算圆的弧长和扇形面积，我们还可以根据已知的弧长或扇形面积来反推圆的半径和圆心角。
这些计算都是基于圆的几何特性和相关公式。
综上所述，弧长和扇形面积的计算在几何学中具有重要的应用价值。
通过了解计算方法和示例，我们可以更好地理解圆的特性，并在实际问题中应用这些知识。
无论是在日常生活中还是在专业领域中，弧长和扇形面积的计算对于解决各种测量和设计问题都具有重要意义。
扇形面积和弧长的计算
扇形面积和弧长的计算
扇形是一个由圆心和两个半径所构成的区域。
在进行扇形面积和弧长的计算时，我们需要知道扇形的半径和夹角。
1.扇形面积的计算：
扇形面积可以通过圆的面积和夹角来计算。
圆的面积公式为：
S=π*r^2
扇形面积可以根据圆的面积和夹角的比例来计算。
假设扇形的夹角为θ，那么扇形面积S'与圆的面积S的比例为θ/360°。
因此，扇形面积的计算公式为：
S'=(θ/360°)*S
=(θ/360°)*π*r^2
其中，S'为扇形的面积。
2.弧长的计算：
扇形的弧长是指扇形内圆弧的长度。
弧长的计算需要知道扇形的半径和夹角。
圆的周长公式为：
C=2*π*r
扇形的弧长可以根据圆的周长和夹角的比例来计算。
假设扇形的夹角为θ，那么扇形的弧长L与圆的周长C的比例为θ/360°。
因此，扇形弧长的计算公式为：
L=(θ/360°)*C
=(θ/360°)*2*π*r
其中，L为扇形的弧长。
需要注意的是，角度应该以弧度制来进行计算。
弧度制与角度制之间的换算关系为2π rad = 360°，即1 rad ≈ 57.3°。
如果给定的夹角是以角度制表示，则需要将其转化为弧度制进行计算。
弧长与扇形面积
弧长与扇形面积在几何学中，我们经常使用弧长和扇形面积这两个概念来描述和计算圆的部分。
弧长是指圆上的一段弧的长度，而扇形面积则是由圆心、弧上两点和两条半径所围成的图形的面积。
这两个概念在日常生活和工程应用中都有广泛的应用。
现在，让我们来深入探讨一下弧长和扇形面积的计算方法和应用。
一、弧长的计算假设我们有一个圆，半径为r，圆心角为θ，我们想要计算这个圆的弧长s。
根据圆的性质，我们可以得出以下公式：s = r × θ其中s表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的大小。
这个公式的推导过程非常简单。
我们知道一个圆的周长是2πr，而一个圆的圆心角θ占据的比例就是θ/360°，所以弧长s占据的比例就是(s/2πr) = (θ/360°)。
解这个比例我们可以得到上述的公式。
例如，如果一个圆的半径为10cm，圆心角为60°，那么这个圆的弧长可以计算为：s = 10cm × 60°/360° = 16.7cm通过这个公式，我们可以根据圆心角的大小和半径的长度来计算出圆的弧长。
二、扇形面积的计算扇形面积是由圆心、弧上两点和两条半径所围成的图形的面积。
我们可以使用下面的公式来计算扇形面积：A = (θ/360°) × πr²其中A表示扇形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的大小。
例如，如果一个圆的半径为5cm，圆心角为90°，那么这个扇形的面积可以计算为：A = (90°/360°) × π × 5cm² = 3.93cm²通过这个公式，我们可以根据圆心角的大小和半径的长度来计算出扇形的面积。
三、弧长与扇形面积的应用弧长和扇形面积的概念在现实生活中有很多应用。
例如，在建筑设计中，弧长可以用来计算拱顶或者圆柱的宽度；扇形面积可以用来计算圆形广场或者圆形花坛的面积。
弧长及扇形面积计算公式
弧长及扇形面积计算公式
咱来唠唠弧长和扇形面积的计算公式哈。
一、弧长公式。
1. 首先呢，如果知道圆心角（这个圆心角得是弧度制的哦）是α，半径是r，那弧长l就等于圆心角乘以半径，也就是l = α× r。
这就好比你在一个圆上走，圆心角越大（就像你转弯转得越狠），半径越大（就像你走的这个圆本身就大），那你走的弧长就越长。
2. 如果给你的圆心角是角度制的，比如说n^∘，那你得先把它变成弧度制。
怎么变呢？就是α=(nπ)/(180)，然后再用弧长公式l=α× r=(nπ r)/(180)。
就好像角度制是一种货币，弧度制是另一种货币，你得先兑换一下才能用这个公式。
二、扇形面积公式。
1. 第一种方法呢，还是跟弧长有点关系。
如果知道弧长l和半径r，那扇形面积S=(1)/(2)lr。
你可以这么想，扇形就像是个三角形，这个弧长l就好比三角形的底，半径r就好比高，然后三角形面积不是(1)/(2)底乘高嘛，扇形面积公式就这么来的。
2. 第二种方法，如果知道圆心角α（弧度制）和半径r，那扇形面积S = (1)/(2)α r^2。
