三角函数的化简与证明

三角函数的化简与证明

一、知识点

1、化简

（1）化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量不含分母和根号

（2）化简三种基本类型：

1） 根式形式的三角函数式化简

2） 多项式形式的三角函数式化简

3） 分式形式的三角函数式化简

（3）化简基本方法：用公式；异角化同角；异名化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函数值互化。

2、证明及其基本方法

（1）化繁为简法

（2）左右归一法

（3）变更命题法

（4）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系。

3、无论是化简还是证明都要注意：

（1）角度的特点

（2）函数名的特点

（3）化切为弦是常用手段

（4）升降幂公式的灵活应用

二、范例解析

例1：（1）已知α为第四象限角，化简：α

αααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++- （2）已知 360270<<α，化简

α2cos 2

1212121++ 解：（1）因为α为第四象限角 所以原式=α

ααααα22

22cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+--

()ααααα

ααααα

sin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-= （2） 360270<<α，02cos ,0cos <>∴α

α

所以原式=2cos 2cos 2cos 1cos 212122cos 1212122ααααα-==+=+=++ 思路点拨：根式形式的三角函数式化简常采用有理化如（1）或升幂公式如（2） 例2、P(55 例1) 试求函数Y=sinx+cosx+2sinx cosx +2 的最大值,最小值. 若[0,]2

x π∈呢?

解：

练习：a,b 为何值时，函数()x b a x b a y 22cos 2

sin ++-=的值为2？(a=3,b=1) 思路点拨：注意角度α22-x 与α-x 关系，先化简整理。

例3 _sin(2)sin :2cos()sin sin αββαβαα

+-+=求证 练习、求证：()x

x x x 4cos 14cos 32cot tan 22-+=+ 思路点拨：要据角度x 与4x 的特点和函数名的特点，可采用化切为弦，并用倍角公式证明。 证：左边=

()x x x x x x x x x x x x x x x 2sin 2sin 242sin 41cos sin 2cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin 222222

2222442222-=-+=+=+

右边=()()()

x x x x x x 2sin 22sin 242sin 22sin 2422sin 2112sin 2132222222-=-=---+ 所以左边=右边，即等式成立。

本题采用了左、右归法，从左到右或从右到左见书本。

例4、P 是以F 1, F 2 为焦点的椭圆上一点,且1221,2PF F PF F αα∠=∠=

求证:椭圆的离心率e=2cosa-1 预备：例5 在ΔABC 中，设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)=

C C 2cos 452cos 54++. 证明：C C B A tan )tan()tan(-=-=+π

C B

A B A tan tan tan 1tan tan -=-+∴C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++⇒ 由条件得B C B A tan 3tan tan tan =++

∴C B A B tan tan tan tan 3⋅⋅=

∴而0tan ,0tan ≠≠C B ，C

A tan 3tan =∴ 又A

A A A C

B 22tan 1tan 12cos )cos(+--=-=-+

C C C C 2222tan 9tan 91tan 31tan 3+-=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛= 而C C 2cos 452cos 54++C C C

C C C 222222tan 9tan 9tan 1tan 145tan 1tan 154+-=+-⋅++-⋅+= ∴ cos(B+C-A)=

C C 2cos 452cos 54++

三、小结

1、化简的三种基本类型：根式形式；分式形；多项形式

2、化简方法：用公式；化同角；化同名；化切割为弦；

3、证明等式方法：化繁为简；左右归一；变更命题。

4、条件等式的证明要注意条件与结论之间的区别与联系，选用适当方法。

5、无论是化简还是求证，务必非常注意角度的特点。