弧长和扇形面积(1)

弧长和扇形面积

1 •经历弧长和扇形面积公式的探求过程.

2 •会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.

在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高 速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？

、合作探究 探究点一：弧长

【类型一】求弧长

解析：根据弧长公式I = 喘，这里r = 1, n = 120,将相关数据代入弧长公式求解•即

120

180

n a

I =池,要求出弧长关键弄

180

清公式中各项字母的含义.

=30。，则劣弧BC 的长为 ___________ c m.

解析：连接 OB OC T

AB 是O O 的切线，••• ABL BO v/ A = 30° ,二/ AOB= 60° .

BC// AO •/ OB G / AOB= 60° .在等腰△ OBC 中，/ BOC= 180°— 2/ OBC= 180°— 2X 60

在半径为 1cm 的圆中，圆心角为

120°的扇形的弧长是 _______ cm.

方法总结：半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为

如图，O O 的半径为 6cm,直线AB 是O O 的切线，切点为点

B,弦 BC// AO 若/ A

、情境导入

=60 ° . ••• BC 的长为 60；；「6 = 2 n .

n a

方法总结：根据弧长公式I = ，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径

R 和它所对的圆

180

心角n 的大小.

【类型二】利用弧长求半径或圆心角

B (1)已知扇形的圆心角为 45°,弧长等于右，则该扇形的半径是

n

(2)如果一个扇形的半径是

1，弧长是 石，那么此扇形的圆心角的大小为

解析：(1)若设扇形的半径为 R,则根据题意，得

180

n X n X 1 n

(2)根据弧长公式得 面 =3，解得n = 60,故扇形圆心角的大小为 60° .

方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径.

【类型三】求动点运行的弧形轨迹

D 如图，Rt △ ABC 的边 BC 位于直线 I 上，AC = £，/ ACB= 90°,/ A = 30° .若 Rt

△ ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 A 第3次落在直线I 上时，点A 所经过的路线

的长为 ________ (结果用含n 的式子表示).

解析：点A 所经过的路线的长为三个半径为 2,圆心角为120。的扇形弧长与两个半径

120 n X 2

90 n X 、［3

为：3，圆心角为 90°的扇形弧长之和，即

I = 3X —-— + 2X

= 4n+ 3 n .

y

180 180 *

故填(4 +③n .

方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况， 并以此

推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长.

探究点二：扇形面积 【类型一】求扇形面积

一个扇形的圆心角为 120。，半径为3,则这个扇形的面积为 留n )

—r 2

120 X 3?

解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式

S=

=

= 3 n .

360 360

方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个•扇形面积还

1

有另外一种求法 S = pr ，其中I 是弧长，r 是半径.

45

x n x

_ n ，解得 _= 2.

4

\

\

\/ 、

: B

1

.(结果保

【类型二】求运动形成的扇形面积

1 2 - 2

C^cm D. 3cm

C,连接OC AB 根据题意可知点 C 是半圆OA OB 勺中点,

所以B C >

AC 所以BO OG= AC ,即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积

1 2

等于Rt △ AOB 勺面积，又 OA= OB= 1cm 即图中阴影部分的面积为

，故选C.

方法总结：求图形面积的方法一般有两种： 规则图形直接使用面积公式计算；

不规则图

形则进行割补，拼成规则图形再进行计算.

三、板书设计

如图，把一个斜边长为

转90°到厶ABC,则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是

A.n

B. 3 Q+逅D 伫+边

C.

4 + 2

.

12 + 4

i^l 6 ABC 绕直角顶点C 顺时针旋

( )

1

解析：在Rt △ ABC 中，•••/ A = 30°,「. BC= 2AB= 1,由于这个三角板扫过的图形为扇

90・n ・12 形BCB 和扇形ACA 二S 扇形BCB=

360

n

90 •%•(■• 3) 2 3 n

T ，

S

扇形

ACA

=

360-

n 3 n

••• Sb - + — =n .故选 A.

【类型三】求阴影部分的面积 如图，

半径为 则图中阴影部分的面积为 1cm 圆心角为

( )

90°的扇形 OABK 分别以OA OB 为直径作半圆,

A.n 2

cm B.

2 3

n cm

解析：设两个半圆的交点为