你想啊，整个圆的面积是π r^2，扇形占整个圆的比例就是圆心角α占2π（整个圆的圆心角是2π弧度）的比例，也就是(α)/(2π)，那扇形面积就是(α)/(2π)×π
r^2=(1)/(2)α r^2。
3. 如果圆心角是角度制n^∘，那先把圆心角变成弧度制α=(nπ)/(180)，再用S = (1)/(2)α r^2=frac{nπ r^2}{360}。
这就像是又经过了一次货币兑换然后再计算面积。
九年级数学弧长和扇形面积(1)
l 100 900 500 1570（mm）
180
因此所要求的展直长度 L 2 7001570 297（0 mm） 答：管道的展直长度为2970mm．
如图：在△AOC中，∠AOC=900，∠C=150，以O为 圆心，AO为半径的圆交AC于B点，若OA=6， 求弧AB的长。
D
弓形的面积 = S扇+ S△ A
E
B
0
C
2、如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半 径都是2cm，求图中阴影部分的面积。
B A
D
C
已知正三角形ABC的边长为a，分别
以A、B、C为圆心，以a/2为半径的
圆相切于点D、 E、F，求图中阴影部 分的面积S.
3、如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB 是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，
（1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
（3）1°圆心角所对弧长是多少？2R R
360 180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
l为 ，则 l nR
180 A
（4）140°圆心角所对的
B
弧长是多少？
n°
140R 7R
O
180
9
例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直 长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(单位：mm，精确到1mm)
4 3
，
则这个扇形的面积，S扇形=—34—．
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
弓形的面积 = S扇- S⊿
人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》圆PPT课件(第1课时)
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A
3.8弧长及扇形面积(1)
A
B
D
综合应用： 2、弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下 料，弯道的半径为 90cm. 试计算图所示管道的展直
长度L(单位：cm，精确到1cm) 解：由弧长公式，得
L
100 90 50 157 （cm） 180
所要求的展直长度 L 2 70 157 297 （ c m） 答：管道的展直长度为297cm．
× 2、长度相等的弧是等弧; ×
3、在同圆或等圆中,度数相等的弧是等弧 ;
√
√
4、在同圆或等圆中,长度相等的弧是等弧;
练习：
书本102页，做一做1
弧长公式的变式：
nr l 180
180l n r 180l r n
课内练习3、4
综合应用：
1、如图，AB是⊙O的直径，作AO的垂直平分 线交圆于点D，垂足为C，已知⊙O的半径R=30， ⌒ 求AD的长。
转动轮转1°,传送带上的物品A被传送
. . .
.
.
.
转动轮转n°,传送带上的物品A被传送 n× 2π r 厘米。
360
弧长公式
在半径为r的圆中,
n°的圆心角
所对的弧长的计算公式为
n× 2π r nπ r = l= 180 360
.
在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计 算公式为：
n nr l 2r 360 180 注意：
nR l 180
1、在公式中变量有哪些？常量是哪些？
2、那么在3个变量l、R、n中，只要已知其
中两个量就可以求第三个量，那么请将公
式变形求出R和n。
180l R n
180l n R
拓展：如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l 上，
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弧长和扇形面积
1 •经历弧长和扇形面积公式的探求过程.
2 •会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高 速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？
、合作探究 探究点一：弧长
【类型一】求弧长
解析：根据弧长公式I = 喘，这里r = 1, n = 120,将相关数据代入弧长公式求解•即
120
180
n a
I =池,要求出弧长关键弄
180
清公式中各项字母的含义.
=30。
，则劣弧BC 的长为 ___________ c m.
解析：连接 OB OC T
AB 是O O 的切线，••• ABL BO v/ A = 30° ,二/ AOB= 60° .
BC// AO •/ OB G / AOB= 60° .在等腰△ OBC 中，/ BOC= 180°— 2/ OBC= 180°— 2X 60
在半径为 1cm 的圆中，圆心角为
120°的扇形的弧长是 _______ cm.
方法总结：半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为
如图，O O 的半径为 6cm,直线AB 是O O 的切线，切点为点
B,弦 BC// AO 若/ A
、情境导入
=60 ° . ••• BC 的长为 60；；「6 = 2 n .
n a
方法总结：根据弧长公式I = ，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径
R 和它所对的圆
180
心角n 的大小.
【类型二】利用弧长求半径或圆心角
B (1)已知扇形的圆心角为 45°,弧长等于右，则该扇形的半径是
n
(2)如果一个扇形的半径是
1，弧长是 石，那么此扇形的圆心角的大小为
解析：(1)若设扇形的半径为 R,则根据题意，得
180
n X n X 1 n
(2)根据弧长公式得 面 =3，解得n = 60,故扇形圆心角的大小为 60° .
方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径.
【类型三】求动点运行的弧形轨迹
D 如图，Rt △ ABC 的边 BC 位于直线 I 上，AC = £，/ ACB= 90°,/ A = 30° .若 Rt
△ ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 A 第3次落在直线I 上时，点A 所经过的路线
的长为 ________ (结果用含n 的式子表示).
解析：点A 所经过的路线的长为三个半径为 2,圆心角为120。
的扇形弧长与两个半径
120 n X 2
90 n X 、［3
为：3，圆心角为 90°的扇形弧长之和，即
I = 3X —-— + 2X
= 4n+ 3 n .
y
180 180 *
故填(4 +③n .
方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况， 并以此
推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长.
探究点二：扇形面积 【类型一】求扇形面积
一个扇形的圆心角为 120。
，半径为3,则这个扇形的面积为 留n )
—r 2
120 X 3?
解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式
S=
=
= 3 n .
360 360
方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个•扇形面积还
1
有另外一种求法 S = pr ，其中I 是弧长，r 是半径.
45
x n x
_ n ，解得 _= 2.
4
\
\
\/ 、
: B
1
.(结果保
【类型二】求运动形成的扇形面积
1 2 - 2
C^cm D. 3cm
C,连接OC AB 根据题意可知点 C 是半圆OA OB 勺中点,
所以B C >
AC 所以BO OG= AC ,即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积
1 2
等于Rt △ AOB 勺面积，又 OA= OB= 1cm 即图中阴影部分的面积为
，故选C.
方法总结：求图形面积的方法一般有两种： 规则图形直接使用面积公式计算；
不规则图
形则进行割补，拼成规则图形再进行计算.
三、板书设计
如图，把一个斜边长为
转90°到厶ABC,则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是
A.n
B. 3 Q+逅D 伫+边
C.
4 + 2
.
12 + 4
i^l 6 ABC 绕直角顶点C 顺时针旋
( )
1
解析：在Rt △ ABC 中，•••/ A = 30°,「. BC= 2AB= 1,由于这个三角板扫过的图形为扇
90・n ・12 形BCB 和扇形ACA 二S 扇形BCB=
360
n
90 •%•(■• 3) 2 3 n
T ，
S
扇形
ACA
=
360-
n 3 n
••• Sb - + — =n .故选 A.
【类型三】求阴影部分的面积 如图，
半径为 则图中阴影部分的面积为 1cm 圆心角为
( )
90°的扇形 OABK 分别以OA OB 为直径作半圆,
A.n 2
cm B.
2 3
n cm
解析：设两个半圆的交点为
教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用, 特别是求阴影部分的面积时, 要灵活割补法、转换法等。